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浙江省金华一中2013届高三12月月考数学(理)试题


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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 . (1)已知 U 为全集, A, B, I 都是 U 的子集,且 A ? I , B ? I ,则 C I ( A ? B) ? ( (A) ?x ? U | x ? A且x ? B? (C) ?x ? I | x ? A且x ?

B? 2 ( . ) A.1 3.将函数 y=sin(2x+ ( ) B.-1 C. 2 D. ? 2 已 知 (B) ?x ? U | x ? A或x ? B? (D) ?x ? I | x ? A或x ? B? 为 纯 虚 数 , 则 )

a ? R,

a ?i 1? i

a







? ? )的图象经过怎样的平移后所得图象关于点( ? ,0)中心对称 3 12
B.向右平移

A.向右平移

? 12

? 6

C.向左平移

? 12

D.向左平移

? 6

4.已知双曲线与椭圆 则这双曲线的方程为 A. x ? y ? 50
2 2

x2 y 2 ? ? 1 有共同的焦点,且它的一条渐近线方程为 x ? y ? 0 , 16 64

2


2

B. x ? y ? 24

C. x ? y ? ?50
2 2

D. x ? y ? ?24
2 2

5.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a2 ? 4, S10 ? 110 ,则

S n ? 64 的最小值为( an



A.7

B.8

C.

6.△ABC 的内角 A 满足 tanA ? sinA<0,sinA+cosA>0,则角 A 的取值范围是 A. (0,

15 2

D.

17 2





? ) 4

B. (

? ? , ) 4 2

C. (

? 3 , ?) 2 4

D. ? , ? ) (
x

3 4

7.若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数且满足 f(x)+g(x)=e ,其中 e 是自然对 数的底数,则有 ( ) A.f(e)<f(3)<g( ? 3) C.f(3)<f(e)<g( ? 3) B.g( ? 3)<f(3)<f( e) D.g( ? 3)<f(e)<f(3) ( )

8. a, b 是两条不同直线, , ? 是两个平面, a ? b 的一个充分条件是 设 则 ? A. a ? ? , b // ? , ? ? ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ?

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C. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

9.设是△ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比 值是 A. ( ) B.

??? ?

??? ?

??? ?

?

3 2

5 3

C.2

D.3

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ? ≤x1<x2≤1 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( A.

x 3

1 f ( x) ,且当 0 2

1 ) 的值为 2012
C.



) D.

1 256

B.

1 128

1 64

1 32

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某大学对 1000 名学生的 自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如 下图所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 12. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的表面积为_____________cm2 .

13 . 若 框 图 所 给 的 程 序 运 行 结 果 为 S=90 , 那 么 判 断 框 中 应 填 入 的 关 于 k 的 条 件 是 _____________

?x ? 0 ? 14.已知 M(a,b)由 ? y ? 0 确定的平面区域内运动,则动点 N(a+b,a ? b)所在平面区 ?x ? y ? 4 ?
域的面积为_______ 15. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

[来源:学#科#网]

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19

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根据上述分解规律,若 m (m ? N ) 的分解中含有数 35,则 m 的值为___ ______.
3 *

16.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 ?ABF2 为 等边三角形,则双曲线的离心率为_________________ 17. 集合 S ? ?1, 2,3, ???,10? 的四元子集 T ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? 中,任意两 个 元素的差的绝对值都不为 1 ,这样的四元子集 T 的个数为 .(用数字作答) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (满分14分)已知 f ( x) ? 3 sin

x x x 1 cos ? cos 2 ? . 4 4 4 2

(1)求 f(x)的周期及其图象的对称中心; (2)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,满足(2a ? c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围. 19. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为正方形, 且 PA=AD=2, E、F 分 别为棱 AD、PC 的中点. (1)求异面直线 EF 和 PB 所成角的大小; (2)求证: 平面 PCE⊥平面 PB C; (3)求直线 BD 与平面 PBC 所成角。

20. (本题满分 14 分)某种鲜花进价每束 2.5 元,售价每束 5 元,若卖不出,则以每束 1.6 元 的价格处理掉。某节日需求量 X (单位:束)的分布列为

X

200

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

300

400

500

P

0.20

0.35

0.30

0.15

(Ⅰ)若进鲜花 400 束,求利润 Y 的均值。

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(Ⅱ)试问:进多少束花可使利润 Y 的均值最大? 21. (满分15分)动圆 P 过定点 F ?1, 0 ? 且与直线 x ? ?1 相切,圆心 P 的轨迹为曲线 C , 过 F 作曲线 C 两条互相垂直的弦 AB, CD ,设 AB, CD 的中点分别为 M 、 N . (1)求曲线 C 的方程; (2)求证:直线 MN 必过定点.
[来源:Z。xx。k.Com]

22. (满分15 分)设函数 f ( x) ? x 2 ?

1 1 , g ( x) ? ln(2ex) , (其中 e 为自然底数) ; 4 2

(Ⅰ)求 y ? f ( x) ? g ( x) ( x ? 0 )的最小值; (Ⅱ)探究是否存在一次函数 h( x) ? kx ? b 使得 f ( x) ? h( x) 且 h( x) ? g ( x) 对一切

x ? 0 恒成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)数列 ?a n ?中,a1 ? 1 ,a n ? g (a n ?1 )( n ? 2) ,求证:

? (a
k ?1

n

k

3 ? a k ?1 ) ? a k ?1 ? 。 8

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2012.12 数学(理)试卷参考答案

19. 解: 以直线 AB 为 x 轴, 直线 AD 为 y 轴, 直线 AP 为 z 轴建立空间 直角坐标系, 如图,则 A(0,0,0), B(2, 0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).………………2 分 y (1 )∵E 为 AD 的中点, ∴E(0,1,0), 又 F 为 PC 的中点, ∴ F(1,1,1). 1×2+1×(-1) → → →→ ∴EF=(1,0,1),又 PB=(2,0,-2), ∴cos<EF,PB> = =0 , 1+1· 4+4 →→ ∴cos<EF,PB> = 9 0°,即异面直线 EF 和 PB 所成角的大小为 90°。
学科网 ZXXK] [来源:

y x

………………6 分 → → → → (2)由(1)知 EF⊥PB, 又∵BC=(0,2,0), EF=(1,0,1) ∴EF·BC=0,

∴EF⊥BC∴ EF ? 平面PBC ,又 EF?平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PBC;.………10 分 ( 3 ) 设 直 线 BD 与 平 面 PBC 所 成 角 为 ? 。 BD ? (?2, 2, 0), EF ? (1, 0,1) ,

??? ?

??? ?

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??? ??? ? ? ? cos ? BD, EF ?? ?2 1 , ? ? , 又 由 ( 2 ) 知 E F ? 平面 P B C 故 2 4 ? 4 ? 0? 1? 0 ?1

sin ? ?

1 。所以,直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30°。.…………14 分 2

20.解: (Ⅰ)销售量 S (单位:束)的分布列为

S

200

300

400

P

0.20

0.35

0.45

所以 E ( S ) ? 325 ,-----------------------------------------------4 分 而 Y ? 3.4S ? 360 , 所 以 E( Y ) ? --------------7 分 (Ⅱ)设进 n ( n ? 500 )束花,当 400 ? n ? 500 时,销售量 S (单位:束)的 分布列为

3 . E S( 4 ?

) ?3 6 0 ?

3 ?4 .

3?。 5 2

3 6 0

7 4

S

200

300

400 0.30

n
0.15

P

0.20

0.35

可得 E (S ) ? 0.15n ? 265 。

Y ? 3.4S ? 0.9n , E(Y ) ? 3.4E(S ) ? 0.9n ? ?0.39n ? 901 ;
同理可对其它区间讨论后得

?2.5n( n ? 200 ) ?1.82 n ? 136 ( 200 ? n ? 300 ) ? E (Y ) ? ? ;-------------------------11 分 ?0.63n ? 493 (300 ? n ? 400 ) ?? 0.39 n ? 901(400 ? n ? 500 ) ?
易知, n ? 400 时, E (Y ) 取最大值 745 。------------------------------14 分

21. 解: (1)设 P ? x , y ? ,则有

? x ? 1?

2

? y2 ? x ? 1 ,化简得 y 2 ? 4 x ……………6 分

2 (2)设 ? AB: y ? k ? x ?1? ,代入 y ? 4 x 得

xA ? xB k 2 ? 2 2 k x ? 2 ? k ? 2 ? x ? k ? 0 , xM ? ? , y ? k ? xM ? 1? ? , 2 2 k k 2 ? k 2? , ? ………………10 分 故M ? 2 ? k ?2 k ?
2 2 2 2

因为 AB ? CD ,所以将点 M 坐标中的 k 换成 ?

1 2 ,即得 N ? 2k ? 1, ?2k ? 。 k

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则 ? Mn: y ? 2k ? 故不论 k 为何值,直线 MN 必过定点 T ? 3, 0 ? .………………15 分
2 ?2 k ? k ? x ? 2k 2 ? 1? ,整理得 ?1 ? k 2 ? y ? k ? x ? 3? , 2 k 2 ?2 2k ? 1 ? k 2

(Ⅲ)先证 ?a n ?递减且

1 ? a n ? 1( n ? 2) ; 2

由题(Ⅱ)知 g ( x ) ? x ,所以 an ? g (an ?1 ) ? an ?1 ,即 ?a n ? 为递减数列;

1 1 1 1 1 ln 2 ? ? ,所以 a3 ? g ( a2 ) ? g ( ) ? ,… 2 2 2 2 2 1 1 1 因为当 ak ? 时总有 ak ?1 ? g (ak ) ? g ( ) ? , 2 2 2 1 所以 ? ? ? an ? an ?1 ? ? ? a1 ? 1 ;------------- ---------------13 分 2
又 a1 ? 1 , a2 ? 所以

? (ak ? ak ?1 ) ? ak ?1 ? ? (ak ? ak ?1 ) ?
k ?1 k ?1

n

n

n a ? a k ?1 a k ? a k ?1 ?? k 2 2 k ?1 2

2

?

a1 ? an ?1 ? 2
2 2

1?

1 4 ? 3 。--------------------------------- --------------15 分 2 8


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