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高中数学 第四章 数系的扩充 复数复数的乘法与除法教案1 北师大版选修1-2


复数的乘法与除法 教学目的: 1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律;理解复数加、减法的几何意义。 2、培养类比思想和逆向思维。 3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。 教学重点:复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。 教学难点:运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。 教学方法:类比法。 教学过程: 一、复习引入 复数的加法:设 z1=a+bi,z2=c+di(a

,b,c,d∈R)是任意两个复数,则它们和为 z1 +z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 复数的和仍然为一个复数,其实部为 z1、z2 的实部和,虚部为 z1、z2 的虚部和。 复数加法满足(1)交换律:z1+z2=z2+z1;(2)结合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 复数的减法:(加法的逆运算)复数 a+bi 减去复数 c+di 的差是指满足(c+di)+(x +yi)=a+bi 的复数 x+yi,记作(a+bi)-(c+di) 根据复数相等的定义:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 复数的差仍然是一个复数,其实部为两个复数实部的差,虚部为两个复数虚部的差。 显然,减法不满足交换律和结合律。 复数加法的几何意义: 复数可以用向量表示,复数加法的几何意义即为平行四边形法则。 证明思路 1:设 z1=a+bi、z2=c+di 分别对应复平面上的点 Z1(a,b) 和 Z2(c, d), z=(a+c)+(b+d) i 对应复平面上 Z (a+c, b+d), 证明 OZ1ZZ2 为平行四边形。 证明思路 2:根据平行四边形法则求得点 Z,证明其坐标为(a+c,b+ d)。 O Z1 y Z Z2 x OZ1 + OZ 2 = OZ <=> z1+z2=z 复数减法的几何意义:复数减法的几何意义即为三角形法则。 OZ1 - OZ 2 = Z 2 Z1 <=> z1-z2=z 二、新课讲解 1.复数的乘法:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则它们积 为 z1?z2=(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 复数的积仍然为一个复数,复数的乘法与多项式的乘法相似。 1 复数乘法满足(1)交换律:z1?z2=z2?z1;(2)结合律(z1?z2)?z3=z1?(z2?z3); (3)分配律 z1 (z2+z3)=z1z2+z1z3 (可让学生自行选择一个进行证明。) 例 3:计算:(-2-i)(3+i) 解: (?2 ? i)(3 ? i) ? ?2 ? 3 ? 2i ? 3i ? i ? i ? ?6 ? 5i ? i 2 ? ?5 ? 5i 例 4:计算 ? 1? ?? 2 ? 3i ???1 ? 3i ? (2) (? 2 ? 2i)( 6 ? i) ?1? ?? 2 ? 3i ??? 1 ? 3i ? ? 2 ? 6i ? 3i ? 9i 2 ? 11? 3i 解: (2) (? 2 ? 2i)( 6 ? i) ? ? 12 ? 2i ? 2 6i ? 2i 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 2 ? 2 6 )i 2.共扼复数:实部相等而虚部互为相反数的两个复数。复数 z 的共轭复数用 z 表示。 若 z=a+bi,则 z =a-bi (a,b∈R) —— z z =a +b 2 2 共轭复数有很多有趣的性质,我们将在下节课作专门研究。 例 5:计算 (1) (1 ? i) 4 (2) (2 ? i) 2 (2 ? i) 2 2 2 解: (1)

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