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2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案

时间:2017-03-12


2016 年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分.每小题所提供的四个选项 中只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 S ? ? A0 , A 在 S 上定义运算 “? ” 为:Ai ? Aj ? Ak , 其中 k 为 i ? j 1, A 2, A 3? , 被 4 除的余数, i, j ? 0,1, 2,3.

则满足关系 ? x ? x ? ? A2 ? A0 的 x ? x ? S ? 的个数为( A.1 答案:B. 提示: 因为 ? x ? x ? ? A2 ? A0 , , 设 x? x ? A 故x? A 1或x ? A 3. 答案:A. 2.一个骰子由 1-6 六个数字组成,根据如图所示的三种状态显示的数字,可推得“?” 的数字是 ( )
k



B.2

C.3

D.4

, 所以 Ak ? A2 ? a0 , k ? 2, 即 x ? x ? A2 ,

A.6

B.3

C.1

D.2

3. 设 函 数 f ? x ? ? 2x ? cos x, ?an ? 是 公 差 为

? 的 等 差 数 列 , f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ?? 8

f ? an ? ? 5? , 则 ? ? f ? a3 ? ? ? ? a1a5 ? (
2

) D.

A. 0 答案:D.

B.

1 ? 16

C. ?

1 8

13 2 ? 16

提示:因为 ?an ? 是公差为

? 的等差数列,且 8

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ??? f ? a5 ? ? ? 2a1 ? cos a1 ? ? ? 2a2 ? cos a2 ? ??? ? 2a5 ? cos a5 ? ? 5? ,
即 2 ? a1 ? a2 ??? a5 ? ? ? cos a1 ? cos a2 ? ?? cos a5 ? ? 5? ,所以

1

? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? 10a3 ? ?cos ? a3 ? ? ? cos ? a3 ? ? ? cos a3 ? cos ? a3 ? ? ? cos ? a3 ? ? ? ? 5? . 4? 8? 8? 4 ?? ? ? ? ? ?
即 10a3 ? ? 2cos

? ?

?
4 ? ?

? 2cos

?

? ? 1? cos a3 ? 5? . 8 ?

记 g ? x ? ? 10 x ? ? 2cos

?
4

? 2cos

?

? ? 1? cos x ? 5? ,则 8 ?

? ? ? ? g ? ? x ? ? 10 ? ? 2cos ? 2cos ? 1? sin x ? 0 , 4 8 ? ?
即 g ? x ? 在 R 为增函数,有唯一零点 x ?
2 2

?
2

,所以 a3 ?

?
2

.

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 13 2 所以 ? ? f ? a3 ?? ? ? a1a5 ? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 ? 4 ?? 2 ? 4 ? ? 16 ? . ? ? ? ?? ?
4. 设 m, n 为非零实数, i 为虚数单位, z ? C ,则方程 z ? ni ? z ? mi ? n 与方程 在同一复平面内的图形(其中 F1 , F2 是焦点)是( z ? ni ? z ? mi ? ? m )

答案:B.

n ? 0. 提 示 : z ? ni ? z ? mi ? n 表 示 以 F 1 ? 0, ?n ? , F 2 ? 0, m? 为 焦 点 的 椭 圆 且

z ? ni ? z ? mi ? ?m 表 示 以 F1 ? 0, ?n? , F2 ? 0, m? 为 焦 点 的 双 曲 线 的 一 支 . 由 n ? z ? ni ? z ? mi ? m ? n ,知 m ? 0. 故双曲线 z ? ni ? z ? mi ? ?m的一支靠近
点 F2 . 5.给定平面向量 ?1,1? ,那么,平面向量 ? 换得到的,答案是 ( )
2

? 1? 3 1? 3 ? ? 2 , 2 ? ? 是将向量 ?1,1? 经过 ? ?



A.顺时针旋转 60? 所得 C.逆时针旋转 60? 所得 答案:C.

B.顺时针旋转 120? 所得 D.逆时针旋转 120? 所得

? 1? 3 1? 3 ? , ? ? ? ?1,1? 2 2 ? 1 ? 提示:设两向量所成的角为 ? ,则 cos ? ? ? ,又 2 2? 2
? ? ? ? ?? ? 0 ,180 ? ? ,所以 ? ? 60 .又

1? 3 1? 3 ? 0, ? 0 ,所以 C 正确. 2 2

6.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手各比赛一场,但有 3 名选手各比赛了两 场之后就退出了, 这样全部比赛只进行了 50 场, 那么上述 3 名选手之间比赛场数是 ( A.0 答案:B. 提示:设这 3 名选手之间比赛的场数是 r ,共 n 名选手参赛,依题意有
2 Cn ?3 ? 6 ? r ? 50 ,即



B.1

C.2

D.3

? n ? 3?? n ? 4 ? ? 44 ? r.
2

因为 0 ? r ? 3 ,所以分 4 种情况讨论:
2 7 6 0 ? , ①当 r ? 0 时, 有 ? n ? 3?? n ? 4? ? 88 , 即 n ? 7n ? 但它没有正整数解, 故r ? 0;

②当 r ? 1 时,有 ? n ? 3?? n ? 4? ? 90 ,解得 n ? 13 ,故 r ? 1 符合题意;
2 ③当 r ? 2 时, 有 ? n ? 3?? n ? 4? ? 92 , 即 n ? 7n ? 8 0 0 ,?

但它没有正整数解, 故r ? 2;

2 8 2 0? , ④当 r ? 3 时, 有 ? n ? 3?? n ? 4? ? 94 , 即 n ? 7n ? 但它没有正整数解, 故 r ? 3.

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 8 分,满分 48 分,解题时只需将正确答案直 接填在横线上. )
* 7.规定:对于 x ? R ,当且仅当 n ? n ? n ? 1 n ? N 时, ? x? ? n .则不等式

?

?

4 ? x ? ? 36 ? x ? ? 45 ? 0 的解集是
2



答案: 2 ? x ? 8. 提 示 : 所 求 不 等 式 为 关于 ? x ? 的 一 元 二 次 不 等 式 .由 4 ? x ? ? 36? x ? ? 45? 0, 得
2

3

3 15 ? ? x ? ? ,故 2 ? ? x? ? 7 ,即 2 ? x ? 8. 2 2
8.在三棱锥 S - ABC 中, SA ? 4, SB ? 7, SC ? 9, AB ? 5, BC ? 6, AC ? 8,则三棱锥的 体积的最大值为 答案: 8 6 . .

SA2 ? AB 2 ? SB 2 42 ? 52 ? 7 2 1 ? ?? , 提示: 设 ?SAB ? ? , 根据余弦定理有 cos ? ? 2SA ? AB 2? 4?5 5
故 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 的侧棱, 所以 FCSAB ?

2 6 1 , S?SAB ? ? SA ? AB sin ? ? 4 6. 由于棱锥的高不超过它 5 2

1 S ?SAB ? BC ? 8 6. 事实上, 取 SB ? 7, BC ? 6 , 且 CB ? 面 SAB 3

时,可以满足已知条件,此时 VCSAB ? 8 6. 9.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字 0 ,两个面上标以数字 1 ,一个面上标 以数字 2 。将这个正方体的抛掷两次,则向上的数之积的数学期望是 答案; . 提示:由题意知,抛掷小正方体向上的数为 0 的概率为 为 2 的概率为

4 9

1 1 ,向上的数为 1 的概率为 ,向上 2 3

1 ,如下表所示: 6
第一次抛掷 0 1 2

第二次抛 掷 0

1 1 ? 2 2 1 1 ? 3 2 1 1 ? 6 2

1 1 ? 2 3 1 1 ? 3 3 1 1 ? 6 3

1 1 ? 2 6 1 1 ? 3 6 1 1 ? 6 6

1

2 于是所得向上的数之积的分布列为:

?
P

0

1

2

4

3 4

1 9

1 9

1 36
4

3 1 1 1 4 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? . 4 9 9 36 9
10.观察下列等式:
1 5 C5 ? C5 ? 23 ? 2 ; 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 2 7 ? 23 ; 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 ; 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27

。 。 。 。 。 。 由以上等式推测出一般的结论:
1 5 9 4 n?1 对于 n ? N *, C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? L ? C4 n?1 ?

答案: 2

4 n ?1

? ? ?1? ? 22 n ?1.
n

11.方程 16 sin ?x cos ?x ? 16 x ? 答案: ? , ? ? .

1 的解的集合是 x

?1 ?4

1? 4?

x? 提 示 : 当 x?0 时 , 1 6

1 ? x

8 , 当 且 仅 当 x?

1 时 取 “ ? ”. 而 4

1 ? k , k ? Z 时取“ ? ”号.于是,当 x ? 0 4 1 1 时,方程只有一个解 x ? . 由奇函数的性质可知, x ? ? 是方程的另一个解.故方程的解 4 4

16sin ? x cos ? x ? 8sin 2? x ? 8 ,当且仅当 x ?

集合为 ? , ? ? . 12.当一个非空数集 F 满足条件“如果 a, b ? F ,则 a ? b, a ? b, a ? b ? F ,且当 b ? 0 时,

?1 ?4

1? 4?

a ? F ”时,我们称 F 就是一个数域。以下四个关于数域的命题: b
① 0 是 任 何 数 域 的 元 素 ; ② 若 数 域 F 有 非 零 元 素 , 则 2016 ? F ; ③ 集 合

P ? ?x | x ? 3k , k ? Z ?是一个数域;④有理数集是一个数域。
其中真命题的代号是 答案:①②④. (写出所有真命题的代号)

5

提示:根据数域的定义判断,①②④均正确.取 a ? 3, b ? 6 ,则 a, b ? P ,但 即③错误. 三、简答题(本大题共 4 个小题,满分 72 分) 13. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

a 1 ? ?P, b 2

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 0, 3 , 离心率为 , 2 2 a b

?

?

经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A, B 两点,点 A, F , B 在直线 x ? 4 的射影依次是 D, K , E 。 (1)求椭圆的 C 的方程; (2)连接 AE, BD ,试探求当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若 是,请求出定点的坐标并给予证明;否则,说明理由。

解: (1)由经过点 0, 3 ,得 b ? 3, 由离心率为

?

?

c a 2 ? b2 1 1 ,得 e ? ? ? ,得 a ? 2. 2 a a 2

故椭圆 C 的方程为 C :

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l ? x 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,直线 AE 与

BD 相交于 FK 的中点 N ? , 0 ? ,由此猜想直线 AE 与 BD 相交于定点 N ? , 0 ? .
证明:设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D ? 4, y1 ? , E ? 4, y2 ? 直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?1? ,联立椭
2 2 2 2 2 2 圆 C 的 方 程 消 去 y 得 3 x ? 4k ? x ? 1? ? 12 , 即 3 ? 4k x ? 8k x? 4 k ? 1 2 ? 0 , 2

?5 ?2

? ?

?5 ?2

? ?

?

?

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 5 y ?y , x x ? . 又 因 为 l AE : y ? y2 ? 2 1 ? x ? 4 ? , 当 x ? 时 , 1 2 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 4 ? x1

y ? k ? x2 ? 1? ?

k ? x2 ? x 1? 3 5k ? x 1? x ? 2 ? 2kx x 1 ? 2 8k ? ? 4 ? x1 2 2 ? 4 ? x1 ?
6

?

?8k ? 3 ? 4k 2 ? ? 2k ? 4k 2 ? 12 ? ? 5k ? 8k 2 2 ? 4 ? x1 ? ? 3 ? 4k 2 ?

? 0,

即点 N ?

?5 ? , 0 ? 在直线 l AE 上. ?2 ? ?5 ? , 0 ? 在直线 lBD 上,所以,当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相 ?2 ?

同理可证,点 N ?

交于定点 N ? , 0 ? .

?5 ?2

? ?

14. (本小题满分 16 分)已知四边形 ABCD 是正方形, P 是边 CD 上一点(点 P 不与顶点 重合) ,延长 AP 与 BC 的延长线交于点 Q 。设 ?ABQ , ?PAD , ?PCQ 的内切圆半径分 别是 r1 , r2 , r3 。 (1)证明: r1 ? 4r2 r3 ,并指出点 P 在什么位置时等号成立; (2)若 AB ? 1, 试求证: 3 ? 2 2 ? r1 ? r2 ? r3 ?
2 2 2

2

1 。 2

证明: (1)如图所示,因为△ ABQ ∽△ PDA ∽△ PCQ ,所以 r 1 :r 2 :r 3 ? AB : PD : PC. 而 AB ? CD ? PD ? PC ,
2 P 为 CD 的中点时,等号成立. 故 r1 ? r2 ? r3 ? 2 r2 r3 ,即 r 2 ?r 3 ,即 1 ? 4r 2r 3 . 当且仅当 r

(2)由(1)得 r 1 ?r 2 ?r 3 ,所以有

r ? r2 ? r ? ? r2 ? r3 ?
2 1 2 3 3

2

PC ? ? ? PC ? 2 ? r2 ? r3 ? ? r2 ? r2 ? ? ? r2 ? ? r2 ? ? PD ? ? ? PD ?
2 2

2

2

7

? 1 1 ? PD ? ? ? 1 ? 2 2 ? 1 ? PD ? 2 ? ? r2 ? r2 ? ?1? ? ? 1? ? ? r2 ? r2 ? ? ? r2 ? 2 PD ? ? ? PD ? ? PD ? ? ? PD
2 2

2

? ? ? ?

1 1 ? 1 ? ? 1 ? PD ? AP ? ? 1 ? ? r2 ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? 2? 2 2 PD ? ? 2 PD ? ? PD ? ? PD
3

2

?1 ? PD ? ?

1 ? PD 2 2
? ?

? ??
2

1 1 ? ? ? 1? . ? 2 PD ? ? PD

记 ?DAP ? ? ? 0 ? ? ?

??

? ,则 4?
2

1? 1 ? 2 r ? r2 ? r3 ? ?1 ? tan ? ? ? ?1 ? cot ? ? cot ? ? 2? cos ? ?
2 1 2 3

1 ? cos ? ? sin ? ? 1? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? ? ? 2 cos 2 ? sin 2 ?
2

1 ? cos ? ? sin ? ? 1? ?1 ? sin ? cos ? ? ? . 2 2 ? sin ? cos ? ?
2

令 cos ? ? cos ? ? t ,则 1 ? t ? 故

2 ,且 sin ? cos ? ?

t 2 ?1 . 2

r12 ? r2 2 ? r32 ?

1 ? 2

? t ? 1?

? t 2 ?1 ? ?1 ? ? 2 ? 3 ? t2 ? ? . 2 2 ? t ? 1? ? t 2 ?1 ? ? ? ? 2 ?
2

它是关于 t 的单调递增函数,所以 3 ? 2

? 2? 2? ? 2 ? 1?
3?

2

2

? r12 ? r2 2 ? r32 ?

3 ? 12

?1 ? 1?

2

1 ? . 2

1 . 2 1 2 15.已知函数 f ( x) ? x ln x ? mx ? x, m ? R. 2
2 2 2 即 3 ? 2 2 ? r1 ? r2 ? r3 ?

(1)当 m ? ?2 时,求函数 f ( x) 的所有零点;
2 (2)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 ,求证: x1 ? x2 ? e 。

解: (1) 当 m ? ?2 时,f ? x ? ? x ln x ? x ? x ? x ? ln x ? x ?1? , x ? 0. 设 p ? x ? ? ln x ? x ?1,
2

8

x ? 0, 则 p? ? x ? ?

1 ? 1 ? 0 ,于是 p ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数. x

又 p ?1? ? 0 ,所以,当 m ? ?2 时,函数 f ? x ? 有唯一零点 x ? 1. (2)若 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,则导函数 f ? ? x ? 有两个零点 x1 , x2 . 由 f ? ? x ? ? ln x ? mx ,可知 ?

?ln x1 ? mx1 ? 0, ?ln x2 ? mx2 ? 0.

要证 x1 x2 ? e2 ,可转化为证明: ln x1 ? ln x2 ? 2. 由?

?ln x1 ? mx1 ? 0, ln x1 ? ln x2 可得 m ? . x1 ? x2 ?ln x2 ? mx2 ? 0 ?ln x1 ? mx1 ? 0, ln x1 ? ln x2 可得 m ? . x1 ? x2 ?ln x2 ? mx2 ? 0
ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 ? . 进一步,得 x1 ? x2 x1 ? x2

由?

两式联立,得

? x1 ? x1 ?1 ? ? ln ? ln x1 ? ln x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? x2 ? x2 . ln x1 ? ln x2 ? x1 x1 ? x2 ?1 x2
设 0 ? x1 ? x2 ,则 0 ? t ?

?1 ? t ? ln t . 下面证只须证明: x1 ? 1 , ln x1 ? ln x2 ? t ?1 x2
t ?1

?1 ? t ? ln t ? 2 ,即证 ln t ? 2 ? t ? 1? 当 0 ? t ? 1 时恒成立.
t ?1
2 ? t ? 1? ? t ? 1? ? 0, 1 4 ? 设函数 g ? t ? ? ln t ? ,则 g ? ? t ? ? ? 2 2 t ?1 t ? t ? 1? t ? t ? 1?
2

故函数 g ? t ? 在 ? 0,1? 上为增函数, g ?t ? ? g ?1? ? 0. 所以, ln t ? . 已

2 ? t ? 1? 当 0 ? t ? 1 时恒成立,即 x1x2 ? e2 . t ?1
知 互 异 的 正 实 数

16

x1 , x2 , x3 , x4











?1 1 1 1? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )? ?x ? x ? x ? x ? ? ? 17 。 2 3 4 ? ? 1
9

求证:从 x1 , x2 , x3 , x4 可任取 3 个数作为边长,共可构成 4 个不同的三角形。
3 证明:由于 C4 ? 4 ,故从 x1 , x2 , x3 , x4 中任取 3 个数作为边长,共可构成 4 个不

同的三角形, 即是任取 3 个数作为边长均可构成不同的三角形. 下面用反证法给出证明: 若存在某三个数为边长的不能构成三角形,由对称性可知不妨设这三个数为

x1 , x2 , x3 ,且满足 x1 ? x2 ? x3. 因为

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?
? 4?

?1 1 1 1? ? ? ? ? x x2 x3 x4 ? 1 ?

x1 x1 x2 x3 ? ? x1 x4 ? ? x2 x3 ? ? x2 x4 ? ? x1 x4 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? x2 x3 x1 x2 ? ? ? x4 x1 ? ? x3 x2 ? ? x4 x2 ? ? x4 x1 ? ?

? 1 1 ? x ?x ? 1 1 ? x ?x ? 4 ? x1 ? ? ? ? 2 3 ? 2 ? 4 ? 12 ? x1 ? ? ? ? 2 3 . x1 x1 ? x2 x3 ? ? x2 x3 ?
由 ? x2 ? x3 ? ?

?1 1 ? x1 1 1 4 ? ? 4 ? ,知 ? ? ,并设 ? t ? t ? 1? ,得 x2 x3 x2 ? x3 x2 ? x3 ? x2 x3 ?

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?

?1 1 1 1? x ?x 4 x1 1 ? ? ? ? ? 12 ? ? 2 3 ? 12 ? 4t ? . x2 ? x3 x1 t ? x1 x2 x3 x4 ?
1 1 ? 1, 7 即 4t ? ? t ?0? t ? . 实 上 , 当 t ?1 时 , ?1 事 t t

4? 由 条 件 , 得 1 2? t

?? t ? ?1? 0 , 1 4 t2 ? t 5? 1 ? 4t ? 1 4t ? ? t ? ? t t t
这与上面所得结论矛盾.所以,原命题成立.

10


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