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育英2017-1.3函数的单调性1.2-常见函数单调性判断

时间:2017-10-13


1.3.1 函数的性质(1) 函数的单调性
常见函数的单调性判断
高教社

理 论 升 华
y

整 体 构 建
y

由一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0?的图像分析其单调性

O

x

O

x

1.当k>0时,图像从左至右是 上升 的,函数是
.

单调增 函数;

增区间为(-∞,+∞)

2.当k<0时,图像从左至右是 下降 的,函数是
高教社

单调 减函数;

减区间为(-∞,+∞)

理 论 升 华
由反比例函数

整 体 构 建

k y ? ? k ? 0 ? 的图像分析其单调性 x

1.当k>0时,在(-∞,0)中y值分别随x值 的增大而减小,在(0,+∞)中y值分别随 x值的增大而 减小;
.

减区间为(-∞,0) 减区间为(0,+∞)
2.当k<0时,在(-∞,0)中y值分别随x值 的增大而 增大,在(0,+∞)中y值分别随

x值的增大而 增大;
高教社

增区间为(-∞,0) 增区间为(0,+∞)

理 论 升 华
反比例函数 y ?

整 体 构 建 特别说明

k ? k ? 0 ?的单调性分析 x

1.当k>0时,

k y ? 在区间(-∞,0)与 x

(0,+∞)内递减,但在定义域(-∞,0)
.

∪(0,+∞)内不递减
2.当k<0时,
k y ? 在区间(-∞,0)与 x

(0,+∞)内递增,但在定义域(-∞,0)
高教社

∪(0,+∞)内不递增

理 论 升 华
二次函数

整 体 构 建

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?的单调性分析

a>0时,开口向上 以对称轴为分界线

1.若a>0时,在对称轴左侧,y值分别随x
值的增大而 减小,函数是单调 减 函数;单 调减区间为
高教社

b ? ? ?? , ? ? ? 2a ? ?

.

理 论 升 华
二次函数

整 体 构 建

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?的单调性分析

a>0时,开口向上 以对称轴为分界线 1.若a>0时,在对称轴右侧y值分别随x
值的增大而增大 ,函数是单调 增 函数; 单调增 区间为
? b ? ? , ?? ? ? ? 2a ?

.

a>0时,虽然二次函数左减右增,但
高教社

在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性

理 论 升 华
二次函数

整 体 构 建

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?的单调性分析

a<0时,开口向下
以对称轴为分界线 1.若a<0时,在对称轴左侧y值分别随x

值的增大而 增大 ,函数是单调 增 函数;
单调增 区间为
b ? ? ? ??, ? ? 2a ? ?

.

高教社

理 论 升 华
二次函数

整 体 构 建

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?的单调性分析

a<0时,开口向下
以对称轴为分界线 1.若a<0时,在对称轴右侧y值分别随x 值的增大而 减小 ,函数是单调 减 函数; 单调减 区间为
? b ? ? , ?? ? ? ? 2a ?

.

a<0时,虽然二次函数左增右减,但
高教社

在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性

应 用 知 识

学 练 结 合 适当引申变化

例1.判断下列函数的单调性

(1) f ( x) ? 3x ? 6 (2) f ( x) ? ?2x ? 4 3 (3) f ( x) ? , x ? ? 0, ?? ? x ?5 (4) f ( x) ? , x ? ? 0, ?? ? x
高教社

应 用 知 识
2

学 练 结 合 适当引申变化

例2.判断下列函数的单调性

(1) f ( x) ? ?x ? 4x ? 5, x ?? 2, ???
2

(2) f ( x) ? x ? 2x ? 5, x ??1, ???

高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

1 1.证明 f ( x) ? x ? 在(0,1)上是减函数 x 1 2.证明 f ( x) ? x ? 在(1,+∞)上是增函数 x
根据以上两个结论,作出其图像,发现形状犹如一个 “对勾”。 引入“对勾函数”,进而在学习完奇偶性以后,将其 引申为“双勾函数”
高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

高教社

巩 固 知 识
2

典 型 例 题

1.证明 f ( x) ? x ?1在? 0, ??? 上递增

.

高教社

y ? ? x ? 2x ? 1( x ? 0)
2

y ? ? x2 ? 2x ? 1( x ? 0)

高教社

巩 固 知 识

典 型 例 题

1 2.证明 f ( x) ? 1 ? 在 ? 0, ?? ? 上递增 x

.

高教社

巩 固 知 识

典 型 例 题

1 在 ? ?1, ?? ? 上递减 3.证明 f ( x) ? x ?1

.

高教社

巩 固 知 识

典 型 例 题

1 4.证明 f ( x ) ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递增 x

.

高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

例3.定义法判断下列函数的单调性

1 (1) f ( x) ? , x ? ? 0, ?? ? x ?1 (2) f ( x) ? , x ? ? ??, 0 ? x
.

(3) f ( x) ? x , x ? ? 0, ???
2
高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

例4.定义法判断下列函数的单调性

(1) f ( x) ? x ? x, x ? ? 0, ???
2

1 (2) f ( x) ? , x ? ? ?1, ?? ? x ?1
.

(3) f ( x) ? x ? 2x, x ?? ??,1?
2
高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

eg1判断下列函数的单调性(作图法说明)
(1) f ( x) ? 3x ? 2 (2) f ( x) ? ?5x ? 4
.

2 (3) f ( x) ? , x ? ? 0, ?? ? x
高教社

?1 (4) f ( x) ? , x ? ? 0, ?? ? x

应 用 知 识

强 化 训 练

eg2判断下列函数的单调性(作图法说明)
(1) f ( x) ? x , x ??0, ???
?3 ? (2) f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 4, x ? ? , ?? ? ?4 ?
2

(3) f ( x) ? x2 ? 6x ? 4, x ??3, ???
.

3? ? (4) f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 4, x ? ? ??, ? 4? ?
2
高教社

应 用 知 识

强 化 训 练

eg3判断下列函数的单调性(作图法说明)
(1) f ( x) ? x , x ??0, ???
?3 ? (2) f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 4, x ? ? , ?? ? ?4 ?
2

(3) f ( x) ? x2 ? 6x ? 4, x ??3, ???
.

3? ? (4) f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 4, x ? ? ??, ? 4? ?
2
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