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安徽省皖南八校2014届高三第三次联考理科数学参考答案及评分标准


安徽省皖南八校 2014 届高三第三次联考

数学(理)参考答案及评分标准
一、 选择题: 题号 答案 二、填空题 (11)1.105 (12) 169、555、671、105、071 (13) 2 7 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 D 9 C 10 C

? 4 1? (14) ? , ? ?17

2 ?
三、解答题: 16: (1)解:

(15)① ② ③ ⑤

不优秀 男 女 合计 10 17 27

优秀 10 8 18
2

合计 20 25 45 ……………………3 分

K2 ?

45 ? (17 ? 10 ? 10 ? 8) ? 1.5 27 ? 18 ? 20 ? 25

? K 2 ? 2.706

………6 分

? 不能有 90% 的把握认为学生的数学成绩与性别有关 ……………7 分
(2)由题意可知: ? ~ B(4, 17、

8 ) ………10 分 25

? E? ? 4 ?

8 32 ………12 分 ? 25 25

(1)解 : 由已知可得 : f ( x) ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1
………4 分

?函数的解析式为f ( x )? 2 s i n x( ?2 ? ) 1 6 k ? ?函数图象的对称轴方程为 : x ? ? ? ( k ?Z ) 2 6
………6 分

?

(2)由题意可得 : a 2 ? c2 ? b2 cos B ? ? 2ac a2 ? c2 ? ( a?c 2 ) 3a 2 ? 3c 2 ? 2ac 4ac 1 2 ? ? ? 2ac 8ac 8ac 2

数学(理)参考答 第 1 页 共 5 页

当且仅当 a ? c 时等号都成立

?B ?( 0 , ] 3

?

? ? ? ? 5? ? f ( B) ? 2sin(2B ? ) ? 1 又 B ? (0, ] ?2B ? ? ( , ] 6 3 6 6 6 ? f ( B) ?[2, 3] ………12 分
18、

(1)证明 :

AB是圆O的直径 DC ? 平面ABC , CB ? 平面ABC ? CB ? 平面ACD ? ED ? 平面ACD
………6 分

? CB ? AC 又

? CD ? BC 又 CD ? AC ? C 又 ED ? 平面ADE

又四边形DCBE是平行四边形 ? CB / / ED

? 平面ACD ? 平面ADE

(2)解 : 连结CO, 过O作OG ? AE于G, 连结CG AB ? 2, AC ? 2 又 CD / / BE ? BE ? 平面ABC ??CGO ? ? CO ? AB 且 CO ? 1 CD ? 平面ABC ? BE ? CO ? CO ? 3 3 ? CO ? 平面ABC ? AG ? 6 3

?
3

3 6 OG AG ? ? 即 3 ? 3 BE AB BE 2

?| BE |? 2
(可利用向量法求解) ………12 分

? y 2 ? 2 px p ? 19.(1)解 : 设直线AB : y ? x ? 由 ? p 2 ?y ? x ? 2 ? 设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? 3 p ? | AB |? x1 ? x2 ? p ? 4 p, 又 | AB |? 2

得 : x 2 ? 3 px ?

p2 ?0 4

?p ?

1 2

?y2

?x

………5 分

数学(理)参考答 第 2 页 共 5 页

(2)方法一: 证明 :由题意可设E ( y 2 E , yE ), F ( y 2 F , y F ), 且P(1,1) PE与PF 垂直
2 2 ? PE ? PF ? 0 ? ( yE ? 1)( yF ? 1) ? ( yE ? 1)( yF ? 1) ? 0

? ( yE ? 1)( yF ? 1)(1 ? ( yE ? 1)( yF ? 1)) ? 0 ? yE yF ? ( yE ? yF ) ? 2 当yE ? yF ? 0时 直线EF的方程为 : y ? yE ? ?y ? 4 (x ? y2E ) yE ? yF

1 1 ( x ? yE yF ) ? [ x ? ( yE ? yF ) ? 2] yE ? yF yE ? yF

? 直线EF 恒过点(2, ?1) 当yE ? yF =0时,由yE yF ? ( yE ? yF ) ? 2得yE ? ? yF ? 直线EF的方程为x ? 2 ? 直线EF 恒过点(2, ?1)
综上:直线EF 恒过点(2, ?1)
………13 分

方法二· :由题意可得直线PE,PF的斜率一定存在且不为0 设E ( y 2 E , yE ), F ( y 2 F , yF ) 令直线PE : x ? my ? m ? 1 ? y2 ? x ?? ? y 2 ? my ? m ? 1 ? 0 ? x ? my ? m ? 1 ? yP yE ? m ? 1 ? yE ? m ? 1 ?同理:yF ? ? 当yE ? yF ? 0时 直线FE : y ? yE ? ?y ? 1 (x ? y2E ) yE ? yF ?y ? 1 ( x ? yE yF ) yE ? yF 1 ?1 m ? yE ? yF ? m ? 1 ?2 m

1 1 1 (x ? m ? ) ? ( x ? 2) ? 1 1 m m? 1 ?2 m? ?2 m m ? 直线FE 恒过点(2,) -1 当yE ? yF =0时m 2 ? 2m ? 1 ? 直线FE的方程为x ? 2 ? y 2 E ? y 2 F ? m 2 ? 2m ? 1 ? 2 综上:直线FE 恒过点(2,) -1

20.(1) 证明 :由题意可得 : 1 1 1 1 g ( x) ? ln(1 ? ) x ?1 ? ( x ? 1)ln(1 ? ) ? g ?( x) ? ln(1 ? ) ? (可直接求导证明) x x x x 1 令t ? , 则t ? (1, ??) 记h(t ) ? ln(1 ? t ) ? t 则 x 1 ?t h?(t ) ? ?1 ? ?0 ? h(t )在(1, ??)上单调递减 1? t 1? t ? h(t ) ? h(1) ? ln 2 ? 1 ? 0 ? g ?( x) ? 0
? g ( x)在(0,1)上单调递减 ;
………6 分
数学(理)参考答 第 3 页 共 5 页

(2)解 : 1 1 f (? , 0( )x) ? (? ? ) x ? 0在(0, ??)上恒成立 ? x ln(? ? ) ? 1在(0, ??)上恒成立 x x 1 1 1 1 ?? ? ? e x 在(0, ??)上恒成立 ?? ? (e x ? ) min x x 1 令t ? ,则t ? (0, ??) x 设? ( x) ? et ? t , 则? ?( x) ? et ? 1 ? 0 ?? ( x)在(0, ??)上单调递增
?0 ? ? ? 1

?? (t ) ? ? (0) ? 1
………13 分

21. (1) 由an ? n ?1 1 1 ( ? ? 2 s1 s2 ? 1 1 1 ) ? a1 ? ? ? a1 ? 1(负值舍去) sn s1 a1

同理 : a2 ? 2, a3 ? 3
………3 分

(2)猜想 : an ? n 当n ? 1时,命题成立

(下面用数学归纳法证明an ? n)

假设当n ? k时命题成立,即ak ? k ak ?1 ? k?2 1 1 ( ? ? 2 s1 s2 ? Sk ? ? 1 1 ? ) sk sk ?1

ak ? k 1 1 ? ? s1 s2 ? 2(1 ?

k (k ? 1) 2 1 1 1 1 1 ? ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? sk sk ?1 2 2 3

1 1 1 ?( ? )] ? k k ?1 sk ? ak ?1

1 1 2k 1 )? ? ? k ? 1 sk ? ak ?1 k ? 1 sk ? ak ?1

k ? 2 2k 1 ( ? ) 2 k ? 1 k (k ? 1) ? a k ?1 2 2 2 2 ? 2(k ? 1)ak ?1 ? k ( k ? 3) ak ?1 ? ( k ? 1)( k ? 2)( k ? 1) ? 0 ? ak ?1 ? ?[2(k ? 1)ak ?1 ? (k ? 2)(k 2 ? 1)][ak ?1 ? (k ? 1)] ? 0
? ak ?1 ? k ? 1

?当 n ? k ? 1 时命题成立
………8 分

? an ? n

数学(理)参考答 第 4 页 共 5 页

(2) bn ? bn ?1 ?

1 an 1 1 ? ( )2 an an
2 2 ? bn ? bn ?1 ? 2bn ?1

2 2 ? bn ? bn ?1 ? 2bn ?1

1 1 ? ( )2 an an ? 1 ) an 2

2 ? bn ? b12 ? 2(b1 ?

1 1 ? b2 ? ? a2 a3

? bn ?1

1 1 1 )?( 2 ? 2 ? an a2 a3

1 1 1 1 1 1 2 ? bn ? 1 ? 2(b1 ? ? b2 ? ? ? bn ?1 ) ? ( 2 ? 2 ? 2 ) 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 1 ? ( n ? 2) 2 2 2 3 n 2 2 3 3 4 n ?1 n n 1 1 1 1 2 ? bn ? 1 ? 2(b1 ? ? b2 ? ? ? bn ?1 ) ? 1 ? 2 3 n n 1 1 1 2 ? bn ? 2 ? (b1 ? ? b2 ? ? ? bn ?1 )(n ? 2) 2 3 n
………13 分

数学(理)参考答 第 5 页 共 5 页


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