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高三文科数学训练案


目录
第一章 集合与常用逻辑用语 一、集 合???????????????????????????????????????01 二、命题及其关系、充分条件与必要条件??????????????????????????03 三 、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词?????????????????????? ?05 第二章 函数、导数及其应用 四、函数及其表示?????

???????????????????????????????07 五、函数的单调性与最值?????????????????????????????????09 六、函数的奇偶性与周期性????????????????????????????????11 七、指 数 函 数???????????????????????????????????? 13 八、对 数 函 数??????????????????????????????? ?????15 九、幂函数与二次函数??????????????????????????????????17 十、函数的图象?????????????????????????????????????19 十一、函数与方程????????????????????????????????????21 十二、函数模型及其应用?????????????????????????????????23 十三、变化率与导数、导数的计算?????????????????????????????25 十四、导数在研究函数中的应用??????????????????????????????27 专题强化训练(一)导数的的综合应用???????????????????????????29 第三章 三角函数、解三角形 十五 任意角的弧度制和任意角的三角函数????????????????????????31 十六 同角三角函数关系式与诱导公式??????????????????????????33 十七 三角函数的图像和性质???????????????????????????????35 十八 函数 y=Asin(?x ? ? )的图像及三角函数模型的简单应用????????????? ??37 十九 两角和与差的正弦、余弦、正切公式????????????????????? ???39 二十 简单的三角恒等变换???????????????????????????????41 二十一 正弦定理和余弦定理???????????????????????????????43 二十二 解三角形应用举列???????????????????????????????45 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 二十三 平面向量的概念及其线性运算??????????????? ????????????47 二十四 平面向量基本定理及坐标表示?????????????? ?????????????49 二十五 平面向量的数量积?????????????? ??????????????????51 二十六 平面向量应用举例????????????????? ???????????????53 二十七 数系的扩充和复数的引入???????????????????? ?????????55 专题强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用??????????? ?? ???????56 第五章 数列 二十八 数列的概念与简单表示法?????????????????????????????58 二十九等差数列及其前 n 项和???????????????????????????????60 三十 等比数列及其前 n 项和???????????????? ???????????????62 三十一 数列求和???????????????????? ????????????????64 专项强化训练(三) 数列的综合应用???????????????????????????66 第六章 不等式、推理与证明 三十二 不等关系与不等式????????????????????????????????68 三十三 一元二次不等式及其解法???????????? ????????????????70 三十四 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题??????? ????????????72 三十五 基本不等式???????????????????????????????????74 三十六 合情推理与演绎推理???????????????????????????????76 三十七 直接证明与间证明????????????????????????????????78 第七章 立体几何初步 三十八 空间几何体的结构和三视图????????????????????????????80 三十九 几何体的表面积和体积??????????????????? ??????????82 四十 空间点线面位置关系????????????????????????????????84 四十一 直线平面平行的判定及其性质?????????????????????????86 四十二 直线、平面垂直的判定及其性质??????????????? ??????????88 专项强化训练(四) 平行垂直的综合问题?????????????????????????90 第八算 平面解析几何 四十三 直线的倾斜角与斜率、直线的方程????????????????? ????????92 四十四 直线的交点坐标与距离公式????????????????????????????94 四十五 圆的方程????????????????????????????????????96 四十六、直线与圆、圆与圆的位置关系???????????????????????????98 四十七 椭圆??????????????????????????????????????100 四十八、双曲线?????????????????????????????????????102 四十九 抛物线?????????????????????????????????????104 专题强化训练(五)圆锥曲线的综合问题??????????????????????????106 第九算法初步、统计、统计案例 五十 算法与程序框图、基本算法语句???????????????????? ??????108 五十一 随机抽样????????????????????????????????????110 五十二 用样本估计总体????????????????????????????? ? ??112 五十三 变量间的相关关系与统计案例???????????????????????????114 第十章 概率 五十四 随机事件的概率?????????????????????????????? ???116 五十五 古典概型????????????????????????????????????118 五十六 几何概型???????????????????????? ????????????120 专题强化训练(六) 概率与统计的综合问题????????????????? ???????122 第十一章 坐标系与参数方程 五十七 坐标系????????????????????????????????? ??125 五十八 参数方程???????????????????????????? ???????127

-0-

一、集
一、选择题(共 6 小题)



1.已知集合 M ? ?x x ? 1 ? 0? ,N ? x x 2 ? 4 , 则 M ? N ? ( A. ? ??, ?1? B. ? ?1,2 ? C. ? ?1,2?

?

?

) D. ? 2, ?? ? )

2.已知集合 A ? {1,3, m} , B ? {1, m} , A ? B ? A ,则 m ? ( A. 0 或 3 B. 0 或 3 C. 1 或 3 D. 1 或 3

3.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x 2 ? x ? 0} ,则 A ? B 等于( A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1}



4.已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x A. ? 0, 2 ? B. ? 0, 2? C. ?0, 2?

?

?

?

x ? 4, x ? Z ,则 A ? B ? (
D. ?0,1, 2? )

?

)

5.若集合 A ? { y | 0 ? y ? 2}, B ? {x || x |? 1} ,则 A ? (CR B) ? ( A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0} B. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2}

6.设全集 U ? I , M ? {x | y ? ln( 1 ? x)}, N ? {x | 2 x( x?2) ? 1} ,则(CUM)∩N 表示的集合为( A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 二、填空题(共 4 小题) 7.已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0,集合{a,b}={ a , b },则 a ? b =
2 2



B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1}

.

8.已知集合 A ? ?x |1 ≤x≤2? , B ? ?1,2,3,4? ,则 A ? B ?

.[来源:学。科。

9.已知全集 U=R,集合 A= {x|x≤-2,x ? R},B={x|x<1,x ? R}, 则(?UA)∩B= .

10.若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x | x ? 1 ? 2} ,则 A ? B =_________ .

-1-

三、解答题(共 2 大题) 11.已知全集 U={1,2,3,4} ,集合 A={1,2,x }与 B={1,4}是它的子集, ①求 CUB; ②若 A∩B=B,求 x 的值; ③若 AUB=U,求 x 的值.
2

12.已知集合 A ? x ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , B ? x (ax ? 1)( x ? a ) ? 0 , 且A ? B, 求a的范围 .

?

?

?

?

-2-

二、命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题(共 6 小题) 1.下列说法正确的是(
2


2

A.命题“ ? x0∈R,x0 +x0+1<0”的否定是: “ ? x∈R,x +x+1>0”; B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件; C.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是:若 x =1,则 x≠1; D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题.
2 2. “ x ? 0 ”是“ x ? 4 x ? 3 ? 0 ”成立的(
2 2 2



A.充分非必要条件 B.必要非充分条 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 3.下列有关命题的叙述 , ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题;
2 ②“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件;

③命题 p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ;
2 2 0 ” ④命题 “若 x ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ?1或 x ? 2 ” 的逆否命题为 “若 x ? 1 或 x ? 2 , 则 x ? 3x ?2 ? .

其中错误的个数为( A.1 B.2

) C.3 D.4[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

4.已知 a ? R 且 a ? 0 ,则“

1 ? 1 ”是 “ a ? 1 ”的( a



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列说法正确的是(
2


2

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B.命题“?x0∈R,x0 +x0-1<0”的否定是“?x∈R,x +x-1>0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假 命题[来源:学科网] D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 6.“ x >0”是“ x >0”成立的( (A)充分非必要条件 (C)非充分非必要条件 二、填空题(共 4 小题) 7. 设 p : 2x ? 1 ? m(m ? 0) , q : 为 .
-33 2
2 2

) (B)必要非充分条件 (D)充要条件

x ?1 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的取 值范围 2x ? 1

8. 设 a∈R , 则 “a=1” 是 “直线 l1: ax+2y-1=0 与直线 l2 : x+(a+1)y+4=0 平行” 的 件.



9.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x 在 R 上是减函数”是“函数 g ( x) ? (2 ? a) x3 在 R 上是增 函数”的
*

条件.
2

10.设 n ? N ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要条件是 n ?



三、解答题(共 2 大题) 11.已知全集 U=R,集合 A={x|(x-2)(x-3)<0},B={x|(x-a)(x-a -2)<0}. (1)当 a=错误!未找到引用源。时,求(CUB 错误!未找到引用源。)∩A. (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.
2

12.求证:方程 ax +2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a=1.

2

-4-

三 、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题(共 6 小题) 1.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题[ B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题 )

2.已知命题“ ?p 或 ?q ”是假命题,则下列命题:① p 或 q ;② p 且 q ;③ ?p 或 q ;④ ?p 且 q ; 其中真命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 ) D.4

3.下列说法正确的是(

A.若命题 p, ?q 都是真命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 则 x ? 0 或 y ? 0 ” C.命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R,2
x

x0

? 0”

2 D. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件

4.下列命题中,真命题的是
2 A.已知 f ( x ) ? sin x ?





2 , 则 f ( x) 的最小值是 2 2 sin 2 x 2 B.已知数列 {an } 的通项公式为 a n ? n ? ,则 {an } 的最小项为 2 2 n
C.已知实数 x, y 满足 x ? y ? 2 ,则 xy 的最大值是 1 D.已知实数 x, y 满足 xy ? 1 ,则 x ? y 的最小值是 2 5. 已知命题 p:? x0∈R,x0-2>lgx0,命题 q:? x∈R,x >0,则( A.命题 p∨q 是假命题 C.命题 p∧( q)是真命题 6. 已知命题 命题
2

)

B.命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨( q)是假命题

p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为减函数,则在


q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ?p2 ? 中,真命题是( q1 , q3
(B)

(A)

q2 , q3

(C)

q1 , q4

(D)

q2 , q4

二、填空题(共 4 小题)
2 7.已知命题 p : ?x ? R ,使 x ? 2 x ? 3 成立,则 ?p



8.已知命题 p: ?x ? R,x 2 ? 2ax ? a ? 0 ,则命题 ?p 是_________________;
-5-

若命题 p 为假命题,则实数 a 的取值范围是 _______________. 9.已知命题 p: “对 ? x∈R, ? m∈R 使 4 -2 +m=0” ,若命题 ?p 是假命题,则实数 m 的取值范
x x+1

围是__________. 10.下列命题中,假命题有__________. ① ?x0 ? R, ex0 ? 0 ③ a ? b ? 0 的充要条件是 三、解答题(共 2 大题) 11.已知命题 p:在 x∈[1,2]时,不等式 x +ax-2>0 恒成立;命题 q:函数 f(x)=lo 错误! 未找到引用源。 (x -2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数 a 的取值范围.
2 2

② ?x ? R, 2x ? x2

a ? ?1 b

④ a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件

12.已知 p :关于 x 的方程 x 2 + m x + 1= 0 有两个不相等的负实根;
q :关于 x 的不等式 4x 2 + 4 ( m - 2 ) x + 1>0 的解集为 R .

若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围.

-6-

0 3 31 3x y ? x 2 a ? ( x ) 2 x ? ? 0 f (x) ? [2,3) (2,3) (3, (2, ?? )x y ? x ? ? 1 1 1 3 x R 21 m ? 1 ?a mx 1 ? ?? f1 ? x ? ? ? ? ln(1 ln(1 x ? ? x) ln(1 x) ? x) log a ( a ? 0lg(3 且 ? 1) ? ? x ? 1 ? f? ( x ) ? lg( x ? ? y ? x ? 1 a ? ( f ) ( a )) x ? ? ? ? ? ?)a ? 0, a ? 1? ? ? ? x x ? log f ?1) lg(1 ?3 x )x x ,3 x ? 1( x? 0) y ? ? ?? a 2 ?x x 2 1 ? ? xx ? x ?1 2? 2 1 ? f ( x) ? ? ? 1 ( x ? 0) ? ?x

四、函数及其表示

一、选择题(共 6 小题) 1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( A. 与 B. 与 )

C. 2. 则当 A. 是

与 上的奇函数,当 ( B. )

D. 时,

与 ,

时,

C.

D.

3.设函数



,则实数

(

)[来源:学科网]

A.4

B.-2

C.4 或

D.4 或-2

4.函数 A.(- ,-1) )

的定义域是 ( B.(1,+ D.(- ) )

)

C.(-1,1)∪(1,+ 5.函数

,+

的定义域是(

)

A.

B.

C.

D. )

6.已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1, 0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域( A. (?1,1) B. ( ?1, ? )

1 2

C. (?1, 0)

D. ( ,1)

1 2

二、填空题(共 4 小题) 7.已知函数 ( ),则函数 的值域为

8.函数 9.已知函数

的定义域是 是奇函数,则函数
-7-

的定义域为

f( (2) x) ? ? kx f (0) ?2 ?6 1 g ( x) ? f ( x) ? f ( ) x

10.函数 f(x)=x +2x-3,x∈[0,2]的值域为________. 三、解答题(共 2 大题)[来源:学科网 ZXXK] 11.已知一次函数 (1)求 (2)求函数 的解析式; 的值域。 满足 。[来源:学|科|网]

2

12.(1)已知 f(x)是一次函数,且满足 2f(x+1)-3f(x-1)=5x+18,求 f(x)解析式. (2)已知 f(x)满 足 2f(x)+f(-x)=3x-16, 求 f(x)解析式.

-8-

2 2 1 3 3 2 2 x 3 ? x x ? x x 2 2 a ?? ? 1] ) f? ( ? x 3 , ? 4] ) ? ) 0 ( (0, y ? 1,1) ?? x ? ) 1 R 1 x m a ? ? 1 ? 1 log (2 m ) log (? m ? 1) x 2 ax ? 1 y ? ? x x (1 ( x ? ) ? a ) ( ? x 1 ? f? (1 2 ) xf? ) ? ( 0 ,3) f x ? 3 x e ? e ? y ? f x,a y? x ? 1 2 ? ? ? ?? ?0.7 ?1 0.7 1 ? ? 2 y ? ? 0 ? f ? x? ? ? x ? x f (x 2) x ? 2 ?

五、函数的单调性与最值
一、选择题(共 6 小题) 1.下列函数中,满足“ ”的单调递增函数是( )

A.

B.

C. ) D.

D.

2.下列函数中,既是奇函数又 是增函数的为( A. 3 .若函数 f(x) = 源:Zxxk.Com] A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 B. C.

+2(a-1)x+2 在区间

内递减,那么实数 a 的取值范围为(

)[来

D.a≥3 ).

4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos2x,x∈R C.y= ,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0) D.y=x +1,x∈R
3

5.下列函数中,既是偶函数又在 A. B.

上单调递增的函数是 ( C. D.



6 .若奇函数

在(0,+∞)上是增函数,又 B.(-3,0)∪(0,3)

,则

的解集为(

).

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) 二、填空题(共 4 小题) 7.奇函数 __ ________. 8.已知 在定义域

D.(-∞,-3)∪(0,3)

上是减函数,且

,则实数 的取值范围是

,函数

的单调减区间为 在 上单调递 增; ;

.

9.给出下列四个命题:[来源:学科网①函数 ②若函数 ③若 在 ,则

上单调递减,则 ;

-9-

(1 xx ) f? (2 xx ?? 1)2? [0,1] f( ( x? )? R y ? ln( f x ) (? x21) ?0 k )e x , k ? R

④若 f(x)是定义在 14.函数

上的奇函数,则 的增区间是 .

,其中正确的是

.

三、解 答题(共 2 大题) 11.已知函数 (1)求 (2)若 的单调区间; 在区间 上的最小值为 e,求 k 的值。 。[来源:学科网]

12. (1)设函数 f ? x ?

? x ? 1? ?

+sin x 的最大值为 M,最小值为 m,求 M+m 的值。 x ?1
2

2

?ax ? 1, ? 1 ? x ? 0, ??1,1? 上, ? ( 2 ) 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 其中 f ( x) ? ? bx ? 2 , 0 ? x ? 1, ? ? x ?1

1 3 f( )? f( ) a, b ? R ,若 2 2 ,求 a ? 3b 的值。

- 10 -

六、函数的奇偶性与周期性
一、选择题(共 6 小题) 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f ? ? A.-

? 5? ? =( ? 2?

)

1 2

B.-

1 4

C.

1 4

D.

1 2


2.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ? x ? 的图像如图所示,则 f ? ?2? ? (

A. ?3

B. ?2

C. ?1

D. 2
x

3.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? 3 ? m (m 为常数),则 f (? log3 5) 的值 为( ). A. ?6 B.6 C.4 D. ?4 [来源:学_科_网 Z_X_X_K]

4.设 f ( x) 是定义在 R 上且以 5 为周期 的奇函 数,若 f (2) ? 1, f (3) ? 是( ). B、 ?? ?,?2 ? ? ?0,3? C、 (0,3)

a2 ? a ? 3 , 则 a 的取值范围 a ?3

A、 (??, 2)

D、 ?? ?,2 ? ? ?0,3?

x 5.设 f ( x) 为定 义在 R 上奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数),则 f (?1) =

A.3

B.1

C.-1

D.-3
2

6.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x , 则关于 x 的方程 f ( x ) ? A. 2 B. 4

1 | x | 在 [?1, 2] 上根的个数是( 2
C. 6

)[来源:学§科§网]

D. 8 [来源:学|科|网]

二、填空题(共 4 小题) 7.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ,则 f (?1) =____________。
2

8.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的
- 11 -

解析式 f(x)=________. 9.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ?
?

.

10.已知 f(x)是定义域为 R 的 偶函数,当 x≥0 时, f ?x ? ? x 2 ? 4 x 那么,不等式 f ?x ? 2? ? 5 的解 集是 .

三、解答题(共 2 大题) 11.已知函数 y=f(x),(x≠0)对于任意的 x,y∈R 且 x,y≠0 满足 f(xy)=f(x)+f(y), (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 y=f(x), (x≠0)的奇偶性; (3)若函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x/6)+f(x-5)≤0.

12.已知函数 f ( x) ? log 3

1? x . 1? x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (3)当 x ? ? ?

? 1 1? , 时,函数 g ( x) ? f ( x) ,求函数 g ( x) 的值域. ? 2 2? ?

- 12 -

七、指 数 函 数
一、选择题(共 6 小题) 1.(2013? 北京高考)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.e
x+1 x

) B.e
x-1

C.e
0

-x+1

D.e

-x-1

2.(2014?长沙模拟)设 a=2 ,b=2.5 ,c=错误!未找到引用源。,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>c>b C.a>b>c B.c>a>b D.b>a>c ) C.1

2.5

)

3.已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。则 f(f(2015))=( A.错误!未找到引用源。 D.-1

B.-错误!未找到引用源。

4.(2014?郑州模拟)已知函数 f(x)=2 -2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是(

x

)

5. (2014?重庆模拟)若存在负实数使得方程 2 -a=错误!未找到引用源。成立,则实数 a 的取值范围 是( ) B.(0,+∞) D.(0,1) )

x

A.(2,+∞) C.(0,2)

6.(2014?太原模拟)函数 f(x)=错误! 未找到引用源。 在(-∞,+∞)上单调,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-错误!未找到引用源。]∪(1,错误!未找到引用源。] B.[-错误!未找到引用源。,-1)∪[错误!未找到引用源。,+∞) C.(1,错误!未找到引用源。] D.[错误!未找到引用源。,+∞)

二、填空题(共 4 小题) 7.(2014?济南模拟)已知 loga 错误!未找到引用源。>0,若错误!未找到引用源。≤错误!未找到 引用源。,则实数 x 的取值范围为 . ,值域为 .

8.(2014?长春模拟)函数 f(x)=错误! 未找到引用源。 的单调递减区间为
- 13 -

9.若函数 f(x)=错误!未找到引用源。x 是奇函数,则常数 a 的值等于

2

.

10. 类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式 , 对于给定的两个函数 ,S(x)= 错误!未找到引用 源。,C(x)=错误! 未找到引用源。,其中 a>0 且 a≠1,下面正确的运算公式是 ①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y); ③C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y); ④C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y). .

三、解答题(共 2 大题) 11.(2014? 杭州模拟)已知函数 f(x)=错误! 未找到引用源。 ,x∈[-1,1],函数 g(x)=[f(x)] -2af(x)+3 的最小值为 h(a). 求 h(a).
2

12.已知函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24). (1)试确定 f(x). (2)若不等式错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.

x

八、对 数 函 数
一、选择题(共 6 小题) 1.(2014?厦门模拟)函数 y=错误!未找到引用源。的定义域为( A.(-∞,9] B.(0,27]
- 14 -

)

C.(0,9]

D.(-∞,27] )

2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( A.y=|log3x| C.y=e
|x|

B.y=x

3

D.y=cos|x|

3.(2014?烟台模拟)设 a=错误!未找到引用源。,b=错误!未找到引用源。,c=log3 错误!未找到引 用源。,则( A.a>b>c C.c>a>b ) B.b>c>a D.a>c>b
-1

4.(2014?长春模拟)函数 f(x)=log2(x +1)的值域为( A.R C.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,1)

)

5. 下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( A.y=|log3x| C.y=e
|x|

)

B.y=x

3

D.y=cos|x|
2

6.若 loga(a +1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.错误!未找到引用源。

)

C.错误!未找到引用源。 二、填空题(共 4 小题)

D.(0,1)∪(1,+∞)

7.计算:log2.56.25+lg0.001+ln 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。= 8.函数 y=loga(x-1)+2(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 .

.

9.(2014?哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=ln 错误!未找到引用源。,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围是 10. lg .

2 4 2 ? lg8 3 ? lg7 5 =________. 7

三、解答题(共 2 大题) 11.(2014?天津模拟)设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域. (2)求 f(x)在区间错误!未找到引用源。上的最大值.

- 15 -

12.(2014?珠海模拟)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=lo 错误!未找到引 用源。x. (1)求函数 f(x)的解析式. (2)解不等式 f(x -1)>-2.
2

九、幂函数与二次函数
一、选择题(共 6 小题) 1.(2014?成都模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点(9,3),则 f(2)-f(1)=( A.3 D.1 2. (2014?哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零
- 16 -

)

B.1-错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。-1

点,则实数 m 的取值范围为( A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。

) B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。
2

3.(2014?衡阳模拟)若(2m+1 错误!未找到引用源。>(m +m-1 错误!未找到引用源。,则实数 m 的取 值范围是( ) B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。
2

A.错误!未找到引用源。 C.(-1,2)

4.(2014?昆明模拟)设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R),若 a=c,则函数 f(x)的图象不可能是(

)

5.(2014?济南模拟)函数 y=x-错误!未找到引用源。的图象大致为(

)

6.函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,0) C.[-2,0] 二、填空题(共 4 小题) B.(-∞,-3] D.[-3,0]

2

)

7.已知二次函数 y=f(x)的顶点坐标为错误!未找到引用源。,且方程 f(x)=0 的两个实根之差等于 7, 则此二次函数的解析式是
2

.

8.(2014?大同模拟)已知二次函数 f(x)=cx -4x+a+1 的值域是[1,+∞),则错误!未找到引用源。+错 误!未找到引用源。的最小值是 9. .已知幂函数 f(x)= x
? 1 2

.

,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是_______.
0.9 -2

10.当 0<x<1 时,f(x)=x ,g(x)=x ,h(x)=x 的大小关系是_______________. 三、解答题(共 2 大题) 11.(2014?武汉模拟)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式. (2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.
- 17 -

1.1

12.(2014?南阳模拟)已知函数 f(x)=ax +2x+c(a,c∈N)满足①f(1)=5; ②6<f(2)<11. (1)求 f(x)的解析式. (2)若对任意实数 x∈错误!未找到引用源。,都有 f(x)-2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围.

2

十、函数的图象
一、选择题(共 6 小题) 1. (2012?浏阳模拟)为了得到函数 y=2 -1 的图象,只需把函数 y=2 的图象上所有的点( (A)向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 (B)向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 (C)向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 (D)向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 2.若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=a 与 g(x)=b 的图象(
- 18 x x x-3 x

)

)

A.关于直线 y=x 对称 C.关于 y 轴对称

B.关于 x 轴对称 D.关于原点对称
x

3.(2014? 烟台模拟)设函数 f(x)=2 ,则如图所示的函数图象对应的函数是 ( ) B.y=-|f(x)| D.y=f(-|x|) )

A.y=f(|x|) C.y=-f(-|x|)

4.(2013?四川高考)函数 y=错误!未找到引用源。的图象大致是(

5.(2014?天津模拟)函数 f(x)=|tanx|,则函数 y=f(x)+log4x-1 与 x 轴的交点个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

)

6.(2014?郑州模拟)若 f(x)是偶函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则 f(x-1)<0 的解集是( A.(-1,0) B.(-∞,0)∪(1,2) C.(1,2) D.(0,2)

)

二、填空题(共 4 小题) 7.把函数 y=log3(x-1)的图象向右平移错误!未找到引用源。个单位,再把横坐标缩小为原来的错误! 未找到引用源。,所得图象的函数解析式是 . .

8.(2014?成都模拟)已知函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值是 9. 已知函数 f(x)=(

1 x ) 的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称,令 h(x)=g(1-|x|),则关 2

于 h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称; ②h(x)为偶函数; ③h(x)的最小值为 0; ④h(x)在(0,1)上为减函数.

其中正确命题的序号为_________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 10. 如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则 f(x)的解 析式为__________.

- 19 -

三、解答题(共 2 大题) 11. 作出下列函数的大致图象 (1)y=x -2|x|; (2)y= log 1 [3(x+2)];
3
2

(3)y= 1 ? x .

12. 已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且当 x∈R 时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证 y=f(x)的图象关于 直线 x=m 对称;

十一、函数与方程
一、选择题(共 6 小题) 1.(2014?广州模拟)在下列区间中,函数 f(x)=3 -x-3 的一个零点所在的区间为 ( A.(0,1) B.(1,2)
- 20 x

)

C.(2,3)

D.(3,4)
x

2.已知函数 f(x)=x+2 ,g(x)=x+lnx 的零点分别为 x1,x2,则 x1,x2 的大小关系是 ( A.x1<x2 C.x1=x2 B.x1>x2 D.不能确定 )

3.(2014?济南模拟)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。若 k>0,则函数 y=|f(x)|-1 的零点个数是 ( A.1 ) B.2
x

C.3

D.4 )

4.函数 f(x)=2 -错误!未找到引用源。-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2) )

5.函数 f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3
x

6.(2014?成都模拟)若 a>1,设函数 f(x)=a +x-4 的零点为 m,函数 g(x)=logax+x-4 的零点为 n,则错 误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。的最小值为( A.1 B.2 C.4 D.8 )

二、填空题(共 4 小题) 7.(2014?长沙模拟)设函数 f(x)=错误!未找到引用源。函数 y=f(x)-1 的零点个数为 8.(2014?烟台模拟)函数 f(x)=cosx-log8x 的零点个数为 9.(2014?合肥模拟)给定方程: ( ) . .

1 2

x

+sin x-1=0,下列命题中:①该方程没有小于 0 的实数解;

②该方程有无数个实数解;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;④若 x0 是该方程的实数解, 则 x0>-1.则正确命题是 . 10.(能力挑战题)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x -x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 三、解答题(共 2 大题) 11.已知函数 f(x)=x +2x -ax+1. (1)若函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 4,求实数 a 的值. (2)若函数 g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点,求实数 a 的取值范围.
3 2 3

.

- 21 -

12.(2014?长春模拟)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x -2x. (1)写出函数 y=f(x)的解析式. (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围.

2

十二、函数模型及其应用

一、选择题(共 6 小题) 1.(2014?福州模拟)在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据: x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 y 关于 x 的函数关系与下列最接近的函数(其中 a,b,c 为待定系数)是( ) x 2 A.y=a+bx B.y=a+b C.y=ax +b D.y=a+错误!未找到引用源。 2.(2014?南昌模拟)如图,正方形 ABCD 的顶点 A 错误!未找到引用源。,B 错误!未找到引用源。,
- 22 -

顶点 C,D 位于第一象限,直线 l:x=t(0≤t≤错误!未找到引用源。)将正方形 ABCD 分成两部分,记位 于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f(t),则函数 S=f(t)的图象大致是( )

3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现 要从这些边角料上截取矩形铁片 (如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积 最大时,矩形两边长 x,y 应为( ) A.x=15,y=12 B.x=12,y=15 C.x=14,y=10 D.x=10,y=14 4.(2014?岳阳模拟)国家规定某行业征税如下:年收入在 280 万元及以下的税 率为 p%, 超过 280 万元的部分按 (p+2)% 征税 , 有一公司的实际缴税比例为 (p+0.25)%,则该公司的年收入是( ) A.560 万元 B.420 万元 C.350 万元 D.320 万元 5.(2014?北京模拟)在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体 积的最大值是( ) A.错误!未找到引用源。π R B.错误!未找到引用源。π R 3 3 C.错误!未找到引用源。π R D.错误!未找到引用源。π R 6.如图,A,B,C,D 是某煤矿的四个采煤点,m 是公路,图中所标线 段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR 近似于正方形.已知 A,B,C,D 四个采 煤点每天的采煤量之比约为 5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的 路程、所运煤的质量都成正比.现要从 P,Q,R,S 中选出一处设立 一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少 ,则 地点应选在( ) A.P 点 B.Q 点 C.R 点 D.S 点 二、填空题(共 2 小题) kt 7.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=e (其中 k 为常 数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k= ,经过 5 小时,1 个病毒 能繁殖为 个. 8.如图,书的一页的面积为 600cm ,设计要求书面上方空出 2cm 的边,下、左、右方 都 空 出 1cm 的 边 , 为 使 中 间 文 字 部 分 的 面 积 最 大 , 这 页 书 的 长 、 宽 应 分 别 为 .
2 3 3

三、解答题(共 2 大题) 9.(2014? 珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现 其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当 t∈(0,14]时,曲线是二次函数图 象的一部分,当 t∈[14,40]时,曲线是函数 y=loga(t-5)+83(a>0 且 a≠1)图象的一部分.根据专家研 究,当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳. (1)试求 p=f(t)的函数关系式.
- 23 -

(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.

10.(能力挑战题)(2014? 重庆模拟)某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产 品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件,生产 B 部件的人数与生 产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间. (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间 最短时具体的人数分组方案.

十三、变化率与导数、导数的计算
一、选择题(共 6 小题) 1.曲线 y= (A)y=2x+1 (C)y=-2x-3

x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x?2
(B)y=2x-1 (D)y=-2x-2
2

)

2.(2012?宿州模拟)若 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(0)等于( (A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4
- 24 -

)

3.y=sinx+tcosx 在 x=0 处的切线方程为 y=x+1,则 t 等于( (A)1 (B)2 (C)-1 (D)0

)

4.已知函数 f(x)=xlnx.若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的方程为( (A)x+y-1=0 (C)x+y+1=0 (B)x-y-1=0 (D)x-y+1=0

)

5.(2012?杭州模拟)已知点 P 在曲线 y= 范围是( (A)[0, ) (B)[

4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则α 的取值 e ?1
x

? ) 4 ? 3? (C)( , ] 2 4

? ? , ) 4 2 3? (D)[ ,π ) 4
3

6. (2014?长沙模拟)曲线 y=错误!未找到引用源。x +x 在点错误!未找到引用源。处的切线与坐 标轴围成的三角形面积为( A.错误!未找到引用源。 引用源。 二、填空题(共 4 小题) 7.(2012? 哈尔滨模拟)等比数列{an}中, a1=1,a2 012=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a2 012),则函数 f(x) 在点(0,0)处的切线方程为________. ) B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到

8. (2013?江西高考)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,则 f′(1)=

x

x

.

9. 已知 f(x)在 x=x0 处的导数为 4,则错误!未找到引用源。=

.

10. (2014? 衡阳模拟)若曲线 y=2x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直, 则切线 l 的方程为

2

.

三、解答题(共 2 大题) 11. .已知函数 f(x)=错误! 未找到引用源。 x -x +ax+b 的图象在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2. 求实数 a,b 的值.
3 2

- 25 -

12.已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程. (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-错误!未找到引用源。x+3 垂直,求切点坐标与切线的方 程.

3

十四、导数在研究函数中的应用
一、选择题(共 6 小题) 1.(2014?天津模拟)若函数 f(x)=x -6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,+∞) B.(-∞,1) D.错误!未找到引用源。
- 26 3

)

2.(2014?青岛模拟)函数 y=lnx-x 在 x∈(0,e]上的最大值为( A.e B.1 C.-1
2

)

D.-e

3.(2014?合肥模拟)已知函数 f(x)=x +3x-2lnx,则函数 f(x)的单调递减区间为 ( A.错误!未找到引用源。 C.(-∞,-2) B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 ) )

4.(2014?嘉兴模拟)对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( A.f(x)≥f(a) C.f(x)>f(a) B.f(x)≤f(a) D.f(x)<f(a)

5.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正 确的是( )

6. (2013?辽宁高考)设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)=错误!未找到引用源。,f(2)=错误!未找 到引用源。,则 x>0 时,f(x)( A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值 二、填空题(共 4 小题) 7.若函数 f(x)=x(x-c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为
3 2 2 2

2

) B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

.

8.(2012?长春模拟)已知函数 f(x)=x +3mx +nx+m 在 x=-1 时有极值 0,则 m+n=___________. 9.已知函数 f(x)=alnx+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数 a 的取值范围是________. 10.(2012?柳州模拟)直线 y=a 与函数 f(x)=x -3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 三、解答题(共 2 大题) 11.(2014?北京模拟)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。x -alnx(a>0). (1)若 f(x)在 x=2 处的切线与直线 3x-2y+1=0 平行,求 f(x)的单调区间. (2)求 f(x)在区间[1,e]上的最小值.
2 3

- 27 -

12.(2014?枣庄模拟)设函数 f(x)=ln x+(x-a) ,a∈R. (1)若 a=0,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值.

2

2] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围. (2)若函数 f(x)在 [ ,
(3)求函数 f(x)的极值点.

1 2

专题强化训练(一)导数的的综合应用
一、选择题(共 6 小题) 1.(2014?青岛模拟)已知幂函数 f(x)=x 是定义在区间[-1,m]上的奇函数,则 f(m+1)=( A.8 B.4 C.2 D.1 )
2+m

)

2.若已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。则 f(f(1))+f 错误!未找到引用源。的值是( A.7 B.2 C.5 D.3
- 28 -

3.已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]

)

4.(2014?广州模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ) B.f(5)<f(8)<f(2) D.f(8)<f(2)<f(5)
|ln x|

A.f(2)<f(5)<f(8) C.f(5)<f(2)<f(8) 5.(2014?珠海模拟)已知函数 f(x)=e 大致图象为( )

-| x ?

1 | (其中 e 为自然对数的底数),则函数 y=f(x+1)的 x

6.已知 f(x)为 R 上的可导函数,且? x∈R,均有 f(x)>f′(x),则有( A.e B.e C.e D.e
2014

)

f(-2014)<f(0),f(2014)>e f(-2014)<f(0),f(2014)<e f(-2014)>f(0),f(2014)>e f(-2014)>f(0),f(2014)<e

2014

f(0) f(0) f(0) f(0)

2014

2014

2014

2014

2014

2014

二、填空题(共 4 小题) 7.(2014?南昌模拟)若错误!未找到引用源。(x +mx)dx=0,则实数 m 的值为
2

.

8.(2014?兰州模拟)已知函数 f(x)=loga(错误!未找到引用源。+x)+错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。(a>0,a≠1),如果 f(log3b)=5(b>0,b≠1),那么 f(lo 错误!未找到引用源。b)的值 是 .
2

9.(2014?哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=x +错误!未找到引用源。,g(x)=错误!未找到引用源。-m. 若? x1∈[1,2],? x2∈[-1,1]使 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围是 .

10.(能力挑战题)已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)图象如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1,x2 给出下列结论:①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2);③错误!未找到引用源。<f 错误!未找到引用源。.

- 29 -

其中正确结论的序号是 三、解答题(共 2 大题)

.(把所有正确结论的序号都填写在横线上)

11.(10 分)设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x),错误!未找到引用源。≤x≤9. (1)若 m=log3x,求 m 的取值范围. (2)求 f(x)的最值,并给出最值时对应的 x 的值.

12.(12 分)(2014?保定模拟)已知函数 f(x)=ln(x+a)-x -x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值. (2)若关于 x 的方程 f(x)=-错误!未找到引用源。x+b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围. (3)证明:对任意的正整数 n,不等式 2+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+?+错误!未 找到引用源。>ln(n+1)都成立.

2

十五
一、选择题(共 6 个小题) 1. 2014o 是第( A.一 B.二 )象限角.

任意角的弧度制和任意角的三角函数

C.三

D.四

[来源:学科网]

2. 如图 , 在直角坐标系 xOy 中, 射线 OP 交单位圆 O 于点 P, 若∠XOP =θ , 则点 P 的坐标是(
- 30 -

).

A.(cosθ ,sinθ ) C.(sinθ ,cosθ )

B.( -cosθ ,sinθ ) D.(-sinθ ,cosθ )

3.已 知点 P( tan? , sin ? )在第三象限,则角 ? 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

4.某扇形的半径为 1cm,它的弧长为 2cm,那么该扇形的圆心角为( A.2° B.4rad C.4° D.2rad ).

5.已知角 ? 的终边上有一点( ? 1,2) ,则 cos? 的值为 ( A. ?

5 2 5 1 B. C. ? D.–2 2 5 5 6. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 cos 2θ=(
4 A.- 5 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5

).

二、填空题(共 4 小题) 7.点 P(?1, 2) 在角 ? 的终边上,则

tan ? ? cos 2 ?

.

8.已知扇形的圆心角为

2 ? ,半径为 5cm,则扇形的面积为 5

.

[来

源:9

9.【2013 新课标Ⅱ数学卷】设 ? 为第二象限角,若 tan(? +

?
4

)=

1 ,则 sin ? ? cos ? ? _________. 2

xk

10.给出下列说法:

①终边在 y 轴上的角的集合是 {α | α ? kπ , k ? Z} ,

2

②若函数 f(x)=asin2x+btanx+2,且 f(-3)=5,则 f(3)的值为-1, ③函数 y=ln|x-1|的图象与函数 y=-2co s?x(-2≤x≤4}的图像所有交点的横坐标之和等于 6; 其中正确的说法是__________〔写出所有正确说法的序号).

三、解答题(共 2 大题) 11.已知角 ? 的终边经过点 P (? 3, m)( m ? 0), 且 sin ? ?

2 m ,试判断角 ? 所在的象限,并求 4

cos ? 和 tan ? 的值.
:学科网]

[来源

- 31 -

12. 已知一个扇形的圆心角是 α,0<α<2π,其所在圆的半径是 R.
12m12

(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

十六
一、选择题(共 6 个小题)

同角三角函数关系式与诱导公式

1.记 cos(?80?) ? k , 那么 tan 80? = (

).

A.

1? k 2 k

B. ?

1? k 2 k

C.

k 1? k
2

D. ?

k 1? k2

2.已知 sin(? ? 75? ) ?

1 ,则 cos(? ? 15? ) ? ( 2
- 32 -

)

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

3.己知?为锐角,且 2 tan( π ? α) ? 3 cos( π ? β) ? 5 ? 0 , tan( π ? α) ? 6 sin( π ? β) ? 1 ,则 sin ?

2

的值是 ( A.

).[ 来源 :Z+xx+k.Com] B.

3 5 5

3 7 7
).

C.

3 10 10

D. 1

3

? 4. cos ?1560 的值为(

?

?

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2
)

D.

3 2

5.若 sin(

1 ? ? -α )= ,则 cos( +α ) 等于( 3 6 3
B.-

A.-

7 9

1 3

C.

1 3

D.

7 9 [来源:Z

6. 已知 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β )+4(a, b, α , β 为非 零实数), f(2011)=5, 666666m 则 f(2 012)=( A.3 C.1 ) B.5 D.不能确定

二、填空题(共 4 个小题)

sin ? ? cos ? ? . sin ? ? cos ? 1 8.已知 sin(? ? ? ) ? ? ,且 ? 是第二象限角,那么 cos 2? ? 2 5 9.已知 sin ? ? cos ? ? ? , 则 sin ? cos ? ? .[来源:学#科#网]6 4
7.已知 tan ? ? 2 ,则 10.设 a ? sin

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 a , b, c 的大小关系为 7 7 7

(按由

小至大顺序排列) 三、解答题(共 2 大题) 11.已知 sin ? ?

2 5 10 ? , sin(? ? ? ) ? ,且 ? , ? ? (0, ) .求: 5 10 2

(1) cos(2? ? ? ) 的值; (2) ? 的值.

- 33 -

π? 5 ? 12. 已知 sin?α + ?=- ,α ∈(0,π ). 2? 5 ? π? ? ?3π +α ? sin?α - ?-cos? ? 2? ? ? 2 ? (1)求 的值; sin?π -α ?+cos?3π +α ? 3π ? ? (2)求 cos?2α - ?的值. 4 ? ?

十七
一、选择题(共 6 个小题)

三角函数的图像和性质

?? ? ? ?? 1.函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ? 0, ? 上的最小值是=( 4 ? ? ? 2?
A. -1 B. ?

) D. 0

2 2

C.

2 2

2.将函数 y= 3 cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于 y
- 34 -

轴对称,则 m 的最小值是( A.

) D

? 12

B.

? 6

C.

? 3

5? 6


3.函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [?? , ? ] 的图像大致为(

4.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象( A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位



1 C.向左平移 2 个单位

1 D.向右平移 2 个单位

5.(2011?新课标全国高考理科)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则( A. f ( x) 在 ? 0, )

?
2

) 的最小

? ?? ? 单调递减 ? 2? ? ?? ? 单调递增 ? 2?

B. f ( x) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 3? , ?4 4 ? ? 单调递增 ?

C. f ( x) 在 ? 0,

D. f ( x) 在 ?

6.若将函数 f ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 ? 的最 小正值是( ) A.

? 8

B.

? 4
2

C.

3? 8

D.

5? 4

二、填空题(共 4 小题) 7.函数 f ( x) ? 1 ? 2sin x ? 2cos x 的最小值为 .

8. 【 2014 年理科数学 (全国Ⅱ卷) 】 函数 f ? x? ? sin? x ? 2 ? ? ? 2sin ? cos ? x ??? 的最大值为 _________. 9 . 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R ( 其 中
- 35 -

? ? 0,| ? |?

? ? )的图象的一部分如图所示,则 = ? 2
? 6 ?x? 2? 3



10.函数 y ? sin x(

) 的值域是



三、解答题(共 2 大题)
[来源:学科网

11.已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是 (1)求 ? 的值;
[来源:学科网]

? . 2

(2)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

12.已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos 2 x ? a(a ? R, a为常数 ).

(1)求函数的最小正周期和函数的单调递增区间; (2)若 x ? ?0,

? ?? 时, f ( x) 的最小值为– 2 ,求 a 的值. ? 2? ?

十八

函数 y=Asin(?x ? ? )的图像及三角函数模型的简单应用

一、选择题(共 6 个小题) 1.若函数 y ? sin ?? x ? ? ??? ? 0 ?的部分图象如图,则? = ( )

- 36 -

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

2. (2013?山东高考理科)将函数 y=sin(2x + ? )的图象沿 x 轴向左平移 偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为( ) A.

? 个单位后,得到一个 8

3? 4

B.

? 4

C.0

D. ?

?
4

3. (2013?四川高考理科)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 则 ? , ? 的值分别是( )

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,

A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3

π 5π 4.已知 ω >0,0<φ<π ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 4 4 φ=( π A. 4 ) π B. 3 π C. 2 3π D. 4

5. 若函数 f ( x) ? sin? x (ω >0) 在区间 ?0, ( A.3 ) B.2 C.

? ?? ?? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则 ω = ? ? 3? ?3 2?

3 2

D.

2 3

6. (2011?陕西高考理科?T3)设函数 f ( x) ( x ? R)满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) 则函 数 y ? f ( x) 的图象可能是( )

- 37 -

二、填空题(共 4 个小题) 7.函数 f ( x) ? sin (2 x ?
2

?
4

) 的最小正周期是

8.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? _____. 9.函数 y ? cos(2 x ? ? )(?? ? ? ? ? ) 的图象向右平移 合,则 ? ? _________

?
2

个单位后, 与函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象重

?? ? ?? 10.函数 f ( x) ? sin ? ? 2 x ? ? 在区间 ? 0, ? 上的最小值是=_________
? 4?
? 2?

三、解答题(共 2 大题)

?? ? 11.已知函数 f(x)= ? 2 sin ? 2 x ? ? +6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R. 4? ?
(1)求 f(x)的最小正周期. (2)求 f(x)在区间错误!未找到引用源。上的最大值和最小值.

12.设函数 f( ? )= 3 sin ? ? cos ? ,其中,角 ? 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重 合,终边经过点 P(x,y) ,且 0 ? ? ? ? . (1)若点 P 的坐标为 ( ,

1 3 ) ,求 f (? ) 的值. 2 2

? x+y ? 1 ? (2) 若点 P (x, y) 为平面区域Ω :? x ? 1 .上的一个动点, 试确定角 ? 的取值范围, 并求函数 f (? ) ?y ? 1 ?
的最小值和最大值.

十九
一、选择题(共 6 小题)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1. 在 D ABC 中,AB ? (cos18?,cos72?) ,BC ? (2cos63?,2cos27?) , 则 D ABC 面积为 (

??? ?

??? ?



A.

2 4

B.

2 2

C.

3 2

D. 2

2.若 tan(? ?

?
4

)?

1 ,则 tan ? =( 7



- 38 -

A.

3 4

B.

4 3

C. ?

3 4

D. ?

4 3 [来源:学科网]

3.在 ?ABC 中, sin A ? A.

16 56 或 65 65

3 5 , cos B ? ,则 cos C ? ( 5 13 16 56 16 或B. ? C. ? 65 65 65

) [来源:学|科|网] D.

16 65

4.若

cos 2?

sin(? ? ) 4
A. ?

?

??

2 ,则 cos?+sin?的值为( ) 2

7 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2

5.sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是 ( ) A.

1 2

B.

3 2

C.-

1 2

D.-

3 2


6.在 ?ABC中, tan A ? 1 , cos B ? 3 10 ,则 tan C 的值是( 2 10 A. ?1 B.1 C. 3 D .2

二、填空题( 共 4 小题) 7.设 0 ? ? ? ? ? π ,且 cos ? ? 1 , cos(? ? ? ) ? 13 ,则 tan ? 的值为 2 7 14 8.已知 0<α <π ,sin 2 α =sin α ,则 tan ? ? ? 9 . 若 ? ?? ? .

? ?

??

? =________. 4?
)
__________ .[来

3? , 则 (1 ? ta ?n ? ) (1 ?t ? an 4


? ? ? ? 10. sin 23 cos37 ? cos 23 sin 37 =

三、解答题(共 2 大题) 11.求下列各式的值: (1)tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° ;

(2)

3 1 - +64sin220° . sin220° cos220°
- 39 -

1 1 12.已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tanβ =- ,求 2α -β 的值. 2 7

二十
一、选择题(共 6 小题) 1.已知 tan A.3 =2,,则 3si n B.-3
2

简单的三角恒等变换

-cos C.4

sin

+1= D.-4

(

)[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

2.已知 sinα cosα =

1 5 3? ,且 π <α < ,则 cosα -sinα 的值为( 8 4 2

)

A.-

3 2

B.

3 2

C.-

3 4

D.
- 40 -

3 4

3.已知 ? ∈ ? A.

3 ?? ? , ? ? ,sin ? = ,则 tan 2 ? =( 5 ?2 ?
B.



24 7

24 25

C.-

24 25

D.-

24 7

3 ,则 tan 2? 的值为( ).[来源:学.科.网] 5 4 24 8 23 A. B. ? C. ? D. ? 5 7 3 7 3 ? sin ? ? cos ? ?( 5.已知 tan 2? ? , ? ? (0, ) ,则 ) 4 4 sin ? ? cos ?
4.已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ? A.1 B. -1 C.2 D.-2 [来源:学科网]

6.已知α 是第三象限的角,sinα =﹣ ,则

=(



A.﹣

B.

C.2

D.﹣2[来源:学科网]

二、填空题(共 4 小题)
2 7. cos

?
8

? sin 2

?
8

=

.

8.设 ? 为锐角,若 cos(? ? 9.已知 sin (

?
6

)?

? 4 ,则 sin(2? ? ) 的值为 5 12
.

.

?
6

??) ?

1 2? ? 2? ) ? ,则 cos( 3 3

10.若 sin(

? ? 1 ? ?) ? ,则 cos( ? 2?) =______. 3 3 3

三、解答题(共 2 大题) 11.已知 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? , 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 2 3 2 9

- 41 -

来源:112

12.已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ?

? ?

??

3 2 ,x?R. ? ? 3 cos x ? 3? 4

(1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 在闭区间 上的最大值和最小值

xxk.Com]

二十一 正弦定理和余弦定理
一、选择题(共 6 小题) 1.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a 、 b 、 c , sin A 、 sin B 、 sin C 成等比数列, 且 c ? 2a ,则 cos B 的值为( A. B. C. ) D. )

ABC 中,若 2.在 D

sin C 5 ? 3, b 2 ? a 2 ? ac ,则 cos B 的值为( sin A 2
- 42 -

A.

1 3

B.

1 2

C.

1 5

D.

1 4

3.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , A ? 135? , B ? 30? , a ? 于( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2

2 ,则 b 等

4.△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△AB C 有两组解,则 x 的取值范 围( 学&科&网]A. x

)[来源:

?2

B. 2 ? x ?

4 3 3

C. x ? 2

D. 2 ? x ? )

4 3 3

5.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.不能确定 )[来源: D.

6.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a , b, c ,则 " a ? b" 是 " sin A ? sin B" 的( 学.科.网 Z.A.充分必要条件 非充分非必要条件 二、填空题(共 4 小题)[来源:Zxxk.Com]

B.充分非必要条件[来源:学_科网 Z_X_X_K]C.必要非充分条件

b c 7.在△ABC 中,设 AD 为 BC 边上的高,且 AD ? BC,b,c 分别表示角 B,C 所对的边长,则 ? c b

的取值范围是____________.

c ? 3 ,B ? 60? . 8. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 a ? 2 , 则b =
9 .在 ?ABC中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 A ?

.

?
6

, a ? 1, b ?

3 ,则

B ? ________.
10 . ( 2014 年 ( 新 课 标 Ⅰ ) 已 知 a , b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a ? 2 , 且

?2 ? b?( si nA ? si nB) ? (c ? b) si nC ,则 ?ABC 面积的最大值为____________

三、解答题(共 2 大题)

? ? 11.已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m ? (a ? c, b ? a) , n ? (a ? c, b) ,
且m? n. (1)求角 C 的大小; (2)若 2 sin
2

?

?

A 2

? 2 sin 2

B 2

? 1 ,判断△ ABC 的形状.
- 43 -

4 12. 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cosB= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值;(2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值

二十二

解三角形应用举列

一、选择题(共 6 个小题) 1.在某次测量中,在 A 处测得 B 点的仰角为 60° ,C 点的俯角为 70° ,则∠BAC 等于( ) A.10° B.50° C.120° D.130° 2.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10n mile,∠BAC=60° ,∠ABC=75° 则 B,C 间的距离是________n mile. 3.已知△ABC 的三个内角之比为 A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应三边之比 a∶b∶c 等于( A.3∶2∶1 B. 3∶2∶1
- 44 -

)

C. 3∶ 2∶1

D.2∶ 3∶1

4.设甲、乙两楼相距 20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°, 则甲、乙两楼的高分别是( A. 20 3m, ) B. 10 3m,20 3m D.

40 3m 3

C. 10( 3 ? 2 )m,20 3m

15 20 3m, 3m 2 3

5.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120° 夹角的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经 过 3 h,该船的实际航程为( ) A.2 15 km B.6 km C.2 21 km D.8 km 6.(2011?辽宁高考理科?T4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为

a, b,c,a sin Asin B ? bcos2 A ? 2a ,则
(A) 2 3 (B) 2 2

b ?( a

) (D) 2

(C) 3

二、填空题(共 4 个小题) 7.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° ,灯塔 B 在 观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的________. 8.(2011· 高考上海卷改编)在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则 cos∠BAD =________. 解析:

9.等腰△ABC 的底边 BC=2,腰 AB=4,则腰上的中线长为________. 10.在一座 20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为 60° ,塔底的俯角为 45° ,观测台底部与 塔底在同一地平面,那么这座水塔的高度是________m.

三、解答题(共 2 大题) 11.(2010?陕西高考理科?T17)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距

5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°
的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海 里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到

?

?

- 45 -

达 D 点需要多长时间?

12 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (1)求证: a , b, c 成等比数列. (2)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

二十三 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题(共 6 小题) 1.四边形 OABC 中, CB = A. a -

1 b 2

1 OA ,若 OA = a , OC = b ,则 AB = ( ) 2 1 1 1 B. a - b C. a + b D. - a + b 2 2 2
- 46 -

2.在 ?ABC 中,D 为 AB 边上一点, AD ? 2 DB  , CD ? A. 3 ? 1 B.

??? ?

??? ?

??? ?

??? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? =( 3



3.设 a, b 是两个非零向量,则下列命题为真命题的是( A.若 a ? b ? a ? b ,则a ? b B. 若 a ? b,则 a ? b ? a ? b

? ?

2 3
? ?

C. 2 3 ? 1

D. 2 )

? ?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

[来源:Zxxk.Com]

C.若 a ? b ? a ? b ,则存在实数 ? ,使得 a ? ? b D.若存在实数 ? ,使得 a ? ? b ,则 a ? b ? a ? b 4.在Δ ABC 中,点 M 是AB的中点,N点分AC的比为AN:NC=1:2 BN与CM相交于E, 设 AB ? a, AC ? b ,则向量 AE ? ( A. a ? )[来源:学,科,网] C.

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

1 3

1 b 2

B.

1 2 a? b 2 3

2 1 a? b 5 5

D.

3 4 a? b 5 5
)

5.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|的值为( A. 3 B.2 3 C.4 D.12

6.已知 a ? (?1, 3),OA ? a ? b, OB ? a ? b ,若 ?AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角 形, 则 ?AOB 的面积是( A. 3 B.2 ) C. 2 2 D.4

二、填空题(共 4 小题) 7.已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 b ? 8.已知 a ? (3 , 1) , b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 9.在平行四边形 ABCD 中, AD ? 4 , ?BAD= . 10.已知向量 a ? (2,1) , b ? (?1, 2) ,若 a , b 在非零 向量 c 上的投 影相等,且 (c ? a)(c ? b) ? 0 , 则向量 c 的坐标为 三、解答题(共 2 大题) .

?

?

?

?

4 sin ? ? 2 cos ? = 5 cos ? ? 3sin ?



?
3

???? ??? ? , E 为 CD 中点,若 AC ? BE =4 ,则 AB 的长为

?

?

?

?

?

? ? ? ?

?

.

- 47 -

? ? ? b c a , b, c

11.已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? x ? R ? 2 2

(1 )当 x ? ? ?

? ? 5? ? 时,求函数 f ? x ? 取得最大值和最小值; , ? 12 12 ? ?

(2)设锐角 ?ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别是 a, b, c ,且 a ? 1 , c ?N * ,若向量 m ? ?1,sin A? 与向量 n ? ? 2,sin B? 平行,求 c 的值.

??

?

12.设 a、b 是不共线的两个非零向量,[来源:Z_xx_k.Com] (1)若 OA ? 2a ? b, OB ? 3a ? b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

[来源:Z。xx。k.Com]

二十四 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题(共 6 小题) 1.设 为非零向量,已知向量 与 不共线, 与 共线,则向量 与 ( B.一定共线 C.不一定共线
- 48 -



A .一定不共线

D.可能相等

? x 3 (2 3? ? ? ? ? 2 5 (1,x 2) , ?3) b a ?? a ? cos ? ,sin ? , b ? cos ? ,sin ? , a ?b ? ? ? ? ? 44 5

2.已知 A.-3 B.

,

且 ∥ ,则 C.0 D.





3.【2013 福建卷】在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2) , BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C.5 D.10



4.已知向量 a ? ?1, m?, b ? ?m,2? ,若 a // b ,则实数 m 等于( A.- 2 B. 2 C.- 2 或 2

?

?

?

?

) D.0

5.平面向量 a ? (1, 2) , , 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 则m? b ? (4, 2) ,c ? ma ? b( m ? R ) ( ) B. ?1 C. 1 D. 2

?

?

?

? ?

?

?

?

?

A. ?2

6. 【2013 (湖南卷) 】已知 a , b 是单位向量, a? b ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是 ( )

? ?

?

? ? ?

?

, 2+1? A. ? 2-1, ? ? , 2+1? C. ?1, ? ?

, , 2+2? B. ? 2-1 ? ? , 2+2 ? D. ?1, ? ?

[来源:学科网]

二、填空题(共 4 小题)[来源:学*科*网] 7. ( 2014 ( 陕 西 卷 ) )设 0 ? ? ?

?
2

, 向 量 a ? (sin 2? , cos? ),b ? (1,? co s ?) , 若 a ?b ? 0 ,则

tan? ? ______.

8. (2014(新课标Ⅰ) )已知 A, B, C 为圆 O 上的三点,若 AO ? 角为_______.

1 AB ? AC ,则 AB 与 AC 的夹 2

?

?

2 9. (2014(上海卷) )已知曲线 C: x ? ? 4 ? y ,直线 l:x=6.若对于点 A(m,0),存在 C 上的点

P 和 l 上的点 Q 使得 AP ? AQ ? 0 , 则 m 的取值范围为

??? ? ??? ?

?

.

10. (2014 (重庆卷) ) 已知向量 a与b 的夹角为 60?,且a ? (?2,?6),| b |? 10, 则a ? b ? _________. 三、 解答题(共 2 大题) 11.已知向量
- 49 -

?

?

?

?

? ?

.

? ? ? ? ? x f( (? x ) sin ? ? 5 ?x ? x ? ? ?,sin cos ? ? ? f x ) ? a ? b ? b ? cos x a a b 3 sin x,sin sin 0 ? ? ? ? ? ? ,?? ?? ?0 x? 0 , ? 13 2 ? 22? ?

?

?

(1)求 (2)若

的值;[来源:Zxxk.Com] ,且 ,求 的值.

12.设向量





.

(1)若 (2)设函数

,求 的值; ,求 的最大值.

二十五 平面向量的数量积
一、选择题(共 6 小题) 1.设向量 a , b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? ( A.5 B.3 C.2 D.1
- 50 -

?

?

? ?

? ?



2. O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则 ?ABC 的形状 一 定为( ) B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

A.正三角形

3.在△ABC 中,已知 | AB |? 4,| AC |? 1 , S?ABC ? 3 ,则 AB ? AC 的值为( A. ?2 B. 2 C. ?4 D. ?2

??? ?

??? ?

??? ? ????



4.若 OA 、 OB 、 OC 三个单位 向量两两之间夹角为 60°,则 OA ? OB ? OC ? ( A.3 B. 3 C. 6

???

??? ?

??? ?

??? ??? ? ??? ?



D. 6 [来源:学科网 ZXXK]

5.如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? (2,0), AD ? (?3, 2) ,则 BD ? AC ? ( A. ?6 B. 4 C. 9 D. 13

??? ?

??? ?

??? ? ????



6.已知向 量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4, 0



二、填空题(共 4 小题) 7.以下命题: ①若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a / / b ;

? ?

?

?

?

?

1 ; 5 ??? ? ??? ? ③若 ?ABC 中, a ? 5 , b ? 8 , c ? 7 ,则 BC ? CA ? 20 ;
② a ? (?1,1) 在 b ? (3, 4) 方向上的投影为 ④若非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| b | ,则 | 2b |?| a ? 2b | . 所有真 命题的标号是______________.

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ABCD AB ? 8 , AD ? 5 CP ? 3 PD 8.如图在平行四边形 中,已知 , , AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的
值是 .

9.已知 a 为单位向量, b ? (3,4),| a ? 2b |? 3 ,则 a ? b ? 10. 已知向量 a ? 2, b ? 三、解答题(共 2 大题)
- 51 -

?

?

?

?

? ?

. 。

?

?

? ? ? ? 3, 且 a ? b ? 3, 则 a 与 b 的夹角为

11.设 a ? (3, ? sin 2 x) , b ? (cos 2 x, 3) , f ( x) ? a ? b (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的最大值及取最大值时 x 的集合; (3)求满足 f (? ) ? ? 3 且 0 ? ? ? ? 的角 ? 的值.[来源:学科 [来源:Zxxk.Com]

?

?

? ?

b, c 在同一平面内,且 a ? (?1, 2) . 12.已知 a,
(1)若 c ? (m ? 1,3m) ,且 c // a ,求 m 的值; (2)若 | a ? b |? 3 ,且 (a ? 2b) ? (2a ? b) ,求向量 a ? b 与 b 的夹角

???

?

? ?

?

?

? ?

? ?

二十六 平面向量应用举例
一、选择题(共 6 小题) 1.若 a 与 b ? c 都是非零向量,则“ a ? b ? b ? c ”是 a ⊥( b ? c )的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
- 52 -

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?



C.充分必要条件

D.既不充分而不必要条件

? 4 3 2.已知平面上直线 l 的方向向量 e ? ( ? , ) ,点 O ? (0,0) 和点 A ? (1, ?2) 在直线 l 上的射影分别 5 5 ???? ? ? 为 O1和A1 ,若 O1A1 ? ? e ,则 ? 等于( ) 11 11 B. ? C.2 5 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 0 3. | OA |? 1 点 C 在∠AOB 内,且∠AOC= 30 , , | OB |? 3, OA ? OB ? 0,
A. D.-2

???? ??? ? ??? ? m 设OC ? mOA ? nOB(m、n ? R), 则 等于 ( ) n
A.

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

4.△ABC 中, a=1,B=450 , S ABC ? 2, 则△ABC 外接圆的直径是 A. 4 3 B.5 C. 5 2 D. 6 2

5.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

6.设过点 P ( x, y ) 的直线分别与此 x 轴的正半轴和轴的正半轴交于 A、B 两点,点 O 与点 P 关于轴对 称,O 为坐标原点,若 BP ? 2PA且OQ ? AB ? 1 则点 P 的轨迹方程是 , A. 3x ?
2

??? ?

??? ? ???? ??? ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B. 3x ?
2

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

二、填空题(共 4 小题) 7.已知向量 a 和 b 的夹角是 120 ,且 | a |? 2, | b |? 5,则(2a ? b) ? a = ____________
0

?

?

?

?

? ? ?

8.已知向量 a ? , b ? (5, k ) ,若 | a ? b | 不超过 5 则 k 的取值范围是____________ (-2,2) 9.已知 AC、CE 为正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M、N 分别内分 AC、CE,且使 如果 B、M、N 三点共线,则 r ________________ 10.有两个向量 e1 ? (1,0), e2 ? (0,1), 今有动点 P,从 P 0 (?1, 2) 开始沿着与向量 e1 ? e2 相同的方向 做匀速直线运动, 速度为 | e1 ? e2 | ; 另一动点 Q0 , 从 Q0 (? 2 , ? 1 ) 开始沿着与向量 3e1 ? 2e2 e1 ? e2 相 同的方向做匀速直线运动,速度为 | 3e1 ? 2e2 | ,设 P、Q 在时刻 t=0 时分别在 P0 、Q0 处,则当 PQ ⊥

?

?

? ?

AM CN ? ?r, AC CE

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

??? ?

????? P0Q0 是,t=________________
- 53 -

三、解答题(共 2 大题) 11(本小题满分 12 分)设向量 a ? (cos (1) 求 a ? b 及 | a ? b | ; (2) 若函数 f ( x) ? a ? b ? 2 | a ? b | ,求 f ( x) 的最小值和最大值.

?

? x x 3x 3x ? ,sin ) ,向量 b ? (sin , cos ) , x ? [0, ] 2 2 2 2 2

? ?

? ?

? ?

? ?

12(本小题满分 12 分)已知向量 m ? (1,1), 向量 n 与向量 m 的夹角是 (1) 求向量 n ; (2) 若向量 n 与向量 q ? (1,0) 的夹角是

??

?

??

?? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 , 4

?
?

? ? ? 2 C ) ,其中 A、C 为△ABC 的 ,向量 p ? (cos A, 2 cos 2 2 ? ? ? 内角,且 A、B、C 依次成等差数列,求 | n ? p | 的取值范围

?

二十七 数系的扩充和复数的引入
一、选择题(共 6 小题) 1.复数 z ? i (1 ? i) (Ⅰ为虚数单位)在复平面上对应的点位于(
3

)[来源:学.科.网 Z.X.X.K] D.第四象限

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

- 54 -

2.已知 A. 1

1 ? ai 为纯虚数( i 是虚数单位)则实数 a ? ( 1? i
B. 2 C. ? 1

) D. ? 2 )

3.设 i 是虚数单位,若复数 a ? (A) ?3 (B) ?1

10 ( a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值 为( 3?i
(D)3 )

(C) 1

4.若复数 z 满足 ?1 ? i ?z ? 1 ? i ,则 z ? ( A. 1 B. ?1 C.i

D. ?i [来源:Z|xx|k.Com]

5.已知复数 z1 ? 2 ? ai(a ?R) , z2 ? 1 ? 2i , 若 A. 2 B. 3 C.2 D. 5

z1 为纯虚数,则 | z1 |? ( z2



6.已知复数 z 满足 A、i B、-1

1? z ? 1 ? z ,则 z 的虚部为( i
C、1 D、-i



二、填空题(共 6 小题)

1 ? ai 为纯虚数, i 是虚数单位,则实数 a 的值是 1? i 1? i ? x ? yi ,其中 x, y ? R ,则 x ? y ? ______. 8.设复数 2?i
7.若复数



9. 【2014 北京卷文第 9 题】若 ? x ? i ? i ? ?1 ? 2i ? x ? R ? ,则 x ?

.

2 2 10. 【 2013 ( 上 海 卷 ) 】 设 m ? R , m ? m ? 2 ? m ?1 i 是 纯 虚 数 , 其 中 i 是 虚 数 单 位 , 则

?

?

m?



11.设 a 是实数,若复数 的值为 .

a 1? i ? ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x ? y ? 0 上,则 a 1? i 2

12.若复数 z 满足 (3 ? 4i ) z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为



专题强化训练(二) 三角函数与平面向量的综合应用
一、选择题(共 6 小题)

- 55 -

4 sin α +cos α ?3π ? 1.已知 sin(2π -α )= ,α ∈? ,2π ?,则 等于( 5 sin α -cos α ? 2 ? 1 A. 7 1 B.- 7 C.-7 D.7 )

)

2.如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则( → → A. AD +BE+CF=0 B.
BD -CF+DF=0

→ →

→ → C. AD +CE-CF=0 → → D. BD -BE-FC=0 3.已知向量 a=(2,sin x),b=(cos x,2cos x),则函数 f(x)=a?b 的最小正周期是( π A. 2 B.π C.2π D.4π
2

)

4.已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且 2 | BC |?| AB |, BC ? ?CA,则?等于 ( A.3 B.

??? ?

??? ? ??? ?

????



1 3

C.-3

D. ?

1 3

5.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cos A,sin A).若

m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A,B 的大小分别为(
π π A. , 6 3 π π C. , 3 6 B. D. 2π π , 3 6 π π , 3 3

)

→ → → → 6.已知向量OB=(2,0) ,向量 OC =(2,2),向量CA=( 2cos α , 2sin α ),则向量OA与向量OB的 夹角的取值范围是( ) B.? D.?

? π? A.?0, ? 4? ?
C.?

?π , 5 π ? ? ? 4 12 ? ?π , 5 π ? ? ?12 12 ?

? 5 π ,π ? 2? ?12 ?

二、填空题(共 4 小题) 7.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x),C(cos x,1),其中 x∈[0,π ], 若 AB ⊥ OC ,则 x 的值为______. 8.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P 是 BC 上的一个动点,当

???? ??? ? PD ? PA 取得最小值时,tan∠DPA 的值为________.
9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sin B+cos B = 2,则角 A 的大小为________.
- 56 -

10.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),向量 b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值、最小值分别是 __________. 三、解答题(共 2 大题) 11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0. (1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(2a,b),n=(a,-3b),且 m⊥n,(m+n)?(n-m)=14,求 a,b,c 的值.

12.(14 分)已知向量 m=(sin A,cos A),n=( 3,-1),m?n=1,且 A 为锐角. (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos 2x+4cos Asin x (x∈R)的值域.

二十八
一、选择题(共 6 小题) 1.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? A.

数列的概念与简单表示法
( )

9 10

B.

10 11

C.

11 12

1 ,其前 n 项和为 S n ,则 S10 的值为 n ?n 12 D. 13
2

2.数列 1, ?3,5, ?7,9, ??的一个通 项公式为( A. an ? (?1)n (1 ? 2n) C. an ? (?1)n (2n ? 1) B. an ? 2n ? 1



D. an ? (?1)n (2n ? 1)
- 57 -

3.数列 3 ,3, 15 , 21 , 3 3 ,?,则 9 是这个数列的第( A.12 项 B.13 项 C .14 项 D.15 项

)

4.已知数列 ?a n ?满足: a1 ? A. ?

2 7

B.

2 7

7 1 ? , 对于任意的 n ? N , an ?1 ? an (1 ? an ), 则 a1413 ? a1314 ? ( 2 7 3 3 C. ? D. 7 7



2 2 2 5.数列 ?an ? 中,已知对任意正整数 n , a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 2n ?1 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a 2 n等

于( A. 2 ? 1
n



?

?

2

B.

1 n ? 2 ? 1? 3

C.

1 n ? 4 ? 1? 3
( )

n D. 4 ? 1

6.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项 A.380 B.39 C.35 二、填空题(共 4 小题) 7.用火柴棒按图的方法搭三角形: D.23

按 图 示 的 规 律 搭 下 去 , 则 所 用 火 柴 棒 数 an 与 所 搭 三 角 形 的 个 数 n 之 间 的 关 系 式 可 以 是 .

?, 8.已知数列 ?an ? 为:, , ,, ,, , , , , 依它的前 10 项的规律,则

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

a50 ?

_.

9.如图,圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点. 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个 点 跳到另一个点,若它停在奇数点上,则下次只能跳一个点;若停在偶数点上,则跳两个点. 该青蛙 从“5”这点起跳,经 2014 次跳后它停在的点对应的数字是 .

[来源:Zxxk.Com]

10.考虑以下数列{an},n∈N :①an=n +n+1;②an=2n+1;③an=ln
*

2

n .其中满足性质 n ?1

“对任意的正整数 n,

an ? an ? 2 ≤an+1 都成立”的数列有________(写出所有满足条件的序号). 2
an ?1 ? n ? 1 (n ? N * , n ? 2) , n

三、 解答题(共 2 大题) 11.在数列{ a n }中, a1 ? 6 ,且 an ? an ?1 ? (1)求 a2 , a3 , a4 的值;
- 58 [来源:Z&xx&k.Com]

(2)猜测数列{ a n }的通项公式,并用数学归纳法证明。

12.正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 a n ; (Ⅱ)求证:

(an ? 2) 2 。 8

2 2 2 2 ? ? ??? ? 4n ? 2 ? 2 。 a1 a2 a3 an

二十九
一、选择题(共 6 小题)

等差数列及其前 n 项和

1.在等差数列 {an } 中, a4 ? 2 2 ,则 a2 ? a6 ? ( A. 4 2 B. 5 2 C.4 D.8



2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=10,S20 =30,则 S30 = A.50 B.60 C.80 D.90





3.已知等差数列 an 的公差为 2,若前 17 项和为 S17 =34 ,则 a12 的值为( ) A.-10 B.8 C.4 D.12

? ? ? ?

[来源:Z,xx,k.Com]

4.已知等差数列 an 的公差为 2,若前 17 项和为 S17 =34 ,则 a12 的值为( A.-10 B.8 C.4
- 59 -



[来源:学科网]

D.1 2

[来源:学科网]

5. 已知递减的等差数列 ?a n ? 满足 A.3 B.4 或 5

2 a12 ? a9 n= , 则数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取最大值时, (



C.4

D.5 或 6 ) .

6.在等差数列 {an } 中, a 9 = A.24 B.48

1 a12 ? 6 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 =( 2
C.66 D.132

二、填空题(共 4 小题) 7. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S1, 2S2, 3S3 成等差数列, 则数列 {a n } 的公比为__ __________。

2 8. 设递增的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 a1 、a 4 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根, 则 S5 =

.

9.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 33, 则 ?an ? 的公差为



10.等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 7, a6 ? 9 ,则 a10 的取值范围是



三、解答题(共 2 大题)

[来源:学科网 ZXXK]

11.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3log 1 an ? n ? N * ? . 4 an 4 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn,求?cn ? 的前 n 项和 S n .

- 60 -

12.等差数列 {an } 的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数。 (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 S n 是正数时,求 n 的最大值。
[来源:学科网]

三十 等比数列及其前 n 项和
一、选择题(共 6 小题) 1.已知 ?an ? 是等比数列, ?a6 ? a10 ??a4 ? a8 ? ? 49, 则a5 ? a9 等于 A.7 B. ? 7 C.14 D.不确定 )

2.已知数列 ?an ? 是 公比为 2 的等比数列,若 a4 ? 16 ,则 a1 = ( A.1 B.2 C.3 D.4

3.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则
15 2 17 2

S4 ?( a2



A.2

B.4

C.

D.

- 61 -

4.在等比数列 ?an ? 中,若 an A. a 8 B. ? a8

? 2n ,则 a 7 与 a9 的等比中项为(
D.前 3 个选项都不对



C. ? a8

5.设 ?an ??n ? N *?是各项为正数的等比数列, q 是其公比, K n 是其前 n 项的积,且

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

K 5 ? K 6,K 6 ? K 7 ? K 8 ,则下列结论错误的是(
A、 0 ? q ? 1 C、 K 9 ? K 5 6.在等比数列中, a1 ? A.3 B.4 B、 a7 ? 1



D、 K 6 与 K 7 均为 K n 的最大值

9 1 2 , a n ? , q ? ,则项数 n 为( ) 8 3 3
C.5
[来源:Z_xx_k.Com]

D.6

二、填空题(共 4 小题)

7. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S1, 2S2, 3S3 成等差数列, 则数列 {a n } 的公比为____________。 8. 在等比数列 an ? 中, 则数列 an ? 的通项公式 an = _____________, 设 bn ? o lg a1 =2 , a4 =16 , 则数列 bn ? 的前 n 项和 S n = _____________. 9.已知{an}是等比数列,a2=2 ,a5=

?

?

2

an ,

?

1 ,则 Sn=a1+a2+…+an(n∈N*)的取值范围是 4

[网]



10.在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 7, S6 ? 63 ,则公比 q 的值为

三、解答题(共 2 大题) 11.已知数列 {a n } 是等差数列, {bn } 是等比数列, a1 ? 1, a3 ? 3, b2 ? 4, b5 ? 32 。 (1)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式;
[来源:学科网 ZXXK]

(2)设数列 {c n } 中, cn ? an ? bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn.

- 62 -

12.已知数列 {a n } 是等差数列, {bn } 是等比数列, a1 ? 1, a3 ? 3, b2 ? 4, b5 ? 32 。 (1)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {c n } 中, cn ? an ? bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn.

[来源:Z.xx.k.Com]

三十一 数列求和
一、选择题(共 6 小题) 1.已知数列 ?a n ?的通项公式是 an ? 2n ? 49 ,则 S n 达到最小值时, n 的值是( A.23 B.24 C.25 D.26 )

2.已知 S n 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, S1 是( A.12 ) B.13

? 0 , 3S23 ? 2S25 ? 0 ,则当 S n 取最小值时, n 的值

C.24

D.26

[来源:学科网]

3.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 am?1 ? am?1 ? 2am (m ? 2) ,数列 {an } 的前 n 项积为 Tn , 若 T2 m?1 ? 512 ,则 m 的值为( )
- 63 -

(A)4

(B)5

(C)

6

(D) 7

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ? A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

[来源:Zxxk.Com]

5.已知 S n 是等差数列 {an }(n ? N * ) 的前 n 项和,且 S 6 ? S 7 ? S 5 ,有下列四个命题:① d ? 0 ;②

S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ? 中的最大项为 S11 ,其中正确命题的序号是(
A.②③ B.①② C. ①③ D.①④
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]



[来源:学|科|网]

2 6.设各项均为正数的等差数列 {an }的前n 项和为 Sn , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ?0

S2m?1 ? 38, 则m 等于 (
A. 38 B. 20

) C. 10 D. 9

二、填空题(共 4 小题) 7.已知等差数列 ?a n ?中, a 2 ? 5 , a 4 ? 11 ,则前 10 项和 S 10 ? 8.已知等差数列 ?an ? 的首项为 1,公差为 2,则数列 ? 9.已知 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和, Sn .

?

1 ? ? 的前 n 项和 S n =______ a a n n ? 1 ? ?

? 2n ? n ,则 a4 ? ________


10.记数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1 =1,Sn= 2(a1+an)(n≥2,n∈N*),则 Sn=

三、解答题(共 2 大题) 11.等差数列 ?a n ?中, a 7 ? 4, a19 ? 2a9 (1)求 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n . nan

- 64 -

12.已知数列 {an }满足 a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n?1 (n ? 2) 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn。

专项强化训练(三) 数列的综合应用
一、选择题(共 6 小题) . 1. b ? ac 是实数 a,b,c 成等比数列的什么条件 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.在首项为 81,公差为 ?7 的等差数列 {an } 中,最接近零的是第
2





( ( (

) ) ) )

A.11 项 B.12 项 C.13 项 D.14 项 3.已知等差数列 {an } 的前 n 项和分别为 S n ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 等于 A.18 B.36 C.54 4.设某工厂生产总值月平均增长率为 p ,则年平均增长率为 A. p B. 12 p C. (1 ? p)
12

D.72 D. (1 ? p) ? 1
12

5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 Sn ? p , Sm ? p (m ? n) ,则 Sm?n ? A. 0 B. m ? n C. ?m ? n
- 65 -



D.

m?n 2

a Sn 2n ,则 5 ? ( ) ? b5 Tn 3n ? 1 2 7 20 9 A. B. C. D. 3 9 31 14 7.一个等差数列共有 2 n ? 1 项,其中奇数项的和为 305 ,偶数项的和为 276 ,则有 ( ) A. an?1 ? 28 B. an?1 ? 29 C. an?1 ? 30 D.这样的数列不存在 8.若正项等差数列 {an } 和正项等比数列 {bn } ,且 a1 ? b1 ,a2 ? b2 ,公差 d ? 0 ,则 an 与 bn (n ? 3)
6.等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且 的大小关系是 A. an ? bn ( B. an ? bn C. an ? bn D. an ? bn ( ) )

9.在等差数列 {an } 中, a2 ? a4 ? p , a3 ? a5 ? q .则其前 6 项的和 S 6 为

5( q ? p ) 3( q ? p ) B. C. p ? q D. 2( p ? q) 4 2 10.已知数列 {an } 中, an?1 ? 3Sn ,则关于 {an } 的说法中正确的是
A. A.一定为等差数列 B.可能为等差数列,但不会为等比数列 C.一定为等比数列 D.可能为等比数列,但不会为等差数列 二、填空题(共 4 小题) 11.在公差为 d 的等差数列 {an } 中, a17 ? a9 ? md ,则 m ? . 12.设等差数列 {an } 中, S10 ? 55 , S20 ? 210 ,则 S30 ? .





13.数列 {an } 的通项公式是 an ? 11 ? 2n , Sn ? | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | ,则 S10 ?
5



14.在正数等比数列 {an } 中有:若前 11项的几何平均值为 2 ,从 11项中抽出去一项后所剩的 10 项 的几何平均值仍为 2 ,则抽去的 1 项是第六项.类比上述结论,相应地,在等差数列 {bn } 中 有 .
5

三、解答题(共 4 大题) 15.设 {an } 为等差数列,{bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a2 ? a4 ? b3 , b2b4 ? a3 ,分别求出 {an } 及

{bn } 的前 10 项的和 S10 及 T10 . (14 分)

16.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S13 ? S6 ? S14 , a2 ? 24 . (14 分) (1)求公差 d 的取值范围; (2)问数列 {Sn } 是否存在最大项,若存在,求出最大时的 n ,若不存在,请说明理由.

- 66 -

17.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? na ? n(n ?1)b (n ? 1, 2, 3, ?) , a 、 b 是常数,且 b ? 0 . (14 分) (1)证明: {an } 是等差数列; (2)证明:以 ( an ,

Sn ? 1) 为坐标的点 Dn (n ? 1, 2, ?) 都在同一直线上,并写出此直线方程. n

18.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

Sn ) ( n ? N * ) 均在函数 y ? 3x ? 2 的图象上. n

m 3 * , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最 20 a n a n ?1

小正整数 m . (14 分)

三十二
一、选择题(共 6 小题)

不等关系与不等式

1.设 a 、 b 、 c ? R , a ? b ? 0 ,则下列不等式一定成立的是(
2 2 A. a ? b



2 2 B. ac ? bc

C.

1 1 ? a b

D.

1 1 ? a ?b a

[来源:Z+xx+k.Com]

2.下列命题为真命题的是( A.若 ac ? bc ,则 a ? b
2 2 B.若 a ? b ,则 a ? b

)

C.若

1 1 ? ,则 a ? b a b
- 67 -

D.若 a ? b ,则 a ? b 3.若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是( (A)a+c≥b-c (C) (B) ac ? bc (D) (a ? b)c 2 ? 0 ).

c 2 >0 a ?b

4.设 a, b ? R, a ? b ,则下列不等式一定成立的是(
2 2 A. a > b



B.

1 1 < a b

2 C. a > ab

a b D. 2 > 2

5.已知 a , b, c 满足 c ? b ? a 且 ac ? 0 ,则下列选项中不一定能成立的是(

)

A.

c b ? a a

B.

b?a ?0 c

C.

b2 a2 ? c c


D.

a?c ?0 ac

6.若 a , b 为非零实数, 且 a ? b ,则下列命题成立的 是( A.

1 1 ? a b

2 2 B. a ? b

2 2 C. a b ? ab

3 3 D. a ? b

二、填空题(共 4 小题) 7. 若 a、 b、 c、 d 均为正实数, 且a ? b , 那 么四个数

b a b?c a?d 、 、 、 由小到大的顺序是_________。 a b a?c b?d

2 2 2 2 8.已知 a , b ? R ,有以下命题:①若 a ? b ,则 ac ? bc ;②若 ac ? bc ,则 a ? b ;③若 a ? b ,

c c 则 a ? 2 ? b ? 2 .则正确命题序号为

.

9. a ? 0 , b ? 0 ,则 p ? 10.不等式

b2 a 2 ? 与 q ? a ? b 的大小关系为 a b



[来源:Zxxk.Com]

1 1 < 的解集是 x 2

三、解答题(共 2 大题) 11.已知 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,分别求 x ? y 、 x ? 3 y 及

x 的范围。 x ? 3y

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

- 68 -

12.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证: a ?

1 1 + b ? ≤2. 2 2

[来源:学科网]

三十三
一、选择题(共 6 小题)

一元二次不等式及其解法

2 2 1.关于 x 的不等式 x ? ax ? 6a ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 10 ,则 a ? (



A. 2

B. 5

C.

5 2
)

D.

3 2

1 2.不等式 ax 2 ? bx ? 2 ≥ 0 的解集为 {x | ?2 ≤ x ≤ ? } ,则( 4

A.a =-8,b =-10 C.a = -4,b =-9

B.a =-1,b = 9 D. a =-1,b = 2 )

3.不等式 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是( A.{x |-1≤x≤5}

B.{x | x≥5 或 x≤-1}
- 69 -

C.{x |-1< x < 5} 4.若关于 x 的不等式 ? A.

D.{x | x > 5 或 x <-1}

1 2 x ? ax ? ?1 的解 集为 ? x ?1 ? x ? 2? ,则实数 a =( 2
C. ?2 D.2
[来源:学科网 ZXXK]

)

1 2

B. ?

1 2

2 5.已知不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 x ? 1 ? x ? 2 ,则不等式 2 x ? bx ? a ? 0 的解集为()

?

?

A. x x ? ?2或x ? 1

?

?

? 1? ? x x ? ?1或x ? ? 2? B. ? ? 1? ?x ? 1 ? x ? ? 2? D. ?


[来源:Zxxk.Com]

C. x ? 2 ? x ? 1
2

?

?

6.不等式 x ? 2 x ? 5 ? 2 x 的解集是( A. x x ? 5或x ? ?1 C. x ? 1 ? x ? 5

?

?

B. x x ? 5或x ? ?1 D. x ? 1 ? x ? 5

?

?

?

?

?

?

二、填空题(共 4 小题)
2 7 .如果命题“关于 x 的不等式 x ? ax ? 1 ? 0 的解集是空集”是假命题,则实数 a 的取值范围是

_______. 8.不等式 x 2 ? 3 ? 4 x 的解集为__________.
2
[来源:Z,xx,k.Com]

9.若命题“ ?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围为

.

?? x2 ? 2 x ? 1, x ? 0, 10.已知函数 f ( x) ? ? x 则满足 f ( x) ? 1 的实数 x 的取值范围是 x ? 0. ?e ,
三、解答题(共 2 大题) 15.已知命题 p : 实数 x 满足 ?2 ? 1 ?

.

x ?1 ? 2 ,命题 q : 实数 x 满足 x2 ? 2 x ? (1 ? m2 ) ? 0 (m ? 0) , 3
[来源:Z.xx.k.Com]

若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

- 70 -

16.设函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 8a2 (a ? 0) ,记不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A . (1)当 a ? 1 时,求集合 A ; (2)若 (?1,1) ? A ,求实数 a 的取值范围.

三十四

二元一次不等式(组)

与简单的线性规划问题
一、选择题(共 6 小题)

?y ? x ? 1.设变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 3x ? 6 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的 最小值为( ?x ? y ? 2 ?
A.9 B.4 C.3 D.2
[来源:学.科.网]



?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ? 2.若实数 x, y 满足条件 ? ,则 2 x ? y 的最大值是( x ? 0 ? ? ?y ? 0
A.8 B.7 C.4



D.2

- 71 -

x, y )为平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 3.若点 M(
? ?x ? 0 ?
A. ?1 B. ?

?x ? 2 y ? 1 ? 0

上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值是

[来源:Zxxk.Com]

1 2

C. 0

D. 1

?x ? y ? 1 ? 4.设变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值和最小值分别为 ( ?x ? 0 ?
A.1,-1 B.1,-2 C.2,-1 D.2,-2



?x ? 0 y ? 5.已知 ? x, y ? 满足 ? y ? 0 ,则 k ? 的最大值等于 x ? 1 ?x ? y ? 1 ?
A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 4


?y ?1 ? 6.设变量 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,若目标函数 z ? x ? y ? 1 的最小值为 0 ,则 m 的值为( ?x ? y ? m ?
学科网 ZXXK]

[来源:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

二、填空题 (共 4 小题) 7.若实数 x, y 满足 ?

? y ?x ? y ? 2 ,则 的取值范围是 x ? ? x ? y ?1
7,则

?x ? y ? 1 ? 8..已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
3 4 ? 的最小值为_________. a b

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 9 . 设 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若 目 标 函 数 z ? (a ? b ) x ? y 的 最 大 值 为 ? x ? 0, y ? 0 ?
8,则 a ? b 的最小值为___________.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 10.设 x 、 y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 4, ? x ? 0, y ? 0 ?


a ? 2b 的最小值为 ab

.
- 72 -

三、解答题(共 2 大题)

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

11.某工厂生产 A 、 B 两种产品,计划每种产品的生产量不少于 15 千克,已知生产 A 产品 1 千克 要用煤 9 吨,电力 4 千瓦,3 个工作日;生产 B 产品 1 千克要用煤 4 吨,电力 5 千瓦,10 个工作日。 又知生产出 A 产品 1 千克可获利 7 万元,生产出 B 产品 1 千克可获利 12 万元,现在工厂只有煤 360 吨,电力 200 千瓦,300 个工作日, (1)列出满足题意的不等式组,并画图; (2)在这种情况下,生产 A 、B 产品各多少千克能获得最大经济效益.

12.某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一种甲产品 使用 4 个 A 配件耗时 1h,每 生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h, 该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配 件和 12 个 B 配件, 按每天 8h 计算,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利 润最大?

三十五
一、选择题(共 6 小题)
x y 1.已知 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值为(

基本不等式



A.8

B.6

C.

D.

2.已知 x,y 均为正数 且 x+2y=xy,则( ). A.xy+ C.x+2y+ 有最小值 4 有最小值 11 B.xy+ D.xy﹣7+ 有最小值 3 有最 小值 11

3.下列命题中正确的是 A .当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? B.当 x ? 0 , x ? 1 ? 2 x
- 73 -

1 ?2 lg x

C.当 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

2 的最小值为 2 2 sin ?

[来源:学科网 ZXXK]

D.当 0 ? x ? 2时, x ?

1 无最大值 x
是 3 与 3 的等比中项,则 + D.2
x
x 3y

4.已知 x>0,y>0,且 A.2 B.2 C.4

的最小值是(



[来源:学科网 ZXXK]

5.已知 a、b 都是正实数,函数 y ? 2ae ? b 的图象过(0,1)点,则 A. 3 ? 2 2 B. 3 ? 2 2 C. 4 D. 2 )

1 1 ? 的最 小值是( a b



6.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( A.

1 1 ? ab 2

B.

1 1 ? ?1 a b

C.

ab ≥2

D.a +b ≥8

2

2

二、填空题(共 4 小题) 7.已知正数 x , y 满足 x ? y ? 1 , ,则
x y

1 4 ? 的最小 值为 _ ________ x y



8.实数 x,y 满足 x+2y=2,则 3 +9 的最小值是________________.

y2 9.设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,则 的最小值为 xz



x y ?2 x ? y ? 0 ?1? ?1? z ? ? ? ?? ? ? x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则 ? 4 ? ? 2 ? 的最小值为______. 10.已知正实数 x, y 满足 ?
Zxxk

[来源:

.C

三、解答题(共 2 大题)
3

15.某企业要建造一个容积为 1 8m ,深为 2m 的长方体形无盖贮水池,如果池底和池壁每平方米的造 价分别为 200 元和 150 元,怎样设计该水池可使得能总造价 最低?最低总造价为多少?

- 74 -

16. (本小题满分 12 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克) 与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6)2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已 x ?3

知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售 该商品所获得的利润 最大
om]

三十六
一、选择题(共 5 小题)

合情推理与演绎推理
)

1.(2015?宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是(

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三所有班人数均超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 D.在数列{an}中,a1=1,an=错误!未找到引用源。(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( A.28 B.76 C.123 D.199
2 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

)

3.(2015? 滁州模拟)若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是:a∈R,结论是:a >0,那么这个演 绎推理出错在( A.大前提 ) B.小前提
- 75 -

C.推理过程

D.没有出错
3 3 3 3 3

4.(2015?佛山模拟)对于数 25,规定第 1 次操作为 2 +5 =133,第 2 次操作为 1 +3 +3 =55,如此反复操 作,则第 2014 次操作后得到的数是( A.25 B.250 ) C.55 D.133

5.(2015? 揭阳模拟)对于正实数 a,Ma 为满足下述条件的函数 f(x)构成的集合:? x1,x2∈R 且 x2>x1,有 -a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列结论中正确的是( )

A.若 f(x)∈错误!未找到引用源。,g(x)∈错误!未找到引用源。,则 f(x)?g(x)∈错误!未找到引 用源。 B.若 f(x)∈错误!未找到引用源。,g(x)∈错误!未找到引用源。,且 g(x)≠0,则错误!未找到引用 源。∈错误!未找到引用源。 C.若 f(x)∈错误!未找到引用源。,g(x)∈错误!未找到引用源。,则 f(x)+g(x)∈错误!未找到引 用源。 D.若 f(x)∈错误!未找到引用源。,g(x)∈错误!未找到引用源。,且 a1>a2,则 f(x)-g(x)∈错误! 未找到引用源。 二、填空题(共 3 小题) 6.(2015?湛江模拟)图(1)所示的图形有面积关系:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 则图(2)所示的图形有体积关系:错误!未找到引用源。= .

7.(2015?重庆模拟)在等差数列{an}中,若公差为 d,且 a1=d,那么有 am+an=am+n,类比上述性质,写出在 等比数列{an}中类似的性质: . 8.运用三段论推理: 复数不可以比较大小,(大前提) 2014 和 2015 都是复数,(小前提) 2014 和 2015 不可以比较大小.(结论) 该推理是错误的,产生错误的原因是 三、解答题(共 2 大题) 9.半径为 r 的圆的面积 S(r)=π r ,周长 C(r)=2π r,若 r 看作是(0,+∞)上的变量,则(π r )′=2π r, 该结论可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.那么对于半径为 R 的球,若 R 看作是 (0,+∞)上的变量,请写出类似于上面且正确的结论的式子,并用语言叙述.
- 76 2 2

错误.(填“大前提”或“小前提”)

10.已知 sin 30°+sin 90°+sin 150°=错误!未找到引用源。,sin 5°+sin 65°+sin 125°=错误! 未找到引用源。,通过观察上述两个等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.

2

2

2

2

2

2

三十七
一、选择题(共 6 小题)

直接证明与间证明

1.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数 a , b, c 中恰有一 个偶数”时正确的反设为

2. 观察下列式子:1 ?

3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,??, 根据以上式子可以猜想: 2 3 4 2 2 3 2 3 4
2

1

1?
A.

1 2
2

?

1 3
2

???
B.

1 2014
2

?
C.

4025 2014

4026 2014

4027 2014

D.
- 77 -

4028 2014

3.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=

2S ,类比 a?b?c

这个结论可知:四面体 S—ABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半径为 R,四面体 S— ABC 的体积为 V,则 R 等于 A.

V S1 ? S2 ? S3 ? S4 3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

B.

2V S1 ? S2 ? S3 ? S4 4V S1 ? S2 ? S3 ? S4

C.

D.

4.用反证法证明命题: “若 a,b∈N, ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 3 整除”时,假 设应为 A.a,b 都能被 3 整除 C.a,b 不都能被 3 整除 B.a,b 都不能被 3 整除 D.a 不能被 3 整除

5.用反证法证明命题: “若 a , b, c 是三连续的整数,那么 a , b, c 中至少有一个是偶数”时,下列假 设正确的是( ) A.假设 a , b, c 中至多有一个偶数 C.假设 a , b, c 都是偶数 B.假设 a , b, c 中至多有两个偶数 D.假设 a , b, c 都不是偶数

6. 用数学归纳法证明 1+a+a +?+a = A.1 B.1+a C.1+a+a
2

2

n+1

(a≠1, n∈N ) , 在验证当 n=1 时, 等式左边应为 ( ) . D.1+a+a +a
2 3
[来源:学科网 ZXXK]

*

二、填空题 (共 4 小题) 7.经过圆 x +y =r 上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r .类比上述性质,可以得到椭圆
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 类似的性质为_______ a 2 b2
8.将全体正整数排成一个三角形数阵:

__.

1 2 4 7 8 5 9 3 6 10
_网]

????????

按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 则 S4 ? S8 ? S4 ? S12 ? S8 ? S16 ? S12 成等差数列.类比以上结论有:

- 78 -

设等比数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Tn ? 则 T4 ? 10.从 1=1
2


2

, T12 成等比数列.

T16

[来源:学#科#网]

2+3+4=3

2

3+4+5+6+7=5 中,可得到一般规律为________.

三、解答题(共 2 大题) 11.在数列{an}中,a1=

3an 1 ,an+1= ,求 a2、a3、a4 的值,由此猜想数列{an}的通项公式. an ? 3 2

12.数列 {an } 满足 S n ? 2n ? an (n ? N * )



计算 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,并由此猜想通项公式 a n ;

]

三十八

空间几何体的结构和三视图

一、选择题(共 6 小题) 1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值 有( )

A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 2. 某三棱锥的三视图如上图所示,则该三棱锥的体积是( 1 A. 6 1 B. 3 2 C. 3 D.1

)

3. 已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2的矩形, 则该正方体的正视图的面积等于( ) A. 3 2 B.1 C. 2+1 2 D. 2 )

4. 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

- 79 -

A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π 5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
[来源:学科网]

6.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如上图所示,则该四棱锥侧面积和体 积分别是( )
Zxxk.Com]

A.4

5,8

B.4

5,

8 3

8 C.4( 5+1), 3

D.8,8

二.填空题(共 4 小题) 7. 某四棱锥的三视图如图 1-7 所示,该四棱锥的体积为________.

图 1-7 图 1-8 8.某几何体的三视图如图 1-8 所示,则其表 面积为________. . 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

图 1-10 10.某几何体的三视图如图 1-10 所示,则该几何体的体积是________.

三、解答题(共 2 大题)
11. 已知在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD= 4,∠PAD=6 0°. → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写 出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.
- 80 -

12. 如图 1-4(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 是 BC 的 中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 1-4(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

图 1-4 (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积. 3
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三十九
一、选择题(共 6 小题)

几何体的表面积和体积

1. 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能 等 ... 于( ) B. 2 C.

A. 1

2-1 2

D.

2 +1 2

2. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

- 81 -

A.4

B.

14 3

C.
)

16 3

D.6

3. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积为(

2π π 2π A.8- B.8- C.8-2π D. 3 3 3 4. 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是 3 这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________. 16 A.2:3 B.1:3 C.1:2 D2:5 5. 如图,半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积 之差是________.

A.12π.

B.32π.

C.23π.

D.34π.

9π 6. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为 ,则正方体的棱长为________. 2 A. 3 B.2 C.2.5 D.3 二、填空题(共 4 小题) 7. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 C1D1 的中点, 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________. 3 8. 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 2 2 ,底面边长为 3,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面

积为________. [9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池 盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸, 则平地降雨量是________寸. (注:①平地 降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 10.[2013?新课标全国卷Ⅰ] 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α ,H 为 垂足,α 截球 O 所得截面的面积为π ,则球 O 的表面积为________.
- 82 -

三、解答题(共 2 大题) 11.[2012?天津卷] 如图 1-4,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC= 2 3,PD=CD=2. (1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (2)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

图 1-4

12.[2012· 上海卷] 如图 1-1,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 PC 的中点,已知 π ∠BAC= ,AB=2,AC= 2 3,PA=2,求: 2

图 1-1 (1)三棱锥 P-ABC 的体积; (2)异面直 线 BC 与 AD 所成的角的余弦值

四十
一、选择题(共 6 小题) 1.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 l ?

空间点线面位置关系

? ,点 P∈l,平面 ? 、 ? 间的距 离为 8,则在 ? 内到点 P 的距离
) D.两个点 )

为 10 且到直线 l 的距离为 9 的点的轨迹是( A.一个圆 B.两条直 线

C.四个点

2.已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( A.

1 6

B.

3 6

C.

1 3

D.

3 3

- 83 -

[来

3 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP )

与平面 A1 BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是( A. [

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

[来源:学&科&网]

4.若 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,则 c 与 b 的位置关系是( A.相交 B.异面 C.异面或相 交 D 垂直

5.已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( AA1 ? 2 AB ,



A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3


6.M.N 分别为正方体中棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 MN 所成的角为( A.30° B.45° C.60° D.90°

二、填空题(共 4 小题) 7.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距 离的最小值为 .

8.已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其 中所 有正确命题的序号是___________. ①若 m∥β , n∥β ,m、n ? α ,则 α ∥β . ②若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =m,n ? γ ,则 m⊥n . ③若 m⊥α ,α ⊥β ,m∥n, 则 n∥β . ④若 n∥α ,n∥β ,α ∩β =m,那么 m∥n . 9.已知球的半径为 1, A 、 B 是球面上两点,线段 AB 的长度为 3 ,则 A 、 B 两点的球面距离为 ________. 10.在长方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 AA 1 ? 9, BC ? 6 3 , N 为 BC 的中点,则直线 D1C1 与 平面 A1 B1 N 的距离是___________. 三、解答题(共 2 大题) 11.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平面 ABCD . (1)求证: AB ? PD;

- 84 -

(2). ?BPC ? 90? , PB ? 2 , PC ? 2, 问 AB 为何值时 ,四棱锥 P ? ABCD 的体积最大?并求此 时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

12.如图 ,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D 是 BC 的中点, AA 1 ? AB ? 2 .

[来源:学。科。网]

四十一 一、选择题(共 6 小题)

直线平面平行的判定及其性质

1.[2013· 广东卷] 设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 2.[2013· 浙江卷] 设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β
- 85 -

)

[2011· 浙江卷] 若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 4 [2011· 四川卷] l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 5. [2011· 全国卷] 已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60° 二面角的平面 β 截该球面 得圆 N.若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为( ) A.7π B.9π C.11π D.13π 3 6. 设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( A. 5 a ? ? , b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? 二、填空题(共 4 小题) 7. 设、m 、n 表 示不同的直线,? ,? ,? 表示不同的平面, 则下列四个命题正确的是 . B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ? )

① 若 m ∥ l , 且 m ?? , 则 l ?? ; ② 若 m ∥ l , 且 m ∥ ? , 则 l ∥ ? ; ③ 若

? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 m ∥ l ∥ n ;④若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , ? ? ? ? n ,且 n ∥ ? ,
则 m ∥l . 8.[2013?江西卷] 如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上,且 AB∥CD,则直 线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

9.已知 l , m, n 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题: ①若 l / / m , n ? m ,则 n ? l ; ③若 l ? ? , m ? ? , ? / / ? ,则 l / / m ; 其中真命题是 _ ②若 l / / m , m ? ? ,则 l / /? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,则 l ? ? .

__.(写出所有真命题的序号)

10.已知直线 m , l 和平面 ?,?, 且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ① ? / / ? ? l ? m ②? ? ? ? l / /m ③ l / /m ? ? ? ? ④ l ? m ? ? / / ?
[来源:学科网]

三、解答题(共 2 大题) .[2013· 北京卷] 如图 1-5,在四棱 锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥ 底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

- 86 -

图 1-5

12.如图,正方体

中,已知

为棱

上的动点.

ABCD ? A1B1C1D1

E

CC1

四十二
一、选择题(共 6 小题)

直线、平面垂直的判定及其性质

1.若空间中四条直线两两不同的直线 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 //l3 , l3 ? l4 ,则下列结论一
- 87 -

定正确的是( A. l1 ? l4

) B. l1 //l4 D. l1 、 l4 的位置关系不确定

C. l1 、 l4 既不平行也不垂直

2. 已知直二面角 α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β,BD⊥l,D 为垂足.若 AB=2,AC =BD=1,则 CD=( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 3. 设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离是 ( A. 5 B. 4 5 C. 3 5 D. 2 5 ) )

5.已知 l , m, n 是三条不同的直线, ? , ? 是两个不同 的平面,下列命题为真命题的是 ( A.若 l ? m , l ? n , m ? ? , n ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , ? ∥ ? , m ? ? ,则 l ? m C.若 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? D.若 l ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 l ∥ m

B ? ? , BD ? l , D 为 垂 足 , 若 6 . 已 知 直 二 面 角 ? ? l ? ? , 点 A ? ? , AC ? l , C为垂足,点 AB ? 2, AC ? BD ? 1, 则CD ? (
A.2 B. 3 ) C. 2 D.1

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二、填空题(共 4 小题) 7 在三棱柱 ABC-A1B1 C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平 面 BB1C1C 所成角的大小是( ) 8.[2012?辽宁卷] 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边 长为 2 3的正方形,若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________. 9. [2012? 安徽卷] 若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等, 即 AB=CD, AC=BD, AD=BC, 则________(写 出所有正确结论的编号). ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直;②四面体 ABCD 每个面的面积相等;③从四面体 ABCD 每个顶 点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小于 180° ; ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互 垂直平分;⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 10.某几何体的三视图如图 1-2 所示,则该几何体的体积等于________.

- 88 -

图 1-2 三、解答题(共 2 大题) 11.如图所示,在四棱锥 P?ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的 1 点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2

(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB.

12. 如图, 在四棱锥 A ? BCDE 中, 平面 ABC ? 平面 BCDE ;?CDE ? ?BED ? 90? ,AB ? CD ? 2 ,

DE ? BE ? 1, AC ? 2 .
(1)证明: AC ? 平面 BCDE ; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.

专项强化训练(四) 平行垂直的综合问题
一、选择题(共 6 小题) 1 .在正三棱锥 S ? ABC 中, M 、 N 分别是棱 SC 、 BC 的中点,且 MN ? AM ,侧棱

SA ? 2 3 ,
则此正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是( ) A. 12? B. 32? C. 36?
- 89 -

D. 48?

2.在正方体 AC1 中, EF 为异面直线 A1 D 和 AC 的公垂线,则线 EF 与 BD1 的关系是(



A.异面直线 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直 3.已知直线 a 、 b 和平面 M ,则 a ∥ b 的一个必要不充分条件是( ) A. a ∥ M , b ∥ M B. a?M,b?M C. a ∥ M , b ? M D. a 、 b 与平面 M 成等角 4.正方形纸片 ABCD ,沿对角线 AC 对折,使 D 点在面 ABC 外,这时 DB 与面 ABC 所成的 角一定不等于( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 5.已知 m 、 n 为两条不同的直线 ? 、 ? 为两个不同的平面,给出下列四个命题 ①若 m ? ? , n ∥? ,则 m∥n ; ②若 m ? ? , n ∥? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ④若 m∥? , n ∥? ,则 m∥n . 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 6.若三棱锥 P ? ABC 的三条侧棱两两垂直, PA ? PB ? 1 , PC ? 2 ,则 P 到底面 ABC 的距 离为( )
0 0 0 0

3 5 2 C. D. 2 6 3 7.命题 p :若平面 ? ? ? ,平面 ? ? r ,则必有 ? ∥r ;命题 q :若平面 ? 上不共线的三点 到平面 ? 的距离相等,则必有 ? ∥ ? .对以上两个命题,下列结论中正确的是( ) A.命题“ p 且 q ”为真 B.命题“ ? p 或 ? q ”为假 C.命题“ p 或 q ”为假 D.命题“ ? p 且 ? q ”为假
A.2 B.

8.已知平面 ? 及以下三种几何体: ①长、宽、高皆不相等的长方体; ②底面为平行四边形但不是矩形和菱形的四棱锥; ③正四面体. 这三个几何在平面 ? 上的射影可以是正方形的几何体是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 9.正四面体的内切球和外接球的半径分别为 r 和 R ,则 r∶ ) R 为( A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 ∶2 ∶4 ∶ 3 ∶ 9 10 . 正 四 面 体 ABCD 的 棱 长 为 1 , G 是 底 面 ?ABC 的 中 心 , M 在 线 段 DG 上 且 使 ?AMB ? 900 ,则 GM 的长等于( ) A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

6 6

二、填空题(共 4 小题)
?

11.已知 a ? (cos? ,1,sin ? ) , b ? (sin ? ,1,cos? ) ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是

?

? ?

? ?



12.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1 、CC 1 相交于 E 、 13.在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,M 、 N 分别是棱 AA? 和 AB 的中点,P 为上底面 ABCD 的中心,则直线 PB 与 MN 所成的角为 . 14.已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 5 , AB ? 12 ,那么直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的 距离是 . 三、解答题(共 2 大题) 15.如图,正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2 , AF ? 1,M 是线 E 段 EF 的中点.求证: AM ∥平面 BDE;

F 两点,则四边形 EBFD1 的形状为



M

C
- 90 -

F

B

D

A

16. 如图 (a) , 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB ? CD ? a ,AD ? BC ? 2a ,?BAD ? 60 ,AC 与 BD 交于点 E,将其沿对角线 BD 折成直二面角,如图(b) . (1)证明:AB⊥平面 BCD; (2)证明:平面 ACD⊥平面 ABD. A
0

D E

A D

C

(a)

B

C

(b)

B



四十三 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
一、选择题(共 6 小题) 1.过点 P ( ?2, m) 和 Q ( m,4) 的直线斜率为 1,那么 m 的值为( ) A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4

2.已知直线 l 上两点 A, B 的坐标分别为 (3,5),(a, 2) ,且直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂直,则 a 的
- 91 -

值为( A. ?

)[来源:学科网] B.

3 4

3 4

C. ?

4 3

D.

4 3


3.与 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线方 程为( A、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0 B、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0

4.光线从点 A( ?3,4) 发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,最后光线经 过点 B ( ?2,6) ,则经 y 轴 反射的光线的方程为( A. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 ) B. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 2 ? 0 )

5.经过点 M (2, 2) 且在两轴上截距相等 的直线是( .... A. x ? y ? 4 C. x ? 2 或 y ? 2 B. x ? y ? 2

D. x ? y ? 4 或 x ? y [来源:学科网] )

6.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A.x-y=0 C.x+y+1=0 二、填空题(共 4 小题) B.x-y+1=0 D.x+y=0

7.已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为

.

8.直线 l 经过点 A(-2,2)且与 直线 y=x+6 在 y 轴上有相同的截距,则直线 l 的一般式方程 为 . .

9.直线 x ? y ? 3 ? 0 在 y 轴上的截距为

10.直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a= __________ __

三、解答题(共 2 大题) 11.已知直线 l 经过点 P(-2,5) ,且斜率为 ? (1)求直线 l 的方程; (2)求与直线 l 切于点(2,2) ,圆心在直线 x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程.

3 . [来源:学科网 ZXXK] 4

- 92 -

[来源:学科网 ZXXK]

12.已知在⊿ ABC 中,A(3,2)、B(-1,5),C 点在直线 3x ? y ? 3 ? 0 上,若⊿ABC 的面积为 10,求 C 点的坐标.

四十四 直线的交点坐标与距离公式
一、选择题(共 6 小题) 1.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于 A.1 B. ? ( )

1 3

C. ?

2 3

D. ?2 )

2.若直线 l1 : y ? kx ? 1 与 l2 : x ? y ? 1 ? 0 的交点在第一象限内,则 k 的取值范围是( A. k ? 1 B. ?1 ? k ? 1 C. k ? ?1或k ? 1
- 93 -

D. k ? ?1

3.若两条直线 y ? a 2 x ? 1 与 y ? (a ? 2) x ? a ? 1 互相平行,则 a 等于( A.2 B.1 C. ? 2 D. ? 1



4.若直线 l1 : Ax ? 3 y ? C ? 0 与 l2 : 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若 l1、l2 的交点在 y 轴上,则 C 的值为( A.4 B.-4 C.4 或-4 D.与 A 的取值有关 ) [来源:Zxxk.Com]



5.直线 2 x ? y ? m ? 0 和 x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直

D.不能确定 )

6. “ m ? 2 ”是“直线 3x ? (m ? 1) y ? (m ? 7) ? 0 与直线 mx ? 2 y ? 3m ? 0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题(共 4 小题)[来源:学科网] 7.直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 与直线 8x ? 6 y ? 5 ? 0 的距离为__________.

8.若直线 l1 : (k ? 3) x ? (5 ? k ) y ? 1 ? 0, l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 互相垂直,则 k =



9.已知直线 x+y-m=0 与直线 x+(3-2m)y=0 互相平行,则实数 m 的值_______ .

10.已知两条平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与 l2 : ax ? 8 y ? 2 ? 0 之间的距离是

.

三、解答题(共 2 大 题) 11.求经过直线 l1 :2x+3y-5=0, l2 :3x-2y-3=0 的交点且平行于直线 2x+y-3=0 的直线方程

- 94 -

12.已知 k ?R 且 k ? 1,直线 l1 : y ? (1)求直线 l1 ∥ l2 的充要条件;

k 1 x ? 1 和 l2 : y ? x?k . 2 k ?1

(2)当 x ? [?1, 2] 时,直线 l1 恒在 x 轴上方,求 k 的取值范围.

四十五
一、选择题(共 6 小题)

圆的方程

1.以圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心为圆心,半径为 2 的圆的方程
2 2

A. ?x ? 1? ? y 2 ? 2
2

B. ?x ?1? ? y 2 ? 2
2

C. ?x ? 1? ? y 2 ? 4
2

D. ?x ?1? ? y 2 ? 4
2

2.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是 ( )

- 95 -

A.(x-3) + ? y ?
2 2

? ?

7?2 ? =1 3?
2

B.(x-2) +(y-1) = 1 C.(x-1) +(y-3) =1 D. ? x ?
2 2

? ?

3? 2 2 ? +(y-1) =1 2?
) D. (?2,1),5 )

3.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心和半径 分别( A. (2, ?1), 5
2 2

B. (2, ?1),5

C. (?2,1), 5

4.已知圆 C:x +y +mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值为( A.8 B.-4 C.6 D.无法确 定 )

5.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x +(y﹣2) =1 C. (x﹣1) +(y﹣3) =1
2 2 2 2 2 2

B.x +(y+2) =1 D.x +(y﹣3) =1 )
2 2

2

2

6.若圆 x +y -2kx+2y+2=0(k>0)与两坐标轴无公共点,那么实数 k 的取值范围为( A.-1<k<1 C.1<k<2 B.1<k< D. <k<2

二、填空题(共 4 小题)[来源:学,科,网] 7 . 若 方 程 x2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 6a 2 ? a ? 0 表 示 圆 心 在 第 四 象 限 的 圆 , 则 实 数 a 的 范 围 为 .

8.已知两点 A(4, 9), B(6, 3) ,则以 AB 为直径的圆的标准方程为_________ __________. 9.已知圆 C 过点 A(1,0)和 B(3,0),且圆心在直线 y=x 上, 则圆 C 的标准方程为________. 10.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 (1,0) 关于直线 y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为_______. 三、解答题 (共 2 大题)[ 11.已知一个圆经过直线 l: 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交点,并且面
2 2

积有最小值,求此圆的方程.

- 96 -

12.已知圆 C 过原点且与 x ? y ? 4 ? 0 相切,且圆心 C 在直线 x ? y ? 0 上. (1)求圆的方程;(2)过点 P (2,2) 的直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点, 且|AB|? 2 , 求直线 l 的方程 .

四十六、直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题(共 6 小题) 1.(2012?陕西高考理科?T4)已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 是过点 P(3, 0) 的直线,则(
2 2



(A) l 与 C 相交 (C) l 与 C 相离

(B) l 与 C 相切 (D) 以上三个选项均有可能
2 2

2.(2012?福建高考文科?T7)直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的 长度等于( )
- 97 -

(A) 2 5

(B) 2 3

(C) 3

(D) 1

3.(2011?安徽高考文科?T4)若直线 3x ? y ? a ? 0 过圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值 为( ) (A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3
2

4.(2012?广东高考文科?T8)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x + y =4 相交 A、 B 两点,则弦 AB 的长等于( (A)3 3 (B)2 3 ) (C) 3 (D)1 )

2

2 2 2 2 5.(2012?山东高考文科?T9)圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 的位置关系为(

(A)内切

(B)相交

(C)外切

(D)相离
2 2

6.(2012?湖北高考文科?T5)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分, 使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( (A)x+y-2=0 (B)y-1=0 (C)x-y=0 )

(D)x+3y-4=0

二、填空题(共 4 小题) 7.(2012?北京高考文科?T9)直线 y=x 被圆 x +(y-2) =4 截得弦长为__________. 8.(2012?江西高考文科?T14)过直线 x+y的夹角是 60°,则点 P 的坐标是__________. 9. (2013?山东高考文科?T13)过点(3,1)作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的弦,其中最短的弦长为 __________ 10. ( 2013 ? 湖 北 高 考 文 科 ? T 14 ) 已 知 圆 O : x2 ? y 2 ? 5 , 直 线 l : x cos ? ? y sin ? ? 1 (0 ?? =0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条切 线
2 2 2 2

?

π ).设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ,则 k ? 2
2

.

三、解答题 (共 2 大题)[ 11.(2011?新课标全国高考文科?T20)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1与坐标轴 的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值.

- 98 -

12.(2013? 江苏高考数学科? T17) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(0,3) , 直线 l : y ? 2 x ? 4 。 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。

四十七
一、选择题(共 10 小题)

椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点 M 到焦点 F1 的距离 为 2,N 是 MF1 的中点,O 为原点,则| ON|等 1.已知椭圆 25 9
于 ( ) (B ) 4 (C) 8
- 99 -

(A)2

(D)

3 2

x2 y2 ? ? 1 ,焦点在 x 轴上,则其焦距等于( 2.已知椭圆方程为 8 m2
(A) 2 8 ? m
2

)[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2

(B) 2 2 2 ? m (D) 2 m ? 2 2 [来源:学.科.网]

(C) 2 m ? 8

3.设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中 a 2 b2


? C 的离心率为( 点在 y 轴上,若 ?PF 1F 2 ? 30 ,则椭圆

A.

1 6

B.

1 3

C.

3 6

D.

3 3 3 ,且椭圆 G 上一点到其两个焦点的 2

4.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为( )

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 A.. 4 9 9 4
5.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ?1 C. 36 9

x2 y 2 ? ?1 D. 9 36


x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D. 2

A. ?4

B. 4

C. ?2

6.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 为( A. ) B.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率 a 2 b2

5 5

1 2

C.

2 5 5

D.

2 3

二、填空题(共 4 小题) 7.设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1 P 的中点, OM ? 3 , 25 16

则 P 点到椭圆左焦点距离为__ ______.

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 8.已知椭圆 C: 25 16
线段 MN 的中点在 C 上, 则 | AN | ? | BN |? .

- 100 -

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点,点 B 为圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上任意一点,则 | AB | 的最 9.已知点 A 为椭圆 25 9
大值为 .

10.设 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的 a 2 b2
.

? 中点在 y 轴上,若 ?PF 1F 2 ? 30 ,则椭圆的离心率为

三、解答题(共 2 大题)

x2 y2 11.已知 F1 , F2 为椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,椭圆上的点到 F2 的最近距离为 2, a b
且离心率为

1 . 3

(1)椭圆 C 的方程;[来源:学§科§网] (2)若 E 是椭圆 C 上的动点,求 EF 1 ? EF 2 的 最大值和最小值.

x2 y 2 3 12、已知点 P(一 1, )是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右 2 a b
焦点,O 是坐标原点,PF1⊥x 轴. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 A,B 是椭圆 E 上两个动点,满足: PA ? PB ? ? PO(0 ? ? ? 4, 且? ? 2) ,求直线 AB 的斜 率

??? ? ??? ?

??? ?

四十八、双曲线
一、选择题(共 6 小题)

x2 y 2 1.若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为( a b
A. ?

)[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

1 2

B. ?

2 2

C. ? 2

D. ?2 [来源:

- 101 -

2.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 等于( ) A.-

1 4

B.-4

C.4

D.

1 4

3.已知双曲线 my 2 ? x 2 ? 1(m ? R) 与椭圆 ( )[来源:学科网 ZXXK] (B) y ? ?

y2 ? x 2 ? 1有相同 的焦点,则该双曲线的渐近线方程为 5

(A) y ? ? 3x

3 x 3

(C) y ? ?

1 x 3

(D) y ? ?3x

4.双曲线

y2 a2

?

x2 b2

? 1 与抛物线 x 2 ? 8 y 有一个公共焦点 F ,双曲线上过点 F 且垂直实

轴的弦长为

2 3 ,则双曲线的离心率等于 ( 3
B.



A. 2

2 3 3

C.

3 2 2

D. 3

2 5. 若直线 l 过点 P (1,0)与双曲线 x ?

y2 ? 1 只有一 个公共点,则这样的直 线有 4
D.1 条

A.4 条

B.3 条

C. 2 条

6. 对于任意给定的实数 m , 直线 3x ? y ? m ? 0 与双曲线 点则,双曲线的离心率等于 A. 2 B. 2 C. 3

x2 y2 ? ? 1(a ? 0 ,b ? 0) 最多有一个 交 a 2 b2

D. 10

二、填空题(共 4 小题) 7.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐进线互相垂直,则该双曲线的离心率为 a 2 b2 x2 y2 ? 2 ? 1 的焦距为 6, 则实数 m= m m ?3
[来源:

8. 在平面直角坐标系 xoy 中, 若双曲线方程为 学,科,网 Z,X,X,K]

x2 ? y 2 ? 1 的顶点 到其渐近线的距离等 于_________. 9.双曲线 4
10 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y =± 3 x ,则该双曲线的离心率 a 2 b2
- 102 -





三、解答题(共 2 大题) 11.已知双曲线 C

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,实轴长为 2; a 2 b2

(1)求双曲线 C 的标准方程; (2) 已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B, 且线 段 AB 的中点在圆 x 2 ? y 2 ? 5 上, 求实数 m 的值.

12.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 y ? ? 3x ,且双曲线过点 (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过双曲线右焦点 F 作倾斜角为

?

2, 3

?

? 的直线交双曲线于 A, B ,求 | AB | . 4

四十九
一、选择题(共 6 小题)

抛物线

1 .抛物线 y=ax 的准线方程为 y =1,则实数 a 的值为( (A)4 (B)
2

2



1 4

(C) ?

1 4
)

(D)-4

2.抛物线 y=2ax (a≠0)的焦点是( A.( a ,0) 2

B.( a ,0)或(- a ,0 ) 2 2
- 103 -

C.(0, 1 ) 8a

D.(0, 1 )或(0,- 1 ) 8a 8a

3.抛物线 y 2 ? 12 x 截直线 y ? 2 x ? 1 所得弦长等于( )

A. 15

B. 2 15

C.

15 2

D. 15 [来源:学*科*网 Z*X*X*K][来源:学_

4.抛物线 y ? 2 x 2 上的点到直线 4 x ? 3 y +1 ? 0 的距离最小值为 A.

4 3

B.

1 15

C.

1 3

D.3

5.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,以 (1,1) 为中点作抛物线的弦,则这条弦所在 直线的方程为 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

6.设抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点,分别过

A 、 B 两点作抛物线的两条切线交于点 C ,则有(
A. AC ? BC ? 0 C. AC ? BC ? 0 二、填空题(共 4 小题)
? ? ? ?



B. AC ? BC ? 0 D. AC ? BC ? 0
? ?

?

?

7.若点 A 的坐标为(3,2) ,F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点,则 PA ? PF
2

取得最小值时,点 P 的坐标是

。 .

x2 y 2 ? ? 1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 8.以双曲线 4 5
9.抛物线 y ? 8x 的焦点到准线的距离是
2 2



10.已知定点 A(2, 3) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部, F 为抛物线的焦点,点 Q 在抛物线 上,

| AQ | ? | QF | 的最小值为 4,则 p =
三、解答题(共 2 大题)



11.已知点 F (1, 0) ,直线 l : x ? ?1 ,动点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离. (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过 N (4, 2) 的直线 m ,使得直线 m 被曲线 C 截得的弦 AB 恰好被点 N 所平分?

- 104 -

12.已知抛物线 C: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 与直线 y ? x ? 1 相切 ,且知点 F (0,1) 和直线 l : y ? ?1 ,若动 点 P 在抛物线 C 上(除原点外) ,点 P 处的切线记为 m ,过点 F 且与直线 PF 垂直的直线记为 n . (1)求抛物 线 C 的方程; (2 )求 证:直线 l , m, n 相交于同一点.

专题强化训练(五)圆锥曲线的综合问题
一、选择题(共 6 小题) 1.若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax 2 ?
3

A. ?1 或 -

25 64

B. ?1 或

21 4

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 ( 4 7 7 25 C. ? 或 D. ? 或 7 4 4 64



- 105 -

x2 y 2 2 2.设双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双曲线的离心率等于 a b
( ) B.2 C. 5 D. 6

A. 3

3.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点 P 与点 a 2 b2

F2 关于直线 y ?
A.

bx 对称,则该双曲线的离心率为 a
B. 5 C. 2 D. 2

5 2

4.已知双曲线

x2 y 2 ? =1 的左支上一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18,N 是线段 MF2 的中点,O 是坐 25 9
) C.1
2

标原点,则|ON|等于( A.4 B.2

D.

2 3

5.如图,过抛物线 y =2px (p>0 )的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线 于点 C,若|BC| =2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为( A.y =9x C.y =3x
2 2

)

B.y =6x D.y = 3 x
2 2

2

6. 已知 直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 B.3 C. )

11 5

D.

37 16

二、填空题(共 4 小题) 7. 过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点 B , 且点 B 在 a 2 b2
1 3 1 ,则椭圆离心率的取值范围是_____________. 2

x 轴上的射影恰好为右焦点 F ,若 ? k ?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,过点 P(2, 0) 且切斜率为 1 8.抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 与双曲线 3 6
的 直 线 l 与 抛 物 线 C 交 于 A, B 两 点 , 则 弦 AB 的 中 点 到 抛 物 线 准 线 的 距 离 为 _____________________.

- 106 -

x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的准线分别交于 a b

A, B 两点, O 为坐标原点.若双曲线的 离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则 p ? _________.
10.设 AB 是椭圆的长轴,点 C 在椭圆上,且 ?CBA ? 之间的距离为________. 三、解答题(共 2 大题) 11. (已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p > 0 )的准线与 x 轴交于点 M (- 1, 0) . (1)求抛物线的方程,并写出焦点坐标; ( 2 )是否存在过焦点的直线 AB (直线与抛物线交于点 A , B ) ,使得三角形 MAB 的面积

?
4

,若 AB=4, BC ?

2 ,则椭圆的两个焦点

SDMAB = 4 2 ?若存在,请求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

12.已知椭圆 G 的离心率为 (1)求椭圆 G 的标准方程;

2 ,短轴端点分别为 A(0,1), B(0, ?1) . 2

(2)若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 BC 与 x 轴交于点 M ,判断以线段 MD 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由.

五十
一、选择题(共 6 小题)

算法与程序框图、基本算法语句

- 107 -

1.某程序 框图如图,该程序运行后输出 的 k 的值是 ( )

A. 4
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B. 5

C. 6

D. 7

2 . 如 图 给 出 的 是 计 算

1 1 1 1 ? ? ?L ? 的值的程序框图, 2 4 6 2014
其中判断框内应填入的是( ) 第 1 题图 A. i ? 2013 B. i ? 2015 C. i ? 2017 D. i ? 2019 第 2 题图

3.下图是一个程序框图, 则输出的结果为 ( )

A.20

B.14

C.10

D.7

[来源:Zxxk.Com][ 来源:学科网]

4. 某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的值是 , 则 (

9 5



第 3 题图 A. a ? 6 B. a ? 5 C. a ? 4 D. a ? 7
[来源:Zxxk.Com]

5.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是(



A.5

B.6

C.7

D.8 )

6.执行如图所示的程序框图,当输出值为 4 时,输入 x 的值为(

- 108 -

A.2

B. ? 2

C.-2 或-3

D.2 或-3

二、填空题(共 4 小题) 7.如图所示的算法中, a ? e3 , b ? 3? , c ? e? ,其中 ? 是圆周率,

e ? 2.71828 是自然对数的底数,则输出的结果是

.

8.设 x1 ? 18, x2 ? 19, x3 ? 20, x4 ? 21, x5 ? 22 ,将这五个数据依次输入下面 程序框进行计算,则输出的 S 值_______

9.【2013 年(江西卷) 】阅读如下程序框图,如果输出 i ? 4 ,那么空白的判 断框中应填入的条件是_______. 第 7 题图

10. 【2014 江西卷】阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为_______.

- 109 -

3 3: 4 N:2000 1/

五十一
一、选择题(共 6 小题)

随机抽样

1.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四 个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 ,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、 乙、 丙、 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 为( ) A.101 B.808 C.1212 D.2012 2. 从 932 人中抽取一个样本容量为 100 的样本, 采用系统抽样的方法则必须从这 932 人中剔除 ( ) 人 A.32 B.24 C.16 D.48 3.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A、 在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位 为 2709 为三等奖。 B、某车间包装一种产品,在自动的传送带上,每隔 5 分钟抽一包产品,称其重量是否合格 C、某校分别从行政,教师,后勤人员中抽取 2 人,14 人,4 人了解学校机构改革的意见。 D、用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验。 4.下 列关于随机抽样的说法不正确的是( ) A.简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样 B.系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都 相等 C.有 2008 个零件,先用随机数表法剔除 8 个,再用系统抽样方法抽取抽取 20 个作为样本,每个零 件入选样本的概率都为 D.当总体是由差异明显 的几个部分组成时适宜采取分层抽样 5.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 780 人、 高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为 13 人,则 n 等于( ) A、660 B、720 C、780 D、800 6.有下列调查方式:①某学校为了了解高一学生的作业完成情况,从该校 20 个 班中每班抽 1 人进 行座谈;②某班共有 50 人,在一次期中考试中,15 人在 120 以上,30 人在 90~120 分,5 人低于 90 分. 现在从中抽取 10 人座谈了解情况, 120 分以上的同学中抽取 3 人, 90~120 分的同学中抽取 6 人, 低于 90 分的同学中抽取 1 人;③从 6 名家长志愿者中随机抽取 1 人协助交警疏导交通.这三种调查 方式所采用的抽样方法依次为 A.分层抽样,系统抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,系统抽样,分层抽样 C.分层抽样,简单随机抽样,系统抽样 D.系统抽样,分层抽样,简单随机抽样 二、填空题(共 4 小题) 7.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为 40 的 样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 . 8.某商场想通过检查发票及销售记录的 2℅来快速估计每月的销售总额,现采用系统抽样,从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张,如 15 号,然后按顺序往后抽,依次为 15,65,115?,则第五个 号是 . 9.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:3:3,现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级的学生中抽取容量为 80 的样本,则应从高一年级抽取 名学生. 10.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的
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学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取

名学生.

三、解答题(共 2 大题) 11.某汽车厂生产的 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下
- 110 -

表(单位:辆) 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适性 800 450 200 标准型 100 150 300 (Ⅰ)在这个月生产的轿车中,用分层抽样的方法抽取 n 辆,其中有 A 类轿车 45 辆,求 n 的值; (Ⅱ)在 C 类轿车中,用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少 1 辆舒适型轿车的概率; (Ⅲ)用随机抽样的方法从 A 类舒适型轿车中抽取 10 辆,经检测它们的得分如下: ,8.7,9.3,8.2, 9.4,8.6,9.2,9.6,9.0,8.4,8.6,把这 10 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求 该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率.

12.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 女生
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20 10

5 15

25 25

合计 30 20 50 (1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率.

- 111 -

五十二

用样本估计总体

一、选择题(共 6 小题) 1.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数分别是 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7;乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. 则这两组数据的方差是( )
2 2 A. s甲 =3.1,s乙 ? 1.2 2 2 B. s甲 =3.0,s乙 ? 1.4 2 2 C. s甲 =3.0,s乙 ? 1.2 2 2 D. s甲 =3.1 ,s乙 ? 1.4

2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为 6 组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直 方图,已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( ) A.588 B.480 C.450 D.120 3.该茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次数学测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的 平均数为 87,乙组数据的中位数为 87,则 x,y 的值分别为( )
[来源:学科网]

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A.2,6 B.2,7 C.3,6 D.3,7 4.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数茎叶图如图 所示, 则此学生该门功课考试分数的极差 与中位数之和为 ( ) A.117 B.118 C.118.5 D.119.5 5.某班 5 次数学测验中,甲、乙两同学的成绩如下: ( ) 甲:90 82 88 96 94; 乙:94 86 88 90 92 A.甲的平均成绩比乙好 B.甲的平均成绩比乙差 C.甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好 D.甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好 6.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直 方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 1 小组的频数为 6,则报 考飞行员的学生人数是 ( ) A.36 B.40 C.48 D.50 二、填空题(共 4 小题)
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7.设 x1 , x2 ,?, xn 的平均数是 x ,标准差是 s ,则另一组数 2 x1 ? 1, 2 x2 ? 1,?, 2 xn ? 1 的平均数和标 准差分别是_________. 8.如图是小王所做的六套数学附加题得分(满分 40)的茎叶图,则 其平均得分为 9.从总体中随机抽出一个容量为 20 的样本,其数据的分组及各组的频数如下表,试估 计总体的中位数为________. 分 组 频 数 [12, 16) [16, 20) [2 0, 24) [24, 28) 4 8 5 3

10.统计某校 800 名学生的数学期末成绩,得到频率分布直方图如图所示,若考试采用 100 分制, 并规定不低于 60 分为及格,则及格率为 . 三、解答题(共 2 大题) 11.某学校 900 名学生在 一次百米测试中,成绩全 部介于 13 秒与 18 秒之间,抽取其中 50 个样本, 将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14],第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],如图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图.
- 112 -

(1)若成绩小于 14 秒认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数; (2)请估计学校 900 名学生中,成绩属于第四组的人数; (3)请根据频率分布直方图,求样本数据的众数和中位数 .

12.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本,得频率分布表如 下: 组号 分组 频数 频率 230, 235 ? ? 第一组 8 0.16
[来源:学。科。网]

第二组 第三组 第四组

? 235, 240? ? 240, 245? ? 245, 250?

① 15 10

0.24 ② 0.20

[250, 255] 第五组 5 0.10 合 计 50 1.00 (1)写出表中①②位置的数据; (2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第 二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数; (3)在(2) 的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 名是第四组 的概率.

- 113 -

五十三

变量间的相关关系与统计案例

一、选择题(共 6 小题) 1.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 ? 0.5 ? 2.0 ? 3.0 y 4.0 2.5 0.5 ? ? bx ? a ,则 得到的回归方程为 y A. a ? 0 , b ? 0 B. a ? 0 , b ? 0 C. a ? 0 , b ? 0 D. a ? 0 , b ? 0 2.设某大学的女生体重 y (单位: kg )与身高 x (单位: cm )具有线性相关关系,根据一组样
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? ? 0.85x ? 85.71 ,则下列结论 本数据 ( xi , yi ) ( i ? 1,2,3,? n ) ,用最小二乘法建立的回归方程为 y
中不正确的是( ) A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 ( x , y )

C.若该大学某女生身高增加 1cm ,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm ,则可断定其体重为 58.79kg 3.从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 体重 y(kg) 160 63 165 66 170 70 175 72 180 74

? ? 0.56x ? a ? ,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生的体重为 根据上表可得回归直线方程 y ( ) A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg 4.调查某市出租车使用年限 x 和该年支出维修费用 y (万元) ,得到数据如下: 2 3 4 5 6 使用年限 x 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
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则回归方 程 y ? b x ? a ,必过定点 A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6) 5.为 了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y (cm) 175 175 176 177 177 则, y 对 x 的线性回归方程为( ) A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? 88 ?

?

?

?

1 x 2

D. y ? 176 ?

1 x 2

6.在第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,稳居金牌榜榜首,由 此许多人认为中国进入了世界体育强国之列, 也有许多人持反对意见, 有网友为此进行了调查, 在参 加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见,2452 名女性中有 1200 名持反对意见,在运用这些数 据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时,用什么方法最有说服力( ) A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率 二、填空题(共 4 小题) 7.已知某回归直线过点 (0, 0) ,且样本数据中 xi 和 yi (i ? 1, 2,?, n) 的均值分别为 . 8. (2013?辽宁高考文科?T16)与(2013?辽宁高考理科?T16)相同为了考察某校各班参加课 外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据。已知 样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为_________. 9.(2012?广东高考文科?T13)由正整数组成的一组数据 1 且标准差等于 1,则这组数据为 .(从小到大排列)
- 114 -

2.5 和 3 ,则此回归直线方程为

x , x2 , x3 , x4 , 其平均数和中位数都是 2,

10.(2011?浙江高考文科?T13)某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机 抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试 成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据 频率分布直方图推测这 3 000 名学生在该次数学考 试中成绩小于 60 分的学生数是____________. 三、解答题(共 2 大题) 11. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人, 结果如下 男 女 合计 需要 40 30 不需要 160 270 合计 (1)将表格填写完整,并估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否在犯错误的概率不 超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性 别有关系? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老 年人的比例?说明理由。 附表: 2 P(K ≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们 分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中的发芽数,得到如 下资料: 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x(℃) 10 11 13 12 8 发芽 y(颗) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程, 剩下的 2 组数据用于回归方程检验. (1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据, 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗, 则认为得到的线性 回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠? (3)请预测温差为 14℃的发芽数。
? ? ?

- 115 -

五十四 随机事件的概率
一、选择题(共 6 小题) 1.容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表:

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( (A)0.35 (B)0.45 (C)0.55


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(D)0.65

2.某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶

)

D.只有一次 中靶

3.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 0.3,甲不输的概率为 0.8,则甲、乙两人下成和棋的概率为 ( A. 0.6 ) B. 0.3 C. 0.1 D. 0.5

4.一个射手进行射击,记事件 E1:“脱靶”,E2:“中靶”,E3:“中靶环数大于 4”,E4:“中靶 环数不小于 5”,则在上述事件中 ,互斥而不对立的事件共有 ( A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 ).

5 .抛掷一枚质地均匀的骰子,落地后记事件 A 为“奇数点向上” ,事件 B 为“偶数点向上” ,事件 C 为“向上的点数是 2 的倍数” ,事件 D 为“2 点或 4 点向上” 。则下列每对事件是互斥但不对 立的是 ( ) B、B 与 C C、C 与 D D、A 与 D )

A、A 与 B

6.从 12 个同类产品(其中 10 个是正品, 2 个是次品)中任意抽取 3 个的必然事件是( A.3 个都是正品 B.至少有 1个是次品 C. 3 个都是次品 D.至少有 1 个是 正品

二、填空题(共 4 小题) 11.口袋内有一些大小相同的红球,白球和黑球,从中任摸一球,摸出红球的概率是 0.3,摸出黑 球的概率是 0.5,那么摸出白球的概率是 .

12.口袋内装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,其中有 45 个红球,从中摸出 1 个球,若摸出 白球的概率为 0.23 ,则摸出黑球的概率为____________. 13.将一部四卷的文集,任意放在书架同一层上,则卷序自左向右或自右向左恰为 1,2,3,4 的概率为 14.下课后教室里最后还剩下 2 位男同学和 2 位女同学,四位同学先后离开,则第二位走的是男同 学的概率是________
- 116 -

三、解答题(共 2 大题) 11.某校在教师外出培训学习活动中,在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示: 派出人数 概率 2 人及以下 0.1 3 0.46 4 0.3 5 0.1
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6 人及以上 0.04

⑴ 求有 4 个人或 5 个人培训的概率; ⑵ 求至少有 3 个人培训的概率.

12.(2013?安徽高考理科?T21)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试 活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数) 。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学 生,且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x 。 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;

- 117 -

五十五
一、选择题(共 6 小题)

古典概型

1.五张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5,从这五张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上 数字之和为奇数的概率为( A. ) C.
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3 5

B.

2 5

3 4

D.

2 3

2.4 张卡片上分别写有数字 1, 2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数 学之和为偶数的概率是( A. ) D.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

3 4


3.在正方体中任取两条棱,则这两条棱为异面直线的概率为( A.

2 11

B.

4 11

C.

6 11

D.

8 11

4. 【2014 高考湖北卷文第 5 题】随机投掷两枚均匀的投骰子,他们向上的点数之和不超过 5 的概 率为 P1 ,点数之和大于 5 的概率为 P2 ,点数之和为偶数的概率为 P3 ,则( A. P 1 ? P 2 ? P 3 B. P2 ? P 1 ? P 3 C. P 1 ? P 3 ? P 2 ) D. P 3 ? P 1 ? P 2

5.(2011?浙江高考理科?T9)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若 将其随机地抽取并排摆放在图书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( (A) )

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

6. (2011?安徽高考文科?T9)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的 四边形是矩形的概率等于( (A) )

1 10

(B)

1 8

(C)

1 6

(D)

1 5

二、填空题(共 4 小题) 7. (2013?江苏高考数学科?T7)现在某类病毒记作 X m Yn ,其中正整数 m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取, 则 m,n 都取到奇数的概率为 . 8.(2013?新课标全国Ⅱ高考理科?T14)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两 数之和等于 5 的概率为错误!未找到引用源。,则 n= . 9.从一副 52 张扑克牌中第一张抽到“ Q ” ,重新放回,第二张抽到一张有人头的牌,则这两个事件 都发生的概率为________. 10.(15 年江苏) 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次 随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________. 三、解答题(共 2 大题)
- 118 -

11.某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第 1 组[25,30) ,第 2 组[30,35) , 第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45,50],得到的频率分布直方图如下图所示. (1)上表是年龄的频数分布表,求正整数 a , b 的值; (2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方 法抽取 6 人,年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社 区宣传交流活动,求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率.

12.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小 于 4 的概率; (Ⅱ)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且 标号之和小于 4 的概率.

- 119 -

五十六 几何概型
一、选择题(共 6 小题) 1.已知 Ω ={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为( ) A.

2 9

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 9 1 的概率为( ) 3

2. 在区 间(0, 1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于

A.

17 18

B.

7 9

C.

2 9

D.

1 18

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

3.在区间 [0 , 2] 上随机取两个数 x ,y 其中满足 y ? 2 x 的概率是( ) A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

4.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离 ?0 ? y ? 2
) C

大于 2 的概率是 ( A

? 4

B

? ?2
2

? 6

D

4 ?? 4

5.在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于 1 的概 率为 A.

? 16

B.

? 8

C.

? 4

D.

? 2

[来源:学*科*网]

6. (2013?湖南高考文科?T9).已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的 最大边是 AB”发生的概率为

AD 1 ,则 =( ) 2 AB
C.

A.

1 2

B.

1 4

3 2

D.

7 4

二、填空题(共 4 小题) 7.(2012?辽宁高考文科?T11)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别 等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为
2

.

8. (2013?四川高考理科?T9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次 闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在 4 秒内为间隔闪亮,那么 这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是________. 9.在半径为 1 的圆的一条直径上取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接正三角形 边长的概率为________.
- 120 -

10.在正方形 ABCD 中,点 E 为 AD 的中点,若在正方形 ABCD 内部随机取一个点 Q ,则点 Q 落 在 ?ABE 内部的概率是 三、解答题(共 2 大题) 11.若点 ? p, q ? , 在 p ? 3, q ? 3 中按均匀分布出现. (1) 点 M xy (, ) 横、 纵坐标分别由掷骰子确定, 第一次 确定横坐标, 第二次确定纵坐标, 则点 M ( x, y ) .

落在上述区域的概率? (2)试求方程 x2 ? 2 px ? q2 ? 1 ? 0 有两个实数根的概率.

1 3 12.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,求函数 f(x)= x +ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个 2 零点的概率.

- 121 -

专题强化训练(六) 概率与统计的综合问题
一、填空题(共 6 小题) 1.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法 得到的线性回归方程(如图),以下结论中正确的是 ( )

A.x 和 y 正相关 B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在-1 到 0 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 2.(2014?佛山模拟)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已 知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如 图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 ( )

A.31.6 岁

B.32.6 岁

C.33.6 岁

D.36.6 岁

3.(2012?北京高考文科?T3)与(2012?北京高考理科?T2)相同

设不等式组 大于 2 的概率是( )

表示平面区域为 D, 在区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐标原点的距离

- 122 -

? (A) 4

? ?2
(B)

2

? (C) 6

4 ?? (D) 4

4.(2012?安徽高考文科?T10)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个 白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )

1 (A) 5

2 (B) 5

3 (C) 5

4 (D) 5

5.(2011?浙江高考文科?T8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中 至少有 1 个白球的概率 是( (A) )

1 10

(B)

3 10

(C)

3 5

(D)

9 10

6.(2014? 韶关模拟)由于工业化城镇化的推进,大气污染日益加重,空气质量逐步恶化,雾霾天气频率 增大,大气污染可引起心悸、 胸闷等心脏病症状,为了解某市患心脏病是否与性别有关,在某医院心血 管科随机对入院的 50 位病人进行调查,得到了如下的列联表:问在犯错误的概率不超过多少的前提 下认为是否患心脏病与性别有关 ( A.0.05 B.0.01 ) C.0.005 患心脏病 男 女 合计 参考临界值表: P(K ≥k0) k0
2

D.0.001 不患心脏病 5 15 20 合计 25 25 50

20 10 30

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式:K =错误!未找到引用源。,其中 n=a+b+c+d) 二、填空题(共 4 小题) 7.(2012?浙江高考文科?T12)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取

2

2 两点,则该两点间的距离为 2 的概率是___________.
8.(2014? 广东高考文科? T12)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率为 9. (2014?上海高考文科?T13) 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则选择的 3 天恰
- 123 -

.

好为连续 3 天的概率是________(结果用最简分数表示). 10.(2011?湖南高考文科?T15)已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 12 ,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 三、解答题(共 2 大题) 11.(2011?新课标全国高考文科?T19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表 明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质产品,现用两种新配方(分别称为 A 配方 和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结 果:

A 配方的频数分布表
指标值分组 频数

?90,94?
8

?94,98?
20

?98,102?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

B 配方的频数分布表
指标值分组 频数

?90,94?
4

?94,98?
12

?98,102?
42

?102,106?
32

?106,110?
10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2,   t ? 94, ? y ? ?2,    94 ? t ? 102, ? 4,   t ? 102. ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件 的利润.

12.(2012?天津高考文科?T15)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (II)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果;
- 124 -

(2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

五十七
一、选择题(共 6 小题)

坐标系

2 1.极坐标方程 ? = 化为普通方程是( 1+cos?
A.y2=4(x-1) C.y2=2(x-1)

). B.y2=4(1-x) D.y2=2(1-x)

2.点 P 在曲线 ? cos??+2? sin??=3 上,其中 0≤??≤ A.直线 x+2y-3=0 C. 圆(x-2)2+y=1

π ,?>0,则点 P 的轨迹是( 4

).

B.以(3,0)为端点的射线 D.以(1,1),(3,0)为端点的线段

3.设点 P 在曲线 ??sin ??= 2 上,点 Q 在曲线 ?= - 2cos ?上,则 |PQ|的最小值为 A.2 B.1 C .3 ). C .( 2 , D.0

4.?= 2 (cos ??-sin ??)(?>0)的圆心极坐标为( A.(-1,

3π ) 4

B.(1,

7π ) 4

π ) 4

D.(1, ).

5π ) 4

5.极坐标方程为 lg ?=1+lg cos ?,则曲线上的点(?,?)的轨迹是( A.以点(5,0)为圆心,5 为半径的圆 B.以点(5,0)为圆心,5 为半径的圆,除去极点 C.以点(5,0)为圆心,5 为半径的上半圆 D.以点(5,0)为圆心,5 为半径的右半圆

1 6.方程 ? = 表示的曲线是( 1- cos ? +sin ?
A. 圆 二、填空题(共 4 小题) B.椭圆

). C. 双曲线 D. 抛物线

7.极坐标方程 ρ =sin θ +2cos θ 能表示的曲线的直角坐标方程为________. π 2 8.已知直线的极坐标方程为 ρ sin (θ + )= ,则极点到该直线的距离是________. 4 2
? ?x′=3x, y2 2 9.双曲线 C:x - =1 经过 φ :? 64 ?2y′=y ?

变换后所得曲线 C′的焦点坐标为________.

- 125 -

10.(15 年广东文科)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半轴为极轴建

?x ? t2 ? 立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C 2 的参数方程为 ? (t y ? 2 2 t ? ?
为参数),则 C1 与 C 2 交点的直角坐标为 三、解答题(共 2 大题) 11. (2013?石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 3ρ =12ρ cos θ -10(ρ >0). (1)求曲线 C1 的直角坐标方程; (2)曲线 C2 的方程为 + =1, 设 P, Q 分别为曲线 C1 与曲线 C2 上的任意一点, 求|PQ|的最小值. 16 4
2



x2

y2

12.(2013?郑州模拟)已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为?

?x=2+2cos θ , ? ?y=2sin θ ?

(θ 为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 π 轴为极轴)中,直线 l 的方程为 ρ sin(θ + )=2 2. 4 (1)求曲线 C 在极坐标系中的方程;(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. π 变式:在本例(1)的条件下,求曲线 C 与曲线 C1:ρ cos θ =3(ρ ≥0,0≤θ < )交点的极坐标. 2

- 126 -

五十八 一、选择题(共 6 小题)
1.若直线的参数方程为? 2 A. 3 2 B.- 3
?x=-1+cos θ , ? ?y=2+sin θ ? ?x=1+2t, ? ? ?y=2-3t

参数方程

(t 为参数),则直线的斜率为________. 3 D.- 2

C.

3 2

2.曲线?

(θ 为参数)的对称中心( B.在直线 y=-2x 上 D.在直线 y=x+1 上

)

A.在直线 y=2x 上 C.在直线 y=x-1 上

3.[2014?安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线 l 的参数方程是? 程是 ρ =4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 B.2 14 C. 2 )
? ?x=t+1, ?y=t-3 ?

(t 为参数), 圆 C 的极坐标方

D.2 2

4.[2014?江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) 1 π 1 π A.ρ = ,0≤θ ≤ B.ρ = ,0≤θ ≤ cos θ +sin θ 2 cos θ +sin θ 4 π π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 2 4 5.[2014?长沙模拟] 已知点 P 所在曲线的极坐标方程为ρ =2cos θ ,点 Q 所在曲线的参数方 程为?
?x=1+t, ? ?y=4+2t ?

(t 为参数),则|PQ|的最小值是( 4 B. 5 5 4 D.

) 5 5

A.2

+1

C.1

-1 ).

? x=2 -t 6.直线 ? (t 为参数)上与点 A(2,-3)的距离等于 1 的点的坐标是( ? y=-3 +t

A.(1,-2)或(3,-4) B.(2- 2 ,-3+ 2 )或(2+ 2 ,-3- 2 )
- 127 -

C.(2-

2 2 2 2 ,-3+ )或(2+ ,-3- ) 2 2 2 2

D.(0,-1)或(4,-5)

二、填空题(共 4 小题) ? ?x=2 3cos θ 7.曲线? ?y=3 2sin θ ? (θ 为参数)中两焦点间的距离是________.

?x=1+cos θ , 8.(2014?西安质检)若直线 3x+4y+m=0 与圆? ?y=-2+sin θ 相切,则实数 m 的值是________. 9.变量 x,y 满足 ? ?
? x= t ? ? y=2 1-t

(θ 为参数)

(t 为参数),则代数式

y+2 的取值范围是 x+2



10.若动点(x,y)在曲线

x2 y 2 + 2 =  1(0<b≤4)上变化,则 x2+2y 的最大值为 4 b



三、解答题(共 2 大题) ?x=1+tcos α , 11:(2013?郑州模拟)已知直线 C1:? ?y=tsin α ?x=cos θ , ? ?y=sin θ (θ 为参数).(1)当 α = (t 为参数),曲线 C2:

π 时,求 C1 与 C2 的交点坐标;(2)过坐标原点 3

O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求点 P 轨迹的参数方程,并
指出它是什么曲线.

?x=2cos t, 12、(2013?新课标卷Ⅱ)已知动点 P,Q 在曲线 C:? ?y=2sin t

(t 为参数)上,

对应参数分别为 t=α 与 t=2α 为(0<α <2π ), M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参 数方程;(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原 点.

- 128 -


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