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3.2.2

时间:2013-11-04


第 三章

不等式

3.2.2 一元二次不等式及其 解法习题课

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第 三章

不等式

典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 解简单的分式不等式
例1 解不等式: x+2 x+1 (1) <0;(2) ≤2. 1-x x-2 x+2 x+2 【解】 (1)由 <0,得 >0. 1-x x-1 此不等式等价于(x+2)(x-1)>0. ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.
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不等式

x+1 (2)法一:移项,得 -2≤0, x-2 -x+5 x-5 左边通分并化简,得 ≤0,即 ≥0, x-2 x-2
??x-2??x-5?≥0, ? 它的同解不等式为? ?x-2≠0, ?

∴x<2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

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不等式

x-5 法二:原不等式可化为 ≥0. x-2
?x-5≥0, ? 此不等式等价于? ? ?x-2>0, ?x-5≤0, ? 或? ? ?x-2<0.





解①,得 x≥5.解②,得 x<2. ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

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不等式

【名师点评】

(1)解分式不等式时,要注意

先移项,使右边化为零,要注意含等号的分式 不等式的分母不为零,如本题(2)解法二. ax+b (2) >0?(ax+b)(cx+d)>0,如本题(1) cx+d 的解法.

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不等式

??ax+b??cx+d?≥0, ax+b ? (3) ≥0? ? 如本题 cx+d ?cx+d≠0, ?

(2)解法一. (4)在解分式不等式时,易错点为不分类讨论 分母的符号直接去分母,如本题(2)中易错解 x+1 为 ≤2?x+1≤2(x-2). x-2

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不等式

变式训练
2x-1 1.不等式 >1 的解集是________. x+3

2x-1 x-4 解析: 原不等式等价于 -1>0, 即 > x+3 x+3 0?(x-4)(x+3)>0?x<-3 或 x>4.
答案:{x|x<-3 或 x>4}

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不等式

题型二
例2

不等式中的恒成立问题

关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1

<0的解集为R,求实数a的取值范围.
【解】 ①若 a2-1=0, 即 a=± 时, 1 若 a=1,不等式化为-1<0,解集为 R; 若 a=-1, 不等式变为 2x-1<0, 解集为{x|x 1 < }. 2 ∴a=1 时满足条件.

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不等式

②若 a2-1≠0,即 a≠± 时, 1 原不等式解集为 R 的条件是
?a -1<0, ? ? 2 2 ? ?Δ=[-?a-1?] +4?a -1?<0,
2

3 解得- <a<1. 5 综上所述, 符合条件的实数 a 的取值范围是(- 3 ,1]. 5

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不等式

【名师点评】 (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解 集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时, b=0,c>0; ?a>0 ? 当 a≠0 时? . ?Δ<0 ? (2)不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数 (或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c<0; ?a<0 ? 当 a≠0 时,? . ? ?Δ<0 类似地有 f(x)≤a 恒成立?[f(x)]max≤a; f(x)≥a 恒成立?[f(x)]min≥a.
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不等式

互动探究
2.本例若把不等式改为“(a2 -1)x2 -(a- 1)x+1>0”,求a的取值范围.
解:①当 a2-1=0,即 a=± 时, 1 若 a=1,则原不等式化为 1>0,恒成立. 若 a=-1,则原不等式化为 2x+1>0, 1 即 x>- ,不符合题意,舍去. 2

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不等式

②当 a2-1≠0,即 a≠± 时, 1 原不等式解集为 R 的条件是
?a -1>0 ? ? ’ 2 2 ? ?Δ=[-?a-1?] -4?a -1?<0
2

5 解得 a<- 或 a>1. 3 5 综上所述,a 的取值范围是(-∞,- )∪[1, 3 +∞).

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不等式

题型三
例3

一元二次不等式的实际应用

(本题满分12分)国家为了加强对烟酒

生产的宏观调控,实行征收附加税政策,现 知某种酒每瓶70元,不加收附加税时,每年 大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每 销售100元要征税R元(叫做税率R%),则每 年的销售收入将减少10R万瓶,要使每年在 此项经营中所收附加税金不少于112万元,

问R应怎样确定?

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不等式

【思路点拨】

解决该问题要明确关系式:

销量×单位=收入;收入×税率=税金. 【解】 设产销量为每年x万瓶,则销售收

入为每年70x万元,从中征收的税金为
70x· R%万元,其中x=100-10R. 3分

由题意,得70(100-10R)R%≥112, 整理得R2-10R+16≤0. 6分

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不等式

∵Δ=36>0,方程R2-10R+16=0的两个
实数根为R1=2,R2=8. 9分

然后画出二次函数y=R2-10R+16的图象, 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时,每年在此项经营中所收附

加税金不少于112万元.
名师微博 正确列出不等式是关键.

12分

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不等式

【名师点评】

解不等式应用题的步骤:

(1)认真审题,抓住问题中的关键词,找准不 等关系;

(2)引入数学符号,用不等式表示不等关系,
使其数学化; (3)求解不等式; (4)还原实际问题.

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不等式

变式训练
3.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后 还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们 称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析 事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h

的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现
情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后 现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,

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第 三章

不等式

乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两
种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙= 0.05x+0.005x2. 问:甲、乙两车有无超速现象?

解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2
>12,即x2+10x-1200>0,解得x>30或x <-40(不合实际意义,舍去),

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不等式

这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意
刹车距离略超过12 m,由此估计甲车车速不 会超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x2 >10,即x2 + 10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不合

实际意义,舍去),这表明乙车的车速超过
40 km/h,超过规定限速. 综上,甲车无超速现象,乙车有超速现象.

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不等式

备选例题
x2-4x+1 1.解不等式: 2 <1. 3x -7x+2

解:将原不等式移项,因式分解得 ?2x-1??x-1? >0?(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ?3x-1??x-2? >0, 在数轴上标出因式的根并画出示意图, 可得原 ? ? ? 1 1 不等式的解集为?x?x<3 或 <x<1或x>2 ?. 2 ? ?

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不等式

x2-8x+20 2.若不等式 2 >0 对任 mx +2?m+1?x+9m+4 意实数 x 恒成立, 求 m 的取值范围.
解:∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴要使不等式 x2-8x+20 >0 对任意实数 x 恒 mx2+2?m+1?x+9m+4 成立,只要 mx2+2(m+1)x+9m+4>0 对于 任意实数 x 恒成立.
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不等式

①当 m=0 时,2x+4>0,x>-2,此时原不 等式只对于 x>-2 的实数 x 成立, ∴m=0 不符合题意. ②当 m≠0 时,要使不等式对任意实数 x 恒成 立,
?m>0 ? 1 须? ,解得 m> . 4 ? ?Δ<0 ? ? 1 ? ∴m 的取值范围是?m?m> ?. 4 ? ?

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不等式

3.某工厂生产商品M,若每件定价80元, 则每年可销售80万件,税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入,

又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税
率.据市场调查,若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时,每年的销售 量减少10P万件,据此,问:

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不等式

(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于
96万元,求P的取值范围; (2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让 厂家获得最大的销售金额,应如何确定P值? (3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确

定P值?
解:税率为P%时,销售量为(80-10P)万件, 即f(P)=80(80-10P),

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税金为 g(P)=80(80-10P)· P%,其中 0<P<8.
?80?80-10P?· P%≥96, ? (1)由? ? ?0<P<8,

解得 2≤P≤6. 即 P 的取值范围是[2,6]. (2)∵f(P)=80(80-10P)(2≤P≤6)为减函数,

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∴当 P=2 时,f(2)=4800(万元). 故要让厂家获得最大销售金额,P 值应为 2. (3)∵0<P<8, g(P)=80(80-10P)· P%=-8(P-4)2+128, ∴当 P=4 时,国家所得税金最多,为 128 万 元.

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方法感悟
方法技巧
1.若一元二次不等式的解集为R或?,则问 题可转化为恒成立问题,此时可以根据二次 函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符 号,进而求出参数的范围. 2.用一元二次不等式解决实际问题的步骤 大致可分为:

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不等式

(1)理解题意,把条件进行转化,或者画出示
意图,理清各量满足的条件;

(2)依据条件建立相应的不等关系,把实际问
题抽象为数学问题,即一元二次不等式问题; (3)解所得的不等式,进而根据题目的实际意 义解释原问题.

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