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函数定义域,值域,解析式


函数定义域、值域、对应法则求法总结
一、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3) x 0 中 x ? 0

典例解析 1.求定义域

例 1.求下列函数的定义域:



f

( x) ?

4 ? x 2 ? 1 ② f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

③y?

x?2 ?3 ? 3

1 3x ? 7

例 2.已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。

2. 定义域的作用 (1)判断两函数是否为同一函数 (2)将函数解析式变形或化简 (3)求参数的值或取值范围

例 1.若函数 y ? ax2 ? ax ? 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围

1 a

王新敞
奎屯

新疆

例 2.求 x=(

? +

-

? + ?

?

)2 的个位数字。

1

例 3.设等式 ( ? ) + y 是两两不等的实数,求

( ? ) =
+? ?+

? ?

? 在 R 内成立, 其中 a, x,

的值。

二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法(2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法(5)换元法(包括三角换元) 以后还将学习到 (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法(8)判别式法(9)复合函数法 (10)不等式法(11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

1.求值域问题 一定要先观察定义域
解题思路:将原函数转化为常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?
k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }.

4a

4a

(1)直接法
例 1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 ? x ? 1)

② ③

2 f ( x) ? ? ( 1 ? x ? 3) 3x

y ? x?

1 (记住图像) x
2

例 2 求下列函数的值域: ③ y ? x 2 ? 4x ? 1 ;② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4]

③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ;④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ;

注:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ?
2 b 时,其最小值 y min ? (4ac ? b ) ; 2a 4a 2 b 时,其最大值 y max ? (4ac ? b ) . 2a 4a

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 x0 ? [a,b],则 f ( x0 ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 x0 ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x) 的单调区间内,只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的最大(小)值. (3)①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

(2)图象法:分段函数 例3 求 y ? x ? 3 ? x ? 1 的值域。

例4 已知函数 f ( x) 的解析式为

? 3 x ? 5 ( x ? 0) ? f ( x) ? ? x ? 5 (0 ? x ? 1) ? ? 2 x ? 8 ( x ? 1) ?

例5 求 y= + + 的值域。

3

(3)配方法:函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时
例 6.求 y= ? + + 的值域。

(4) 换元法:注意新元的取值范围
例 7.求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域

(5)分离常数法:常用来求”分式型”函数的值域。
例 8.求函数 y ?
x ?1 的值域 x?2

(6)判别式法:若可化为关于某变量的二次函数的分式函数或无理函数。
例 9. 求函数 y ?
5 的值域 2x ? 4x ? 3
2

例 10.求 y =

?+ ?+

的值域。

例 11.已知 y=f(x)满足 yx2+2yx-(3y+1)=0 求 y 的取值范围。

4

三,求函数解析式
1. 2. 3.

直接法:由已知条件设出变量,构造等量关系,列等式,解出 y。 代入法:eg.已知 f(x)=x2-1,求 f(x+x2) 换元法:已知 f[g(x)],求 f(x)的解析式,令 t=g(x) ,求出 f(t)即得。
换元后要确定 t 的取值范围。 eg.已知 f(3x+1)=4x+3,-2≤x≤1,求 f(x)。

4.

配凑法:已知的解析式中拼凑出含的形式,再把用 x 代替。注意定义
域。 eg.已知 f(3x+1)=4x+3,-2≤x≤1,求 f(x)。

5.

待定系数法:明确函数类型,设其解析式,由已知确定系数。

eg.已知 f(x)为二次函数,且对称轴 x=1,f(x)min=2,f(3)=8. 求 f(x)的表达式。

6.

方程组法:
eg.1.已知 f(x)+2f( )=x,(x≠0),求 f(x)
1

2.已知 f(x)+2f(-x)=x,求 f(x)

5


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