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2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则(一试)


2014 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在△ABC 中,若 ccosB=12,bsinC=5,则 c= 答案:13. 解:根据正弦定理,得 csinB=bsinC=5,所以 c2=(ccosB)2+(csinB)2=132,从而 c=13. 1 2.函数 f(x)=x+(x+1)3+1(x>

0),则函数取得最小值时,所对应的 x 值是 答案: 3-1. 1 1 1 1 1 解:由 f(x)=x+(x+1)3+1=3(x+1)+3(x+1)+3(x+1)+(x+1)3≥4
4 4






1 (3)3,

1 1 4 等号当且仅当3(x+1)=(x+1)3,即 x= 3-1. (本题也可求导) 3. 对于任意的实数 a∈(-2, 4], 都有 x2-ax+9>0 成立, 则实数 x 的取值范围为 答案:R. 解:当 a∈(-2,4]时,△=a2-36<0,故 x2-ax+9>0 恒成立, 从而 x 的取值范围是 R. 前 n 项和 Sn>0 (n=1, 2, 3, …) , 则 q 的取值范围是 4. 已知等比数列{an}的公比为 q, 答案:(-1,0)∪(0,+∞). 解:因为 Sn>0(n=1,2,3,…) ,所以 a1>0. 当 q=1,Sn=na1>0 成立. 当 q≠1,Sn= a1(1-qn) >0(n=1,2,3,…)恒成立, 1-q . .

所以 q∈(-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 综上 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 5.已知 5 件产品中有 3 件合格品,2 件次品.每次任取一个检验,检验后不再放回,恰好 经过 3 次检验找出 2 件次品的概率为 3 答案:10. 解:恰好 3 次找出 2 件次品,有三种情况: (1)第 1 次,第 3 次找出次品; (2)第 2 次,第 3 次找出次品, (3)前三次均为正品.
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2 3 1 1 若第 1 次,第 3 次找出次品的5×4×3=10; 3 2 1 1 若第 2 次,第 3 次找出次品的概率5×4×3=10. 3 2 1 1 若前 3 次均找出的是正品的概率5×4×3=10, 1 1 1 3 故恰好经过 3 次检验找出 2 件次品的概率为10+10+10=10. x2 6.点 A 是椭圆a2+y2=1(a>1)的上顶点,B、C 是该椭圆上的另外两点,且△ABC 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的△ABC 只有一解,则椭圆的离心率的范围 为 .

6 答案:(0, 3 ]. 解:设等腰直角三角形的一边所在直线方程为:y=kx+1(k>0),它与椭圆的另一个交点 B 的横坐标为- 2ka2 2ka2 . 2 2,从而点 C 的横坐标为 2 1+a k a +k2 4k2a4 1 4k2a4 = (1 + ) × , 2 k (1+a2k2)2 (a2+k2)2

由 AB=AC,得(1+k2)×

化简得:k3-a2k2+ka2-1=0,由题意知,此方程的解只有 k=1. 而 k3-a2k2+ka2-1=(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0, 要使上述方程有惟一的正数解 k=1,则(a2-1)2-4≤0, . 即 1<a≤ 3(a= 3时,方程的解惟一) 6 所以其离心率的取值范围是(0, 3 ]. 7.方程 x+2y+3z=2014 的非负整数解(x,y,z)的个数为 答案:339024. k 解:方程 x+2y=k 的非负整数解(x,y)个数为[2]+1, 所以,方程 x+2y=2014-3z 的非负整数解的个数为
671 z =0



∑ {[

671 671 2014-3z z ]+1}= ∑ (1007-2z)+ ∑ [2]+672 2 z =0 z =0

=672×1007-670×672+335×336=339024. 8.计算: ∑ [
k =1 2014

- 3 + 8 k+ 1 ]= 4



答案:40115. 解:令 t= - 3 + 8 k+ 1 ,则 k=2t2+3t+1. 4
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因此[

- 3 + 8 k+ 1 ]=n 当且仅当 2n2+3n+1≤k<2(n+1)2+3(n+1)+1,n∈N. 4

由于 2×302+3×30+1=1891,2×312+3×31+1=2016, 所以 ∑ [
k =1 2014 30 - 3 + 8 k +1 ] = ∑ n[2(n+1)2+3(n+1)+1-(2n2+3n+1)]-30 4 n =1

= ∑ (4n2+5n)-30
n =1

30

=4(12+22+…+302)+5(1+2+…+30)-30=40115. 二、解答题(本题满分 16 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1≠0,2Sn+1-3Sn=2a1,n∈N*. (1)证明数列{an}为等比数列; (2)若 a1,ap (p≥3)两项均为正整数,且存在正整数 m,使 a1≥mp 1,ap≤(m+1) p 1,
- -

求 an. 解: (1)由题意 2S2-3S1 =2a1,得 2a2-3a1=0. a2 3 由 a1≠0,得 a =2. 1 又 得 2Sn+1-3Sn=2a1,2Sn+2-3Sn+1=2a1, 2an+2-3an+1=0,n∈N*.
n+1

………………………… 2 分

an+2 3 由 a1≠0,得 an+1≠0,故a =2. 所以数列{an}为等比数列. 3 - (2)由(1)知 ap =a1×(2)p 1. 因为 a1,ap∈N*,所以 a1=k×2p 1,k∈N*,


………………………… 6 分

从而 ap = k×3 p 1.


………………………… 10 分


由 a1≥mp 1,ap≤(m+1) p 1,


得 k×2p 1≥mp 1,k×3p 1≤(m+1) p 1,
- - - -

即 m≤ 2 × 作差得 1≥ 所以

p- 1

k,m+1≥3×

p- 1

k,

p- 1

k,即 k≤1,所以 k=1. ………………………… 16 分

3 - - an=2p 1×(2)n 1.

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三、解答题(本题满分 20 分) x2 y2 已知动点 A,B 在椭圆 8 + 4 =1 上,且线段 AB 的垂直平分线始终过点 P(-1,0). (1)求线段 AB 中点 M 的轨迹方程; (2)求线段 AB 长度的最大值. 解: (1)设点 A,B 的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 M 的坐标为(x0,y0). 当 AB 与 x 轴垂直时,线段 AB 的中点 M 的坐标为(-2,0). 当 AB 与 x 轴不垂直时, x12 y12 x22 y22 x2 y2 因为点 A,B 在椭圆 8 + 4 =1 上,所以 8 + 4 =1, 8 + 4 =1. 从而 (x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) y1-y2 x0 + =0,即 =-2y . 8 4 x1-x2 0

因为线段 AB 的垂直平分线始终过点 P(-1,0), 所以 y1-y2 y0 × =-1,从而 x0=-2. x1-x2 x0+1

即线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x=-2,- 2<y< 2.…………………… 8 分 (2)当 AB 与 x 轴垂直时,AB=2 2. 1 当 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知,直线 AB 的方程为 y-y0=y (x+2).
0

…………………… 12 分

?y-y =y (x+2), 由?x y 得(y + = 1 , ?8 4
0 2 2 0

1

0

2

+2)x2+4(y02+2)x+2y04+8=0.

所以 x1+x2=-4,x1x2= 从而 AB=

2y04+8 . y02+2 8(y02+1)(2-y02) y02+2

2y04+8 1 (1+y 2)×[16-4× 2 ])= y0 + 2 0 -[(y02+2)+
2

=2 2× 所以 AB<2 2.

4 ]+5,其中- 2<y0< 2,且 y0≠0, y0 + 2

所以线段 AB 长度的最大值为 2 2.

…………………… 20 分

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四、解答题(本题满分 20 分) c2+d2 设 a,b,c,d 都是整数,p=a2+b2 是素数.如果 p|c2+d2,证明: p 可以表示为两 个整数的平方和. 证明:因为 p| c2+d2,所以 c2+d2=pm,其中 m 为整数. 于是 m= c2+d2 (c2+d2)(a2+b2) (c+di)(c-di)(a+bi)(a-bi) = , p2 p2 p = (c+di)(c-di)(a+bi)(a-bi) (ca-db)2+(da+cb)2 = , p2 p2 (1) (2)

一方面,m=

(c+di)(c-di)(a+bi)(a+bi) (ca+db)2+(da-cb)2 另一方面,m= = , p2 p2

…………………………………… 10 分 注意到(ca+db)(ca-db)=c2a2-d2b2 =(pm-d2)a2-d2b2 =pma2-d2(a2+b2) =p(ma2-d2). 因为 p 是素数,所以 ca+db 和 ca-db 中至少有一个数能被 p 整除. ……………………………… 15 分 当 ca-db 能被 p 整除时,令 ca-db=pt,t 是整数, 根据(1) ,因为 m 是整数,所以 da+cb 也被 p 整除. 令 da+cb=ps,s 是整数,则 c2+d2 2 2 p = m= t + s . c2+d2 p 也可以表示为两个整数的平方和. ……………………………… 20 分

当 ca+db 能被 p 整除时,同理可证:

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