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三角函数、平面向量综合题六类型教师用


三角函数与平面向量综合题的六种类型
题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例 1】(2007 年高考安徽卷)已知 0 ? ? ?

?
4

, ? 为 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
8

) 的最小正周期,

a ?

(tan(? ?

?
4

), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 的值. cos ? ? sin ?

【解答】因为 ? 为 f ( x ) ? cos(2 x ? 又 a ? b ? cos ? ? tan(? ? 由于 0 ? ? ?

?
8

) 的最小正周期,故 ? ? ? .因为 a ? b ? m ,

?
4

) ? 2 ,故 cos ? ? tan(? ?

?
4

) ? m?2.

?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2? ) ? ,所以 4 cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

?

1 ? tan ? 2 cos 2 ? ? sin 2? 2 cos ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 2 cos ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? cos ? ? sin ?

? cos ? ? tan(? ?

?
4

) ? m?2.

【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒 等变形,以期达到与题设条件或待求结论的相关式,找准时机代入求值或化简。 题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 【例 2】 (2006 年高考浙江卷)如图,函数 y ? 2sin(? x ? ? ), x ? R (其中 0 ? ? ? 1) 。 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角。 【解答】 (I)因为函数图像过点 (0,1) , 所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ? 因为 0 ? ? ?

?
2

)的图像与 y 轴交于点(0,

?
2

1 . 2

,所以 ? ?

?

6

.

1 1 5 ) 及其图像,得 M (? , 0), P( , ?2), N ( , 0), 6 6 3 6 1 1 所以 PM ? (? , 2), PN ? ( , ?2), 从而 2 2
(II)由函数 y ? 2sin(? x ?

?

cos ? PM , PN ??

15 15 PM ? PN ? ,故 ? PM , PN ?? arccos . 17 | PM | ? | PN | 17

【评析】 此类问题的一般步骤是:先利用向量的夹角公式: cos a , b ?

a ?b a?b

求出被求角的三角函数值,再限

定所求角的范围,最后根据反三角函数的基本运算,确定角的大小;或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行 求解。 题型三:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 3】(山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C ?3 7 , 【解答】(1) tan C ? 3 7 ,? cos C 1 2 2 又 sin C ? cos C ? 1 ,解得: cos C ? ? , 8 1 tan C ? 0 ,? C 是锐角,? cos C ? . 8 5 5 (2) CB ? CA ? ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 , 2 2
(2)若 CB ? CA ? 又

a ? b ? 9 ,? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 ,? a 2 ? b2 ? 41,

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 ,? c ? 6 .
【评析】 根据题中所给条件,初步判断三角形的形状,再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化,列出 等式求解。 题型四:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算

x? R, 【例 4】 (2007 年高考陕西卷)f ( x) ? a ? b , 其中向量 a ? (m,cos 2 x) , 且函数 y ? f ( x) b ? (1 ? sin 2x,1) ,
的图象经过点 (

?
4

, 2) .

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。 【解答】(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x 由已知 f ( ) ? m(1 ? sin

?

?
2

4

) ? cos

?
2

? 2 ,得 m ? 1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ∴当 sin(2 x ? 由 sin(2 x ?

?
4

)

?
4

) ? ?1 时, y ? f ( x) 的最小值为 1 ? 2 ,

?

3? ? ? ) ? ?1 ,得 x 值的集合为 ? x | x ? k? ? ,k ?Z?. 4 8 ? ?

【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时, 可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式, 然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如 y ? A sin(? x ? ? ) ? k ,再借助三角函数的有界性使问题得 以解决。 题型五:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法 ?x π? ? ? ? 【例 5】 (2007 年高考湖北卷) 将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移, 则平移后所得图象的解析式为 ( ?3 6? ? 4 ? ?x ?? ?x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ?x π ? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 3 12 ? ? ? 3 12 ? ? ? ? ?x π ? ? 【解答】∵ a ? ? ? , ?2 ? ,∴平移后的解析式为 y ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? 3 6 12 ? ?x ?? ? 2 cos ? ? ? ? 2 ,选 A . ?3 4? 【评析】理清函数 y ? f (? x) 按向量 a ? (h, k ) 平移的一般方法是解决此类问题之关键,平移后的函数解析式为



y ? f [? ( x ? h)] ? k .
题型六:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 【例 6】 (2006 年高考湖北卷)设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期;

3 成立的 x 的取值集. 2 2 2 2 【解答】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? a ? (a ? b ) ? a ? a ? a ? b ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? cos x
(Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ?

1 1 3 2 ? ? 1 ? sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 2? 3 2 ?? ∴ f ( x) 的最大值为 ? ,最小正周期是 2 2 2 3 3 2 ? 3 (Ⅱ)要使 f ( x ) ? 成立,当且仅当 ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 4 2 ? ? 3? ? ,k ?Z , 即 sin(2 x ? ) ? 0 ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? 4 8 8 4 3 ? 3? ? ? 即 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合是 ? x | k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z ?. 2 8 8 ? ?
【评析】 结合向量的坐标运算法则,求出函数 f ( x ) 的三角函数关系式,再根据三角公式对函数 f ( x ) 的三角恒等 关系,然后借助基本三角函数的单调性,求简单三角不等式的解集。 【跟踪训练】 1.设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) ,

c ? (? cos x,sin x), x ? R .
(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ)将函数 y ? f ?x ?的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的 d . 2.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值. 【参考答案】 1.解:(Ⅰ)由题意得, f ( x) ? a ? (b ? c ) ? (sin x, ? cos x) ? (sin x ? cos x,sin x ? 3cos x)

?
2

?? ?

?
2



? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ?
为2 ?

2 ,最小正周期是

2? ?? . 2

3? ), 4

所以, f ( x ) 的最大值

(Ⅱ)由 sin(2 x ?

3? 3? k? 3? ) ? 0 得 2x ? ? k? ,即 x ? ? ,k ?Z , 4 4 2 8

于是 d ? (

k? 3? k? 3? 2 ? , ?2) , d ? ( ? ) ? 4, k ? Z . 2 8 2 8

因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k ? 1 ,此时 d ? ( ?

?
8

, ?2) 即为所求.

2.解:(Ⅰ)若 a ? b ,则 sin ? ? cos ? ? 0 ,由此得: tan ? ? ?1, ( ? 所以, ? ? ?

?
2

?? ?

?
2

),

?
4



(Ⅱ)由 a ? (sin ? ,1), b ? (1,cos? ), 得:

a ? b ? (sin ? ? 1)2 ? (1 ? cos ? )2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? )

? 3 ? 2 2 sin(? ? ) 4
当 sin(? ?

?

?
4

) ? 1 时, a ? b 取得最大值,即当 ? ?

?
4

时, a ? b 的最大值为 2 ? 1 .


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