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四川省新津中学2014-2015学年高一数学6月月考试题


新津中学高一数学 6 月月考试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. 设 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63 )

2. 如图,一 个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面图形的面积为 ( )

A.

2 2 a 4
2

B.a

2

C. 2 2 a 3. sin 2

D.2a

2

?
12

? cos2

?
12

的结果是(

) D. ? ) D.

1 3 3 B. ? C. 2 2 2 4.若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立 的是( ...
A.
2 2 A. a ? b ? 2ab

1 2

B. a ? b ? 2 ab

C.

1 1 2 ? ? a b ab

b a ? ?2 a b

5. 如图,D, C , B 三点在地面同一直线上,DC ? a , 从 C , D 两点测得 A 点仰角分别是 ? , ? ?a ? ? ? , 则 A 点离地面的高度 AB 等于( A )

?
B C

?

D

(A)

a sin ? ? sin ? sin ?? ? ? ? a sin ? ? cos ? sin ?? ? ? ?

(B)

a sin ? ? sin ? cos?? ? ? ? a cos? ? sin ? cos?? ? ? ?
1

(C)

(D)

6.关于 x 不等式 mx ? nx ? 1 ? 0 的解集为 {x | x ?
2

A. ?11

B.11

C. ? 1

1 1 , 或x ? } ,则 m ? n 等于( 3 2 D. 1



7.在 ?ABC 中,已知 cos A ? A.

16 65

B. ?

16 65

5 3 , sin B ? ,则 cos C 的值为( ) 13 5 56 56 16 C. D. 或 65 65 65
)

8.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形,主视图与左视 图是边长为 1 的正三角形,则其全面积是( A.2 C. 1 ? 3 B.3 D. 3

9.已知函数 f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 , 则 f ? ( ) B. ?4029

? 1 ? ?? ? 2015 ?

? 2 ? f? ?? ? 2015 ?

? 3 ? f? ? ??? ? 2015 ?
D. ?8058

? 4029 ? f? ? 的值为 ? 2015 ?

A. 4029

C. 8058

10.对任何 a ?[?1,1] ,函数 f ?x ? ? x 2 ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围 是( (A) 1 ? x ? 3 (B) x ? 1或x ? 3 (C) 1 ? x ? 2 (D ) x ? 1或x ? 2



11. 已知正项等比数列 ?an ? 满足:

1 4 1 1 4 1 n 4m 3 ? ? (m ? n )( ? ) ? (5? ? ) ? , 若存在两项 m n 6 m n 6 m n 2
) D.不存在

am , an 使得 am an ? 4a1 , 则
A.

3 2

B.

5 3

1 4 ? 的最小值为 ( m n 25 C. 6

12 . 已 知

? l o2 g x ? 函 数 f ? x? ? ? ? s i n x( ? ? 4

, ? x0 ? ) ?, x ?

2
, 若 存 在 实 数 x1 , x2 , x3 , x4 满 足

2

1 0

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 f ? x1 ? ? f ? x ? 2 ? f ?x ? ? 3 f ( x ) ,且 4
A.(2 0,32) B.(15,25) C. (8,24) D.(9,21)

( x3 ? 1) ? ( x4 ? 1) 的取值范围( x1 ? x2



2

二.填空题(共 20 分) 13.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1 , BC 的中点,则图中阴影部分在平面 ADD 1A 1 上的投影的面积为 .

6 sin ? ? cos ? 的值是______________. 3sin ? ? 2 cos ? 2 15.已知 a>0,b>0,ab -(a+b)=1,求 a+b 的最小值
14.已知 tan =2.则

?

. 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上不恒为零 的函数,且对于任意实数 a,b∈R,满足:

f (2n ) f (2n ) * * f (ab)= a f (b)+b f (a), f (2)=2, an= (n∈N ), bn= (n∈N ). n n 2
考察下列结论: ① f (0)= f (1); 数列.其中正确的结论共有 三.解答题。 (共 70 分) 17.(共 10 分) (1)解不等式: ② f (x)为偶函数; ③数列{an}为等比数列; ④数列{bn}为等差 .

2? x ?0; 4? x
2

(2)解关于 x 的不等式: x ? (a ? 1) x ? a ? 0(a ? R)

18.(共 12 分)已知函数 f ( x) ? sin( 2?x ? 条对称轴,且 x1 ? x2 的最小值为 (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)求使不等式 f ( x ) ? (3)若 f (? ) ?

?
6

)(? ? 0), 直线 x ? x1 , x ? x2 是 y ? f ( x) 图像的任意两

? . 2

3 的 x 的取值范围. 2

? 1 ? ? , ? ?[? , ], 求 f (? ? ) 的值; 6 3 3 6

19. (共 10 分)已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? (Ⅰ)试求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ?

1 1 , a5 ? 4 32

n ? n ? N ? ? ,试求 ?bn? 的前 n 项和公式 Tn an

3

20. (共 12) 分已知角 A、 B、 C 为△ABC 的三个内角, 其对边分别为 a、 b、 c, 若 m =(-cos

??

A A , sin ), 2 2

? ?? ? 1 A A n =(cos ,sin ),a=2 3 , 且 m · n = . 2 2 2
(1)若△ABC 的面积 S = 3 ,求 b+c 的值. (2)求 b+c 的取值范围.

21. 如图所示,公园内有一块边长为 2 a 的等边 ?ABC 形状的三角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上. (Ⅰ)设 AD ? x( x ? a), DE ? y ,试用 x 表示 y 的函数关系式; (Ⅱ)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本希望它最短,DE 的位置应该在哪里?如果 DE 是参观线路, 则希望它最长, DE 的位置又在 哪里?请给予证明.
A

E D B C

22.(共 14 分)已知函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2011 。 (1)求 f ( ) 的值.

1 2

? f ( ) ??? f ( (2) 数列{an} 满足: an ? f (0) ? f ( )
求数列 { (3)

1 n

2 n

n?2 n ?1 )? f ( ) ? f (1) , n n

2an a n } 的前 n 项和 Sn . 2011 4 1 1 1 若 Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ,证明: Tn ? 20112 a1 a2 an

4

新津中学高一数学 6 月月考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的 一项. 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B 9 D 10 B 11 A 12 B

四.填空题 13.

1 8

1 4.

7 6

15. 2+ 2 2

16.①③④

五.解答题 17.解: (1)原不等式等价于 ( x ? 2)(x ? 4) ? 0 所以 故原不等式的解集为 {x | ?4 ? x ? 2} (4 分) (2)原不等式可化为 ( x ? 1)(x ? a) ? 0 (1 分)

? 4 ? x ? 2 (3 分)

1?.a ? 1时,x ? 1, 或x ? a 2 ?.a ? 1时,x ? R 3?.a ? 1时,x ? a或x ? 1
(4 分)

a ? 1时,{x | x ? 1, 或x ? a}
综上:不等式的解集为: .a ? 1时,x ? R (6 分)

.a ? 1时, {x | x ? a或x ? 1}
18. 【答案】 (1) [?

?
3

? k? ,

?

2 6 ?1 ? ?? ? . (2) ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ; (3) ? k? ], k ? Z ; 6 4 6 ?12 ?

解 ( 1 ) 由 题 意 得 T ? ? , 则 ? ? 1,? f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

). 由 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , 解 得

?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z . 故 f ( x) 的单调增区间是 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z

(4 分)

(2)由(1)可得 f ( x) ? sin(2 x ? 因此不等式等价于

?
6

)?
?

3 , 2

?
3

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

? ? 2? ? 2k? ,解得 ? k? ? x ? ? k? , 12 4 3
(8 分)
5

∴ x 的取值范围为 ?

? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) 4 ?12 ?

(3) f (? ) ? sin( 2? ?

?

1 ? ? ? ? ? ? 2 2 ) ? , ? ? [? , ] ,则 2? ? ? [? , ],? cos(2? ? ) ? , 6 3 3 6 6 2 2 6 3

∴ f (? ?

?
6

) ? sin( 2? ?

?
2

) ? cos 2? ? cos( 2? ?

?

? 3 ? 1 ? ? )? cos(2? ? ) ? sin(2? ? ) 6 6 2 6 2 6

?

2 2 3 1 1 2 6 ?1 . ? ? ? ? . (1 2 分) 3 2 2 3 6
n ?1

1 ?1? 19. 【答 案】 (Ⅰ) an ? ? ? ? 2 ?2?

?1? n?1 (Ⅱ) Tn ? ? n ?1? ? 2 ? 2, n ? N * . ? ? ? , n ? N *; ?2?

n

解 :( Ⅰ ) 根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式 an ? a1 qn?1 , n ? N * 并 结 合 已 知 条 件 得

1 1 1 ? ? ? a2 ? a1q ? a1 ? n ?1 n ? ? ? 1 ?1? ? ? ? ?1? 4 4 2 ?? ?? ,所以 an ? ? ? ? ? ? ? , n ? N *; (4 分) ? 2 ?2? ?2? ?a ? 1 ?a q 4 ? 1 ?q ? 1 1 ? ? 5 32 ? 32 ? 2 ? ?

1 ?1? (Ⅱ)由 an ? ? ? ? 2 ?2?

n ?1

n 1 ?1? (6 分) ? ? ? , n ? N * ? b n ? ? n ? ? n ? 2n , n ? N * , an an ?2?
(1)

n

?Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ????? ? n ? 2? ? 2n?2 ? ? n ?1? ? 2n?1 ? n ? 2n
(1)×2 得:

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ????? ? n ? 2? ? 2n?1 ? ? n ?1? ? 2n ? n ? 2n?1

1

(2) ) 得 :

1
2 3


n?2




n n ?1

2

?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
整理得: Tn ? ? n ?1? ? 2
n?1

?2

n ?1

? 2 ? n.2

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? n ? 2n?1 ? ? ? n ? 1? ? 2n?1 ? 2 (9 分)

? 2, n ? N * (10 分)

20. 【答案】 (1)4;(2)?2 3 ,4? 【解析】

? ?? ? 1 A A A A ,sin ), n =(cos ,sin ),且 m · n = , 2 2 2 2 2 1 1 2 A 2 A ∴-cos +sin = ,即-cosA= , 2 2 2 2 2? 又 A∈(0,π ),∴A= . (3 分) 3
(1)∵ m =(-cos
6

??

1 bcsinA= 3 ,所以 bc=4, 2 2? 2 2 2 2 2 由余弦定理得:a =b +c -2bc·cos =b +c +bc, 3
又由 S△ABC= ∴16=(b+c) ,故 b+c=4.(6 分) (2)由正弦定理得:
2

b c a 2 3 ? ? = =4,(7 分) 2? sin B sin C sin A sin 3

又 B+C=?-A=

? , 3

∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(

? ? -B)=4sin(B+ ), 3 3

( 9 分)

∵0<B<

? ? ? 2? ? 3 ,则 <B+ < ,则 <sin(B+ )≤1, (11 分) 3 3 3 3 3 2

即 b+c 的取值范围是?2 3 ,4?(12 分

21.解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, D 在 AB 上,? a ? x ? 2a

? S ?ADE ?

1 1 1 S ?ABC , ? x ? AE sin 60? ? AB 2 ? sin 60? 2 2 4 2 2a ? AE ? ,在 ?ADE 中,由余弦定理得: x 4a 4 y 2 ? x 2 ? 2 ? 2a 2 (4 分) x

? y ? x2 ?
2

4a 4 ? 2a 2 (a ? x ? 2a) (6 分) 2 x
2 2

(Ⅱ)令 x ? t ,则 a ? t ? 4a 令 f (t ) ? t ?

则y? t?

4a 4 ? 2a 2 t

4a 4 ? 2a 2 , t ? [ a 2 , 4 a 2 ] , t 2 2 2 2 由对勾函数单调性可知: y ? f (t ) 在 [a , 2a ] 上单调递减,在 [2a , 4a ] 上单调递增.
又 f (a ) ? 3a , f (2a ) ? 2a , f (4a ) ? 3a
2 2 2 2 2 2 2 2

∴ 当 t ? 2a2 ,即 x ? 2a 时, y 有最小值 2a ,此时 DE ∥ BC ,且 AD ?

2a

当 t ? a 或 4a , 即 x ? a 或 2a 时,y 有最大值 3a ,此时 DE 为 ?ABC 的边 AB 或 AC 的中线上. (12 分)


7

22.(1)由于函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2011

1 1 2011 1 1 1 1 得: f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2011 ,所以 f ( ) ? .(3 分) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 ) ? 2011 . (2)令 x ? ,则 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( n n n n n 1 2 n?2 n ?1 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( )? f ( ) ? f (1) ① n n n n n ?1 n?2 2 1 ) ? f( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? f (0) 又 an ? f (1) ? f ( ② n n n n
令x ? 两式相加得:

1 n ?1 2 n?2 2an ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( ) ]?[ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? 2011(n ? 1) n n n n 2011( n ? 1) an ? 。 (7 分) 2 2 an a n ∴ = (n ? 1)a n (8 分) 2011 ? n( n ? 3) (a=1) ? 2 ? (10 分) Sn ? ? n n ?1 ? a ? a(1 ? a ) ? ( n ? 1)a (a ? 1) 2 ? 1? a ? 1 ? a (1 ? a )
(3)?

1 1 1 1 (12 分) ? ? ? 2 n(n ? 1) n n ? 1 (n ? 1) 1 4 1 4 1 1 ? 2 ? ? ? ( ? ) (13 分) 2 2 2 an 2011 ( n ? 1) 2011 n n ? 1
1 1 1 1 4 ? 2 ? 2 ? ???? 2 ? 2 a1 a2 a3 an 20112 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ???? ( n ? n ? 1 ) ? ? ? 4 n = ? 2 2011 n ? 1 4 < 20112

?

(14 分)

8


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