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三角函数图像与性质复习学案


《三角函数的图像与性质》复习学案
【知识自主梳理】 1.三角函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

探究点 2 三角函数的值域与最值 例 2 求函数 y=3cos x- 3sin x, (x∈R)的值域: π 互动探究 将条件“x∈R”改为“ x∈[0, ]” ,结果如何? 2

图象


变式迁移 求下列函数的值域: (1)y=-2sin2x+2cos x+2; (2)y=sin x+cos x+sin xcos x.

定义域 值域 周期性 奇偶性 对称中心 对称轴 单调性

π π 已知函数 f(x)=2asin(2x- )+b 的定义域为[0, ],函数的最大值为 1,最小值为-5,求 a 3 2 和 b 的值. 例3

2.正弦函数 y=sin x 当 x=____________________________________时,取最大值 1; 当 x=____________________________________时,取最小值-1. 3.余弦函数 y=cos x 当 x=__________________________时,取最大值 1; 当 x=__________________________时,取最小值-1. 【考点巩固训练】 探究点 1 三角函数的单调性 π ? 例 1 求函数 y=2sin? ?4-x?的单调递减区间.

π 变式迁移 设函数 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,试确定 g(x)=bsin(ax+ )的周期. 3

π ? 变式迁移 (1)求函数 y=sin? ?3-2x?,x∈[-π,π]的单调递减区间; π x? (2)求函数 y=3tan? ?6-4?的周期及单调区间.

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三角函数的图像与性质 第 1 页

《函数 y=Asin(ωx+φ)的图象》复习学案
【知识自主梳理】 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图,要找五个特征点.如下表所示. x ωx+φ 0 A 0 0 y=Asin(ωx+φ) -A 2.由函数 y=sinx 的图象得到函数 y=Asin(?x+?)的图象间的两种不同途径:

【课堂自主检测】
π? 1.要得到函数 y=sin? ?2x-4?的图象,可以把函数 y=sin 2x 的图象( π A.向左平移 个单位 8 π C.向左平移 个单位 4 π B.向右平移 个单位 8 π D.向右平移 个单位 4 )

π ωx+ ? (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π.将 y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长 2.已知函数 f(x)=sin? 4? ? 度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是 π 3π π A. B. C. 2 8 4 π ? 3.函数 y=sin? ) ?2x-3?的一条对称轴方程是( π π π A.x= B.x= C.x= 6 3 12 4.如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是 ( π x+ ? A.y=sin? ? 6? π? C.y=cos? ?4x-3? π 2x- ? B.y=sin? 6? ? π? D.y=cos? ?2x-6? ( ) ( π D. 8 5π D.x= 12 ) )

【考点巩固训练】 探究点 1 三角函数的图象及变换 1 3 例 1 设 f(x)= cos2x+ 3sin xcos x+ sin2x (x∈R). 2 2 π π? (1)画出 f(x)在? ?-2,2?上的图象;(2)求函数的单调增减区间; (3)如何由 y=sin x 的图象变换得到 f(x)的图象?

π? 5.为得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象

探究点 2 求 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示.求函数 f(x) 2 的解析式. 例2

5π 5π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 12 12 5π 5π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6 6.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示, π 2 f( )=- ,则 f(0)等于 2 3 2 1 2 1 A.- B.- C. D. 3 2 3 2 π 7.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如下图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3

π 变式迁移 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的图象与 y 轴的交点为(0,1),它在 y 轴右 2 侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2). (1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; 1 (2)若锐角 θ 满足 cos θ= ,求 f(4θ)的值. 3

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三角函数的图像与性质 第 2 页

《三角函数的图像与性质》参考答案
例 1 解题导引 求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 A≠0,ω>0)的函数的单调区间, 可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ (ω>0)”视为一个“整体”;② A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相 同(反). π ? ? ? 解 y=2sin? ?4-x? ? ?2sin( x ? 4 ) ,设 u= x ? 4

1 1 1 当 cos x=- 时,ymin=- ,故函数值域为[- ,4]. 2 2 2 (2)令 t=sin x+cos x= 2 sin(x+ t2-1 ? ),则- 2≤t≤ 2s,且. in xcos x= 2 4

t2-1 1 ∴y=t+ = (t+1)2-1,∴当 t=-1 时,ymin=-1; 2 2 1 1 当 t= 2时,ymax= + 2. ∴函数值域为[-1, + 2]. 2 2

? π π π π 则 2kπ- ≤u≤2kπ+ (k∈Z),即 2kπ- ≤ x ? ≤2kπ+ (k∈Z), 2 2 2 2 4 π 3π 得 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 π π 3π ? 即 y=2sin? ?4-x?的递减区间为[2kπ-4,2kπ+ 4 ](k∈Z)
变式迁移 解 π π? ? ? (1)由 y=sin? ?3-2x?,得 y=-sin?2x-3?,

方法总结:
1. 对于形如 f(x)=Asin(ωx+φ), x∈[a, b]的函数在求值域时, 需先确定 ωx+φ 的范围, 再求值域. 同 2 2 时,对于形如 y=asin ωx+bcos ωx+c 的函数,可借助辅助角公式,将函数化为 y= a +b sin(ωx +φ)+c 的形式,从而求得函数的最值. 2.关于 y=acos2x+bcos x+c(或 y=asin2x+bsin x+c)型或可以为此型的函数求值域,一般可化为二 次函数在闭区间上的值域问题.

π π π π 5π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 2 3 2 12 12 又 x∈[-π,π], 7 π 5 11 ∴-π≤x≤- π,- ≤x≤ π, π≤x≤π. 12 12 12 12 π 7 π 5 11 -2x?,x∈[-π,π]的单调递减区间为?-π,- π?,?- , π?,? π,π?. ∴函数 y=sin? 12 ? ? 12 12 ? ?12 ?3 ? ? ? π x π ? (2)函数 y=3tan? ?6-4?的周期 T=? 1?=4π. ?-4? π x? x π - 得 y=-3tan? - ?, 由 y=3tan? ?6 4? ? 4 6? π x π π 4 8 由- +kπ< - < +kπ 得- π+4kπ<x< π+4kπ,k∈Z, 2 4 6 2 3 3 π x 8 ? ? 4 ? ∴函数 y=3tan? ?6-4?的单调递减区间为?-3π+4kπ,3π+4kπ? (k∈Z). π 例 2 y=3cos x- 3sin x=2 3cos(x+ ) 6 所以函数 y=3cos x- 3sin x, (x∈R)的值域为[-2 3,2 3]. π π π 2π 互动探究 ∵x∈[0, ],∴ ≤x+ ≤ , 2 6 6 3 1 π 3 ∴- ≤cos(x+ )≤ 2 6 2 ∴- 3≤y≤3,故函数值域为[- 3,3]. 1 1 变式迁移 (1)y=-2sin2x+2cos x+2=2cos2x+2cos x=2(cos x+ )2- ,cos x∈[-1,1]. 2 2 当 cos x=1 时,ymax=4,
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例 3 解题导引 解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出 y=Asin(ωx +φ)或 y=Acos(ωx+φ)的最值,再由方程的思想解决问题. π π π 2 解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π, 2 3 3 3 3 π ∴- ≤sin(2x- )≤1, 2 3

?a=12-6 3 ?2a+b=1 若 a>0,则? ,解得? ; ?- 3a+b=-5 ?b=-23+12 3 ?a=-12+6 3 ?2a+b=-5 若 a<0,则? ,解得? . ?- 3a+b=1 ?b=19-12 3
综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3或 a=-12+6 3,b=19-12 3. 变式迁移 解 ∵x∈R,∴cos x∈[-1,1], ? ? ?a+b=1 ?a=2 若 a>0,则? ,解得? ; ?-a+b=-3 ?b=-1 ? ?
? ? ?a+b=-3 ?a=-2 若 a<0,则? ,解得? . ?-a+b=1 ?b=-1 ? ? π π 所以 g(x)=-sin(2x+ )或 g(x)=-sin(-2x+ ),周期为 π. 3 3

三角函数的图像与性质 第 3 页

《函数 y=Asin(ωx+φ)的图象》参考答案
1 1+cos 2x 3 3 1-cos 2x 【例 1】 解 y= · + sin 2x+ · 2 2 2 2 2 π? 3 1 =1+ sin 2x- cos 2x=1+sin? ?2x-6?. 2 2 π 1 π π 3π (1)(五点法)设 X=2x- ,则 x= X+ ,令 X=0, ,π, ,2π, 6 2 12 2 2 π ? ?π ? ?7π ? ?5π ? ?13π ? 于是五点分别为? ?12,1?,?3,2?,?12,1?,? 6 ,0?,? 12 ,1?,描点连线即可得图象:

π π π (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π? 得单调增区间为? ?-6+kπ,kπ+3?,k∈Z. π π 3π 由 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 5π? 得单调减区间为? ?3+kπ,kπ+ 6 ?,k∈Z. π 1 (3)把 y=sin x 的图象向右平移 个单位;再把横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变);最后把所得图 6 2 π ? 象向上平移 1 个单位即得 y=sin? ?2x-6?+1 的图象. 解题导引 确定 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的步骤: M-m M+m (1)求 A,b.确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= ,b= .(2)求 ω.确定函数的周期 T, 2 2 2π 则 ω= .(3)求参数 φ 是本题的关键, 由特殊点求 φ 时, 一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点. T 解 由图象可知 A=2,T=8. 2π 2π π ∴ω= = = . T 8 4 π ? 由图象过点(1,2),得 2sin? ?4×1+φ?=2, ? ? ? π ? ∴sin? ?4+φ?=1. ∴ 4 ? ? ? 2 ? 2k? , ∴ ? ? 4 ? 2k? , k ? Z 例2 π π? π π |φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 2 4

变式迁移 解 (1)由题意可得: T 2π 1 A=2, =2π,即 =4π,∴ω= , 2 ω 2 1 ? ? f(x)=2sin? ?2x+φ?,f(0)=2sin φ=1,∴ ? ? 6 ? 2k? , k ? Z π π 1 π 由|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin( x+ ). 2 6 2 6 1 π ? f(x0)=2sin? ?2x0+6?=2, 1 π π 2π 所以 x0+ =2kπ+ ,x0=4kπ+ (k∈Z), 2 6 2 3 2π 又∵x0 是最小的正数,∴x0= . 3 π? (2)f(4θ)=2sin? ?2θ+6?= 3sin 2θ+cos 2θ, π? 1 2 2 ∵θ∈? ?0,2?,cos θ=3,∴sin θ= 3 , 7 4 2 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=- ,sin 2θ=2sin θcos θ= , 9 9 4 2 7 4 6-7 ∴f(4θ)= 3× - = . 9 9 9

【课堂自主检测】参考答案
1.B 2.D 3.D 4.D 5.A 6.C 7.解 (1)由图象知 A=2, 2π π ∵T= =8,∴ω= .…………………………………………………………(2 分) ω 4 π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(- +φ)=0. 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 4 π π ∴f(x)=2sin( x+ ).…………………………………………………(5 分) 4 4 π π π π π (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π =2 2sin( x+ )=2 2cos x.………………………………………………(8 分) 4 2 4 2 3π π π ∵x∈[-6,- ],∴- ≤ x≤- . 3 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2.………………(12 分) 4

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三角函数的图像与性质 第 4 页


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