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数学必修5试题及答案(六)


高中数学必修五综合测试题(六)
一、选择题 1.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a5+a8+a11 的值为 ( ) B.27 C.9 D.15 )

A.30

2.在△ABC 中,B=45° ,C=60° ,c=1,则最短边的边长等于( 6 A. 3 6 B. 2 1 C.2 3 D. 2



3.不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图 象为( )

1 1 4.已知数列{an},满足 an+1= ,若 a1=2,则 a2012=( 1-an 1 A.2 B.2 C.-1 D.1

)

5.已知△ABC 中,b=30,c=15,∠C=29° ,则此三角形解的情况是( A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定

)

6.用钢管制作一个面积为 1m2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种 长度的钢管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是( )

A.4.6m

B.4.8m

C.5m

D.5.2m

7.公差不为零的等差数列的第 1 项、第 6 项、第 21 项恰好构成等比数列, 则它的公比为( 1 A.3 1 B.-3 ) C.3 D.-3

8.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x- 2y≥0},若向区域 Ω 内随机投一点 P,则点 P 落在区域 A 内的概率为( 1 A.3 2 B.3 1 C.9 2 D.9 ) )

9.设 a,b∈R,a2+2b2=6,则 a+b 的最小值是( A.-2 2 5 3 B.- 3 C.-3

7 D.-2 )

10.钝角△ABC 的三边长为连续自然数,则这三边长为( A.1,2,3 B.2,3, C.3,4,5 D.4,5,6

nπ 11.(2012· 福建文,11)数列{an}的通项公式 an=ncos 2 ,其前 n 项和为 Sn, 则 S2012 等于( A.1006 ) B.2012 C.503 D.0

12.在 R 上定义运算⊕:x⊕y=x(1-y),若不等式(x-a)⊕(x+a)<1 对任意 实数 x 成立,则( A.-1<a<1 二、填空题 13.等比数列{an}和等差数列{bn}中,a5 =b5,2a5 -a2a8 =0,则 b3 +b7 = ________. π 14.(2011· 四川资阳模拟)在△ABC 中,∠A= ,BC=3,AB= 6,则∠C 3 =________. ) 1 3 C.-2<a<2 3 1 D.-2<a<2

B.0<a<2

?x+2y-3≤0 15. 已知变量 x, 满足约束条件?x+3y-3≥0 y ?y-1≤0

, 若目标函数 z=ax+y(其

中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为_____. 16.已知点(1,t)在直线 2x-y+1=0 的上方,且不等式 x2+(2t-4)x+4>0

恒成立,则 t 的取值集合为________. 三、解答题 17.和为 114 的三个数是一个公比不为 1 的等比数列的连续三项,也是一个 等差数列的第 1 项,第 4 项,第 25 项,求这三个数.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, π C=3.(1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

19.为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,去年冬天,某水利工程队 在河边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农 田改造成面积为 10 000m2 的矩形鱼塘, 其四周都留有宽 2m 的路面, 问所选的农 田的长和宽各为多少时,才能使占有农田的面积最小.

20.(1)如图,从相距 165m 的 A、B 两观察站测 C、D 两个目标的视角都是 30° ,同时知道 A 在 C 的正南、B 在 D 的正东,求 C、D 两个目标间的距离.

(2)台湾是祖国不可分割的一部分,祖国的统一是两岸人民共同的愿望,在 台湾海峡各自的海域内, 当大陆船只与台湾船只相距最近时,两船均相互鸣笛问 好,一天,海面上离台湾船只 A 的正北方向 100 海里处有一大陆船只 B 正以每 小时 20 海里的速度沿北偏西 60 度角的方向行驶,而台湾船只 A 以每小时 15 海 里的速度向正北方向行驶,若两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好?

21.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x, (1)求 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|.

22.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单 位铁质,售价 2 元,若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问: 应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养需求,又使费用最省?

高中数学必修五综合测试题(六)
详解答案 1D 2A 3C 4B 5B

6C

7C

8D

1 ×4×2 S△OBE 2 4 2 由几何概型知,所求概率 P= =1 =18=9. S△OCD 2×6×6 9C 10B 11A 12C 134 π 144

?1 ? 15?2,+∞? ? ? 17[解析]

16{t|3<t<4}

a a 由题意,设这三个数分别是q,a,aq,且 q≠1,则q+a+aq=114 ①

a 令这个等差数列的公差为 d,则 a=q+(4-1)· d. 1 a 则 d=3(a-q), a 1 ? a? 又有 aq=q+24×3×?a-q? ? ? ②

由②得(q-1)(q-7)=0,∵q≠1,∴q=7 代入①得 a=14,则所求三数为 2,14,98. 18[解析] (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为△ABC 的

2 2 ?a +b -ab=4, 1 面积等于 3,所以2absinC= 3,得 ab=4.联立方程组? 解得 a ?ab=4,

=2,b=2. (2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即 sinBcosA=2sinAcosA, π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A=2,B=6,a= 3 ,b= 3 , 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA ,由 正弦 定理得 b=2a,联 立 方程组
2 2 ?a +b -ab=4, ? ?b=2a,

2 3 4 3 解得 a= 3 ,b= 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S=2absinC= 3 . 19[解析] 设鱼塘的长为 xm, 宽为 ym, 则农田长为(x+4)m, 宽为(y+4)m,

设农田面积为 S.则 xy=10 000, S=(x+4)(y+4)=xy+4(x+y)+16=10 000+16+4(x+y)≥10 016+8 xy =10 016+800=10 816. 当且仅当 x=y=100 时取等号. 所以当 x=y=100 时,Smin=10 816m2. 此时农田长为 104m,宽为 104m. 20[解析] (1)由∠DAC=∠DBC=30° ,得 A、B、C、D 共圆,

∴∠ACD=∠ABD. 又 CD AD AD AB = , = . sin∠DAC sin∠ACD sin∠ABD sin∠ADB

由已知可求得∠ADB=60° , 165· sin30° ∴CD= sin60° =55 3(m). (2)设 x 小时后,B 船至 D 处,A 船至 C 处,BD=20x,BC=100-15x,∵

20 x>0,100-15x>0,∴0<x< 3 , 由余弦定理: DC2=(20x)2+(100-15x)2-2· (100-15x)· 20x· cos120 ° =325x2-1 000x+10 000 20? 20? 10 000 ? ? =325?x-13?2+10 000- 13 .?0<x< 3 ? ? ? ? ? 20 ∴x=13小时后,两船最近,可鸣笛问好. 21[解析] P(x,y), (1)设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(x0,y0)关于原点的对称点为

?x0+x=0 ? 2 则? y +y ? 0 2 =0 ?

?x0=-x ,即? ?y0=-y



∵点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|可得 2x2-|x-1|≤0, 当 x≥1 时,2x2-x+1≤0, 此时不等式无解, 当 x<1 时,2x2+x-1≤0, 1 ∴-1≤x≤2, 1 因此,原不等式的解集为[-1,2]. 22[解析] +2y 元. 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质,可表示为 5x+7y≥35,同理,对铁质的 要求可以表示为 10x+4y≥40,即 5x+2y≥20, 设甲、乙两种原料分别用 10 x g 和 10y g,需要的费用为 z=3x

?5x+7y≥35, 问题成为:在约束条件?5x+2y≥20, ?x≥0,y≥0,
下,求目标函数 z=3x+2y 的最小值,作出可行域,如图所示:

令 z=0,作直线 l0:3x+2y=0. 由图形可知,把直线 l0 平移至经过点 A 时,z 取得最小值. ?5x+7y=35 ?14 ? 由? 得 A? 5 ,3?. ? ? ?5x+2y=20 14 所以用甲种原料 5 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g),费用最省.

讲评备选练习 1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1>0,S15=0,若数列{Sn}中的最大 项为 Sk,则 k=( A.15 C.7 或 8 [答案] C [解析] ∵S15=15a8=0,∴a8=0,又 a1>0,∴d<0,∴a7>0,a9<0,故在数 ) B.8 或 9 D.8

列{Sn}中,S1<S2<…<S7=S8>S9>S10>……,故 k=7 或 8. 2.在公差为 4 的正项等差数列中,a3 与 2 的算术平均数等于 S3 与 2 的几何 平均数,其中 S3 表示此数列的前三项和,则 a10 为( A.38 C.42 [答案] [解析] ∴ A 由条件知 a3=a1+8,S3=3a1+12, B.40 D.44 )

a1+8+2 = 2?3a1+12?,解得 a1=2. 2

∴a10=2+9×4=38. 3.若函数 f(x)=x2-ax+1 的函数值有负值,则常数 a 的取值范围是( A.a<-2 或 a>2 C.a≠2 且 a≠-2 [答案] [解析] A ∵f(x)是二次项系数为正值的二次函数, B.-2<a<2 D.1<a<3 )

∴f(x)有负值?△>0,即 a2-4>0,∴a>2 或 a<-2. 4.设 f(n)= ( ) A. C. 1 2n+1 B. 1 2n+2 1 1 - 2n+1 2n+2 1 1 1 1 + + +…+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)等于 2n n+1 n+2 n+3

1 1 + 2n+1 2n+2 D

D.

[答案]

[解析]

f(n+1)-f(n)

1 1 1 1 1 =( + +…+2n+ + ) n+2 n+3 2n+1 2n+2 1 1 1 -( + +…+2n) n+1 n+2 = 1 1 1 1 1 + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 准确弄清 f(n)的表达式是解题的关键,f(n)的表达式是一列数的和,

[点评]

每一个数分子都是 1,分母从 n+1 开始,每项递增 1 至 2n 结束,从而 f(n+1) 应是分母从(n+1)+1=n+2 开始,每项递增 1 至 2(n+1)=2n+2 结束. 4 5. x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a>0, 圆 b>0)对称, a+ 则 1 b的最小值是( A.4 C.8 [答案] [解析] D 4 1 4?a+b? a+b 由条件知圆心(-1,2)在直线上, ∴a+b=1, + = ∴ + a b a b ) B.6 D.9

4b a 4b a 4b a =5+ a +b≥5+2· a ·=9,等号在 a =b,即 a=2b 时成立. b 2 1 2 1 4 1 ∵a+b=1,∴a=3,b=3,故在 a=3,b=3时,a +b取到最小值 9. 6.(2011· 江南十校素质测试)已知 a、b、c 是同一平面内的三个单位向量, 它们两两之间的夹角均为 120° ,且|ka+b+c|>1,则实数 k 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(-∞,0)∪(2,+∞) [答案] C [解析] 根据|ka+b+c|>1 可得|ka+b+c|2>1, B.(2,+∞) D.(0,2) )

∴k2a2+b2+c2+2ka· b+2ka· c+2c· b>1, ∴k2-2k>0,k<0 或 k>2. 7.(2011· 豫南四校调研考试)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值为 ( )

A.2 2 2 C. 3 [答案] [解析]
2

3 B. 2 D.3 2 A 1 设 BC=x,则 AC= 2x,根据面积公式得 S△ABC=2×AB×BCsinB AB2+BC2-AC2 4+x2-2x2 ①,根据余弦定理得 cosB= = = 2AB· BC 4x 4-x2 2 1-? 4x ? = 128-?x2-12?2 ,由三 16

=x 1-cos B 4-x2 4x

②,将②代入①得,S△ABC=x

? 2x+x>2 角形的三边关系得? ,解得 2 2-2<x<2 2+2,故当 x=2 3时,S△ ?x+2> 2x
ABC 取得最大值

2 2,故选 A.

一、选择题 1.等差数列{an}各项都是负数,且 a2+a2+2a3a8=9,则它的前 10 项和 S10 3 8 =( ) A.-11 C.-15 [答案] C [解析] ∵a3+a2+2a3a8=9,∴a3+a8=± 3; 3 8 B.-9 D.-13

∵{an}各项均为负数.∴a3+a8=-3, 10?a1+a10? ∴S10= =5(a3+a8)=-15. 2 2.已知集合 A={t|t2-4≤0},对于满足集合 A 的所有实数 t,则使不等式 x2+tx-t>2x-1 恒成立的 x 的取值范围是( A.(3,+∞)∪(-∞,-1) C.(-∞,-1) [答案] A ) B.(3,+∞)∪(-∞,1) D.(3,+∞)

[解析]

A={t|-2≤t≤2},设 f(t)=(x-1)t+x2-2x+1,由条件知 f(t)在[-

2,2]上恒为正值.
2 ?x -4x+3>0 ?f?-2?>0 ∴? ,∴? 2 ,∴x>3 或 x<-1. ?f?2?>0 ?x -1>0

3.设{an}是公差不为 0 的各项都为正数的等差数列,则( A.a1·8>a4·5 a a C.a1+a8>a4+a5 [答案] [解析] B 设公差为 d,∵d≠0, B.a1·8<a4·5 a a D.a1a8=a4a5

)

∴a1a8-a4a5=a1(a1+7d)-(a1+3d)(a1+4d) =-12d2<0,∴a1a8<a4a5,又 a1+a8=a4+a5. ∴选 B. 4.(2012· 福建理,5)下列不等式一定成立的是( 1 A.lg(x2+4)>lgx(x>0) 1 B.sinx+sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D. 1 >1(x∈R) x +1
2

)

[答案] C [解析] 本题考查了基本不等式与重要不等式.

1 A 中 x=2时不等式不成立,B 中 sinx 不总大于 0,D 中,x=0 时,不等式 不成立. [点评] 视. 5.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则下列各式中正确的是( 1 A.ab≤2 C.a2+b2≥2 [答案] C 1 B.ab≥2 D.a2+b2≤3 ) 在不等式中尤其是基本不等式中式子成立的条件很重要,不能忽

[解析]

因为 a≥0, b≥0, 由基本不等式得 2=a+b≥2 ab? ab≤1?ab≤1,
2 2

2?a2+b2? a2+b2+2ab ?a+b?2 故 A,B 均错误;又 a +b = ≥ = 2 =2,故选项 C 正 2 2 确,选项 D 错误. 6. O 为坐标原点, A(1,1), 设 点 若点 B(x, y)满足?1≤x≤2

?

x2+y2-2x-2y+1≥0 ,

?1≤y≤2

→ → 则OA· 取得最小值时,点 B 的个数是( OB A.1 C.3 [答案] [解析] B

) B.2 D.无数个

根据题意作出满足不等式组的可行域,如图阴影部分所示.∵

→ → OA· =(1,1)· OB (x,y)=x+y,令 z=x+y,则 y=-x+z,z 的几何意义是斜率为 -1 的直线 l 在 y 轴上的截距,由可行域可知,当直线 l 过点(1,2)或点(2,1)时,z 最小,从而所求的点 B 有两个.

?x≥0 7. 不等式组?y≥0 ?y≤-kx+4k
kS 则 的最小值为( k-1 A.30 C.34 )

(k>1)所表示的平面区域为 D, D 的面积为 S, 若

B.32 D.36

[答案] [解析]

B 作出可行域如图中△OAB,其面积

1 S=2×4×4k=8k. ∴
2 kS 8k2 8k -8+8 = = k-1 k-1 k-1

=8(k+1)+ =8(k-1)+

8 , k-1 8 +16≥32, k-1 8 ,即 k=2 时成立. k-1

等号在 8(k-1)=

∴k=2 时,取最小值 32. 8.设 a、b、c 是一个长方体的长、宽、高,且 a+b-c=1,已知此长方体 对角线长为 1,且 b>a,则高 c 的取值范围是( ?1 ? A.?3,+∞? ? ? C.(0,1) [答案] [解析] D 由 a+b=1+c 得,a2+b2+2ab=c2+2c+1 )

?1 ? B.?3,1? ? ? 1? ? D.?0,3? ? ?

∵a2+b2>2ab,a2+b2+c2=1, ∴2(1-c2)>c2+2c+1 1 1 ∴-1<c<3,∵c>0,∴0<c<3.

9.已知 A(3,0),O 是坐标原点,点 P(x,y)的坐标满足

?x-y≤0 ?x-3y+2≥0 ?y>0

→ → OA· OP ,则 的取值范围为( → |OP|

)

3 2 A.(-3, 2 ] 3 2 C.[-2, 2 ] [答案] [解析] A

3 2 B.[1, 2 ] D.[-3,2]

作出可行域如图(其中不包括线段 OC).

将原式化简可得: → → → → OA· OP |OA| |OP|cos∠AOP = =3cos∠AOP. → → |OP| |O P | π 2 由图知4≤∠AOP<π,所以-1<cos∠AOP≤ 2 , → → OA· OP 3 2 故-3< ≤ 2 . → |OP| 10.(2012· 天津理,8)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x -1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) )

C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) [答案] [解析] D 本小题考查直线与圆相切的判断、基本不等式等知识.

∵直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切, ∴ |?m+1?+?n+1?-2| =1, ?m+1?2+?n+1?2

∴|m+n|= ?m+1?2+?n+1?2, ∴(m+n)2=(m+1)2+(n+1)2 1 ∴m+n+1=mn≤4(m+n)2, ∴(m+n)2-4(m+n)-4≥0,得 m+n≤2-2 2,或 m+n≥2+2 2. [点评] 基本不等式及其变形是高考常考的知识,要有针对性的复习.

11.(2011· 深圳二调)已知△ABC 中,∠A=30° ,AB,BC 分别是 3+ 2, 3- 2的等差中项与等比中项,则△ABC 的面积等于( 3 A. 2 3 C. 2 或 3 [答案] [解析] D 依题意得 AB= 3,BC=1,易判断△ABC 有两解,由正弦定理得 3 B. 4 3 3 D. 2 或 4 )

AB BC 3 1 3 , <C<180° 因此有 C=60° C=120° , 或 . sinC=sinA, =sin30° 即 sinC= 2 .又 0° sinC 1 3 当 C=60° 时,B=90° ,△ABC 的面积为2AB· BC= 2 ;当 C=120° 时,B=30° , 1 1 3 △ABC 的面积为2AB· sinB=2× 3×1×sin30° 4 .综上所述,选 D. BC· = 12.(2011· 泉州质检)△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列,则角 B 等于( A.30° C.90° [答案] B B.60° D.120° )

[解析]

依题意得 acosC+ccosA=2bcosB,根据正弦定理得,sinAcosC+

sinCcosA=2sinBcosB ,则 sin(A + C) = 2sinBcosB, 即 sinB=2sinBcosB,又 1 0° <B<180° ,所以 cosB=2,所以 B=60° ,选 B. 二、填空题 3 2 5 3 7 4 13.数列 1,4,3,8,5,12,7,…的一个通项公式为_____________. [答案] [解析] n+1 an= 2n (不惟一). 2 3 4 5 6 7 8 将数列中的项作适当调整为:2,4,6,8,10,12,14,…显然分

n+1 子分母都是等差数列,分子 bn=n+1,分母 cn=2n,∴通项 an= 2n . 14. 已知 a、 c 分别为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,向量 m=( 3, b、 -1),n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=________. π [答案] 6 [解析] π 由 m⊥n 得, 3cosA-sinA=0,∴tanA= 3,∴A=3,

由正弦定理 acosB+bcosA=csinC 可变形为 sinAcosB+sinBcosA=sin2C. ∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC,∴sinC=sin2C, π ∴sinC=1,∴C=2, π π π ∴B=π-3-2=6. 15.(2010· 辽宁理,14)已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值 范围是________.(答案用区间表示) [答案] [解析] (3,8) 如图,作直线 l0:2x-3y=0,平移 l0 可知,当平移到经过点 A、B

时, z 分别取最小、最大值,

∵A 点是(3,1),B 点是(1,-2), ∴3<z<8.
2 ?x +1,x≥0 ? 16.(2010· 江苏,11)已知函数 f(x)= ,则满足不等式 f(1- ?1,x<0

x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________. [分析] 解含函数符号“f ”的不等式,一般是用单调性求解.观察函数 f(x)

的表达式不难发现 x≥0 时,x2+1≥1,且 f(x)=x2+1 在[0,+∞)上单调增,又 x<0 时,f(x)=1,∴f(x)在 R 上单调递增. [答案] [解析] (-1, 2-1)
2 ?x +1 ?x≥0? ∵f(x)=? ?1 ?x<0?

∴对任意 x1,x2∈R,当 x1<x2 时,有 f(x1)≤f(x2). ∴当 f(x1)>f(x2)时,应有 x1>x2.(否则,若 x1=x2,则 f(x1)=f(x2),若 x1<x2, 则 f(x1)≤f(x2),均与 f(x1)>f(x2)矛盾) ∵f(1-x2)>f(2x),∴1-x2>2x, ∴x2+2x-1<0,∴-1- 2<x< 2-1, 又当 x<-1 时,1-x2<0,2x<0, ∴f(1-x2)=1,f(2x)=1,不满足 f(1-x2)>f(2x).

当 x=-1 时同理可验证不满足不等式, ∴-1<x< 2-1. [点评] 行讨论. 三、解答题 → → 3 17.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,cosB=5,且AB· BC =-21. (1)求△ABC 的面积; (2)若 a=7,求角 C. [解析] → → → → → → → → (1)AB· =|A B |· C |· BC |B cos〈AB· 〉=|A B |· C |·cos(π-B) BC |B 可以令 1-x2=0,找出分界点 x=± 1,然后按 x=0,1,-1 分段进

→ → → → 3 =-5|A B |· C |=-21,∴|A B |· C |=35, |B |B → → 4 1 又∵sinB=5,∴S△ABC=2|A B |· C |· |B sinB 1 4 =2×35×5=14. (2)由(1)知 ac=35,又 a=7,∴c=5 3 又 b2=a2+c2-2accosB=49+25-2×7×5×5=32,∴b=4 2. b c 4 2 5 2 由正弦定理得sinB=sinC,即 4 =sinC,∴sinC= 2 , 5 π π 又∵a>c,∴C∈(0,2),∴C=4. 18.把正整数按下表排列:

(1)求 200 在表中的位置(在第几行第几列); (2)求表中主对角线上的数列:1、3、7、13、21、…的通项公式. [解析] 把表中的各数按下列方式分组:

(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),…, (1)由于第 n 组含有 2n-1 个数, 所以第 n 组的最后一个数是 1+3+5+…+ (2n-1)=n2. 因为不等式 n2≥200 的最小整数解为 n=15,这就是说,200 在第 15 组中, 由于 142=196,所以第 15 组中的第一个数是 197,这样 200 就是第 15 组中的第 4 个数.所以 200 在表中从上至下的第 4 行,从左至右的第 15 列上. (2)设表中主对角线上的数列为{an},即 1,3,7,13,21,…,则易知 an+1=(an+ 2n)即 an+1-an=2n. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=[2(n-1)+2(n-2)+…+ 2×1]+1 =2× n?n-1? 2 2 +1=n -n+1.

x2+3 19.已知函数 f(x)= (x≠a,a 为非零常数). x-a (1)解不等式 f(x)<x;

(2)设 x>a 时,f(x)有最小值为 6,求 a 的值. [解析] x2+3 (1)f(x)<x,即 <x, x-a

化为(ax+3)(x-a)<0. 3? 3 ? 当 a>0 时,?x+a?(x-a)<0,- a<x<a; ? ? 3? 3 ? 当 a<0 时,?x+a?(x-a)>0,x>-a 或 x<a. ? ? (2)设 t=x-a,则 x=t+a(t>0), ?t+a?2+3 a2+3 ∴f(x)= =t+ t +2a t ≥2 a2+3 t· t +2a=2 a2+3+2a, a2+3 2 2 t ,即 t= a +3时,f(x)有最小值 2 a +3+2a,依题意

当且仅当 t=

2 a2+3+2a=6,解得 a=1. 20.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*), (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 (n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数 m, n?12-an?

m 使得对任意的 n 均有 Sn>32总成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理 由. [解析] (1)∵an+2-2an+1+an=0,

∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*) ∴{an}是等差数列,设公差为 d, ∵a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2, ∴an=8+(n-1)(-2)=10-2n. (2)bn= 1 1 1 = = n?12-an? n?12-10+2n? 2n?n+1?

11 1 =2(n- ), n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=b1+b2+…+bn=2[(1-2)+(2-3)+…+(n- )]=2(1- ), n+1 n+1

m 假设存在整数 m 满足 Sn>32总成立, 1 1 1 1 又 Sn+1-Sn=2(1- )-2(1- ) n+2 n+1 1 1 1 1 =2( - )= >0 n+1 n+2 2?n+1??n+2? ∴数列{Sn}是单调递增的, 1 1 m ∴S1=4为 Sn 的最小值,故4>32,即 m<8, 又 m∈N*,∴满足条件的 m 的最大值为 7. 21.(2011· 山东文,17)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. cosA-2cosC 2c-a 已知 = b . cosB sinC (1)求sinA的值; 1 (2)若 cosB=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. [解析] a b c (1)由正弦定理sinA=sinB=sinC=2R 知

cosA-2cosC 2· 2RsinC-2RsinA = , cosB 2RsinB 即 cosAsinB-2cosCsinB=2cosBsinC-cosBsinA, 即 sin(A+B)=2sin(B+C), sinC 又由 A+B+C=π 知,sinC=2sinA,所以sinA=2. sinC (2)由(1)知sinA=2,∴c=2a, 则由余弦定理得 b2=a2+(2a)2-2· 2acosB=4a2 a· ∴b=2a,∴a+2a+2a=5,∴a=1,∴b=2. 22.预算用不超过 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使 桌椅的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问 桌、椅各买多少才行? [解析] 设桌、椅分别买 x、y 张,由题意得

?y≥0, ? ?x≤y, ?y≤1.5x, ?50x+20y≤2000.
x≥0, 目标函数为 z=x+y.

?y≥0 ? (x,y∈N ),即?x≤y ?y≤1.5x ?5x+2y≤200
x≥0
*

.

满足以上不等式组所表示的可行区域是右图中以 A、B、O 为顶点的三角形 区域 E(包括边界和内部). ?x=y 由? 得, ?5x+2y=200 200 200 200 x=y= 7 ,即 A( 7 , 7 ). ?x=25, ? ?y=1.5x 75 由? 得,? 75 ,即 B(25, 2 ). ?5x+2y=200 ?y= 2 ? 将 z=x+y 变形为 y=-x+z,这表示斜率为-1、y 轴上的截距为 z 的平行 直线系. 75 当直线 x+y=z 经过可行域内点 B(25, 2 )时,z 取最大值,但 x∈Z,y∈Z,

故 y=37. ∴买桌子 25 张,椅子 37 张是最优选择.


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