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4.1.2圆的一般方程

时间:2014-10-25


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4.1.2 圆的一般方程
教学目标: 知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆 的一般方程确定圆的圆心半径. 掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆 的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求 圆

的方程。 (3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现 及分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励 学生创新,勇于探索。 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条 件确定方程中的系数,D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 知识回顾: (1)圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征:直接看出圆心与半径 指出下面圆的圆心和半径: (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) 探索研究:请同学们写出圆的标准方程:
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王新敞

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(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a ? b ? r 得
2 2 2
2 2 2 2 2

2

2

2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
这个方程是圆的方程.



反过来给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x +y +Dx+Ey+F=0 配方得
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2 2

2

2

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(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

② ( 配方过程由学生去完成 ) 这个方程是不是

表示圆? (1)当 D +E -4F>0 时, 方程② 表示 (1) 当 D ? E ? 4F ? 0 时, 表示以 (2 2

2

2

D E , - ) 2 2

为圆心,

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2

2 2 (2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D E , y ? ? ,即只表示一个 2 2

点(-

D E ,- ); 2 2
2 2
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(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
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只 有 当 D ? E ? 4F ? 0 时 , 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 , 我 们 把 形 如

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4
2
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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x 和 y 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的 方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的 标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究: 例 1 已知一曲线是与两定点 O(0,0)、P(3,0)距离的比为 1/2 的点的轨迹,求此曲 线的方程,并画出曲线。
2 2

解:设( x, y )是所求曲线上的点,则 由题意可得: ( x ? 0) 2 ? ( y ? 0) 2 ( x ? 3) ? ( y ? 0)
2 2

?

1 2

两边平方化简得: 3x 2 ? 3 y 2 ? 6 x ? 9 ? 0 ? 6 2 ? 4 ? (?9) ? 0 ? 该曲线为圆(图略)
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练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径 (1)x2+y2-2x+4y-4=0 是, 圆心(1,-2)半径 3 是,圆心(3,-1)半径 10 不是 不是 不是

(2)2x2+2y2-12x+4y=0

(3)x2+2y2-6x+4y-1=0 (4)x2+y2-12x+6y+50=0 (5)x2+y2-3xy+5x+2y=0 简单的思考与应用 (1)已知圆 别等于(

x ?y )
2 2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0 的圆心坐标为(-2,3),半径为 4,则 D,E,F 分
( B) ? 4,6,3 (C ) ? 4,6,?3 ( D)4,?6,?3

( A)4,?6,3
(2) 要使

? 2ax ? y ? a ? 0 是圆的方程,则需满足( ) 1 1 1 ( A) a ? ( B)a ? ( D)a ? (C )a ? 1 2 2 2 2
2

x ?y
2

2

(3)圆

x y
?

( ) ? 8 x ? 10 y ? F ? 0 与 x 轴相切,则这个圆截 y 轴所得的弦长是

( A)6
(4)点 A(3,5)是圆 程是 小结 :

( B)5

(C )4
2

( D )3

x ?y
2

的一条弦的中点 ,则这条弦所在的直线方 ? 4 x ? 8 y ? 80 ?0

1.对方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆)
2 2

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2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4. 求与圆有关的点的轨迹。 ? 课后作业:123 页练习
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习题 A 组 3,4,5,6

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