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函数的单调性(北师大版 第二章 第三节 第一课时)


函数的单调性(北师大版 第二章 第三节 第一课时) 姓名 课型 是否采用 多媒体 郭妍妍 新授课 课时 单位 3 课时 否 陕西省平利中学 教学对象 高一学生

一、教材分析
函数的单调性既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展,又是后面研究指数函数、 对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础,在整个高中数学中起着承上启下的作用。研 究函数单调性

的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法,反映了从特殊到一般的数 学归纳思维形式,这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思想方法具有 重大意义。函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分 析(求函数的值域、最值,求函数解析式的参数范围、绘函数图象)以及与不等式等其它知识 的综合应用上都有广泛的应用;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思 想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情分析

根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平 ,制定如下教学目标和重、难点

三、教学资源与策略
问题的设计由具体到抽象,由特殊到一般,由远及近,一步一步地促使学生形成概念。

四、教学目标
1. 知识与能力:使学生理解函数单调性的概念,初步掌握判别函数单调性的方法; 2. 过程与方法:引导学生通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构单调增函数、单调减函数 等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法,培养 学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 3. 情感、态度与价值观:在函数单调性的学习过程中,使学生体验数学的科学价值和应用价 值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.

五、教学重难点

1. 教学重点:函数单调性的概念及判断、证明; 2. 教学难点:函数单调性的概念的理解及用定义判断单调性的步骤;

六、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 观察图象思考一下几 创设情境,提出问题 创设情景 个问题: 问题是数学的心脏, 设计意图

引入新课

问题 1:二十四小时内 问题是学生思维的开 如图为某地区 2010 年元 温度随着时间如何变 始,问题是学生兴趣 化的?问题 2:该图形 旦这一天 24 小时内的气 的开始.这里,通过 是否为函数图象? 温变化图,观察这张气温 两个问题,引发学生 问题 3:定义域是多 变化图: 的进一步学习的好奇 少? 心。 问题 4:如何用数学语 言来刻画温度随时间变 化而变化的趋势呢?

问题一:在我们学过的 函数中,有很多具有同 理解函数单调性是本 初步探索 引入课题:函数在某个区 样的特征,请同学们放 节课的教学重难点, 间内随着自变量的增加函 开思维,根据你所学过 通过层层设疑,把学 的函数写出解析式,并 数值增大或减小,引入课 生推向问题的中心, 画出简图。 题——函数的单调性。 让学生动手操作,直 问题二:如何用数学语 观感受来突出重点、 言描述 你所 得到的特 突破难点 征?

展示内涵

一次函数 y=kx+b 中, 当 k>0 时,y 的值随 x 的 值的增大而(增大) ;当 循序渐进 k<0 时, y 的值随 x 的值的 增大而(减小) 。 延伸拓展 R 的一部分具有该特征。 反比例函数:在定义 域的一部分具有该特征。 提问:如何用自变 对函数图象的 量和因 变量 的改变量 增、减情况用几何画 来刻画 这种 特征? 这 板演示,增加直观性、 种特征与 x1,x2 的选取 提高学生兴趣。考察 二次函数:在定义域 有何关系? 学生的观察能力,培 养学生的数学表达能 力让学生自己分析。 让学生认清知识之间 的联系,有助于知识 的重组和迁移。

口述并板书:一般地,设 函数 在区间 A 自主学习 探究新知 的定义域为 I, I 上, 如果对于

从上推广到一般情 况,给出一般图形, 要求转化成符号语

言。并让学生自己去 区间 A 内的任意两个值 思考交流:你认为增、 减函数 定义 中的关键 领悟、思考、理解概 ,当 时都有 词是什么? (任意, 都) 念。 强化教学重点,加强 那么就说 在这个区 对知识的记忆。

间上是单调增 (减) 函数。

教师口述:函数是单调增 函数或是单调减函数,是 如果函数

步步设问,引导学生 在定 深入探究函数单调性

对定义域内某个区间而言 义域的 某个 子集上是 的内涵。 的。如果函数 在 增加的或是减少的,那 发展学生的应用意 识,是高中数学课程 某个区间上是单调增函数 么就称函数 在 标准所倡导的重要理 (单调减函数),那么就 这个子 集上 具有单调 念之一。 了解单调函数、单 说函数 在这个区 性。如果函数 调区间的概念 间上具有单调性。这一区 在整个 定义 域内是增 间叫做 (减)区间。 的单调增 加的或是减少的,我们 分别称 这个 函数为增 函数或减函数,统称为 单调函数。 另外,如果单调递增 课堂练习 (或递减)区间有两个 或两个以上的话必须 内化知识 由学生总结判断函数

用“和”连接。单调性 单调性的方法。 结合学生所做的图象引导 还可以表示为:函数 学生归纳证明函数单 学生得出函数单调性的判 调性的一般步骤。 断方法: 在 定义域为 I, 对判断方法加以延 (1)利用图象观察; 区间 A I 上,任取 展,加深对定义的理 (2)利用定义证明: 解,同时,也为应用 结合学生所做的图象得出 ∈A, 导数研究函数的单调 证明函数单调性的一般步 骤。 性埋下伏笔。 证明的步骤: 任意取值 ——作差变形——判断符 号——得出结论。 则称 增函数; 在 A 上为

则称 减函数。

在 A 上为

小结: 1、 本节课主要借助 学生依 照自 己的能力 作业是学生信息的反 图象学习了函数单调性的 完成梯度作业 归纳小结 概念,以及判断函数在某 个区间上的单调性的方 布置作业 法,体现了数形结合的重 要数学思想及数学思维的 严谨性。 馈,能在作业中发现 和弥补教学中的不 足,同时注重个体差 异,因材施教

七、教学评价

学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价.教师应当高度重视 学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的 能力,以及学习的兴趣和成就感.学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣,缜密的思考 可以培养学生独立思考的习惯.让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识 的积累、探索能力的长进和思维品质的提高,为学生的可持续发展打下基础.

八、教学反思
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解,且在 “作差、变形、定号”过程学生不易掌握;学生在比较大小过程过容易犯主观主义思想的错误, 自己认为是大于 0 就直接给出大于 0,在教学过程中一定要强调逻辑性;每节新知识的应用都 会用到一些数学方法,本节可也是知识的应用课,会用到比较多的数学方法,在教学过程中重 点掌握这些方法的应用,拓宽学生的思维面,对实际问题灵活应用。

九、板书设计

函数的单调性 一、导入新课: 二、新课讲解: 1.函数单调性的定义:

2.具体函数的单调性: 3.函数单调性的判断及证明。 三、例题讲解: 四、课堂小结: 五、布置作业:

附注:练习:根据下面函数图象,写出其单调区间: (强调如果单调递增(或递减)区间有两个 或两个以上的话必须用“和”连接。 )

专家点评
(师大附中 张文俊) 本课例教材分析比较到位,教学方法选择较合理。教学过程中以问题为载体设 计教学,使学生在解决问题的过程中学习知识、提升能力,这些对学生而言,将终 身受益,课例的作者能深刻地认识到这一点,同时,课例力求通过研究函数单调性 这一知识为载体渗透数学思想方法,如数形结合思想和归纳转化的思想方法、力求 培养学生从特殊到一般的归纳思维形式。但问题设计较为简单(这是问题解决教学 的大忌:问题需要精心设计) ,课例注意到了从图像直观到定量的代数刻画这一转 化的主要性,但缺少从定性描述到定量描述的思维过程的有效指导,教学中如果能 设计一些具有思维含量的问题,这样以丰富教学内容;我们感到课例的作者对判断 方法加以延展以求加深对定义的理解, 也为将来利用导数研究函数的单调性埋下了 伏笔,值得肯定。


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