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2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数综合检测题 新人教A版必修4


2015-2016 学年高中数学 第一章 三角函数综合检测题 新人 A 教版 必修 4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.若 α 是第二象限角,则 18

0°-α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] A [解析] α 为第二象限角,不妨取 α =120°,则 180°-α 为第一象限角. 2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 C. 2 sin1 B.sin2 D.2sin1 ) ) B.第二象限角 D.第四象限角

[答案] C [解析] 由题设,圆弧的半径 r= 1 2 ,∴圆心角所对的弧长 l=2r= . sin1 sin1

3.(2015·宁波模拟)如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若∠AOP =θ ,则点 P 的坐标是( A.(cosθ ,sinθ ) B.(-cosθ ,sinθ ) C.(sinθ ,cosθ ) D.(-sinθ ,cosθ ) [答案] A [解析] 设 P(x,y),由三角函数定义知 sinθ =y,cosθ =x,故 P 点坐标为(cosθ , sinθ ). 1 4.(2015·昆明模拟)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cosα = x, 5 则 tanα =( A. 4 3 ) 3 B. 4 )

1

3 C.- 4 [答案] D [解析] x<0,r= x +16,∴cosα = 4 - . 3
2

4 D.- 3

1 2 = x,∴x =9,∴x=-3,∴tanα = 5 x +16
2

x

sinα -2cosα 5.如果 =-5,那么 tanα 的值为( 3sinα +5cosα A.-2 C. 23 16 B.2 23 D.- 16

)

[答案] D [解析] ∵sinα -2cosα =-5(3sinα +5cosα ), 23 ∴16sinα =-23cosα ,∴tanα =- . 16 sinα 6.(2015·江苏邳州高一检测)设 α 为第二象限角,则 · cosα A.1 C.-tan α [答案] D [解析] sinα · cosα 1 sinα cos α sinα cosα -1= · 2 = ·| |, 2 sin α cosα sin α cosα sinα
2 2

1 -1=( 2 sin α

)

B.tan α D.-1

2

又∵α 为第二象限角,∴cosα <0,sinα >0. sinα cosα sinα -cosα ∴原式= ·| |= · =-1. cosα sinα cosα sinα sinθ +cosθ sinθ cosθ 7.(2015·普宁模拟)若 =2,则 3 + 3 的值为( sinθ -cosθ cos θ sin θ 817 A.- 27 C. 820 27 817 B. 27 820 D.- 27 )

[答案] C sinθ +cosθ [解析] ∵ =2,∴sinθ =3cosθ . sinθ -cosθ ∴ sinθ cosθ 3 1 82 + = + = 3 3 2 2 2 cos θ sin θ cos θ 27cos θ 27cos θ

2

?sinθ =3cosθ ? 由? 2 2 ?sin θ +cos θ =1 ?

1 2 得 cos θ = 10



sinθ cosθ 820 + = . 3 3 cos θ sin θ 27
2

8.若 sinα 是 5x -7x-6=0 的根, 3π 3π 2 sin?-α - ?sin? -α ?tan ?2π -α ? 2 2 则 =( π π cos? -α ?cos? +α ?sin?π +α ? 2 2 A. C. 3 5 4 5 5 B. 3 5 D. 4

)

[答案] B 3 2 [解析] 方程 5x -7x-6=0 的两根为 x1=- , 5

x2=2.则 sinα =-

3 5
2

cosα ?-cosα ?tan α 1 5 原式= =- = . sinα ?-sinα ??-sinα ? sinα 3 9.(2015·安徽理)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正 2π 周期为 π ,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( 3 A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) [答案] A 2π [解析] ∵f(x)=Asin(ω x+φ )的最小正周期为 π ,且 x= 是经过函数 f(x)最小 3 2π π π 值点的一条对称轴,∴x= - = 是经过函数 f(x)最大值点的一条对称轴. 3 2 6 ∵|2- π 12-π π 5π -12 π π π |= ,|(π -2)- |= ,|0- |= ,∴|2- |>|(π -2) 6 6 6 6 6 6 6 B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) )

π π π 2π π 2π π 2π - |>|0- |,且- <2< ,- <π -2< ,- <0< ,∴f(2)<f(π -2)<f(0), 6 6 3 3 3 3 3 3 即 f(2)<f(-2)<f(0). π 10.将函数 y=sin(x- )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 3

3

π 再将所得的图象向右平移 个单位,得到的图象对应的解析式是( 3 1 A.y=sin x 2 1 π C.y=sin( x- ) 2 6 [答案] B π 横坐标伸长为原来的2倍 1 π [解析] y=sin(x- ) ― ― → y=sin( x- ) 3 2 3 1 π π 1 π =sin[ (x- )- ]=sin( x- ). 2 3 3 2 2 1 π B.y=sin( x- ) 2 2 π D.y=sin(2x- ) 6

)

y

? π? 11.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ?
A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

)

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 [答案] D

? π? [解析] ∵f(x)=sin?x- ?=-cosx(x∈R), 2? ? ? π? ∴T=2π ,在?0, ?上是增函数. 2? ?
∵f(-x)=-cos(-x)=-cosx=f(x). ∴函数 f(x)是偶函数,图象关于 y 轴即直线 x=0 对称. 12 . 已 知 某 帆 船 中 心 比 赛 场 馆 区 的 海 面 上 每 天 海 浪 高 度 y( 米 ) 可 看 作 是 时 间

t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作 y=f(t),经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看
成是函数 y=Acosω t+b,下表是某日各时的浪高数据:

t/时 y/米

0 2

3 3 2

6 1

9 3 2

12 2

15 3 2

18 0.99 )

21 3 2

24 2

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( 1 π A.y= cos t+1 2 6 π 3 C.y=2cos t+ 6 2 [答案] B

1 π 3 B.y= cos t+ 2 6 2 1 3 D.y= cos6π t+ 2 2

4

2π 2π π [解析] ∵T=12-0=12,∴ω = = = . T 12 6 又最大值为 2,最小值为 1, 则?
? ?A+b=2, ?-A+b=1, ?

1 3 解得 A= ,b= , 2 2

1 π 3 ∴y= cos t+ . 2 6 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知函数 f(x)=3x+sinx+1,若 f(t)=2,则 f(-t)=________. [答案] 0 [解析] 令 g(x)=3x+sinx.因为 g(x)为奇函数, 且 f(t)=3t+sint+1=2, 所以 g(t) =3t+sint=1,则 f(-t)=g(-t)+1=-g(t)+1=-1+1=0. 14. (2015·四川文)已知 sinα +2cosα =0, 则 2sinα cosα -cos α 的值是________. [答案] -1 [解析] sinα + 2cosα = 0 ? tanα = - 2 , 所 以 2sinα cosα - cos α =
2 2 2

2sinα cosα -cos α 2tanα -1 -4-1 = = =-1. 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 4+1 15.据市场调查,某种商品每件的售价按月呈 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0, π |φ |< )的模型波动(x 为月份), 已知 3 月份达到最高价 8 千元, 7 月份价格最低为 4 千元, 2 则 f(x)=________. π? ?π [答案] 2sin? x- ?+6 4? ?4
? ?A+B=8, [解析] 由题意得? ?-A+B=4, ?

解得 A=2,B=6.

2π π 周期 T=2(7-3)=8,∴ω = = . T 4

?π ? ∴f(x)=2sin? x+φ ?+6. ?4 ?
又当 x=3 时,y=8, ∴8=2sin? ∴sin?

?3π +φ ?+6. ? ? 4 ?

?3π +φ ?=1,取 φ =-π . ? 4 ? 4 ?

π? ?π ∴f(x)=2sin? x- ?+6. 4? ?4
5

π 16.关于函数 f(x)=4sin(2x+ )(x∈R),有下列命题: 3 π ①函数 y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x- ); 6 ②函数 y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; π ③函数 y=f(x)的图象关于点(- ,0)对称; 6 π ④函数 y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中,正确的是________.(填上你认为正确命题的序号) [答案] ①③ [ 解析 ] ①f(x)= 4sin(2x + π π π π ) = 4cos( - 2x - ) = 4cos( - 2x+ ) = 4cos(2x- 3 2 3 6

π 2π π π ).②T= =π ,最小正周期为 π .③∵2x+ =kπ ,当 k=0 时,x=- ,函数 f(x) 6 2 3 6 π π π π 1 关于点(- ,0)对称.④2x+ = +kπ ,当 x=- 时,k=- ,与 k∈Z 矛盾.∴① 6 3 2 6 2 ③正确. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)(1)已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),求 2sinα +cosα 的值; (2)已知角 α 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sinα +cosα 的值; (3)已知角 α 终边上一点 P 与 x 轴的距离与 y 轴的距离之比为 3?4, 求 2sinα +cosα 的值. [解析] 6 4 2 - + =- . 5 5 5 -3a 3 4 2 2 (2)∵r= x +y =5|a|, ∴当 a>0 时, r=5a, ∴sinα = =- , cosα = , ∴2sinα 5a 5 5 2 -3a 3 4 +cosα =- ;当 a<0 时,r=-5a,∴sinα = = ,cosα =- , 5 -5a 5 5 2 ∴2sinα +cosα = . 5 3 4 (3)当点 P 在第一象限时,sinα = ,cosα = , 5 5 3 2sinα +cosα =2;当点 P 在第二象限时,sinα = , 5

y 3 x 4 2 2 (1)∵r= x +y =5,∴sinα = =- ,cosα = = ,∴2sinα +cosα = r 5 r 5

6

4 2 3 4 cosα =- , 2sinα +cosα = ; 当点 P 在第三象限时, sinα =- , cosα =- , 2sinα 5 5 5 5 +cosα =-2; 3 4 2 当点 P 在第四象限时,sinα =- ,cosα = ,2sinα +cosα =- . 5 5 5 π 18.(本题满分 12 分)已知 f(x)=2sin(2x+ )+a+1(a 为常数). 6 (1)求 f(x)的单调递增区间; π (2)若当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值; 2 (3)求出使 f(x)取得最大值时 x 的取值集合. π π π π π [解析] (1)由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 2 6 2 3 6 π π 所以 f(x)的单调递增区为[kπ - ,kπ + ](k∈Z). 3 6 π π π 7 π π π (2)当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , π ],故当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最 2 6 6 6 6 2 6 大值 a+3=4,所以 a=1. π π π (3)当 sin(2x+ )=1 时 f(x)取得最大值,此时 2x+ =2kπ + ,k∈Z,即 x=kπ 6 6 2 π π + ,k∈Z,此时 x 的取值集合为{x|x=kπ + ,k∈Z}. 6 6 π 2π 19.(本题满分 12 分)已知 x∈[- , ], 3 3 (1)求函数 y=cosx 的值域; (2)求函数 y=-3sin x-4cosx+4 的值域. π 2π [解析] (1)∵y=cosx 在[- ,0]上为增函数,在[0, ]上为减函数, 3 3 ∴当 x=0 时,y 取最大值 1;
2

x=

2π 1 时,y 取最小值- . 3 2

1 ∴y=cosx 的值域为[- ,1]. 2 (2)原函数化为:y=3cos x-4cosx+1, 2 2 1 即 y=3(cosx- ) - , 3 3 1 1 15 由(1)知,cosx∈[- ,1],故 y 的值域为[- , ]. 2 3 4
2

7

20.(本题满分 12 分)(2015·湖北文)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+ π φ )(ω >0,|φ |< )在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表: 2 ω x+φ 0 π 2 π 3 0 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

x Asin(ω x+φ )

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; π (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=g(x)图象,求 y=g(x)的 6 图象离原点 O 最近的对称中心. π [解析] (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =- ,数据补全如下表: 6 ω x+φ 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13π 12 0

x Asin(ω x+φ )

π 且函数表达式为 f(x)=5sin(2x- ). 6 π π π π (2)由(1)知 f(x)=5sin(2x- ),因此 g(x)=5sin[2(x+ )- ]=5sin(2x+ ) 6 6 6 6 因为 y=sinx 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+ =kπ ,k∈Z,解得 x= - ,k∈Z. 6 2 12 即 y=g(x)图象的对称中心为( π ,0). 12 21.(本题满分 12 分)如图为一个观览车示意图,该观览车半径 为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面 距离为 h. (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 间关系的函数解析式. [解析] (1)由题意可作图如图. 过点 O 作地面平行线 ON, 过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON



π - , 0), k∈Z, 其中离原点 O 最近的对称中心为(- 2 12

8

于 M 点.

π π 当 θ > 时,∠BOM=θ - . 2 2

h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin(θ - );
π 当 0≤θ ≤ 时,上述解析式也适合. 2 π (2)点 A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是 , 30 π ∴t 秒转过的弧度数为 t, 30 π π ∴h=4.8sin( t- )+5.6,t∈[0,+∞). 30 2 22.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0)的一系列对应值 如下表:

π 2

x y



π 6

π 3 1

5π 6 3

4π 3 1

11π 6 -1

7π 3 1

17π 6 3

-1

(1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的一个解析式; (2)根据(1)的结果,若函数 y=f(kx)(k>0)的周期为 =m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 11π π [解析] (1)设 f(x)的最小正周期为 T,则 T= -(- )=2π , 6 6
?B+A=3, ? 2π 由 T= ,得 ω =1,又? ω ?B-A=-1 ?

2π π ,当 x∈[0, ]时,方程 f(kx) 3 3



解得?

? ?A=2 ?B=1 ?

5π π ,令 ω · +φ = , 6 2



5π π +φ = , 6 2

π 解得 φ =- , 3

9

π ∴f(x)=2sin(x- )+1. 3 π 2π π (2)∵函数 y=f(kx)=2sin(kx- )+1 的周期为 ,又 k>0,∴k=3,令 t=3x- , 3 3 3 π π 2π ∵x∈[0, ],∴t∈[- , ], 3 3 3 π 2π 3 如图,sint=s 在[- , ]上有两个不同的解,则 s∈[ ,1], 3 3 2

∴方程 f(kx)=m 在 x∈[0, 值范围是[ 3+1,3].

π ]时恰好有两个不同的解,则 m∈[ 3+1,3],即实数 m 的取 3

10


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