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3.2.3直线的一般式方程课


3.2.3直线的一般式方程

一、复习引入:
直线方程有哪几种形式?

直线名称 已知条件 直

线





适用 范围

点P 0 ( x0 , y0 ) y ? y ? k ( x ? x ) 0 0 点斜式 斜率 k

斜率 k y ? kx ? b 斜截式 截距 b 点P 1 ( x1 , y1 ) 两点式 点P ( x , y ) 2 2 2 截距 a 截距式 截距 b

k 存在 k 存在
x1 ? x2 y1 ? y2

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ?1 a b

a?0 b?0

思考: 这四种直线方程有什么局限性和共同点?

局限性: 1.点斜式不能表示垂直于 x 轴的直线 2.斜截式不能表示垂直于 x 轴的直线

3.两点式不能表示垂直于坐标轴的直线
4.截距式不能表示垂直于坐标轴的直线和经 过原点的直线. 共同点:

y的 这四种直线方程都可以表示成关于 x, 二元一次方程。

问题㈠:平面直角坐标系中的每一条直线都可以 y 的二元一次方程表示吗? 用一个关于 x ,

问题㈠的探究:

?. 在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角
⑴ 当倾斜角? ? 90 时,直线存在斜率 k ,在其上任取
?

一点 P 直线方程可以写成: 0 ( x0 , y0 ) ,

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y 的二元一次方程. 这是关于 x ,
? ? ? 90 ⑵ 当倾斜角 时,直线不存在斜率,方程可写成: x ? x0 ? 0

y 的二元一次方程。 此方程可以看成 y 的系数为 0 的关于 x ,

结论一:平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个 y 的二元一次方程表示. 关于 x ,

y 问题㈡:每一个关于 x ,的二元一次方程都表示 一条直线吗?

问题㈡的探究:
对于任意一个二元一次方程:

B 不同时为零) Ax ? By ? C ? 0 ( A , A C ⑴当 B ? 0 ,方程可变形为: y ? ? x ? B B
A C 它表示过点 (0, ? ) , 斜率为 ? 的直线. B B
⑵当 B

? 0 时,由于 A , B 不同时为零,必有 A ? 0 ,方程

C 可化为: x ? ? 它表示一条与 x 轴垂直的直线. A y 的二元一次方程都表示一 结论二:任意一个关于 x ,
条直线.

y 我们把关于 x,的二元一次方程

Ax ? By ? C ? 0
(其中 A , B 不同时为零)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.

探究
在方程 Ax ? By ? C ? 0 中, A , B ,C 为何值时,方程表示 的直线 ①平行与 x 轴 ②平行与 y 轴 ③与 x 轴重合 ④与 y 轴重合 ⑤过原点

A?0 B?0 C ?0

A?0 B?0 C ?0
A?0 B?0 C ?0

A?0 B?0 C ?0
C ?0

4 1 已知直线过点A(6,-4),斜率为 ? ,求直线的点斜式、 3 斜截式、一般式和截距式方程. 4 解:经过A(6,-4),并且斜率为 ? 直线的点斜式方程为: 3 4 y ? 4 ? ? ( x ? 6) 3 4 化为斜截式,得到: y ? ? x ? 4 3
化为一般式,得到:

4 x ? 3 y ? 12 ? 0 x y ? ?1 化为截距式,得到: 3 4

2 把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截 式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距, 并画出图形.
解:将原方程移项,得 2 y ? x ? 6 , 两边除以 2 ,得斜截式

y

1 y ? x?3 2

?6

3

O

x

1 因此,直线 l 的斜率 k ? ,它在 y 轴上的截距是 3 , 2 令 y ? 0, 可得 x ? ?6 , 即直线l 在 x轴上的截距是?6 .

课堂练习一:
根据下列条件, 写出直线的方程, 并把它化成一般式: 1 ⑴ 经过点 A(8, ?2) , 斜率是 ? ; x ? 2y ? 4 ? 0 2 y?2?0 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴; ⑶ 经过点 P , 2 (5, ?4) ; 1 (3, ?2) P

x ? y ?1 ? 0

3 ⑷ 在 x 轴, y 轴上的截距分别是 , ?3. 2 x ? y ? 3 ? 0 2

课堂练习二:
求满足下列条件的直线的方程: ⑴ 经过点 A(3, 2) , 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0平行; 解: 直线4 x ? y ? 2 ? 0 的斜率是 ?4 , 所求直线和已知直 线平行, 因此它的斜率是?4 , 又过点 A(3, 2) , 所以所 求直线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? 3) 即 4 x ? y ? 14 ? 0 ⑵ 经过点 B (3, 0) , 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直. 解: 直线2 x ? y ? 5 ? 0的斜率是 ?2
1 所以与已知直线垂直的直线的斜率为 , 又过点 2

B(3, 0) , 所以所求直线方程为

1 y ? ( x ? 3) , 即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2

小结:
1、直线的一般式方程

Ax ? By ? C ? 0 (其中 A , B

不同时为零)的两方面含义: ⑴ 平面直角坐标系中的每一条直线都是关于 x , y的二 元一次方程; ⑵ 每一个关于 x , y 的二元一次方程都表示一条直线 2、直线的一般式方程与其他几种方程的互化, 解题时 灵活加以运用.

直线方程的五种形式的比较

名称
点斜式 斜截式

方程的形式 常数的几何意义

适应范围
不垂直x轴

y ? y1 ? k( x ? x1 )
y ? kx ? b

(x1,y1)是直线上 一定点,k是斜率 k是斜率,b是直线 在y轴上的截距

不垂直x轴 不垂直x轴和y 轴 不垂直x轴和y 轴,且不过原点 任何位置的直 线

y ? y1 x ? x1 (x1,y1),(x2,y2)是 ? 两点式 y2 ? y1 x2 ? x1 直线上两定点

截距式

x y ? ?1 a b
( A ? B ? 0)
2 2

a,b是直线在x,y 轴上的非零截距

一般式 Ax ? By ? C ? 0

A,B,C为系数

两条直线的几种位置关系
直线方 l : y ? k x ? b l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 1 1 1 位置 程 l2 : y ? k2 x ? b2 l2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 关系

重 合 平 行 垂 直 相 交

k1 ? k2且b1 ? b2 k1 ? k2且b1 ? b2 k1k2 ? ?1 k1 ? k2

A1B2 ? A2 B1 ? 0

且A1C 2 ? A2C1 ? 0 A1B2 ? A2 B1 ? 0 且A1C 2 ? A2C1 ? 0

A1 A2 ? B1B2 ? 0 A1B2 ? A2 B1 ? 0


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