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空间几何体复习教案


时间段 一 二 三 四

授课内容 知识分析 例题讲解 难点突出 总结梳理

一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱: 圆柱: 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥: 圆锥: 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台: 圆台: 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何

体组成的复杂的几何体叫组合体。

一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质: 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱









有两个面互相平 行,而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 平行且相等 平行四边形 平行四边形

侧棱垂直于底面 的棱柱

底面是正多边形的 直棱柱

侧棱 侧面的形状 对角面的形状

平行且相等 矩形 矩形

平行且相等 全等的矩形 矩形

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平行于底面的截面 的形状 名称 棱锥

与底面全等的多 边形 正棱锥

与底面全等的多 边形 棱台

与底面全等的正多 边形 正棱台

图形

定义

有一个面是多 边形,其余各面 是有一个公共 顶点的三角形 的多面体 相交于一点但 不一定相等 三角形 三角形 与底面相似的 多边形

底面是正多边 形,且顶点在底 面的射影是底 面的射影是底 面和截面之间 的部分 相交于一点且 相等 全等的等腰三 角形 等腰三角形 与底面相似的 正多边形 高过底面中心; 侧棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所成角 都相等

用一个平行于 棱锥底面的平 面去截棱锥,底 面和截面之间 的部分 延长线交于一 点 梯形 梯形 与底面相似的 多边形

由正棱锥截得 的棱台

侧棱 侧面的 形状 对角面 的形状 平行于 底的截 面形状

相等且延长线 交于一点 全等的等腰梯 形 等腰梯形 与底面相似的 正多边形 两底中心连线 即高;侧棱与底 面、侧面与底 面、相邻两侧面 所成角都相等

其他性 质

几种特殊四棱柱的特殊性质: 名称 平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体 特殊性质 底面和侧面都是平行四边行; 四条对角线交于一点, 且被该点平分 侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对角线交 于一点,且被该点平分 底面和侧面都是矩形; 四条对角线相等, 交于一点, 且被该点平分 棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相等,交 于一点,且被该点平分

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2.空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 他具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度; 三视图画法规则: 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等

3.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法 ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY,建立直角坐标 系; ②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 O X ,O Y ,使 ?X 'O'Y ' =45 0 (或 135 ) ,它们确定的平面表示水平平面; ‘ ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保 ‘ 持不变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一 半; ④擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线) 。 (2)平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点。 注意:画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点 的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观 图的画法可以归结为确定点的位置的画法。
’ ’ ’ ’ 0

例题讲解:

[例 1]将正三棱柱截去三个角 (如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点) 得 到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

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H B I

A C

G 侧视 D E B

A C B

B

B

B

E F 图1

D F 图2

E

E A. B.

E C.

E D.

练习 .(1)如图所示, 图①、 ②、 ③是图④表示的几何体的三视图, 其中图①是 图②是 ,图③是 (说出视图名称).



(2)三视图如下图的几何体是

( )

A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱台

D.三棱台

[例 2]在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与 三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线( A.不存在 B.有且只有两条 ) C.有且只有三条 D.有无数条

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[例 3]长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3 ,

AA1 ? 1 ,则顶点 A、B 间的球面距离是(
A.

)

D1 A1 D O B1

C1

2? 4

B.

2? 2

C. 2?

D.2 2?

C

.

A

B

[例 4]画正五棱柱的直观图,使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm。
解析:先作底面正五边形的直观图,再沿平行于 Z 轴方向平移即可得。 作法: (1)画轴:画 X′,Y′,Z′轴,使∠X′O′Y′=45°(或 135°) ,∠X′O′Z′=90°。 (2)画底面:按 X′轴,Y′轴画正五边形的直观图 ABCDE。 (3)画侧棱:过 A、B、C、D、E 各点分别作 Z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截 取 AA′,BB′,CC′,DD′,EE。′ (4)成图:顺次连结 A′,B′,C′,D′,F′,加以整理,去掉辅助线,改被遮挡的 部分为虚线。

练习

.等腰梯形 ABCD,上底 CD=1,腰 AD=CB=

2 ,下底 AB=3,以下底所在
.

直线为 x 轴,则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为

[ 例 5] ?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B ?C ? 的面积为

3 ,那么△ABC 的面积为_______________。

[例 6](1)画出下列几何体的三视图

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(2)如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm)

[ 例 7] 某 物
体 下, 何 的三视图如 试判断该几 体的形状

例 7.如图所示,直观图四边形 A′B′C′D′是一个底角为 45°,腰和上底均 为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 .

练习 .如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母 线的夹角)是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

二、空间几何体的表面积和体积 1.多面体的面积和体积公式: 名称 棱 柱 棱 锥 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 侧面积(S 侧) 直截面周长×l ch 各侧面积之和 全面积(S 全) S 侧+2S 底 体 积(V) S 底·h=S 直截面·h S 底·h

1 ch′ 2

S 侧+S 底

1 S 底·h 3

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棱台 棱 台 正棱台

各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

1 h(S 上底+S 下底 3
+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧 棱长。 2.旋转体的面积和体积公式: 名称 S侧 S全 V 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2

球 4π R
2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、 h 分别表示母线、 高, r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径, r1、 r2 分别表示圆台 上、 下底面半径,R 表示半径。 3.探究柱、锥、台的体积公式: 1、棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到,因此,两个底面积相等、 高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积. 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V柱体 ? Sh . 2、类似于柱体,底面积相等、高也相等的两个锥体,它们的体积也相等.棱锥的体 积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到,由于底面积为 S ,高为 h 的棱柱的体积

1 V棱锥 ? Sh ,所以 V锥体 ? Sh . 3
3、台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底 面面积分别为 S ?,S ,高为 h ,可以推得它的体积是 V台体 ? 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下:

1 h( S ? SS ? ? S ?) . 3

1 1 V柱体 ? Sh ? ( S ? ? S )V台体 ? h( S ? SS ? ? S ?)( S ? ? 0) ? V锥体 ? Sh . 3 3
4.探究球的体积与面积公式: 错误!未找到引用源。 .球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片” , “小圆片”的 体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近 似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分 割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤: 第一步:分割 如图:把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分,过这些
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等分点, 用一组平行于底面的平面把半球切割成 n 个 “小圆片” , “小圆片” 厚度近似为 底面是“小圆片”的底面。 如图:

R , n

得 Vi ? ? ? r i ?
2

R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]   (i ? 1、2 ??n) n n n
1 (1 ? 1 n )(2 ? n ) ] 6

第二步:求和

V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ?
第三步:化为准确的和

当 n→∞时, n →0 (同学们讨论得出) 所以

1

V半球=?R 3 (1 ?

1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3
V球 ?

得到定理:半径是R的球的体积

4 ?R 3 3

2.球的表面积: 由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的 表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?(课件演示)

?S i
O
?Vi

O
图1

(1)若将球表面平均分割成 n 个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这 n 小块 平面面积之和可近似看作球的表面积.当 n 趋近于无穷大时,这 n 小块平面面积之和接近于 甚至等于球的表面积. (2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到 n 个 棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当 n 越大,越接近于球的体积,当 n 趋近于无穷大 时就精确到等于球的体积. (3)半径为 R 的球的表面积公式: 结论:

S球 ? 4?R 2

例题讲解:
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[例 1]一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长.

[例 2]如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD, ∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求这个平行六面体的体积。

图1

图2

(2014 安徽高考 7)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( A. 21 ? 3 B. 18 ? 3 C. 21 D. 18



[ 例 3] 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ,这个长方体对角线的长是 ( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

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[例 4]如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分成 体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。

[例 5] (1) (1998 全国, 9) 如果棱台的两底面积分别是 S、 S′, 中截面的面积是 S0, 那么 ( A. 2



S0 ? S ? S ?

B. S 0

? S ?S

C.2S0=S+S′

D.S02=2S′S

(2) (1994 全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积 为( ) A.32

3

B.28

3

C.24

3

D.20

3

[例 6](2000 全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面 积的比是( ) A.

1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?

C.

1 ? 2?

?

D.

1 ? 4? 2?

[例 7](2003 京春理 13,文 14)如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水. 若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r



[例 8](1) (2002 京皖春,7)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示) ,若将 △ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( )
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A.

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2

(2) (2001 全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 面积是( A.3π π ) B.3

3 ,则这个圆锥的全



C.6π

D.9

[ 例 9] 已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且



AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积。

[例 10]表面积为 324? 的球, 其内接正四棱柱的高是 14 , 求这 四棱柱的表面积。

个正

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