nbhkdz.com冰点文库

选修1-1 3.4 生活中的优化问题举例(1)

时间:2017-06-25


3.4 生活中的优化问题举例
(一)

1.了解导数在实际问题中的应用,对给出 的实际问题,如使利润最大、效率最高、 用料最省等问题,体会导数在解决实际问 题中的作用. 2.能利用导数求出某些特殊问题的最值.

重点:利用导数知识解决实际中的最优 化问题. 难点:将实际问题转化为数学问题,建 立函数模型.

> 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、

效率最高等问题,这些问题通常被称为
优化问题。

新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)

一、如何判断函数函数的单调性?
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导, f(x)为增函数 f(x)为减函数

二、如何求函数的极值与最值?
求函数极值的一般步骤
(1)确定定义域 (2)求导数f’(x)

(3)求f’(x)=0的根 (4)列表 (5)判断

求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤:

(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值; (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较,从而确定函数的最值。

复习:如何用导数来求函数的最值?
一般地,若函数y=f (x)在[a,b]上的图象是一条 连续不断的曲线,则求f (x) 的最值的步骤是: (1)求y=f (x)在[a,b]内的极值(极大值与极小值); (2)将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较,

其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点, 则这个极值一定是最值。

例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海 报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺 寸,才能使四周空白面积最小?

x

分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心 的高,求出版心的宽, 从而列出海报四周的面 积来?

128 解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为 dm, 此时四周空白面积为 x
128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x
'

你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行不?

512 求导数,得S ( x ) ? 2 ? 2 x
令:S ' ( x) ? 2 ? 512 ?0 2 x

解得:x ? 16,x ? ?16 (舍)

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当x ?? 0,16?时,s ? x? ? 0;
'

当x ??16, ???时,s ? x ? ? 0.
'

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最 小。

解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? ,即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x
128 此时y= ?8 16

答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

例2:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
若要使平均成本最低,则每天应生产多少件产品? 解:设平均成本为y元,每天生产x件产品,则 c 25000 x y? ? ? 200 ? x x 40

2

25000 x ?2 ? ? 200 ? 250 x 40 25000 x 当且仅当 ? ,即x ? 1000时等号成立 x 40 ∴每天应生产1000件产品

变式训练1:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
若受到设备的影响,该厂每天至多只能生产800件产品, 则要使平均成本最低,每天应生产多少件产品呢? 解:设平均成本为y元,每天生产x件产品,则 c 25000 x 25000 1 y? ? ? 200 ? ? y' ? ? ? 2 x x 40 x 40
由y ' ? 0,可求得x ? 1000

2

?由y ' ? 0,可求得0 ? x ? 1000

∴函数在(0,1000)上是减函数

?当x ? 800时,y取最小值 故每天应生产800件产品

b [说明] 对于型如 y ? ax ? (ab ? 0) 的对勾函数最值问题,要根 x

据定义域选择恰当的方法,并熟练掌握这些方法的要点。
基本不等式法: “一正、二定、三相等、四最值”; 导数法: 一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。

例3.已知:某商品生产成本C与产量q的函数关系式为

C ? 100 ? 4q

, 价格p与产量q的函数关系式为

1 p ? 25 ? q 求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8 1 解:利润L ? pq ? C ? (25 ? q )q ? (100 ? 4 q) 8
1 2 ? ? q ? 21q ?100 8

1 ? L ' ? ? q ? 21, 令L ' ? 0, 4

求得q ? 84
当L ' ? 0时,q ? 84,

当L ' ? 0时,q ? 84,

?当产量q为84时,利润L最大

1 另解:利润L ? pq ? C ? (25 ? q )q ? (100 ? 4q ) 8

1 2 ? ? q ? 21q ? 100 8
b 21 当q ? ? ? ? 84时,L的值最大 2a 1 4

变式训练2.一条长为l的铁丝截成两段,分别 弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和 最小,两段铁丝的长度分 别是多少? 解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l

x 2 l?x 2 S ? s1 ? s2 ? ( ) ? ( ) 4 4
1 2 2 ? (2 x ? 2lx ? l ) 16

则两个正方形面积和为

1 1 S ? ? (4 x ? 2l ) ? (2 x ? l ) 16 8 l 令S ? ? 0, 得x ? 2 由问题的实际意义可知:
l l 当x ? 时, S取最小值 . 最小值为 . 2 32
2

解决优化问题的一般步骤: (1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清问题和结论, 找出问题的主要关系. (2)建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型,主要是函数模型:引入恰当的 变量,把待求最值的对象表示为该变量的函数. (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数 学方法求解.此处主要是利用导数求函数最值. (4)结合实际问题的实际意义,对结果进行验证评估, 定性定量分析,作出正确的判断,并确定其答案.

优化问题

建立数学模型

用函数表示的 数学问题
解 决 数 学 模 型

优化问题 的答案

作答

用导数解决 数学问题


...选修1-1练习:3.4生活中的优化问题举例.doc

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1练习:3.4生活中的优化问题举例.doc_数学_高中教育_教育专区。选修 1-1 第三章 3.4 一、选择题 1.汽车...

(新课程)高中数学《3.4 生活中的优化问题举例 》评估训...

3.4 生活中的优化问题举例 》评估训练 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_...记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当...

...版,选修1-1)作业:3.4生活中的优化问题举例

【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:3.4生活中的优化问题举例_高中教育_教育专区。【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,...

...)选修1-1活页规范训练 3-4生活中的优化问题举例 Wor...

2013-2014版高中数学(人教A版)选修1-1活页规范训练 3-4生活中的优化问题举例 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2013-2014版高中数学(人教A版)选修1-1活页规范...

...全套教学案数学选修1-1:3.4生活中的优化问题举例

山东省临清市高中数学全套教学案数学选修1-1:3.4生活中的优化问题举例_高三数学...___ 2.回顾相关知识: (1)求曲线 y=x2+2 在点 P(1,3)处的切线方程...

...高二选修1-1 3.4生活中的优化问题举例同步练习题

如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 人教新课标版(A)高二选修1-1 3.4生活中的优化问题举例同步练习题 ...

...第三章 导数及其应用 3.4生活中的优化问题举例zyjy

2016高中数学人教A版 选修1-1 同步练习 第三章 ...3.4生活中的优化问题举例zyjy_数学_高中教育_教育...3.B. 4. 50 km/h.5. 3 3 7.解 (1)b′...

...数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例高...

导数及其应用3.4生活中的优化问题举例高效测评新人教A版选修1-1资料_数学_高中...·(48-2x) =4x(24-x) ,∴V′(x)=4(24-x) +8x·(24-x)(-1),令...

...3.4 生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修1-1

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。3.4 生活中的优化问题举例 (教师...

【成才之路】高二数学 1、3-4生活中的优化问题举例同步...

成才之路】高二数学 1、3-4生活中的优化问题举例同步练习 新人教A版选修1-1...2 故当 x=1 时,V(x)取最大值,并且最大体积为 V(1)=3(m ). 此时长...