nbhkdz.com冰点文库

中学数学教学参考2011年第09期


数 学 课程 性质 表 述 的 沿革 
建 国以来 中学数 学 “ 课程 文件” 比较 ( 再 续)  
●   ●  ●  ●  ●  ●   ●   ●   ●  ●  ●  ●  ●  ●  尊  ●   蕾   ● 

孙 宏安 ( 大连 教育 学 院)   在建 国 以来 的《 中学数 学 教 学 大纲 》 中关 于教 学  的基

本要求 一 开 始 是 在 大 纲 的序 说 或 前 言 中 与其 他  有 关 数学 学科 和教 学 的 内容 一 起 表 述 的 , 从 1 9 6 3年  因此 1 9 5 1年 的《 中学 数学 课 程标 准 》 的教 学基 本 要 求  是 在其 “ 实施方 案” 中( “ 关 于教授” 部分 ) 表述 的, 2 1   世 纪 的两个 课 程 标 准 则 是 在 “ 实施建议” 中( “ 教 学 建 
议” 部分 ) 表 述 的.   以下 我们列 表 考 察 所 有 的课 程 文 件 中 对 数 学 教  学 基本 要求 的表 述 . ①  

起, 数 学教 学 大 纲 中单 独 列 出一 个 组 成 部 分 “ 教 学 中  应 注 意 的几个 问题 ” 专 门阐述对 于数 学 教学 的基 本要 
求, 这 个做 法 一 直 保 持 至 2 0 0 2年 的数 学 教 学 大 纲 之 
中. 在《 中学数 学课 程标 准 》 中, 教 学就 是 “ 课程实施” ,  
裹 1 课 程 文 件 的 数 学教 学基 本 要 求 

序 号 

名称 ( 时 间)  

数 学 教 学 基 本 要 求摘 录 

评 说 

《 中学 数学科 课程标准  1  
( 草案 ) 》 ( 1 9 5 1 )   题


贯通 比较 , 熟读本 书 , 贯通前后 , 博览群籍  讲授需 按教案进行 , 并须 随时 注意 班情 , 加 以变通 . 多发 问 
随机开导. 指点迷津 , 开示正轨 , 诱进迟 钝 , 鼓 励 高材  中学 数 学 是 … … 一 个 有 系统 的课 程  应 充分 注 意 理 论 与 实 际 的 联 系. 必 须 照 顾 到 学 生 的 年 龄 

提出:   遵循课 程标 准 
注 意班 级 特 点  有“ 因材施教” 的 意 思 

第一 次提出 :   理 论 联 系 实 际  初 步提 出 了 :  

《 中 学 数 学 教 学 大 纲  特 征 

2  

( 草案 ) 》 ( 1 9 5 2 )  

对 于讲 授数学历史知识要有 足够 的注意 
发 展 学 生 的 数 学 兴 趣  进行 系统的复习


课程 的系统性 
年 龄特 征  启 发兴 趣  巩 固知识 

使学生巩 固知识和熟练技 巧 
同 上 

3  

《 中 学 数 学 教 学 大 纲  ( 修 订草案) 》 ( 1 9 5 4 )  

不 应 该 损 害 数 学 知 识 的 系统 性   《 中 学 数 学 教 学 大 纲  4   ( 修订 草 案 ) 》 ( 1 9 5 6 ~  1 9 5 7 学年度 )   使 学 生 自觉 地 掌 握 数 学 中 的基 本 概 念 、 观 念 和 方 法  必 须 特 别 注 意 和 相 近 学 科 的 教 师 们 一 起 领 导 学 生 去 参 观 有  关 的生 产 
教 给学生数学的历史知识 

提出:   知 识 的 系 统 性  自觉学 习  重申:  
联 系 实 际 

做 有系统的复习 , 使学生 自觉掌握教材 、 获得巩 固的技巧 
《 关 于 修 订 中 小 学 数 学 

巩 固知识 
提出:  

教 学大 纲 和编 写 中小  5  
示 报 告 》( 教 育 部,  
1 9 6 0 )  

数 学是 一 门 系统 性较 强 的学 科 , 学 生 程度 的提 高 要 循 序 
注意各级各科间的相互衔接 

循 序渐进  各 级各科协调 
数 学 是 系 统 性 强 的 
学 科 

学 数学 通 用教 材 的请  渐进 

①课程 文件 的文本来 源 t 课程 教材研究所 , 2 0世纪中国中小学课程标准 ? 教学大纲汇 编( 数学卷 ) , 人 民教 育出版社 , 2 0 0 1 I 中华人 民共和 国教  育部制订 , 全 日制义务教育数学课 程标准( 实验稿) . 北京师范大学 出版社 , 2 O O l I 中华人 民共和 国教育部制订 , 普通 高 中数学课 程标准 ( 实验) . 人 民  教育 出版社 。 2 0 0 3 I 中华 人民共 和国教育部制订 。 普通高 中数学教学大纲 , 人 民教育 出版社 , 2 0 0 3 .  

量 !  _ n 旦  l u £   ?   . c     o … n r  

2 0 1 1 年第9 期( 上旬)  
中 学矗 学教 学参 考 

大 纲 中 第 一 次 设 立 了  “ 教学 中应该 注意 的几 点”  

讲 清概念 、 法则 、 定理 、 公式以及解题 、 证 题 的 方 法 和 步 骤 
突出重点 , 抓住关键 , 解 决 难 点 

部分 , 成 为 其 后 课 程 文 件 
的标 准 组 成 部 分 

《 全 日制 中 学 数 学 教 学 
6   大纲 ( 草案) 》 ( 1 9 6 3 )  

加强 练习 , 培 养 学 生 的 正 确 而 迅 速 的计 算 能 力 、 逻 辑 推 理 能 
力 和 空 间 想 象 能 力  注 意 因 材 施 教 
际)  

第 一 次提 出 :  
“ 突 出 重 点, 抓 住 关  键, 解决难点” , 成 为 此 后 
因材 施 教 

适 当地 联 系 实 际 ( 不要超 过学生的程度 , 更 不 要 勉 强 联 系实  教 学 的标 准 要 求  培 养 数 学 能力  指 出联 系 实 际 要适 当 

要 用 辩 证 唯 物 主 义 观 点 阐述 教 学 内 容  要 坚 持 理 论 联 系 实 际  要使学生学好 数学基础 知识 , 必 须突 出重 点 , 抓住关 键 , 解 
《 全 日制 十 年 制 学 校 中  决 难 点  7   学 数学教学大纲 ( 试 行  教学要用启 发式 , 引导 学生 生 动活泼 、 主动 的学 习, 不 断 启 

重 申:   理 论 联 系 实 际  突 出重点 , 抓住关键,  
解 决 难 点  巩 固知 识 

草案) 》 ( 1 9 7 8 1  

发 学 生 发 现 问题 、 提 出问 题 和 解 决 问题 , 注 意培 养 学 生 独 立 思 考 
和 自学 的能 力 

第一次提 出:  
启 发 式 教 学 

提 高 练 习 的质 量 
注 意 复 习巩 固 , 把 所 学 知 识 系 统 化 

培 养 学 生 独 立 思 考 和 
自学 的 能 力 

《 全 日制 十年 制学 校 中   8   学 数学教学大纲 ( 试 行  草案 ) 》 ( 1 9 8 0 )   同 上 

要 用 辩 证 唯 物 主义 观 点 阐 述 教 学 内容 

要 面 向全 体 学 生 , 因 材 施 教 
要 调 动 学 生 的学 习 积 极 性 ( 启 发兴 趣 , 学 习方 法指 导 , 学 得 

第一次提 出:  
面 向 全 体 学 生 

《 全E l 制 六 年 制 重 点 中  主 动 、 生 动活泼)  
9   学数学 教学大纲( 征 求 

调 动 学 生 的 学 习 积  遵 循 认 识 规 律 进 行 
教 学 
.  

要遵 循 认 识 规 律 进 行 教 学 ( 从 实 际 事 例 或 已 有 知 识 出发 , 运  极 性 

意见稿 ) 》 ( 1 9 8 2 )  

用 知识进行练 习, 重视复习巩 固)  
要 注 意 突 出重 点 , 解决难点 , 抓 住 关 键 

要注意能力的培养 ( 获 得 数 学 知 识 和运 用 数 学 知 识 的 能 力 ,  
掌握 数学的一些思想方 法)  

注 意 能 力 的培 养 

以教育方针 、 教 学 计 划 和 本 大 纲 为 依 据 

结 合 数 学 教 学 内容 对 学 生 进 行 思 想 教 育  坚 持 理论 联 系 实 际 , 注意从生活 、 生 产 和 其 他 学 科 的实 际 问 
题 出 发  1 O   《 全 日制 中 学 数 学 教 学  大纲 》 ( 1 9 8 6 )   学好 数学基础知识 和掌握 基本 技能 , 突出 重点 , 抓住 关键 ,   解 决 难 点 

第一次提 出:   结 合 数 学 教 学 内 容 对 
学 生 进 行 思 想 教 育  注意从生 活、 生 产 和  其 他 学 科 的实 际 问题 出 发 

做 到面 向全体与 因材施 教 
能 力 

学好数 学基 础 知识 和 
基” 教学 )   、  

重视 能力 的培 养 , 重 视 培 养 学 生 的 独 立 思 考 能 力 和 自学  掌 握 基 本 技 能 ( 数学 “ 双  注 意 复 习 巩 固 

面 向 全体 学 生 , 因材 施 教  结 合 教学 内 容 对 学 生 进 行 思 想 品 德 教 育



对 促 进 学 生 全 面 

次提出 :   促 进 学 生 全 面 发 展 


发 展 有 重 要 的 意 义  学 生是学 习的主体 坚持 理 论 联 系 实 际 , 从学生所熟 悉的生活、 生 产 和 其 他 学 科  ,   的实 际 问题 出 发  着 眼 于 调 动 学 生 学 习 的 积  《 九 年 义 务 教 育 全 日制  重视 基 础 知识 的 教 学


基本技 能的训练和能力 的培养. 要 遵 

极性 、 主 动 性  教学 要从 学 生 的实 际  出发  揭 示 获 取 知 识 的 思 维 
过 程 


1 1   初 级 中学 数 学 教 学 大  循 学 生 的认 识 规 律  纲( 初审稿) 》 ( 1 9 8 8 )   重视 改进 教 学 方 法 . 学 生是 学 习 的 主 体 。 教 师 应 着 眼 于调 动 
学生 学习的积极性 、 主 动性 . 教 学 要 从 学 生 的实 际 出 发 

坚持 启 发 式 , 反 对 注入 式 . 揭 示 获 取 知 识 的思 维 过程  采 用模 型 采用模型 幻 灯、 录 像  幻灯、 录 像 以 及 计 算 机 辅 助 教 学 等 现 代 化 教 学  以 及 计 算 机 辅 助 教 学 等 现 


手 段  正 确 组 织 练 习 

代 化 教 学 手 段 

1 2   《 全 日制 中 学 数 学 教 学  大纲( 修 订本 ) 》 ( 1 9 9 o )   《 九 年 义 务 教 育 全 日制  1 3   初 级 中 学 数 学 教 学 大 
纲( 试用 ) 》 ( 1 9 9 2 )  

与1 9 8 6 年 大 纲基 本 相 同 

与1 9 8 8 年 大 纲基 本 相 同 

《 全 日制 普 通 高 级 中学  1 4   数学教学大纲 ( 供 试 验 
用) 》 ( 1 9 9 6 )  

与 1 9 9 2年 大 纲 基 本 相 同 

面 向全 体 学 生  结 合 教 学 内容 对 学 生进 行 思 想 品 德 教 育  重视基础知识 的教 学 、 基本技能 的训练 和能力的培养  重 视 创 新 意 识 和实 践 能 力 的 培 养  充 分 体 现 学 生 的 自主性 和 合 作 精 神  坚 持 理 论 联 系实 际 , 增 强 学 生 用 数 学 的 意识   《 九 年 义 务 教 育 全 日制  初 级 中 学 数 学 教 学 大 
( 2 0 0 0 )  

第一次提 出:  
重 视 创 新 意 识 和 实 践  能 力 的培 养  充 分 体 现 学 生 的 自主  性 和 合 作 精 神  教 学 过 程 也 是 师 生 双 
学 生 之 间 

教 学 过 程 也 是 师生 双方 的认 识 过 程  坚持启发式和讨论式 , 反 对注 入式 , 发 扬教学 民主 , 师 生 双 


1 5   纲 ( 试 用修 订 版) 》   方密切合作
出发 

方 的认 识 过 程  师生之间 、 学生 之间交 流互 动, 教 学 从 学 生 的 实 际  师生 之间


使学生在 ( 学习) 过程 中展开思 维 神和创新意识



发 展 新 知  形成获取 、 发 展 新 知 识 并 运 用 新 知 识 解 决 问 题 的  识 并 运 用 新 知 识 解 决 问 题  


交 流互 动  从 而 发 展 他 们 的 学 科 精  形成 获取

能力 , 以 及 用 数 学 语 言 进 行 交 流 的 能力 
正 确 组 织 练 习 

的 能力 以 及 用 数 学 语 言 进 
行 交 流 的 能 力 

积极创造条件 , 采用模型 、 投影 、 录像 和计算 机软件 、 多媒体 
等 现 代 教 育 技 术 手 段  同前  《 全 日制 普 通 高 级 中学  最后一条改 为 :   第 一次提出 :   重 视 现 代 教 育 技 术 的 

1 6   数 学教学大纲 ( 试 验修  订 版) } ( 2 0 0 0 )  

重视现代教育技术 的应 用. 重视投影 、 录像 、 计算器 、 计算 机  应用  和多媒体技术等现代 教育技 术手段 的运 用. 一 切有 条件 和能够 
教 育 的辅 助 工 具 

应使 计算 机及 其 网络 
的 辅 助 工 具 

创 造 条 件 的学 校 , 都 应 使 计 算 机 及 其 网 络 成 为 数 学 课 堂 和 课 外  成 为 数 学 课 堂 和 课 外 教 育 

数 学教 学 是 数 学 活 动 的教 学 , 是师生之 间、 学 生 之 间 交 往 互  动 与共 同 发 展 的 过 程 




次提 出 :  

数 学 教 学 是 数 学 活 动  引 导学 生 获得 知 识 , 形 成 技  的 教 学 能 是 师 生之 间、 学 生  发展思维 , 学会学习 , 促使 学生 生动 活泼 地 、 主动地 、 富 有 个  之 间交 往 互 动 与 共 同 发 展 

, ,

数 学教学应从 学生 实 际 出发

《 全E t 制 义 务 教 育 数 学  性 地 学 习  1 7   课程标 准 ( 实验 稿) 》   让 学 生 经 历 数 学 知 识 的形 成 与应 用 过 程 

的 过 程  让 学 生 经 历 数 学 知 识 
的 形 成 与 应 用 过 程  尊 重 学 生 的 个 体 差  异, 满足多样化 的学 习  

( 2 0 0 1 )  

鼓励 学生 自主探索与合作交 流 

尊 重学生的个体差异 , 满 足 多 样 化 的学 习需 要  应 关注证明的必要性 、 基 本 过 程 和 基 本 方 法  注 重 数 学 知 识 之 间 的联 系 , 提 高 解 决 问题 的能 力 

充 分 运 用 现 代 信 息 技 术 

需 要 

面 向 全 体 学 生 

进行 思想品德教育. 教 学 中 要 注 意 阐 明 数 学 的 产 生 和 发 展 
的历 史 . 认 识 数 学 的科 学 意 义 、 文 化 内涵 , 理 解 和 欣 赏 数 学 的 美  学 价 值  数 学 教 学 要 以 学 生 发 展 为 本 

第一次提 出:  
教 学 中 要 注 意 阐 明 数  学 的产 生 和 发 展 的历 史 .   认识 数 学 的 科 学 意 义 、 文 

重新 审视基础知识 、 基 本 技 能 和 能 力 的 内涵 . 揭 示 数 学 发 生  化 内 涵 , 理 解 和 欣 赏 数 学  发 展 的过 程 , 加 强 数 学 与其 他 学 科 和 日常 生 活 的关 系 , 提 高 对 数  的 美 学 价 值 
1 8   《 普 通 高 中数 学 教 学 大  学 学 科 的学 习 兴 趣 和 信 心 , 形成正确的数学价值观.   纲》 ( 2 O O 2 )   学 生 自主学 习  教学 过程是学生与教师相互交流 、 共 同参 与 的过 程 .   教 师要 有 反 思 教 学 的 意 识 , 及时调整教学方法 和策略 , 以 获  得 更 佳 的教 学 效 果  数 学 教 学 要 以 学 生 发  形 成 正 确 的 数 学 价  值 观  把学生 的知识 、 经验 、   生 活 世 界 作 为 重 要 的 课 程  把 学生的知识 、 经验 、 生 活世 界作 为重要 的课 程资 源 , 鼓 励  展 为 本 

重 视 创 新 意 识 和 实 践 能 力 的培 养 , 要 增 强 用 数 学 的 意识   重 视 现 代 教 育 技 术 的运 用 . 提 高 学 生 的 自 主 学 习 的 能 力 和 
创 新 意 识 

资源 , 鼓 励 学 生 自主 学 习  增 强 用 数 学 的意 识 

以学 生 发 展 为 本 , 指导 学生合理选择课程 、 制 订 学 习 计 划  教 师 应 帮 助 学 生 理 解 和 掌 握 数 学 基 础 知识 基本 技能. 与 时  俱 进 地 审视 基 础 知 识 与 基 本 技 能 




次提出 :   以学生发展 为本




指 

注重联 系


提 高 对 数 学 整体 的认 识 

导学 生 合 理选 择 课 程 、 制  订 学 习 计 划 


注重数 学知识与实际的联系 , 发 展 学 生 的 应 用 意 识 和 能力  注重联系 关注数学 的文化价值 提 高 对 数  促进 学生科学观的形成. 教 学 中 应 引  学 整 体 的 认 识 


1 9   《 普 通 高 中 数 学 课 程 标  导 学 生 初 步 了解 数 学 学 科 与 人 类 社 会 发 展 之 间 的 相 互 作 用 , 体 

关 注 数 学 的 文 化 价 


准( 实 验) 》 ( 2 O O 3 )  

会数学 的学科价值 、 应用价值 、 人文价值 , 开阔视野 , 探寻数 学发  值 展 的历 史 轨 迹  促 进 学 生 科 学 观 的 
改 善 教 与学 的方 式


使学生 主动地学习. 鼓 励 学 生 发 现 数 学 

形 成  注 意 揭 示 数 学 的 本 质  充 分 尊 重 学 生 的 人 格  和 学 生 在 数 学 学 习 上 的 
差 异 

的 规 律 和 问题 解 决 的 途 径 , 使他们经 历知识形成 的过程. 鼓 励 学  生借助直观进行 思考. 应 注 意揭 示 数 学 的 本 质 
教 师 应 充 分 尊 重 学 生 的 人 格 和 学 生 在 数 学 学 习 上 的 差 异  恰 当运 用 现 代 信 息 技 术 , 提 高 教 学 质 量 

要 求 都与 原来 的要 求相 协 调 , 有 的就 是 原 来 的要 求 的  表 1的“ 评说” 栏详 细地表明了这一点 ,   基 本要 求 的发展 表 现 出一 种包 容 性 发 展 的性 质 , 也 就  概括 和升 华. 是 一种 “ 中 国套 箱 式 ” 的 发 展— — 每 一 个 新 的 文 件 都  对 早 期 的课程 文件 , 我 们指 出其 第一 次提 出 了什 么要  把 原来 的教 学 要 求 作 为 基 本 的 要 求 包 括 在 自己 的 要  求 , 重 申了原来 的文件 提 出的 哪些要 求 , 对后来 的课 程  ( 下 转第 6页 )   求之中, 当然 新 的文 件 还 提 出 自己 的新 要 求 , 这 些 新 

考察表 1 , 不难爱现, 课程文件所表达的 数学教学  

空 

学情 分  内 容分 析 的 

展 国培 ( 江 苏省 靖 江市第 一高 级 中学 )   文E l i 从数 学 课堂 教学 文化 的视 角剖 析 了如 下 两  个现象 : ( 1 ) 教 师 在 观 摩 了不 少 先 进 教 学模 式 和聆 听 
了众 多成 功经 验 后 , 在 自己 的课 堂 实 践 时 , 感 觉别 人  的精 彩 自己很 难再 现 ; ( 2 ) 反 复 打磨 的 公 开课 , 在 自己  长 略有不 同) 做买 卖 , 称 得黄 金 1 6克 , 顾 客将 黄金 、 砝  码换 了个 位 置后称 得 黄金 1 4克 . 顾 客 与店 主 大 闹. 店  主妥 协 , 建议 以两 次质量 的平均 数 1 5克 给该 顾 客. 如  果你 是该 顾客 , 你 是否会 接 受店 主 的建议 呢 ?  

的课 堂上 试讲 时 比较 理 想 , 但借班展示时 , 教 学效 果 
往 往 大打 折扣 . 2 0 1 1年 4月 , 靖 江 市 教 育 局 教 研 室举  办 了“ 靖 江市高 中青 年数 学 教师课 堂教 学竞 赛 ” 活动 .  


问题 : 黄 金 的 质 量 是 多 少 ? 顾 客 是 赚 了 还 是 
亏 了?  

设计意图: 运用 身 边 的例 子 拉 近 师 生 间 的距 离 ,  

—一 厶  
厶 

课 题 是“ 基 本不 等 式  ̄ / 口 6 ≤ 

( 口 ≥o , 6 ≥O ) 的证 明”  

让学 生意 识到 数 学 源 于 生 活 , 用于生活 , 激 发 学 生 的 
兴趣 .  

( 苏教 版普 通 高 中课 程 标 准 实 验 教 科 书《 数学 5 》 第 

评析 : 笔者 的感 触是 “ 无 良商 家 何 其 多” ?是 否会  给学 生 留下“ 这 是一 个 充 满 欺 诈 的社 会 ” 的 印 象 ?笔  者认 为 , 还 是应 当多 列 举 一 些 正 面 例 子. 高 中 阶段 是 
学生人 生 观和价 值 观形成 的关 键 时期 , 高 中学 生 人格  上正 逐步 趋 于 独 立 , 对 外 界 事 物 有 自 己 的初 步 判 断  力. 因此 , 讲 故事 的方 式对 高 中学 生 不一 定 有效 . 教材 

3 . 4 . 1 节) . 本文 结 合 此 次 活 动 中 的 四个 典 型 案 例 , 从  “ 学情 分析 ” 的角度 对上 述两 种现 象加 以分 析.  

1 四个案例及其分析 
1 . 1   问题 情境 

案例 1 ( 教师 甲) : 某 金 店 用 不 精 确 的天 平 ( 两 臂 
( 上接 第 5页 )   文件 , 由 于 内容 的增 加 , 我 们 只 指 出该 文 件 第 一 次 提 

中的背 景 问题是 一个 很好 的 纯科 学 问题 , 何 必 重新 包 
学生 的人 格和 学 生 在 数学 学 习上 的差 异 ” , 因材 施 教 

的核 心要求 达 到 了现代性 的新 的层 次 .   按照这 一 发 展 方 式 , 后 面 的 课 程 文 件 都 包 含 
了—— 有 时就 直接 是 原来 的要 求 , 有 时是 以某 种 概括 

出的教 学要 求 , 有许 多第 一次 提 出来 的要 求 实 际上 是  原 来 的要求 的概 括 和 深 化. 例如, 1 9 6 3年第 一 次 提 出  了“ 因材 施教 ” 的要求 , 其 实这 正是 1 9 5 1年 的“ 诱进 迟  钝, 鼓励高材” 要求的概括和深化 , 1 9 8 2年 第 一 次 提  出“ 面 向全体 学 生 ” , 就加在“ 因材 施 教 ” 的前 面 , 这 既  体现 了初步 的 以学生 为本 的思 想 , 也 提 高 了因 材施 教  的境 界. 此后 “ 面 向全 体 学 生 , 因材 施 教 ” 就 成 为 中学  教学 的 核心 要 求 一 直 保 持 下 来 , 1 9 8 8年 进 一 步 提 出  
“ 促进 学 生全 面 发 展 ” 和“ 教 学 要 从 学 生 的实 际 出发 ”  

和深 化 的形式 —— 前 面 的文件 中提 出的教 学要 求 , 因 
此通观 中学 数 学课 程 文件 提 出 的教 学 要 求 是 随 时 间 

的发展 而越 来越 缜 密 , 越来越先进 , 也 就 是 越 来 越 符  合 中学 数学 教学 的 客观 需 要 . 所以 2 1世 纪 的几 个 课  程 文件 的教 学要 求就 成 为现在 数 学教 学 的规范 , 中学 

数 学教 学原 则 的探 讨 和 中学 数 学 教 学 设 计 要 求 的开 
发, 总之 一句 话 , 整个 中学 数学 教 学 , 都 要 以这 几 个课  程 文件 中 的教学 要求 为指 导 .  
( 续 完)  

则 是 这一 核心 要求 的新 的 发展 和深 化 , 以后这 一 核 心  要 求也 不 断有 所发 展有 所创 新 , 直到 2 0 0 2年 提 出“ 数  学 教 学要 以 学 生 发 展 为本 ” , 2 0 0 3年 提 出 “ 充 分 尊 重 

教 

W W W . z h o n g s h   L I C Q n   c o m  
装 ?教 师备 课 时 应 当思 考 的 问 题 是 如 何 帮 助 物 理 基 
础 比较 差 的学生 从 杠杆 原 理 中寻 找解 释 ? ( 笔 者 在 听  课 时就 发现 部分 学 生在 讨论 时感 到茫 然 ) 我 们 提 倡 数 

兰 Q   璺! 塑  .  .  
中学 盘 学囊 学 参考 

索 和 发现 . 但 现在 大部 分 教师 却忽 视 了这 一点 .   案例 4 ( 教 师 丁) : ( 多媒体展示 2 0 0 2年 国际 数 学  家 大会 会标 ) 这里展示的是 2 0 0 2年 在 北 京 召 开 的 国 
际数 学家 大会 会标 . 这 一设 计 的 基础 是 我 国古 代 数 学  家 赵 爽 的弦 图 , 初 中 时 我 们 利 用 它 证 明 了勾 股 定 理 .   今 天 咱们 也来 研究 一 下 弦图.  

学 问题 生 活化 , 但 过分 生活 化 的 问题 可 能会 遮 盖 数 学 
的本 质 , 不 利 于教 学活 动 的开展 .   案例 2 ( 教 师 乙) : 教 师拿 出 自己带 来 的 两臂 不 一  样 长 的天 平. 请 两 位学 生 到讲 台上 用 该 天平 称 讲 台 上 

的粉笔 盒 的质 量 . 记下第一 次的称量结果后 , 交 换 粉 
笔 盒 与砝 码 的位 置后 再进 行第 二 次称 量.   问题 : 我 们 能用 这 个 天 平称 出 粉 笔盒 的质 量 吗?  

问题 : 请 观察 图形 , 图 中有 哪 些特 殊 的几 何 图形 ?   它 们 在面 积上 有 哪些 相等 关 系和 不等 关 系?  
设计 意 图 : 通 过观 察会 标 , 一 方 面让 学 生 发现 “ 四  个 直 角三 角形 的面积 之 和小 于或 等 于正 方 形 的 面积 ”   这 一事 实 , 从 而引 出 不 等式 “ 口 。 +b 。 ≥2 a b ” . 另一 方 面  激 发学 生 的爱 国热 情 .   评析 : 该 教 师 的设 计 兜 了一 个 圈子 , 先 让 学 生发  现 不 等式 “ 口 。 +6 。 ≥2 a b ” , 然 后 引 出基 本 不 等 式 “   6   ≤  ” , 过 渡不 自然 . 建 议不 妨 直接 从 教材 对 基 本不 

粉 笔盒 的质 量 究竟 是 多少 ?你 的依 据 是什 么 ?   设计意图: 结 合课 堂 实 际 , 引用 课 本情 境 . 一 方 面 
充 分利 用课 本 资 源 , 另 一方 面 通过 起 点 较低 的实 验 问  题 调动 每 一位 学生 的积极 性 和参 与性 , 通 过两 次 称 量 

结 果 的不 同激 发学 生 的好 奇心 .  
评析 : 该设 计 颇 有新 意 . 让 学 生动 手 实践 、 自主探 

索、 交 流合 作 . 符合新课程“ 丰 富 学 生 的学 习方 式 , 改  进 学 生 的学 习方 法 ” 的要 求. 可 问题 是 学 生 实 验 的 时  间过 长 ( 约1 5分 钟 , 据 选 手讲 她在 本 校 试 讲 时耗 时 只  需 6 分钟) , 导 致 后面 的教 学 内容 无 法 完成 . 该 教 师 所  在 学校 是 “ 县级中学” , 生 源是 一 流 的. 而此 次 竞 赛 活  动 的承 办 方是 靖 江市 的一 所江 苏 省 三 星级 高 中 , 学 生  的水平 处 于靖 江 市 的 中游 . 有 些教 师 认 为赛 课 就 要让  学 生“ 活 动” , 就要“ 实验” , 就要 “ 讨论” . 其实 , 数 学课  的主要 活动是 思 维活 动 , 其 他 的一 切 活 动 都是 为 激 发  学 生 的有 价值 的思维 活动 服务 的. 如 果 能 有效 地 促 进  学 生 的思 维 活动 , 那么这些实验与活动才是可取 的,  
否则 , 必 须放 弃. [ 2 3   案例 3 ( 教 师丙 ) : 比较 下列 各组 数 的大 小 :  
;   ;

等 式 的几何 解 释“ 半 径 不小 于半 弦” 出发 , 引导 学 生观  察 图形 , 得 出结 论 并 从 形 和 数 两个 方 面 加 以论 证 . 这  里 需要 强 调 的是 “ 情感 、 态度 、 价值观” 这 一 隐性 目标 

并 不是 只在 赛课 时列举 一 两个 例 子 就能 实 现 的. 应 当  体 现在 平 时教 学过 程 的潜 移默 化 中 , 是 一种 润 物 无声  的教育 方式 .  
问题是 数 学 的心脏 , 数 学教 学 设计 就 是 问题 的设  计. 没 有 问题 , 就 没 有 学 生 的活 动 ; 没有 问题 , 就 没 有  思 维. 教学 的有 效性 首 先体 现在 调 动 学生 的学 习积 极  性, 促 进学 生对 知 识 的主 动 建 构 上 . 笔 者 在 听课 的过  程 中发 现有 些 教 师 对 问 题 情 境 的 设 计 缺 乏 科 学 性 和  艺 术性 , 而 流 于形 式 化 . 设 计 的 关 键 在 于 教 师 能 否 科  学地 、 艺术 地处 理教 材 ?是 否 吃透 课 标要 求 ? 是 否能 

半 一   学 认 知水平 相 适 应 ?所 有 这 些 都 要 求 教 师 充 分 了解 
所 教学 生 的学 情. 赛 课 不 仅 要 秀 出 自己 的个 性 , 更 要  秀 在关 键处 .  
1 . 2 基本 不等 式 的证 明  教师甲: 如 何证 明 这个 不等 式 呢?  

够 唤起 学 生强 烈 的求 知 欲 ? 是 否 符 合 学 生 的心 理 特  征 及其 数 学思 维 的发 展 特 点 ? 是 否 与 学 生 已有 的数 

2  

;  


3  ; 半一  

设计 意 图 : 通过 简 单 的 比较大 小 , 使 学生 动起 来 ,  
让 他们 的思 绪迅 速 回 到课 堂 中. 通 过 比较 , 学 生 不 难  得 出, 两 正数 和 的一 半大 于它 们积 的算 术 平方 根.   评析: 该 教 师运 用“ 归纳 、 猜想 、 证 明” 的数 学 思 想  方法 , 通 过几 个 特 殊 的 例 子 , 引导 学 生猜 想 出基 本 不  等式 , 简单明 了, 直 奔 主 题. 教 师 没 有 考 虑 到 学 生 的 

学生 : 作差. 若何 一   何 ~  
何 = = =  

>o , 则 何 >  ; 若何 一  

. 若 

<o , 则 
.  

一0 , 则 

“ 计算 能 力” 这一 因 素 , 初 中阶段 计算 器 的大量 使 用 导 

致学生的计算能力下降 , 有些学生不知道√ 2 、 √ 3 的近  似值 . 建 议让 学 生 随 便 说 一 些 数 据 , 发 挥 Ex c e l 的 功  能. 苏教版教 材 中列举 了大量 彰显 E x c e l 功 能 的 例  子, 比如 画 函数 图 象 等 , 目的是 实 现信 息技 术 与课 程 
内容 的有 机 整合 , 帮 助学 生利 用计 算 机 ( 器) 等进 行 探 

教师追 问:  ̄ /  与‘  
( 学生 沉默 )  

的差是多少?  

教师甲:   一   一告( 2   一 口 - b ) 一一百 1  

空 

?

( √ 口 一4 g ) 。 . ( 下 面略 )  

教师甲: 除 了 比较 法 外 , 我们 还 可 以从 结 论 出发 ,   步 步逆 推 , 找 到一 个 显 然 成 立 的条 件 , 从 而 原 不 等 式  成立( 分析 法 ) . 我们 把 分析 法 的步 骤倒 过 来 写 就是 综  合法. ( 教 师板 书 , 强调 规 范)   教师 乙 : 如何 证 明这个 不 等 式 呢 ?( 学 生 思考 、 讨  论, 在 此过 程 中教 师巡 视并 参 与)   教师选 择 符合 自己教学 意 图 的学 生 回答 , 非 常顺  利 的完 成 了该 环 节 的教 学 . ( 笔 者 课 后 问 该 学 生 怎 么  看 出这 是一 个 完全 平方 式公 式 , 学 生说 看课 本 的)  

如许 ?为有 源头 活 水 来 ” 呢 ?教 师 点拨 :我 们 寻 根 究  底, 顺 着 清清 溪水 的渠 道 , 往上 一 步一 步 的 寻找 , 发 现  原来 是 因为 源头 有 活 水 的缘 故 . 这 种从 结 论 出 发 , 找 

到使 结论 成立 的 根源 的方 法就 是分 析法 .  
1 . 3 数 学应 用    ’

下 面是 四位 教师 选择 的例 题.   教 师 甲 :例 1   已 知 函 数 Y — z +  ,  

z∈ ( 一2 , +o o ) , 求 此 函数 的最 小值 .  
例2   已知 函数 y -— x 2


2 x + 5




_



, z∈ ( 1 , +。 。),  

教师丙 : 如何 证 明这个 不 等式 呢 ?  

求 函数 的最小 值 .  
、   厶 

学生: 两边平方后作差. (  ̄ /  ) 。 一( a   t   b ) ‘  
( 口一 6 )  
4   ’  

教师乙: 例1  若 x >O , 证 明不 等式 z +  ≥2 .  

变式: 求函数 厂 ( z ) =   +÷的取值范围.  
例 2 对 于 正数 口 , b , 你 能探 究 出T 
1  I   上 

教师 追 问 : 为 什么 两边 平方 ? 两边 可 以平方 吗 ?   学生 : 直接作差后我不知道怎么做. 平 方 后 可 以  去根 号. 由于 不 等式两 边 都是 正数 , 因此可 以平 方.   教师 丁 : 如何 证 明这个 不 等式 呢 ?  

,  ̄ /  ,  

a 。b  
,  

的大小 关 系吗 ?  

学生 : 作 商. 只要 比较 商 与 1的大 小.   教师 : 这 种方 法 也是 可 以的. 但 这 里较 繁 琐 , 同学 
们 可 以课 后去 思考 .  

教 师丙 : 例 1   已知 口 , b 都 是正 数 , 求证 :  

( I ) 口 +  ≥2 ; ( I I )  + 导≥2 .  
变式 : 求证 : z +  ≤ 一2 (  < O ) .   Z  例 2 求证 :  +  ≥6 ( z > 一2 ) .  

评析 : “ 比较 法 ” 学 生很 容 易 想 到 , 但 作 差后 不 少 

学 生 不能很 快 观察 到√   与 口的关 系. 初 中对 这 些符 号 
化、 形 式化 运 算 的 教 学要 求 降 低 了 , 这 一 点 所 有 参 赛 
选 手 都没 有考 虑 到 , 这 也 是 对 学 情 把 握 不 准 的表 现.   两 边 平方 后再 作 差 是 大 部 分 学 生 的 自然 思 路 . ( 坐 在  笔 者 旁边 的 4位学 生 中有 3位 就 是这 样 做 的 ) 这也 是 

教师 丁 : 例 1   求证 : z +土 ≥2( z >O ) .   学 生 用 比较法 、 分 析法 、 综 合 法分 别证 明 , 却 没有  学生想 到 直接用 基本 不 等式 .  

学 生 内心对 和 谐统 一 的需 求和 渴 望。 如何 突破 这个难 
点 ? 以教 师 的讲代 替学 生 的思 固 然不 可 取 ( 教 师 甲) ,   但 漠 视学 生 的学 习需 求 就 非 常 可 怕 了 ( 教师 乙、 丁) .  

例2   已知 口 , b 都是正数, 求证 :  

≤ ̄ /  

教 师 只要 稍作 停 留 , 提 示 学生 “  与n ” 的关 系 就 可 以 
了. 学 生在 初 中的平 面几何 证 明中经 常采用 “ 分 析 

评析 : 从这 四位 教师 所选 择 的例 题 可 以看 出教 师  对教材 的“ 个性 化” 解 读. “ 忠 于教 材 而不 囿于教 材 ” 是 

法” , 但 书写方 式 在 这 里 是 第 一 次 , 因此, 教 师 要 强 调  规 范 书写 的格 式 . 学 生 很 难 想 到“ 综合法” , 它 对 学 生  的能 力要 求很 高 . 教 师 可 以 这样 处 理 : 比较 法 和 分 析 

近年来 不少 课改 专 家提 出 的观点 , 这 也 是不 少 中学教  师忽视 教材 中的例题 、 习题 的理论 依 据. 而“ 不 囿 于教 
材” 的基础 是“ 深 刻 理 解 教材 和对 学 情 的准 确 把 握 ” .  

法都 是通 过不 等 式 ( √ n 一√ 6 ) 。 > /o说 明 问题 的. 如果 我  们 将 这个 不等 式 展开 :  
‘ .

学生从 “ 接 受新 知识 ” 到“ 理解 新知 识 ” 再到“ 运 用 新知  识” 是 需要 一个 过程 的. 由于学 生 个 体 的差 异 , 这 一过 

‘ ( √ a 一√ 6 )   ≥0 , . ‘ . 口 +6 —2 ̄ / 口 6 ≥0 ,  


程 有快 慢之 分. 如果教师没能认识到这点 , 就 不 能 让  不 同思 维层 次 的学生 都能 在课 堂 上保 持 一种 持 久 、 亢 
奋 的学 习状 态. 教师 乙和 教师 丁各 自选择 的例 2已 明  显 超 出高一 学生 的能 力范 畴 , 实 际的 课 堂教 学 也证 明  了这一 点. 不 少 参赛 教 师 ( 特 别 是 从 高 三 下 到 高 一 的 



 

4  ^
厶 

— — 一  

。 .

. a +6 ≥ 2 ̄ / 口 6 , . ‘ . 竺   - ; -   ≥ ̄ / 口 6 .  

我们 把这 种 “ 利 用 已知 条 件 和某 些 数 学定 义 、 公 
理、 定 理等 , 经 过一 系列 的推理论 证 , 最 后 推 导 出所 要 

证 明的结论成立” 的方 法 称 作 综 合 法 . 成语“ 顺 藤 摸  瓜” 中就 蕴涵 了这 样 的数学 思想 . 而诗 句“ 问 渠 哪得 清 

教师) 认 为 教材 的例题 太 简单 , 所 以 弃之 不用 , 这也 是 
教 师对 学情 把握 不准 的表 现.  

空 
~  

觳 

… … … …   … … … … 一 l _   … n   …   _ …   ~ 一  

W W W , Z h o n g s h u c a t l   C O m  

薰 

霭 

立足 基 础 ,着 眼 能 力 , 培养 学 生 可 持 续 发展 能 力 , 是 提 高 高 三 数 学  复 习质 量 的 有 效保 证 .  

王 弟成 ( 江 苏省 连云港 市 教育 局教研 室 )   不 断提 高课 堂教 与学 的效 率 是 时代 发展 的需 要 ,   也 是教 师持 之 以恒 的追求 . 高 三数 学 复 习 的质量 将 对  学 生知 识深 化 、 能 力 提高 、 素养 提 升 、 高考 取 胜起 决 定  性 作用 . 因此合 理规 划复 习步 骤 , 把握 复 习节 奏 , 优 选  复 习方 法 , 落实 复 习 细 节 , 吃透 课 标 、 考 纲要 求 , 把 准  高 考脉搏 , 改变 教 学 方 式 , 立足基础 , 着 眼 能力 , 培 养  学 生可 持续 发展 能力 , 是 提高 高 三数 学复 习质量 的有 
效 保证 .  

侧 重且有 新 意 , 学生 学 习不 断加 深 且 有 新 感 , 学 而 不 

1 合理规 划 , 把握 复 习节奏 
高 三数 学 复 习虽然 时 间 紧 , 内容 多 , 任 务重 , 但 毕  竟有近 9 个 月 的复 习时 间 ( 新 课标 教 材 下文 科 数学 复  习时 间更长 ) , 它 是 长距 离 赛跑 , 而 不 是 短 距 离 冲 刺.   所 以需 要对 整 个 高 三 复 习做 出 合理 规 划 , 详 细 安排 ,   掌 握规 律 , 把握 节奏 , 张 弛有度 , 有序 推进 , 稳步 提 高 ,   逐 步 成功 . 做 到知识 与 能力并 重 , 思 想与 方 法 同行 , 教  法 与学 法互 补 , 方法 与策 略高 效 , 情 感态 度 和谐 发 展.   笔 者认 为 高三 复习一 般分 三个 阶段 完成 : 第 一 阶段 重  在 基础 知识 的掌握 , 基本思想方法的落实 , 基 本 技 能  的提 高 , 基本 思维模式 的构建 , 即夯 实基础 , 形 成 系  统, 教 学宜 慢不 宜 快 ; 第 二 阶段 进 行 章 节 与整 模 块 知  识、 方 法 的整合 , 高度 浓缩 各部 分 的思想 方 法 , 打通 各  章 节 与模块 之 间 的联 系 , 形成 数 学 整体 , 即专题 复 习 ,   加 固系统 , 教 学宜 少 而 精 ; 最后 阶段 再 以 江苏 特 色 的  8个 “ 掌 握” 层 次 级要 求 外 加 函数 部 分 ( 函数 部 分虽 然 

厌, 做而 不倦 , 情绪 高 昂. 改 变 以往 高三 数 学 复 习越 到  最 后教 师越 不 知讲 什 么 , 大量 练 习重 复 做 , 学 生 能 力  无 发展 、 提升 的情 况.   第 一 轮复 习落 点 应 在 基 础上 , 不 可 盲 目拔 高 , 不  追 求一 步 到 位 , 不 追 求 特 殊 技 巧. 重视 三基 ( 基 础 知  识、 基本 技能 、 基 本 思想 方 法 ) 的落 实 ; 关 注 基 本 活 动  经 验及 基本 解题 思维 模式 的积 累 ; 培养 课 标 所提 出的  “ 空 间想象 、 抽 象概括 、 推理论 证、 运算求解 、 数 据 处  理” 等基 本能 力 ; 加 强 学生分 析 问题 、 解 决 问 题 的能 力  及 创新 能力 的 培养 . 第 一 轮 复 习 除 复 习基 础 知识 外 ,   还 要 明确各 章节 内容 重点 培养 学 生 哪些 能力 , 渗透 哪  些 数学 思想 方法 , 体现 哪些 解题 方 法 、 模式 , 章 节之 间  有 何纵 、 横联 系 , 这些 可 以与学 生 明确 说 明 , 以 引起 学  生 的重 视. 如 进 行 推 理证 明 相关 内容 的 复 习 过程 中 ,   要 重点 培养 学生 归纳 、 类 比、 猜想 、 概括、 推理、 反证 等  思 维 能力 ; 在复 习解 析几何 内容 时要 重点 提 高 学生 含  字母 问题 的计算 能力 , 抓“ 变点 ( 量) ” 看透 全 题 的分 析  问题 能力 , 同时 注 意解 题 方 法 的优 化 ; 在 函数 复 习 中  除解 决 函数 自身 的基 础 知识 与基 本 方法 外 , 对 于二 次  函数 中“ 抓 对 称 轴分 类 讨 论 问题 ” 也要重点强化 , “ 函  数 一 方程一 不 等式 ” 三者一体观念要建立 , 对 于 具 体  问题学 生 能 自觉 转 化 , 换位 思维 , 整体思 考 , 灵 活 运  用, 用“ 函数思 想 解决 问题 ” 的意识要形成 , 而 且 要 达  到 由有意识 应 用到无 意 识应 用 , 真正 内化 成能力 .  

考 纲 没有将 其 作“ 掌握” 的要求 , 但 高考 数 学江 苏 卷 自   2 0 0 4年 以来 每年 最后 的两 道题 中必 有 一 道是 函数 综  合题) 与综 合练 习 、 模 拟 测试 、 试 题讲 评 , 相 互结 合 , 穿  插 进行 , 相 辅相 成 , 相互强化 , 逐步提升 , 让 学 生 在 合  理 的安 排 中跟 随复 习节 奏一鼓 作 气 冲 向高 考. 整个 复  习过程 要一 步 一个脚 印 , 稳扎 稳 打 , 步 步为 营 , 若 过早  冲刺 , 学 生 表 现无“ 后劲 ” , 缺 乏“ 冲击 力 ” . 这样 安排 也  保 证各 个 复 习阶段 任务 明确 且 不重 复 , 教 师教 学 各有 

2 提 高认识 , 追求高效课堂 
社会 在发 展 , 时代 在 进步 , 各 地 的办 学都 在 规范 ,   复 习课 时相应 在减 少 , 但 学生 接 受信 息 的途 径 却 在增  多, 那种靠 大 运 动量 训 练 的复 习方 法 一 去 不 复 返 了.   而高 考成 绩是 不能 不要 的 , 这 就要 求 广 大 教师 必 须不  断改 进原 有 的复 习 方 法 , 饵 决 课 堂 复 习 效 益 问题 , 追  求 高效课 堂. 数 学教 师 要 始 终 树 立 向课 堂 要 质 量 、 要 



≤   叁  

2   0  
… … …   一

1  

_ 9  (  

中学 墨 学教 学 参考 

效 率 的 意识 , 要 提 高 课 堂 教 与 学 的效 率 , 就 要 提 高 课  堂时 间利 用率 , 把问题解决于课堂 , 把 能 力 提 升 于 课  堂, 把 成 绩提 高 于 课 堂. 那 种 一 味让 学 生课 外 做 大 量  练 习的 复 习方法 , 既对教师专业能力发展有损 伤, 也  是教 师无 能 、 无 法 的表现 .   2 . 1   提 高认 识  对 于基 础知 识 的 复 习 , 要实现再现 、 巩 固、 串联、   深化 的过 程 , 在 应 用 中体 现 对 知 识 的理 解 深 度 ; 对 于  解 题 方法 的呈 现 , 要使学生经历探 索、 比较 、 归纳、 形  成 的思 维过 程 , 要 提 炼一 般 的解 法 , 即通 性通 法 , 淡 化  特殊 方法 , 发 现 自然 的 、 学生 能 想得 到 的 方法 ; 对 于数 

示, 相互 交流 , 不 能教 师一 人讲 , 让 学生 成 “ 听客 ” .  
接思 . 没 有 学 生 的 自我 反思 , 学 生 的 学 习是 不 完 

善 的. 教 师批 改 、 讲评后 , 要 引 导 学 生 自我 反 思 , 反 思  知识 的应 用 方式 、 易错 产 生 的 根 源 、 解 题 想 法 的产 生  触点 、 解 法形 成 的思维 模 式 、 思 路 的优化 手 段 、 模式 的  提炼 完善 , 等等. 在一 系列 反思 活 动 中完 善 认 知 , 提升  能力 , 创新 思 维 , 形成 综合 能力 .   2 . 3 落 实训 练  课 上“ 讲” 是关键 , 但 仍要注意讲练结合 , 注 重 学  生训 练 的落 实. 现在有 一 种倾 向 , 学 生课 前 做什 么 , 教  师课 上讲 什 么 , 一是加重了学生的课外负担 , 二 是 不  利 于学 生考试 的发挥 . 要 把有备 训 练 和 即时 解 决结 合  起来 , 课 上 当堂 训 练要 引 起 重 视. 课 堂 上 至 少 要 留一  道例 题让 学 生 即 时解 决 , 独 立 完 成. 平 时 小 练 习与 周  测 大练 习要 合理 搭配 使用 . 练 习题 的选用 要 明确 目的 

学 思 想 的教 学 , 要 让 学生 经历 体 会 、 感悟、 揭示 应 用 的 
过程 , 最 终达 到 用 思 想 指 导 方 法 的思 维 习惯 ; 对 于 学 

生学 习方 法 的指 导 , 要形 成 学生 主 动 、 合作、 改进 的学  习过 程 , 引导 学生 改 进学 法 , 提 高效 益 ; 对 学 生 能力 的  培养 , 要 重在 落 实 、 训练 、 有序、 提升 数 学 能力 , 教学 的  最 终 落脚 点 是知 识 与能力 的协 同提 高.   2 . 2 改 进教 学模 式  教学 模 式提 倡先 做 、 后批、 再讲 、 接思 , 做、 批、 讲、   思 和谐 统一 , 使 学 生 形 成 一 个 完 整 的学 习 思 维 系 统 ,   教学 效 果才 能达 到 高效 .   先做 . 让 学 生参 与 , 突 出学 生 的主体 地 位 , 让 学 生  主动 学 习 , 自我完 善 知识 体 系 , 自我 完 善认 知 结 构 . 让  学生 先 遇 困难 , 自行 解决 , 在 困惑 、 无法 、 无奈 后 , 教 师  再讲 , 这 样学 生才 能 有感 受 , 有感 受 才 能 深 刻 , 深刻 才  能有 效果 . 先做让学生的思维走在教师 的前头, 让 学  生展 示解 法 , 让暴露学生思维误 区, 学 生 的 思 维 不 受  教师 影 响 、 牵制 , 利 于学 生创 造性 思 维 的 发挥 , 利于 学  生创 新 能力 的发 展 . 高考 试 题最 终 还是 由学 生 独立 解  决的, 教 师是 不 能提 示 、 引导 的 , 所 以平 时课 堂 教学 要  时时 、 处 处让 学生 独 立 面对 困难 , 独立思考, 独立 解 决  困难 , 独 立走 出思 维 的 困境 . 为什 么 讲 过 的 内容 学 生  还错 , 其 主 要 原 因 之 一 就 是 问 题 不 是 学 生 独 立 解  决 的.   后 批. 教师通过批改 , 可 以 了解 学 生对 基 础 知 识  掌握 的 程度 , 了解 学 生 对 解 题 方 法 理 解 的深 度 , 了解  学生 常 出现 的错 误 , 了解 学 生 解 答 中 所 遇 到 的 困 难 ,   了解 学 生 的创新 思 维 , 从 而 使 得 讲 解 有 针 对性 , 有 的  放矢 . 同时批 改对 学 生学 习 也是 一 种督 促 , 教师 重 视 ,   学生 认 真.   再讲 . 在批改的基础上 , 教 师 了解 了学 生 的解 答  情况 , 从 而精 讲 点 拨 , 启 发诱 导 , 基 础 知识 再 深 化 , 重  点 内容再 强 调 , 重点 方法 再 优化 , 多种 解 法再 比较 , 求  解模 式 再提 炼 , 数学 思 想再 渗透 , 典 型 错 误再 订 正 . 讲  解 时要 注意 解 题 的 思 路 一 般 化 , 要 能打开思路 , 善 于  联想 , 深 层挖 掘 , 而 不是 就题 解题 . 能 用数 学 思 想方 法 

性, 提高 针对 性 , 是 训 练学 生计 算 能力 , 还 是 深 化学 生  思维 ; 是进 一 步巩 固基 础 , 还是 提 高学 生 能力 ; 是 提 醒  学生 易错 问 题 , 还 是磨 炼 学 生 解 题 意 志. 练 习要 有 针  对性 、 系统性 、 滚动性 、 定 时性 , 可 以与 定 时 作 业 相 结  合. 要让 学 生练 而不厌 , 练 出效益 , 练 出信 心, 练出  
成功 .  

3 参照要求 , 把准 考试大纲 
教 学教 到 什 么 程 度 ?把 握 的标 准 是 什 么? 当然 

依 据是《 课程 标 准 》 《 教学 要求 》 及《 考 试 大纲 》 , 教学 要  求是 课标 要 求 的具 体 化 , 是 供 新 授 课 把 握 教 学 使 用  的, 是对 “ 教 学” 的要 求 , 对 高 三 数 学 复 习 教 学 仍 有 参  考 意义 , 新 授 课 教 学 不 作 要 求 的 内容 考 试 当然 不 会  考. 但对 教学 要 求 的认 识 也 是 有 变 化 的 , 高 三 数 学 复  习是 站 在数 学科 整体 角 度考虑 的 , 如“ 三 角 不等 式 ” 新  授课 要求 很 低 , 而 学 习过 导 数 后 , 在 研 究 三 角 函数 的  单调 性 问题 时 , 必 须 涉及 简 单 的 三 角 不 等 式 , 高 三 数 
学 复 习教学 对此 要加 强. 又如解 析几 何 中删 除了 到角  公 式和 夹角 公 式 , 学习《 数学 2 》 时, 对 角 的 问 题 要 求  比较 低 , 但 学 习完 向量 后 , 有 了 向量 的夹 角公 式 , 解 析  几何 中有 关 夹角 的 问题 即可解 决. 《 考 试 大纲 》 是对 所  学数 学 内容 的“ 考试” 要求 , 分了解、 理 解 和 掌 握 三 个  层次, 复习 中对 各 个 知识 点 的 考 试 要求 要 记 分 明 , 它  是选 题 、 讲题 、 编 制试 题 的依据 .  

4 加强研究 , 用 思想 方 法 弓 l 领 解 题 
高 三数 学复 习是 一个 系统 工 程 , 离 不开 教 师 的深 

指导 学 生解 题 , 形 成 思路 , 提 高 学生 认 识 问题 、 分析 问  题、 解决 问题 的 能 力 . 同时 要注意 让学生讲 , 学 生 展 

入研 究 . 研究 教 材 , 注 意 回归课 本 , 回归课 本 不 是 简单  地将 教 材 中的例 题 、 习题 重做 一 遍 , 研究 教 材 中例 题 、   习题 的功能 , 要 从 教 材 基 础 题 中提 炼解 题 方 法 、 解 题  思想 、 思 维模 型. 因为 教 材 中例 题 、 习题的基础性、 典  型性、 示 范性 不 是 资 料 上 的 题 所 能 取 代 的 , 其 基 础 性 

空  
舅  魍  2  
… …   … … … … …  

旦   :  

中学 文 学教 学 参 考 

是 学生 思维 固着 点 的 良好 载体 , 对 学 生 学 习起 支柱 作  用, 这一 点 不可 小视 . 同时 高 考 试 题 直 接 或 间 接 来 源  于教 材 中 的例题 、 习题 , 深 挖教 材探 题 源 , 从 教材 中一  些 基础 题 出发走 向高 考 试 题 . 研究 高 考 试 题 , 横 要 研  究 同一 年全 国各 地试 题 的特点 , 纵 要 研究 本 省 近几 年  高 考试题 走 向 , 如 高 考 数 学 江 苏卷 的 数 列题 、 函数 题  都 有 自己 的特 点 , 解 析 几何 连续 三 年 涉 及 定 点 、 定 值  问题. 研究 学生 , 教 师有 自己的教 学 风格 , 学生 也 有 自   己学 习 的特点 , 努力 使学 生 的学 习方 式 与教 师 的教 学  方 式相 互适 应. 研究解题方法产生的思维过程 , 不 能  以解法 代 替解题 分 析 , 既要重 结 果 , 更要 重 过程 . 现在  出现 为 了体现 学生 的 主体 , 教 师 给 出题 目后 让 学 生讲  解法 , 学生 讲 后 , 教师无 话可说 的情况 , 这 是 很 危 险  的. 研究 四种 常 用 数 学 思 想—— 函数 与方 程 思 想 、 分  类 与 整合 思想 、 化归与转化思想、 数 形 结 合 思 想 在 教  学 中的渗 透. 关 键 是 教 师 在 分 析 问题 、 研 究 问题 时 能  否 自觉地 用数 学思 想方 法作 引 导寻 找求 解 方 法 , 教 师  有感受 , 学 生才 能有 感觉 . 研 究试 卷 讲评 的方 法 , 试 卷  讲评 要 突出学 生 发 展 , 突 出数 学 思 想 方 法 . 研 究 典 型  例题 在 思 想 方 法 统 领 下 的变 式 、   引申、 拓展 、 迁移. 如 2 0 0 7年 高 考  数学 四川 I 卷理科第 1 1题 : 如 图,   z   、 l 。 、 l 。是 同 一 平 面 内 的 三 条 平  行 直线 , z  与 l :间 的距 离是 1 , z 。   与 z 。间 的 距 离 是 2 , 正 三 角 形  图1  
ABC的三顶 点分 别 在 Z   、 z z 、 l 。上 , 则 AAB C 的边 长 
是 (   ) .  

问题 1 : 请说 出抛 物 线 的 定 义 与 圆 、 椭圆、 双 曲线  定 义 的 区别 与联 系.   问题 2 : 请写 出抛 物 线 的 四种 标 准 方 程 与 对应 的 
焦点 、 准线 的坐标 , 并 画 出相 应 的 图形 .  

问题 3 : 已知 抛 物线 方 程  —n   。 , 请 你 以 此 为 背  景, 命 制一 道题 目( 可增 加条 件 ) , 并 给 出解 答.  
教 师提 出三个 问题 , 就把 学 生 的学 习 积极 性 调 动 

A. 2 , / g  

B .  
o 

C .  
‘ 士  

D . _ 2, / g   f  
。 

此题 乍 看 无 从 人 手 , 细分析后发现 , 立 足 三 角 形  的边 和角 , 分别 在 两个 不 同的三 角形 中建 立含 有 边 和  角 的方 程 , 设  AB D一0 , 则  C BD一6 0 。 一0 , 得 AB  
1  
一  

9  


Bc 一  s i n ( 6 0  ̄ -O ) , 又

AB—B c, 两 个 方 程 两 

个未 知数 , 解之即可, 思路直接 , 目标 明确 , 不 需 过 多  的思 考 , 这就 是方 程思 想 的威力 .  

5   立足能力 , 培 养 学 生 可 持 续 发 展 
高考 是考 查学 生综 合能 力 的考 试 , 能 力 培养 是 教  学 的重任 , 要 培养 学 生 可 持 续 发 展 的能 力 . 高 三数 学  复 习更是 这样 , 对 学生 的能 力培 养要 通 过 扎 实有 效 的  教学 过程 得 到落实 , 解 好每 一 道题 , 落 实 每一 个 解法 .   要 由教师 教 学 转 向学 生 教 学 , 教 师 复 习转 向学 生 复  习, 学 习是 学 生 的学 习 , 改变 学 生“ 被复习” 现象 , 考试  也是 学生 的 考 试 , 因 此 教 学 必 须 突 出学 生 的 主 体 地  位, 让 学 生做 、 学生 说 、 学生 理解 、 学生思考, 让 学 生 发  挥, 让 学生 展示 , 让 学生 交流 , 让 学 生创 造 、 发 现. 如 复  习抛物 线 时教 师可 以提 出如 下 问题 :  

起来 了 , 把学 生 的思 维 推 到 了前 台. 问 题 1的解 决 可  搞 清 四种 曲线 定 义 间 的关 系 , 既有 统 一 性 , 又 有 独 立  性, 既有共 性 , 也有 个性 . 问题 2的解决 让 学 生 回忆 抛  物线 的方 程 与性质 , 有 区别 , 也 有联 系 . 问题 3给学 生  更广 的思 维创 造 空间 , 学生 可 以命 制各 种 各 样 的 问题  ( 可 以参考 相 关 资 料 ) , 如( 1 ) 求抛物线焦点坐标 ; ( 2 )   抛物 线过 点 ( 1 , 2 ) , 求 a的 值 ; ( 3 ) 抛 物 线上 一 点 P 到  焦 点 的距 离 为 5 , 求 此 抛 物线 方 程 ; ( 4 ) 过 抛物 焦 点 的  直 线与 抛物 线交 于 A、 B两 点 , 求 证 A、 B 两 点纵 ( 横)   坐 标之 积为 定值 ; ( 5 ) 若 一 条 直线 与 抛 物 线 交 于 A、 B   两点, 若 A、 B两 点 的横 坐标 之 积为 定值 , 则直 线 是 否  过 定点 ?等 等. 这 些不 都是 教 师想 讲 的 、 想 强调 的吗 ?   不 同层次 的 学生 可 以提 出不 同问题 , 教师 只 要对 学 生  的 回答或 解答 给 予恰 当 的评 价 或 组织 学 生讨 论 即可 ,   无需 强调 来 强调 去 , 学 生还 不愿 意 听.   要 由强 调 教 学 转 向渗 透 教 学 , 通过 “ 润 物 细 无  声” 的过 程 , 提示方 法 , 渗透 思想 , 提升 能 力. 如 笔者 在  听课 中发现 , 教 师复 习集 合 内容 , 讲 授 例题 “ 已知集 合  A一{  l 口 z   +2 x- 4 - 1 =0 ) 只有一个元素 , 求 a的 值. ”   教 师强 调要 注意 两 种 情 况 , 一是 判 式 为 0的 情 况 , 方  程 有两个 相 等根 , 二要 注 意 n 一0的情 况 , 此 时 方程 只  有 一个 实根 . 学 生 如何 能 形成 思 维 习惯 , 笔 者 认 为 应  从集 合 只有 一个元 素 要求 出发 , 什 么 情况 下 集 合会 只  有 一个元 素 ?一是 方 程 只有一 个 根 , 集合 中 当然 只有  个 元素 ; 二 是方 程有 多个 重根 , 根据 集 合 的互 异 性 ,   表 现结 果是 集合 只有 一 个 元 素 . 那 么, 方 程 能 只有 一  个 解 吗? 当方程 为一 元一 次方 程 , 方 程 当然 只有 一个  解. 方程 的解 能 有 重 根 吗? 当 方 程 为 二 元 方 程 时 , 只  要其 是重 根 , 就满 足题 意. 此分 析 以方 程 以 载体 , 紧紧  抓 住集 合 的本质 , 而不 是 仅仅从 口 =0和 a ≠ 0的 角度  去 分类 , 分类 只是 思维 的表现形 式 . 不强记 , 学 生 当然  不存 在 忘记 的 问题.   又如, “ 已知 厂 (  ) =z 。 +口 z   十6 z+b   , 当  =一 1   时, , (  ) 有极 值 8 , 则口 +6 一  . ” 多 次强 调 , 学 生 


0  

还是会得 6 , 一÷两个解 , 不能把增值 6 排 除. 此 问题 
‘ 士 

出现不 能怪 学生 不注 意 , 可 以组 织 学 生讨 论 、 交流 , 发  现 是思 维方 式 出 了问题 , f   ( 一1 ) = 0并 不 是 厂 ( 1 ) 为  函数 厂(  ) 极 值 的充 要 条 件. 就本 题而 言, 是 必 要 条  件, 而必 要条 件 常 常会 扩 大 范 围增 解 . 所 以解 决 问题  时要 自觉 从 充要 条件 角度 思考 , 而 不是一味记忆. 长期 

誓  
点   Q ,   年   彝   甥   上 
中 学文 学教 学 参 考 

圆 锥 曲 线 引 课 之 

瓤;  

l | j 辍 l   4  

如 何 在 学 生 原 有 认 知 基 础 上 , 恰 如 其 分 地 引 入 新 课 , 让 学 生 充 分 认 识  数 学 知 识 之 间 的 内在 统 一 ,是 一 个 值得 研 究 的课 题 .  

何 建 东( 浙 江省 绍兴 市 第一 中学 分校 )   圆锥 曲线 是 高 中数 学 的重 要 内容 . 如何在“ 直 线  与 圆的方 程 ” 和“ 曲线 与 方程 ” 的教 学基 础 上恰 如 其 分  地 引 出圆锥 曲线 的教 学 , 并让 学 生 充分 认 识 圆锥 曲线  之 间 的“ 统一性” , 是 一 个值 得 研 究 的课 题 . 笔 者所 在  的“ 教 学行 动 研 究 小 组 ” 对 此 做 了深 入 详 细 的 专 题研  析, 提 出以下 七 种 方 案 , 可 资 教 师 们 在 圆锥 曲 线 的 整  体( 或局 部 ) 引入 , 兼及 说 明 圆锥 曲线 间 的统一 性 时 借  鉴 与 尝试 .   方案 1 : 由平 面截 圆锥 得 到截 口曲线 引入.   教材 是教 师 开展 教学 最重 要 的 素材 源 . 数 学 教 师 
应 用好 教 材 、 挖 掘 教 材 编 写 内 涵. 人 教 A 版 教 材 在 

圆锥得 到 截 口曲线 ” 的示 意 图 和相 关 引述 , 可供 教 师  选择. 我们 知 道 , 用 一 个 垂 直 于 圆 锥 的 轴 的 平 面 截 圆  锥, 截 口曲线 ( 截 面 与 圆锥侧 面 的 交 线 ) 是 一 个 圆. 如  果 改变 平 面与 圆锥 轴 线 的夹 角 , 会 得 到什 么 图形 呢?   用 一个 不垂 直 于 圆锥 的轴 的平 面截 圆锥 , 当截 面 与 圆  锥 的轴 夹 角不 同时 , 可 以得 到 不 同 的截 口曲线 , 这 是  怎样 一 些 曲线 ? 事 实 上 , 这 些 曲线分 别 是椭 圆( 图  1 ) 、 抛物线( 图2 ) 和 双 曲线 ( 图3 ) . 我 们通 常把 圆 、 椭  圆、 抛 物线 和 双 曲线 统 称 为 圆锥 曲线 . 初中时学生 已   经 从平 面几 何 的视 角对 圆进 行 了学 习 , 高 一 时又 从 方  程 的视 角对 圆进 行 了再 次研 究 , 在接 下 来 的学 习 中我  们 将对 另 外三 种 圆锥 曲线进 行类 似 的研究 .  

《 选修 2 — 1 》 “ 圆锥 曲线 与 方 程 ” 一 章 中设计 了 “ 平 面 截 

内化 , 学 生能 解 决 的绝不 是这 一类 错 误.   要 由题 型 教 学 转 向 思 维 教  学, 重 视 对 解 法 的 形 成 过 程 的 分  、 一   析, 重 视对 问题 的分析 过程 , 重  \ 、   B   视 思 想 方 法 对 解 题 思 路 形 成 的  引导 过程 , 重 视 已知 与 未 知 沟 通  图2   的过 程 . 如 2 0 1 0年 高考 数 学江 苏 
l  

定 点 是 由哪 个 量 “ 引起 ” 的 ?直 接 、 间 接 与 哪 些 量 相  关 ?哪些 点 又 是 变 化 的 点 ? 哪个 点 是 变 化 的 “ 核 心  点” , 它 的变化 会 引起 “ 质” 变 ?逆 向分 析 , 步步推进 ,   发 现所 求 “ 定点 ” 取决于 M、 N 两点 , 而 M、 N 两 点 都  受点 丁 的制 约 , 因此 点 T是所 寻 找 的“ 核心 点” , 是 关  键点 , 是 变化 的点 T引 起 点 M 、 N 的变 化 , 但 由于 椭  圆方 程 的 内在 制 约 , 造 成 直 线 MN 与  轴 的交 点 不  变, 即直 线过定 点. 经 过 这 样 的分 析 , 理 清 头绪 , 只 要  建立 起与 点 T 纵 坐标 m 相关 的恒 成 立 方程 即 可 , 方  程 蕴 涵着 几何 中“ 万变” 中的 “ 不变” . A、 B 坐标 已 知 ,  

卷第 1 8题 : 在平面直角坐标 系 x O y中, 已 知 椭 圆 
J 
. .

2  

+誓 一 1的左 、 右 顶 点 为 A、 B, 右 焦 点 为 F. 设 过 点 
T( t , m) 的 直 线  、T B 与 此 椭 圆 分 别 交 于 点  M( x 1 , Y 1 ) 、 N( x 2 ,  z ) , 其中 m>0 , y 1 >O , y 2 dO .   ( I) 设 动点 P满足 P F  一P B   一4 , 求 点 P 的  轨迹 ;  
1  

结 合椭 圆方程 , 其 交点 M 、 N 的坐 标 都可 用 含 m 的代 
数式 表 示 , 进 而 建 立 起 直 线 MN 的方 程 , 这 样 抓 住  “ 核心 点 ( 量) ” , 理顺 各个 点之 间 的 相互 联 系 , 在 方 程  思想 指导 下 , 把握 住 整个 问题 , “ 打通” 整 个 问 题 各 个 

( Ⅱ) 设z   一2 , X   一÷ , 求点 T的坐标 ;  
0 

( Ⅲ) 设t 一9 , 求证 : 直 线 MN 必 过  轴 上 的一 定  点( 其坐标与 m无关) .   分析 : ( I) ( Ⅱ) 略. 第( Ⅲ) 问直 线过 “ 定 点” , 这个 

环节 之 间 的联 系 , 剩下 的只要 大胆 、 放 心运算 即可.   要 由 封 闭教 学 转 向探 究 教 学 , 注 重 所 讲 例题 、 习   题 的拓展 、 探究 、 迁移 、 运用 , 给 学 生创 造 空 间. 要 由记  忆教 学转 向再 创造 教 学 , 复习 过程 是 知识 的再 回忆 过  程, 更 是 知识 的“ 再 发 现” “ 再创 造” 过程 .  



 

禳  嚣  L …   L   …  

… … …   …   . …   一 一   ~ … …   …  

?  

:  

这 组数 学实 验 , 学生 可 以形成 对 圆锥 曲线 的直 观认 知 

印象 , 同时 也将 运 动 观 点 下 的 “ 曲线 是 由动 点 生 成 的  轨迹” 这一 几何 特质 在 实践 中得 到 内化 . 当然 , 实 验 的  效 果取 决 于“ 操 作” 的精 度 , 稍有不“ 慎” , 就 可 能产 生 


组“ 牵强 附会 ” 的圆锥 曲线 , 这 是教 学 中需 要 引 起 注  方案 3 : 由生 活情境 蕴 涵 的科 学 知识 引入 .   数学源于生活, 又 用 于 生 活. 新课 程 强 调数 学 教 

意的.  

评析 : 这 种 引 入 方 案 用 一 种 统 一 的 形 式 展 示 了 

“ 圆锥 曲线 ” 得名 的缘 起 , 让 学 生在 一 个立 体 几何 图形 
情境 中体 验 解析 几 何 研 究 对 象 的 相 互 关 系. 学生“ 开  门见 山” 地认 识 了一 个 圆 锥 曲线 “ 大家庭” , 为 依 次 接  触并 学 习研究 其 中 的每 位 “ 家庭 成 员 ” 的 个 体 特 征 做 

学 要增 强情 境 渗透 , 一是 让学 生 领悟 数 学 与生 活 的 广  泛联系, 二 是增 加 学 生 学 习 数 学 的兴 趣 与 动 力 . 圆锥 

了 自然 的铺 陈. 同时, 教 师 重 视 并 合 理 使 用 教 材 的 章  头 图及 引言 , 无形 中也 向学 生 传 达 了 重视 教 材 、 深 挖  内涵 的求 知 信号 . 但 由 于“ 截” 是一 个 动 态 的 过 程 , 要  让 学生建 构起 “ 截 口 曲线 ” 的概 念 , 教师需要借助“ 几  何 画板 ” 等工 具 加 以展 现. 这 对 教 师 熟 练 使 用 相 关 软 
件提 出了一定 的要 求 .   方案 2 : 由点动 成线 的运 动变 化观 点 引入.  

曲线 与科研 、 生 产 以及 人 类 生 活 有 着 密 切 的关 系. 教  师 可 以选择 介绍 一些 与 之相关 的生 活实 例 , 引 出圆锥 
曲线 的教学 .   实例 1 : 电影 放 映 机 的 聚光 灯 有 一 个 反 射 镜 , 它 

的形状 是旋 转 椭 圆 面 , 为了使片f - j ( 电影 胶 片通 过 的 
地方) 处 获 得 最 强 的光 线 , 一般将灯丝 F  与 片 门 F。   置 于椭 圆 的两个 焦点 处 ( 图7 ) .   实例 2 : 摄 影 师 在 室 内拍 照 时 , 由 于 自然 光 线 不 

数学 实 验是数 学 学 习与研 究 的有 效 载体 . 新 课 程  重视 学 生 的认 知体 验 , 专 门设计 安 排 了一 系 列数 学 实  验. 教师 可 以结 合 教材 设 计 安排 的探 究性 数 学 实验 ,  
在此 基础 上适 当改 编成 一个 实 验组 , 通 过 操 作导 入 圆  锥 曲线 的概念 .   实验 1 : 取一条定 长的细绳 , 把 它 的 两 端 拉 开 一 

足, 常 常需要 借 助 闪 光 灯 或 其 他 照 明 灯 具 . 为 了 获得 
足够 的亮度 , 又使 光 线 尽 可 能 地 均 匀 柔 和 , 摄 影 师 所  用 的 室 内照 明 灯 的 反射 镜 面专 门做 成 双 叶旋 转 双 曲  面的形 状 , 并 让 灯丝恰 好 位于 焦点 处 ( 图8 ) .   实例 3 : 生 活 中 人 们 所 用 的手 电 筒 , 能 让 一 只 本  来 很小 的灯 泡发 出 的分散 射 向各 方 的光 , 经 过 适 当调 

段距 离并 固定 在 图板 的 两点 F , 、 F 。 处, 套 上 铅笔 , 拉  紧绳 子 , 移 动 铅笔 , 探 究 此 时 笔尖 ( 动点 M) 画 出的 轨 
迹( 图 4 ) .  

节, 射 出一 束较 强 的 平 行 光 线 , 这 其 中起 主要 作 用 的 
是 装在 小灯 泡后 面 的一 个旋转 抛 物 面状 的 反光 镜 ( 图 
9) .  

实验 2 : 取 一条拉 链 , 拉 开 它 的一 部 分 , 在 拉 开 的  两边 上 各 选 择 一 点 , 分 别 固 定 在 图板 的 两 点 F 。 、 F 2   处, 把笔 尖放 在拉链 头 处 , 随着 拉链 逐 渐 拉 开或 闭拢 ,   思考 笔尖 ( 动点 M) 将 画 出怎样 的图形 ? ( 图5 )  
图 7   图 8  

睡 
圈 9  

说 明: 这 三 个 实 例 都 是 学 生 在 生 活 中耳 闻 目见  的, 其 中蕴藏 着 怎样 的科学 原 理 ?学 生一 定 会 在惊 讶  于 这些 生活 情境 的 同时 , 迫 切 地希 望 通过 学 习 弄个 水 

落 石 出. 教 师可 趁 机 给 出 待 研 究 的 课 题 : 这 些 例 子 中 
图4   图 5   图6  

包 含着 即将 学 习的 圆锥 曲线 的有 关 知识 , 而 且 都用 到  了圆锥 曲线 具有 的奇 妙 的光学 性质 .   评析: 这 种 引入方 案 的最 大亮 点 是能 够 很 大程 度  地 激起学 生 的求 知欲 , 使学 生情 不 自禁地 于 平 凡 中见 


实验 3 : 取 一 条 有 弹性 的皮 筋 , 把 其 一 端 绑 定 在 


图板 上 的 , 在一 根 滑轨 z 内可 移 动 的小 滑 轮 N 上 , 另  端 固定在 滑 轨旁 边 的一点 F处 , 将铅 笔放 在皮 筋 中 

点处 , 然后 不 同程 度 地 拉 伸 皮 筋 , 保 持铅 笔 两侧 的 皮  筋 长相 等 ( 1 MF   J =l MN I ) , 移动铅笔 , 这时笔尖( 动  点 M) 画出 的又是 什 么 曲线 ? ( 图6 )   评析 : 这 种 引 入 方 案 具 有较 强 的 可操 作 性 , 所 用  工具 简单 易得 , 每 位 学 生 都 可 以独 立 制 作 实 践. 通 过 

“ 神奇” , 真正 起 到 情 境设 计 在 引 入 教 学 中 的 作 用. 事 
实上, 奇 妙 的光 学 性 质 背 后 都 蕴 涵 着 奇 妙 的数 学 关 

系. 而 圆锥 曲线 是所 有 曲线 中最 常 见 的 , 它 有 着 极 其 
广 泛的用 途 . 上述 应用 只是 圆锥 曲线在 生 活 中的部 分  体现 . 这些 光 学性 质 均 源 于 它 的切 线 和 法 线 的性 质 ,  

教 
' wWv ,
… … …


z h


o  

蟹 







 









 



 

曼  . 1 Ⅲ 鼍   照  一  1   中 学文学 教学参 考   、 : 二  

并 且 都可 以通 过解 析几 何 知识 加 以 证 明. 考 虑 到 上 述  实 例其 实 只给 出了“ 旋 转 圆锥 曲 面” 的形 象 , 因此 需要  教 师 花工 夫“ 引导性” 地“ 提取” 包 含 其 中 的 圆锥 曲线  ( 即轴 截 面 曲线 ) , 才能 顺利 过 渡到 教学 需求 .   方案 4 : 由求 解 已知 曲线 的方 程 角度 引入 .   在学 习 了“ 曲线与 方程 ” 之后 , 学 生 初 步形 成 了 由  已知 曲线 求解 方 程 , 以及 通过 方程 研 究 曲线 简 单 性 质  的解 析几 何基 本 能力 . 教 师可 视这 一 内容 为继 续 教学  的衔 接基 础 , 设计 一些 由 已 知 曲线 求 解 方 程 的 “ 问题 
组” . 如:  

在 定直 线 上 , 曲线完 全 由动 点与 定点 的距 离和 它 到定  直线 的距 离之 比  ( 其 本 质 是 圆 锥 曲线 的 离 心 率 ) 决  定, 当O <P < 1时 , 曲线 为椭 圆 ; 当P > 1时 , 曲线 为双  曲线 ; 当 一1时 , 曲线为 抛物 线.   评析 : 这种 引入 方 案 实质 上 是 在 “ 借题发挥” , 让  学 生经 历前 面所 学 “ 曲线 与方 程” 的题 组 训 练实 践 , 并  在教 师 引导 下观 察分 析题 组条 件 间 的联 系 , 产 生 对相  关 结论 的无 限遐 思 , 为 随 后逐 次 揭 开 圆锥 曲线 的 “ 面  纱” , 以及最 终 由圆 锥 曲 线 的“ 统一定义” 予 以 系统 解  释提供 铺 垫. 当然 , 这 种基 于 由数 ( 方程 ) 导形 ( 曲线)   思 想 的方 案 , 较 之 由形 ( 曲线 ) 生数 ( 方程 ) , 能 否 显 得  更 自然 , 需 要教 师在 实 际教 学 中加 以斟酌 .   方案 5 : 由类 比推 理从 原有 认 知生成 引入 .   运 用 类 比推 理 , 借 由学 生 原 有 认 知来 生 成 新 知 ,   是 数学 教 学 的 常 用 途 径 . 通 过 初 中 数 学 知 识 和 高 中  《 数学 2 》 的学 习 , 学生 对 圆 已经 有 了较 为 深 入 的认 知  与掌握 , 鉴此 , 教师 可 以 设计 一 个 “ 由此 及 彼 ” 的类 比   教 学方 案 , 让 圆锥 曲线 的知识 在 不断 “ 滚动式” 的类 比   中 自然 而然 地生 成 .   类比l : ( 由圆类 比椭 圆 ) 圆是 平 面 内与定 点 距 离  等 于定 长 的点组 成 的 图形 . 那 么, 如果将“ 一个 ” 定 点  改 为“ 两个 ” 定点 , 将“ 定长” 改为“ 到 两定 点 间 的距 离  之 和 为定 长” , 这 样 的 点将 组 成 怎 样 一 个 平 面几 何 图 
形呢?  

问题 组 1 : 如图 1 0 , 设 点 A、 B  

I  

的坐 标分 别 为 ( 一5 , 0 ) 、 ( 5 , O ) . 直  线 AM 、 B M 相交于点 M , 且 它 们  的斜 率之 积 为 (   ≠0 ) , 分 别 求  取 下 列各 值 时点 M 的轨 迹方 程 .   ( 1 ) a = -I ; ( 2 )  一 一一 4. ( 3 )  
— Z.  

/  一  
D 

图 1 0  

说明: 利用“ 曲线 与 方 程 ” 知识 , 不 难 求 得 该 问 题  组 的解答 .  
2 

( 1 ) z。 +  = 2 5 ( y = / = 0 ) ; ( 2  x - + 





2  

一1 (  ≠ 0 ) ;  

9  


2  

^ 。 2  

( 3  

一  一 1 (  ≠ o ) ?  

如果 不 考 虑 需 要 除 去 的 z轴 上 的 两 个 点 , 方 程  ( 1 ) 表示 的 曲线 是 圆 , 那 么方 程 ( 2 ) 、 ( 3 ) 表 示 的 曲线 是  什 么 呢 ?事 实上 , 对 于该 问题 组 中 的 曲 线 ( 不 考 虑 除  去 的两点 ) , 当A : = = 一 1时 为 圆 ; 当. : I > O时 为 双 曲线 ;   当 一1 <  < O时 为 焦 点 在 两 定 点 连 线 上 的椭 圆 ; 当  < 一1时 为焦 点在 两定 点 中垂 线上 的椭 圆.   问题 组 2 : ( 1 ) 设点 M( x ,  ) 与 定 点 F( 4 , 0 ) 的 距 

类比2 : ( 由椭 圆类 比双 曲线 ) 椭 圆是 平 面 内 与 两  定 点距 离 之和 等 于 定 长 ( 大 于 两 定 点 间 的距 离 ) 的点  的集合 . 那么 , 如果将“ 距离之和” 改 为“ 距离之差 ( 小  于两定 点 间 的距 离 ) ” , 进而改为“ 距 离之 差 的绝 对值  ( 小 于两定 点 间 的距 离 ) ” , 满 足条 件 的 点 的集 合 组 成  什么样 的曲线 ?   类比3 : ( 由椭 圆 、 双 曲线 类 比抛 物 线 ) 椭圆、 双 曲  线是平 面 内到两 定 点 的距 离 满 足 一 定 条件 的点 的 集  合, 那 么 如果将 “ 两定点” 改 为“ 一 个 定 点 与 一条 定 直  线( 定 点 不在 定 直 线 上 ) ” , 将距离“ 之和” 或“ 之差” 改  为“ 距 离 相等 ” , 这 样 的点又 组成 什 么图形 ?   评析 : 这种 引 入方案 既 着 眼于从 条 件 的类 比变 化 

离 和它到 直线z :   一 竿的 距离的比 是常 数÷, 求 点M  
的轨 迹方 程 ;  

( 2 ) 设点 M( x,  ) 与定 点 F( 5 , O ) 的距 离和 它 到直  线 1 :   一  的 距 离 的 比是 常 数  5 求 点 M 的 轨 迹 


方程 ;   ( 3 ) 设 点 M( x,  ) 与定 点 F( 5 , 0 ) 的距离 和 它到 直 

线 l :   一 一 5的距 离 的 比是 常 数 1 , 求 点 M 的轨 迹 
方程.  

探 求新 曲线 的产 生 , 包 含 了数 学 学 习 的发 散 性 思 维 ,   也 渗透 了数学研 究 的渐 变式 思想 ; 同时 站 在集 合 观 点  下 剖析 圆锥 曲线 是 由怎 样 的点组 成 的 感知 . 在 教 师 的  引导下 , 学 生 已然 在“ 潜 移默 化 ” 中经历 了一个 从 重 新 
认 识 旧知 到创 新 衍 生 新 知 的知 识 探 求 历程 . 对于“ 类 

说明: 利 用“ 两点 间 的距 离” 和“ 点 到直 线 的距 离 ”  
_ _

2  

. . 2  

公式, 可直 接列式求得该问 题组的 解答: ( 1   , 2 7 + 告  


2  

. . 2  



1 ; ( 2  一 寺  1 ; ( 3 )   。 一 2 0 x ? 教 师 可 在 此 基 础 上  

比” 推 理基 础 比较 好 的学生 , 经过 教 师 如此 “ 点拨” , 应  该 能 达到 预设 之 效 果 , 否则 , 要 想 让 这 一 引 入成 为 自   然, 就 需要 教 师较 高 的教学 领 引水平 与艺 术 了.   方案 6 : 由平 面几 何 问题 的求 解解 析 引入.   圆锥 曲线 是高 中解 析几 何 的重 要 组 成部 分 , 而 解  析几 何实 质 上是利 用 “ 数形 结合 ” 思想 , 从 曲线与 方 程 

给 出设 问 : “ 这 些类 似 条 件 下 求 得 的 曲线 方 程 究 竟 有  着 怎 样 的联 系与 区别 呢 ? ” 事 实上 , 只要 给 出的定 点 不 



  一

l 1   燕萋  煦 
中学 文 学囊 学 参考 

2  

w ww. z ho n gs h  

黧 

联 系的角 度 , 用方程 研究 曲线 性 质. 因此 , 解析 几何 为  平面 几何 的研 究提 供 了一条 新 的道 路. 教 师 除 了要 认  识到 这层 联 系 , 还应 该设 计一 些 由平 面 几何 问题 的求  解解 析 引出 圆锥 曲线教 学 的思考 题.   思考 1 : 如图 l 1 , 圆 0半 径 为 定 长 r , A 是 圆 内 一  个异 于 圆  00 的定 点 , P是 圆 上 任 意 一 点 . 线 段 AP   的垂 直平 分线 l和半 径 O P 相 交 于 点 Q, 当 点 P在 圆  上运 动时 , 点 Q形 成怎 样一 条 曲线 ?  

点 P 落到 圆上 不 同的点 处 , 观察折 痕 围成 怎样 一个 图  形( 图 1 5 ) .  

图 1 5  

思考 2 : ? 如图 1 2 , 圆 0半 径 为 定 长 r , A 是 圆外 一  个定点, P 是 圆上任 意一 点. 线 段 AP 的垂 直平 分 线 l   和直 线 0 P 相 交于 点 Q, 当点 P在 圆上 运 动 时 , 点Q   形 成 怎样 一条 曲线 ?   思考 3 : 如图 1 3 , 画定直线 z , 在直线 z 外 取 定 点  F, 直线 z 上 任取一 点 D, 过 点 D 作 直 线 z的垂 线 , 连  结 DF, 作线 段 DF 的中垂 线交 直线 z的垂 线于 点 M ,   这 样 的点 M 的运动 轨迹 是什 么 呢?  

实验 3 : ( 折 出抛物线) 取 一  张矩 形 纸 片 , 在 其 内靠 边 缘 AB   侧 附近 取一 定 点 F, 把 矩 形 纸  片靠 近边 AB 的部 分折 过 去 , 使  AB边 恰 好 过 给 定 点 F. 反 复 折 


叠数 次 , 使 每 次 总 有 边 AB 上 不  同 的点落 于 给 定 点 F, 观 察 折 痕 围 成 怎 样 一 个 图形 
( 图 1 6 ) .  

图 1 1  

图 1 2  

图 l 3  

评析 : 这种 引入 方案 让学 生在 熟 悉 的平 面几 何 情  境下, 思 考 推导 出动 点 所 满 足 的 几 何 条 件 , 激 发 进 一  步探 索所 得 曲线 几何 特性 的兴 致 . 教 师借 此 由平 面 几  何 导入解 析 几何 , 既 能让 学生 深刻 体会 两部 分 内容 之  间的 内在联 系 , 感悟“ 浑然天成” 之味 , 又 能 让 学 生 在  学 习新 知 的 同时温 故 旧知 , 有 一举 两 得 之 益. 与 方 案  4类 似 , 选 择这 一 方案 , 需 要 教 师解 决 好 一 个 问题 : 如  何顺 畅地 实 现先 有数 ( 方程 ) , 再去 分 析研 究 对应 的形  ( 曲线 ) , 才 能优化 教 学效果 .   方案 7 : 由折纸 实验 产生 的痕 迹分 析 引入.   折纸 游戏 既是 一 种益智 性 的游 戏 , 也 是 数学 实 验  的具 体形 式 之一 , 具 有较 强 的趣 味性 和思 维 性 . 通 过  定 规则 下 的折 纸 , 能产 生不 同类 型 的 圆锥 曲线 . 教 

评析 : 这 种 引入 方 案 中的 折 纸游 戏 , 只 需要 学 生  按 指定 规则 进 行 操作 , 简便易行 , 对 学 生 来 讲 很 具 吸  引力 . 折纸 实验 形成 的 圆锥 曲线 实质 上 包含 了 比较深  奥 的包 络思 想 , 却在 学生 手头 简单 的操作 中静 静地 流  露, 能 让学 生在 惊讶 之余 , 感悟 数 学 的神 奇 魅力 , 探 究 
知 识 的兴趣 也 极 为 自然 地被 激 发 . 需 要 指 出的 是 , 看 

似 有趣 的折 纸操 作起 来仍 有一 定 的难 度 , 教 师 能 否讲  清 具体 怎 么“ 折” 是 关键 , 而且折得次数越多 , 形 成 的  包络才会 越 明显 , 这 可 能 会 占 用 一 定 的 课 堂 教 学 
时间.  



师可 以设 计 一个折 纸 实验组 , 让 圆锥 曲线 在 学生 手 中   “ 油 然而 生” .   实验 1 : ( 折 出椭 圆)   准备 一 张 圆形 纸 片 ( 或 者  在 白纸 上 画 一 个 圆 ) , 在  圆 内 异 于 圆 心 0 的 地 方  任取一 点 P, 折 叠 纸 片 使 

~  

上 述各方 案都 有 其精妙 之处 , 却 也难 掩其 “ 不  足” . 笔 者撰 写此 文 的主 旨在为 教 师提 供 参 考素 材 , 至  于具体 选择 哪种 方案 最宜 , 决 定 于教 师所 面对 的学 生  实 际情 况 , 以及教 师 自身 的教 学特 点 . 无 论 怎样 , 去尝  试 总是 积极 的态 度 . 我国著名数学家、 中科 院 院士 谷  超 豪 曾说 : “ 别看数 学表面上枯燥 , 其 实 只 要 深 入 进  去, 你就 会 发 现 奥 妙 无 穷 , 简 直 是 开 发 不 尽 的 宝 藏  啊. ” 我们 数 学教 师 的一 个 重 要 职 责 正 在 于 引 领 学 生  在 数学 的海 洋 中漫游 , 同时充 满好 奇 心 和兴 趣 地思 考  数 学之 真谛 .  
参 考 文 献 

1 人 民教 育 出版 社 ?课 程 教 材 研 究 所 ?中 学 数 学 课 程 教 材  研 究 开 发 中心 . 普 通 高 中课 程 标 准 实 验 教 科 书 ?数 学 ( 选 
修2 - 1 ) r M- I . 北京 : 人民教育出版社 , 2 0 0 7  

圆弧恰 好 过点 P . 反复折叠数次 , 使 每 次 总有 圆 上 不  同 的点 落 于给定 点 P处 , 观察 折痕 围成 怎样 一个 图形 
( 图 1 4 ) .  

2 张维忠. 文 化 视 野 中 的数 学 与 数 学 教 育 [ M] . 北京: 人 民教  育出版社 , 2 0 0 5   3 何建东 . 立足数学本质 解决教 学疑难[ J ] . 中学 数 学 教 学 参  考 (I - 旬) , 2 0 1 0 , 1 ~2   4 王光 明. 数学教育应该重视 培养 学生 的好奇 心[ J ] . 中 学 数 
学教学参考 , 2 0 0 5 , 6   5 何豪 明. 例说抛物线 的引课 [ J ] . 中学数 学教学 参考 , 2 0 0 4 ,  
1 ~ 2  

实验 2 : ( 折 出 双 曲线 ) 准备一张纸 , 在 其 上 偏 某  侧 画一 个 圆 , 在 纸 的另 一 侧 圆外 取 一 定 点 P, 折 叠 纸  片使点 P恰 好 落 到 圆弧 上. 反 复 折 叠 数次 , 使 每 次定 

教  
曼  

中 鬻 学 盘 学   教 学 参 考  …   ?  

两条直线垂直的条件’ ’的 
王晓 青( 北京 市第 二 十 中学 )  



 

1 对 课 程 标 准 和 教 材 的 学 习 理 解 与 困 惑 
人 教 B版《 数学 2 》 教材 P . 8 4 ~P . 8 7关 于 两条 直 

和 学生 实际 , 本 节课 的教 学 重 点应 设 为 经 历 问 题 “ 解  析 化” 的过程 , 突出 “ 坐 标法 ” 的应用 .  

线 垂 直 的条件 , 突 出 了如下 几个 方 面 的编写 特 色 :   ( 1 ) 转 化 思想 方 法 的运 用 ( 把 两 条 任 意 位 置 的直 
线 垂 直 问题转 化成 过 原点 的两 条直 线 的垂 直 问题 ) ;  

但是 如 何落 实这 个重 点却 有 分 歧 和 困惑 . 受 到个  人 学 习经验 和老 课程 教学 内容 顺 序 安 排 的影 响 , 有 的  教 师对 教材 中关 于 两条 直 线 垂 直 的条 件 的 探求 不 接  受, 甚 至认 为使 用 勾 股 定 理 翻 译 垂 直 条 件 是 无 奈 之 
举, 很 滑稽 .  

( 2 ) 分类讨 论 方 法 的应 用 ( 先 研 究 两 直 线 都 不 与  坐标 轴平 行或 垂直 的情况 , 再研 究 有 一 条 与坐 标 轴平  行 或垂 直 的情 况 ) ;   ( 3 ) 分析 法 的运用 ( “ 用 分 析法 寻 求 思路 ” , 先研 究  若 垂 直可 推 出什 么 情 况 , 再 研 究 是 否 可 以逆 推 , 从 而  得 出这种 情况 是 否几 判断 垂 直 的条件 ) ;   ( 4 ) 把 问题 “ 解析化” 的过程和 “ 坐标 法 ” 的应 用 
( 利用 垂 直 的几何 条件 , 构 造直 角 三 角形 , 通过 两 点 的  距 离 公式 , 利用勾股定理 , 找 到 相 应 几 何 条 件 代 数 化 

面对 困 惑 与 争议 , 笔 者 带 着 问 题走 进 学 生 , 在 课 
前 对个 别学 生进 行 了访谈 .  

2 课前 的学生访谈 
2 . 1   向学 生 提 出 的 问题  

我 们可 以用两 直 线 方 程 的 系 数 或 者 斜 率 来 描 述  两 条直 线平 行 的条 件 , 那我 们是 否 也 可 以用 两条 直 线  的方程 的系数 或者 斜率 来 描述 两 条直 线 垂直 呢? ( 答  案是肯 定 的) 那 我 们 怎 么 探 索 两 条 直 线 垂 直 的 条 
件呢?   2 . 2 学 生的 最初 反应 

的途 径 , 再进 行 代 数 运 算 , 从 而 获 得 两 直线 垂 直 的 代 
数条 件 ) .  

面对 教 材 , 我 们 的教 学 应 该 怎样 设 计 ?简 单 说 ,   此节 课 的教 学 目标是 什 么? 下面 不 妨看 看 《 普 通 高 中  数学 课程 标 准 ( 实验 ) 》 的描述 .   对平 面 “ 解析 几 何” 初 步 的描 述 是 , 解 析 几何 本 质  是用 代数 的方法 研究 图形 的几何 性 质 , 体 现 了数 形 结  合 的重要 数 学思 想 .   “ 内容 与要求 ” 中相应 的叙 述是 , 能 根 据 斜率 判 定  两条 直 线 垂 直 ; 体 会 用 代 数 方 法 处 理 几 何 问 题 的 
思想 .  

学生 甲 : 能用 特殊 的直 线 研究 吗? 我想 作 一些 互  相 垂 直 的直线 求 出斜率 , 寻找关 系 .   学生 乙 : 斜率 互 为 负倒 数 , 初 中老 师告 诉 过结 论 .   ( 稍后 又补 充 ) 但斜 率不 存 在 的时 候 就不 符 合 , 会 不会  有更 一般 的结 论 .   学生 丙 : 倾斜 角 互余 , 是 不 是 可 以 找 到 斜 率 的 
关 系.   学 生丁 : 一定 要 用一 般式 研 究 吗 ?可 以用 斜 截式  研究 吗 ?  

给 出 的“ 建 议” 是, 教 师应 帮 助 学 生经 历 如 下 的过  程: 首先 将 几何 问题 代 数 化 , 用代 数 的 语 言 描 述 几 何 

要 素及 其关 系 , 进 而 将 几 何 问题 转 化 为代 数 问题 ; 处  理代 数 问题 ; 分 析 代 数 结 果 的几 何 含 义 , 最 终 解 决 几  何 问题 .   显 然 教 材 很 好 地诠 释 了课 标 , 也 丰 富 了课 标 , 在  备课 组 集体 备课 的过程 中 , 通过 分 析 学生 的情 况 和结  合 以往 的教 学 经验 , 笔 者认 为 , 转化 的思 想方 法 , 对 学  生来 说 是一 个 难 点 , 分 类 讨 论 的思 想 及 具 体 的操 作 ,   在 上节 课 “ 两 条 直线 平 行 的条 件 ” 中应 该 体 现 的较 为  充分 , 至于 分析 法 的运 用 , 学 生 在 学 习 平 面 几 何 证 明  的过程 中应 该 有这 方 面 的训 练 和 素养 , 所 以结 合课 标 

假 如给 出 了两条 直线 的方 程 , 甚 至 我们 已经 知 道  了结 论 , 我们 怎样 探 求或 证 明两条 直 线垂 直 的条件 ?   2 . 3 学生 的初 步思 考 ( 探 索初 , 老 师提 示 垂直 的条 件  如何 代 数表 示 )   学生甲: 能 否用 勾股 定 理 ?两 条直 线 垂直 一 定 相  交, 求出交点 , 再 作 一 条 直 线 Y=b跟 两 条 直 线 都 相  交, 于是 三个 交 点组 成直 角 三角 形 , 用 距离 公 式 、 勾 股 
定理 可 得等 量关 系 .  

( 得 到 教师 的认 同后 开 始 操 作 , 两 条 直 线 用 直 线  的一般 式 , 交点 的坐 标 形 式 比较 复 杂 , 学 生 对 运 算 没  有信心了, 后在 教 师 的提示 下想 到 将 两条 直 线 平移 到 

空 
…  

嚣 
困难 在 于没有 平移 转化 简化 运算 的思 想 和方 法 , 另 外  对含 字母 的运 算 本 能 的 拒 绝 , 不愿深入 , 因此 没 有做  下去 , 但他 们 的想 法 是 笔 者 从 没 有 思 考 过 的 , 之 后 笔 
者沿着 他 们 的思路 进行 了推 导 , 都 顺利 获得 了解 决 .   2 . 5 对 学生访 谈 的感 受  通 过 对学生 的访 谈 和共 同探 究 , 笔 者 的第 一感 觉  就是 : 教材 本身 确实 是集 很 多专 家 、 学者 、 前 辈 的 经验  和智慧 编 写而成 的 , 我们 尊重 教材 , 挖掘 教 材 , 体会 教  材 是非 常有 必要 的 ; 另外 , 尊 重 学生 , 相信学生 , 发 挥 

原点 , 并 自行 总 结 : 先 特 殊再 一般 . 甚 至 还 提 出是 否 可  以以两 条直 线 的 交 点 为原 点 重 新 建 立 坐 标 系. ( 这 个  过程 中学生 的思 维很 活跃 , 对 坐标 法 的理解 和 运用 很  有促 进 . 笔者 的 感 觉 是 既欣 喜 又 惊 讶 , 同时 也 佩 服 教  材编 写 者对 学情 的 了解 和设计 )   学生乙: 我想 用矩 形 的对 角线 相等 进行 证 明.   ( 得 到教 师 的认 同后 也 开 始 操 作. 先 把 两 条 直 线  分别 沿 2 1 7 轴 和 Y轴 平移 a个 单 位和 b个 单位 , 四条 直  线 组 成矩 形 , 于是 对角 线相 等 可 以获得 等量 关 系)  

学生 丙 : 我想 用 面积相 等 寻找关 系 .  
学生 丁 : 我想 用相 似找 关 系.   2 . 4 学 生最 终给 出 的证 明  很 快 学生 甲和学生 丁 写 出了过 程.   学 生 甲 的过程 :  

学 生 的主动 性 , 不 应 该 只 是存 在 于 理 念 中 , 要 真 正 的  落 实到 教学 实践 中 , 在这 里访谈 的几 名学 生 都 是班 内   成 绩 中下 的 , 但 他 们 的思 维 却 处 处 闪现 着 智 慧 的 火 
花, 笔 者设想 如果 教学 按 照 自己 已有 的思 路 设计 几 个  问题 , 看 似是 启 发 和 调 动学 生 参 与 , 但 往 往 是 思 维 较 
 1 l 2 : A2 x+B ̄ y= 

如图 1 , 以两 直 线 的交 点 为  原点 建 立 直 角 坐 标 系, 可 设 
Z 1 : A1 z+ Bl Y: 0; Z 2 : A2 z+ B2 Y  
一 0,  



x + B o ' = 0  
\ 

/   = a ( 口 ≠ l  

,  

快 的学 生抢先 说 出后 , 教师就“ 顺水推舟” , 其 他 学 生  也 只有 听 的份 了 , 他 们 的智 慧 无 法 得 到体 现 , 他 们 只  能被 动地 跟着 , 没有 独 立 思 考 的空 间 , 久 而 久 之 就 失  去 了独立 思考 的能 力. 笔者认 为, 每 位 学 生 原 本 都很  聪明, 一 些学 困 生很 可 能 是 课 堂 教 学 教 出来 的. 我 们  往往 教会 了学 生 如 何 应 对 考 试 , 如何获取高分 , 但很  可能 让学 生失 去 了更加 聪 明的机 会.  

\   / B  

一  

作 直线 Y一1 2 ( 口 ≠0 ) , 设 与  Z   、 z  分 别 交 于 点 A、 B, 易 得 

7 ’   \ 
图l  

A ( 一 箬, n ) 、 B ( 一  ' n ) .  
z   上 z 。 甘 0 A l   + 0 B l 。 一 A B   错( 一   B l a )   + a 2  

3 课堂教学 ( 片断 )  
学情分 析 : 学生 或多 或少 的 了解 两 条直 线 垂 直 的  条件 , 但如 何得 到 的却不 了解 . 学 生 初学 解 析 几何 , 对  解 析 几何 的基 本研 究 问题 的方法— — 坐标 法 , 还 不能 
很 好 的运用 . 另外 , 学 生对 含字 母 的运 算 心 存畏 惧 , 甚  至 沿袭 初 中的学 习方 法 , 重结论 , 不重 过 程 的推 导 ; 重  运用, 不 重思 想方 法 的感 悟.  

+ ( 一 筹) 。 + 口 2 一 ( 一 筹+ 筹)   甘 A   A   + B 。 B 。  
一 0 .  

当两直 线 不过 原点 时 , 通过 平 移 - . I 以转 化 为过 原  点 的情 况.   综上 , Z 1 上l 2 固A1 A2 +B l B 2 :0 .  
学 生 丁 的过程 :  

假设 两 条 直 线 的位 置关 系如  图 2所 示 , 设直线 z 1 : y —k 1  - J r b 1   和z z : Y 一是 2 . 2 7 +b   , 两 直 线 与 坐 标  轴 的交点 分 别是 A、 B、 C、 D.  

课 前准备 工 作 :   ( 1 ) 对个 别学 生进 行访 谈 , 在访 谈 的基础 上 , 引 导 

/ j l : y = k l x + b   /  \  
, : . ’ , =  

.  
6 2  

7 。 。   Z c \ 
图2  

学生 攻关 —— 寻 找并证 明两条 直线 垂直 的条 件.   ( 2 ) 面对 全体 学生 布置 预 习任务 , 鼓励 自主探究 .   教学 流程 设计 :   开 门见 山 , 类 比 两 条 直 线 平 行 的 条 件 提 出 问  题—— 两 条直 线 垂 直 的条 件 ; 学 生 交 流 各 种 探 究 方 
法, 教师点 评 , 突 出证 明过 程 中所 蕴 涵 的数 学 思 想 方 

则A ( 一  , 0 ) 、 B ( o , b 1 ) 、   c ( 一   b 2 , 0 ) 、 D ( o , 6 2 ) ,  

一 


法; 类 比平 行 , 简单应 用 ; 课 堂小 结 , 布 置作 业.  
6 1  

z z  ̄ = > AAOB c o A DO C ̄ : *  

= 

基于 如上 的思 考和 设计 , 下 边是 课 堂环 节 2的实  录片 断.   ( 学生 交流 , 教 师点 评 )   教师 : 通 过 特例 , 通 过 试验 或 者预 习 , 我们 已经获 

骨 忌 1 k2 = 一 1 .   丝  k 2  

同样 , 任 意 两条 直线 经过 平 移都 可 以转化 为 如 图  的两 条直 线 的位 置情 况.   学生 乙和丙 当时 没有 完成 推 算 过程 , 他们 的主要 

得 了两 条直 线垂 直 的条件 , 但 两 条直 线垂 直 的条件 的  般性证 明蕴涵 着丰 富 的数学 思 想方 法 , 我 们 更应 该 


独 立思 考 、 勇 于 挑 战. 如 果 两 条 直 线 中有 一 条 平 行 坐  标 轴或 跟坐 标轴 重合 , 就很 容 易找 到 他们 垂 直 的条 件 

教  
www。 z h on g s hu Ca   r 1 . C ; O1 7 3  

20
… …

1   1  塑  塑   点 
中 学文 学教 学参 考 

并证 明 , 这 里我 们 就 不 详 细 研 究 了. 下 面让 我 们 的攻  关小 组 就一 般情 况介 绍 一下 他们 的想 法 和证法 .  
学生甲 : 我 的想 法 是 先 特殊 再 一 般 , 先研 究 两 直  线过 原 点 时的情 况 , 再研 究一 般情 况 .  

7 、 r f   b  

k 2 b 、  

\ 是 2 一k 】 ’ k   2 一k 】 / ’  

z 1 上z 2 V :  ̄ O MB N 为矩形∞ I   O B   l —I   MN   I  

( 具 体 过程 如前 边访 谈所 示 )   教 师点 评 : 同学 们 的探究 过 程有 两 点值 得 大 家领  会: ( 1 ) 通 过 平 移转 化 , 简 化 问题 ; ( 2 ) 通 过 构 造 图  形—— 直角 三 角形 , 找 到垂 直 这个 几何 条 件代 数 化 的  途 径—— 距 离公 式 、 勾股 定理 .   下 面请 同学 丁 为我们 介 绍他 的想 法 和证法 .   学生丁 : 我 也 是 先 从 具 体 的 一个 特 殊 图形 出发 ,   两条 直线 垂 直 和两 坐标轴 互 相垂 直 , 于 是 在 图形 中 我  看 到 了很 多 相 似 三 角 形 , 可 以得 到 相 应 的线 段 成 比  例, 用距 离 公式 翻 译 线 段 长 度 , 于是 得 到 了相 应 的关  系. 开始 我 怀疑 自己的 证 明是 不 是 有 局 限性 , 现 在 看 

I 一 √ (  一  )   + (  一  )  
甘 忌1 k 2 一 一 1 .  

教师: 上 面 的过 程应 该 不算 困难吧 , 学生乙, 说 说  我 的处 理跟 你 的处理 有 哪些不 同 ?   学生乙: 最 关键 的不 同是 我选 的是任 意 的两条 直  线, 不是 过 原 点 的 两 条 直 线 , 所 以 我 每 次 都 被 运 算  卡 住.   教师 : 看 来平 移转 化对 这个 问题 确实 起 到 了很 好 

的简化 作用 , 但是 , 运 算 的复杂 性 , 特 别是 含 字母 的运  算 也是解 析 几何 的基 本特 点之 一 , 我 们也 要 有 勇气 和  能 力去 面对 . 下 面我们 看 看学 生丙 又是 怎 么思考 的.  
学 生丙 : 我 把 两 条 直线 画在 坐 标 系 中 , 立 即发 现  它 们与 坐标 轴 围城直 角 三角形 , 在初 中遇到 直 角三 角  形 经常 用面 积相 等构 造 等式转 化 条件 , 于是 我 想用 面  积 相等 寻找 垂直 条件 . 下 面是 我 的  / Y  ?  
证 明.  

  ’

了学 生 甲的证 明我 知道 了 , 其 他 任何 情 况 都可 以通 过  平 移转 化 成 如 图 2所 示 的情 况 , 所 以 也 就 没 有 局 限 
性 了.  

( 具 体 过程 如前 边访 谈所 示 )   教 师点 评 : 我们 说解 析几 何 的基 本 思 想方 法 是几  何 问题 代数 化 , 对于同一个几何条件 , 我们 挖 掘到 了  不 同 的几何 特 征 , 也 就 有 了不 同 的代 数 化 途 径 , 学 生 
甲是 利用 垂 直构 造 了直 角三 角形 , 学 生 丁 是联 系 两 坐 

 

设两条直线 的方程 分别 为 Y  
一点 l z和 Y一 是 2  - t - b ( 不 妨设 k 1   >O , k   <0 , 6 >0 ) , 如 图 4所 示.  

标轴 的垂 直 , 把 两条 直线 的垂 直 放 到 了更 广 阔 的背 景  中挖 掘 到 了三角 形 相似 的几 何特 征 , 从 而 找到 代 数 化  的途径 . 可 见构 造 几 何 图形 、 挖 掘 几 何 特 征是 我们 顺  利进 行代 数 化 的前 提条件 . 下 面 我们 再 来 看看 学 生 乙  和学 生丙 又 是从 什 么角度 来 分析 垂 直条 件 , 如 何 挖 掘  几何 特 征 的.   学生乙 : 我没有特殊化 , 开 始 也 想 用 勾 股 定 理 翻 

图4  

解 得 两直线的 交点M 的坐 标为(  
k l b 、   k1 一 k2 /。  

,  

利  用  面  积  相  等  得  b  ×  

译垂 直 条件 , 但 运算 让我 放弃 了. 我 又想 构 造 矩形 , 把  垂直 条件 转 化成 矩形 对 角线 相等 , 作 图时 我还 先 固定 
了一 条对 角 线 , 这 样 减 少 了很 多 运 算 量 , 可 是 这 次 我  还是 没有 成 功 , 我不 知道 该怎 么 办.   教师: 学 生 乙的 想 法 非 常好 , 昨 天 我 与 他 交 流后’   非 常受启 发 , 下 面是 我按 他 的思路 写 出 的推证过 程 .   设两条直线方 程分别为 Y  
: = : k 1 z 和 Y— k 2 z( 不妨设 k 1> O ,  
k2 < 0 ).  
,  



√ (   b   J 2 + (  )   X  b  
整理 , 得 k 1 k 2 一 一1 .  

, z .  

( 说 明: 如果 两条 直线 不是 如 图 4所 示 的位 置 , 可  以通过 平移 转化 )   教 师 小结 : 通 过 前边 几 名学 生 的探 究 , 我 们 可 以 

充 分 的 体 会 到 解 析 几 何 研 究 问 题 的 基 本 思 想 方  法 —— 用代 数 的方 法研 究 几何 , 现 在 我们 的代 数化 工 
具 还 比较少 , 所 以恰 当 的 挖 掘 几 何 特 征 、 寻 求 适 当 的 

|  
。  

过 y轴 上 的 点 ( 0 , b ) 分 别 作  两直 线 的 平 行 线 得 直 线 Y一是   z  
+b 和 Y—k 2  - t - b ,   M、 B、 N, 如 图 3所 示 ,  

}   \ y = 耙 .  
图3  

代 数化 途 径 就 显 得 尤 为 重 要 . 今 天 学 习 了垂 直 的 条  件, 以后 我们 遇 到垂直 的几 何条 件 就 有 了新 的 相应 的 
代 数化 途径 .  

当两 条 直线 垂 直 时组 成 矩 形 . 设 顶 点 分 别 为 0、  

4 课堂小结

布 置作业 

0 ( o , o ) 、 M(   b,   ) 、 B ( O ,  

( 1 ) 从 知 识上 , 学 习 了两条 直 线垂 直 的 条件 , 并 能  运 用判 断两 直 线是 否 垂 直 和求 与 已知 直 线 垂 直 的直 



 

!  

曼  

上旦 L … … … … … …… … … … …… … … … ~  

婴  :

黧  

空  

中学 文 学囊 学 参考 

线方 程.  

加给 学生 , 这节课 的课前访 谈 , 应该 说 为做 到 “ 以学 生  为 主体” 提供 了一 种 途 径 . 从 课 后 效 应 看 本 节 课 的意 
义还 不 只是突 破 了难 点 , 让 学 生 获 得 了知 识 和 方 法 ,  

( 2 ) 通过两 直 线 垂 直 的条 件 的探 究 , 让 我 们 更 进 


步体 会 了解 析 几 何 的 基 本思 想 方 法— — 用 代数 的 

方法 研究 几何 问题 , 运 用解 析法 的关 键 是 挖掘 几 何特 

更重要 的激发 了学 生 的学 习兴 趣 , 对 学 生学 好解 析 几 

征, 用 好 代数化 工 具 , 寻求代 数化 途径 .   ( 3 ) 在学 习方 法 上 我 们 要 注 意 类 比 , 要 养 成 独 立 
思考 的 习惯.  

何, 既有方 法 的奠 基 也 有 信 心 的 激 励. 这 应 该 说 是 追 
求 以学生 为 主 体 的 必 然 结 果 , 当然 也 是 教 师 教 学 的  追求 .   6 . 2 让 学生在 自主探 究 中获 得发 展  正如 课标 中所 倡导 的 : 学 生 的学 习 活动 不应 只 限  于接 受 、 记忆 、 模 仿 和练 习 , 高 中数 学 课 程还 应倡 导 自  

布 置作业 

( 1 ) 课本第 8 7 页练 习 B第 1 、 2 、 4题 ; 第9 2 页第 1 2  
题.  

( 2 ) 整理 两直 线垂 直 的条 件 的证 明 , 体 会 几何 问 
题代 数 化 的方 法 和 途 径 , 鼓励继续钻研 , 寻找属于 自  
己的证 明方 法.  

主探 索 、 动手 实践 、 合作 交流 、 阅读 自学 等数 学 学 习方  式. 这些 方式有 助 于 发 挥 学 生 学 习 的主 动 性 , 使 学 生 
的学 习过 程成 为在 教师 引导 下 的“ 再 创 造” 过程 . 这节 

( 3 ) 预 习点 到 直线 的距 离 , 也希望寻找到属于 自  
己的证 明方 法.  

课, 从 课 前访谈 、 课前准备、 课上交流 、 课 后 作 业 几 个 
环节 都体 现 了对学 生 自主学 习 的重 视 , 过程 中学 生 自  

5 课后 的效应 
课 后学 生又 给 出 了关 于 两 直 线 垂 直 的 条 件 的 多 
种证 明方法 . 现 收录 3种如 下 .  

然 而然 的经历 运 用 了 动 手 实 践 、 合作交流、 阅读 自学  等 学 习方 式 , 体验 了发 现 创 造 的成 功 , 对 提 高 学 生 数 
学 表达 和交 流 的能 力 , 发展 学生 独立 获 取 数学 知 识 的  能 力有很 大 帮助.   6 . 3 知 识 的形成 过程 是数 学思 想方 法 的载体  在 我们 的教学 过程 中 , 有 时可 能会 认 为一 个 概念  的形成 或一个 知 识 的推 导 不值 得 花 费 较 多 的课 堂 时 

方法 1 : 轴 对称处理垂 直: 先 关 于 直 线 Y— z对  称, 再关 于 Y轴对 称 , 则 两直 线垂 直 ;  



方法 2 : 利 用倾 斜 角 与斜 率 的关 系 : 两直线垂直,   条 直 线 的 倾 斜 角 与 另 一 条 直 线 的 倾 斜 角 的 补 角 
方法 3 : 射 影定 理 .  

间, 不如 后跟 进训 练效 率高 、 效 果 明显 , 于 是就 压 缩 知 
识 的形 成过 程 , 特 别是 自主探究 过 程 ; 反过 来 , 在 解题  教学中, 又不 断 地 去 提炼 数 学 思 想 方 法 , 抱 怨学 生 学  得 快忘 得快 , 抱 怨学 生不 了解 知 识 的本 质 , 不 能 运 用  数 学思 想方 法分 析 问题 、 解 决 问题 , 殊 不 知 这种 现 象  的根源 还是 来 自教学 , 来 自教学 对 知识 形 成 过程 的 忽  略. 可 以说 知识 的形 成过程 是 最好 的数 学 思 想方 法 载  体, 就像 这节 课通 过 学生 多方 位 、 多角 度 的实 践 探究 ,   学生对 蕴 涵其 中的解 析几 何 基本 思 想方 法—— “ 几 何  问题代 数 化” 一 定 会 有 较 深层 次 的 理解 , 在 解 析 几 何 
初步 的教 学 中 , 知识的形成过程, 如 两 点 间 距 离 公 式 

互余 ;  

很 多学 生对 于 寻 求 属 于 自己 的证 明方 法 充 满 兴 

趣, 积极 报 名参 加课 前攻 关小 组探 求 点 到直 线 的距 离 
公 式.  

在 垂 直条件 的探 求 中学 生 获 得 了挖 掘 几 何 特 征 
的技能 与代 数化 的方法 , 但 是 少有 学 生 能够 自行 推 导  出点 到直线 的距 离公 式 , 于是 点 到直 线 的距 离公 式 的 

教 学笔 者 把 重 点 放 在 了代 数 运 算 上 , 特 别 是 设 而 不 
求、 整 体构 造 的运算 技能 和思 想方 法 . 这样 , 通 过垂 直  条 件 的探求 和点 到 直线 的距 离公 式 的推 导 , 分别 进 行 

的推 导 、 由相应 的几 何条 件得 到直 线 方程 的具体 形 式 

挖 掘几 何 特征 寻 求 几何 问题 代 数 化 的途 径 和 代 数 化  后 运算 的技能 和 技 巧 的 训 练 , 笔者认为 , 较 以往 进 行 
解 析几 何初 步教 学 , 立意 高 、 落点 准 , 突 出 了思 想 方法  和思维 能 力 的培养 .  

等等 , 都能 很好 地 体 现 、 落 实 课 标 对 该 模 块 教 学 应 突  出 的数 学 思想方 法 的要求 . 如 果教 师课 堂上 重视 知 识 
的形成 过 程 , 特 别 是 引 导 学 生 自主 的 探 究 新 知识 , 难  道还 害怕 学生 遇到 问题 不知 怎么 思考 吗 ?  
参 考 文 献  1   中华 人 民共 和 国 教 育 部 制 订 . 普 通高 中数学 课程 标准 ( 实 

6 课 后的反思 
6 . 1 尊 重学 生 以学 生为 主体 

验) I - M] . 北京 : 人民教育 出版社 , 2 0 0 3  
2 人 民教育 出版社 ? 课 程 教 材 研 究 所 ?中学 数 学 课 程 教 材 

“ 尊重 学生 , 以学生 为主 体” 作 为一 种教 学 理 念可  以说 每一 位教 师都 认 同 , 但 在实 际行 动 中却 不 自觉地 
主观设 定 学生 的认 知水 平 , 不 自觉地 把 自己 的理 解强 

研 究 开 发 中心 . 普 通 高 中课 程 标 准 实 验 教 科 书 ( B版 )? 数 
学2 . [ M] . 北京 : 人民教育出版社 , 2 0 0 8  

教  
!   1   曼  !  
中学 盘 学教 毋 参 考 

题 的 

卫福 山( 上海 市松 江 区第 二 中学 )  
2 0 1 1年 上海 市春 季 高 考数 学 试 卷 给 我们 带来 了  很 多有 价值 的题 目 , 这是 教师 平 时教 学 与科 研 的 宝贵  资源, 比如 , 第2 2题 就是 一道 好题 .   题目   定义 域 为 R, 且对 任 意 实 数 z 。 、 X z都满 足 

创新 实验 的 要 求 吧 , 旨在 提 高学 生 的 探 究 与 创 新 能  力, 这 正 是上 海 高考 近 年 来 考 查 的五 大 能 力 之 一 . 在  本堂课 之 前 , 学生 已经 完成 了高 一 数学 上 学期 的全 部 
内容及 高 一下 学 期 第 一 章 , 主 要 内容 是 集 合 与 命 题 、  

不 等 式 f (   专   ) ≤   羔  
r z,  ≥ 0 ,  

的 所 有 函 数   数, 即基本 初等 函数 已经 全 部 学 完. H 老 师设 计 的课 
题 是“ 基 本 函数 的 图象与 性质 ” , 目标 是 复 习基 本 函数  的图象 与性 质 和不 等式 证 明 的常 用 方 法. 通过对 “ 实  象 与性 质 的本 质联 系. 在 开 放 题 的 解 决 中, 改善学 习  

不等 式 、 函数 的基本 性质 、 幂 函数 、 指数 函数 与对 数 函 

f( x) 组成 的集合 记为 M . 例 如 f( x) =屉 z+6 ∈M.  

引 发 函数 的 凸 凹性研 究 , 感 受 函 数 图  已 知 函 数 厂   ) 一 1   z , z < o , 证 明 : 厂   )   际问题 ”的思考 ,
∈M ;  

( 2 )写 出 一 个 函数 厂( z ) , 使 得 ,( z)   M, 并 说 
明理 由 ;  

方式 , 提高 思维 品质 .  

2 课 堂实录 
2 . 1 提 出 问 题 
一 1 .  

( 3 )写 出 一 个 函 数 厂(  ) ∈M, 使 得 数 列 极 限 
l i m  一 1, l i a  r

“ 好 钢用 在 刀 刃上 ” , 好 题 当 然用 在 教 学 中 , 并 能  提 高学 生 的能 力 才 是 最 有 意 义 的. 无独有偶 , 笔者 最  近 听 了本校 一 位 经 验 丰 富 的教 师 ( 以下 称 其 为 H 老  师) 的一 堂教 学 展 示 课 , 就是 基 于上 述 高考 题 设 计 的 


向高 为 H 的水 瓶 中 注 水 , 注 满  为止 , 如果 注水量 口与水 深 h的 函数 

图1   ) .  

关 系 的图象 如 图 1 所示 , 那 么水瓶 的形 状是 (  

节复习探究课 , 值 得 关 注 的是 授 课 对 象 是 高 一 学 
A.   B.   C.  

生, 下 面笔 者想 从 这 堂 课 出发 谈 谈 自己 的一 些 想 法 ,   供 同行 评议 .  

目  
D.  

( H 老 师从 1 9 9 8年 的全 国高考 试题 出发 , 提 出 问 
题, 先让 学 生思考 , 然 后提 问 )  

1 学情分析 
H 老师授 课 的 对 象是 笔 者 所 在 学 校 实 施 试 验 的  创新 实 验班 高 一 学 生 , 学 生 的数 学 基 础 都 不 错 , 学 习  能力 较强 , 对 数 学学 习 的兴 趣 很 高. H 老 师 针 对 班 级  学 生 的实 际情况 , 在 完成 正 常教 学 进度 与 内容 的基 础  上, 对 学 生进 行 了一 些 数 学 思 维 上 的训 练 , 这 也 算 是 

学生 1 : 我 注 意 到 取 相 同 的水  深 变化 量 △ ^   一A h   , 观察 注 水 量 的  △  
变化量 , 发现 △  > △   z ( 图2 ) , 说 明 

在 相 同的 水 深 变 化 下 , 注 水 量 的增 
速 放缓 , 于是选 B .  

学生 2 : 我 与 学 生 1的 考 虑 相 

图2  

∥ 
Www, z ho n gs l  ̄ u c an  

! 生篓 皇  
中季 文 学蠢 学参 考 

反, 我是取 相 同的注水 变化量 A v   =△   z , 发现 A h  



 

≥。 .  

<A h 。 , 说 明在 相 同 的注 水 量 下 , 水深变化较快 , 于是 
选 B .  
? . .

教师 : 刚 才两 位 同学 回答 得 很  好, 他们考虑 的角度正好相 反, 联 

, ( 垒 专 旦 ) ≥   羔  

恒 成 立 .  

学生 4 : ( 研究 函数 y -l o g :  )  

系前 不 久 学 习过 的反 函数 不 难 理 

厂 (   )  g   (   ) ,  
去  o   :   妾  0   一 1 。 g 。 ‘…   V  ~ . 。  
图3  
? . 。 

解 其 关 系 . 请 结 合 图 1 思 考 厂 ( 譬 )  
与  的 大 小 关 系, 不 难 发 现 

,   。

∈ ( o , 1 ) ’ . . . 半

≥  

.  

, (  ) >   =  
出 函数 凸 凹性 的定 义.  

( 图3 ) ,  

又 函 数 Y= l o g  

在( 0 , 1 ) 上单调 递增, 故 

即为 , ( H) 、 f ( O ) 的 算 术 平 均 数. 考 虑 一 般 情 形 后 给 
定义 : 一般 地 , 设 函数  =,( z ) 为定 义 在 ,上 的 

l o g 2 (  
?


l 。 g z   ,  



, (   专   ) ≥  

恒 成 立 .  

函数 , 如果 任取  , X z ∈J , 都 有 

学生 5 : ( 研 究 函数  一2   )  

( 1 ) 厂 (  
为 f上的 凸 函数 

) ≥  
1 ≤  

, 则 称   一 厂 ( z )  
, 则 称  一 , ( z )  

取 z l 一0 . 1 , 3 2 2 :0 . 2 ,  

则厂 (  
≈ 1 .1 1 0 2。  

) ≈1 . 1 O 9 5 ,  

( 2 ) 厂 f  

为  上 的凹 函数.   显然, 函数  (  ) 一k x +b既是 R上 的凸 函数 也  是 R上 的 凹函数 .   ( H 老师 从实 际 问题 出发 , 引导学 生探 索 , 在学 生 
≥ 

由 于1 . 1 o 9 5 < 1 . 1 1 o 2 , 即 不 满 足   (   专 兰 )  
.  

教师 : 学 生 3和学生 4的证 明用 到 了不 等式 证 明 
的哪些方 法 ?  

得 出结论 时 向本 节课 的 内容上 靠 拢. 虽然 是 高一 的 拓  展 内容 , 但 学生完 全 能在 教师 的 引导下 学 习)  
2 . 2 探 究 问 题 

学生: 比较法 、 综合法、 函数单 调性 、 分 析法.   教师: 很 好 !从 中我们看 出 函数 单 调性 在 不 等式  证 明 中的应 用. 学 生 5借 用 计 算 器 近 似 计 算 , 能 否 不 

问题 1   在 y一2   , y —l o g 2 z, 3 , : 一  这三 个 函 

数o F , ,   当   , z 。   ∈   ( o ,   1 )   时, 使  f 华
≥  兰  恒成 立 的 函数 是 

计 算 器 比 较 / (   )   用
小呢?  

) 与  

的 大  

有 学生 通 过 图 象 观 察 得 出满 足 条 件 的 函 数 是 Y  


其实 ,  
≥.   可一  
> 2   .  

一 举
耳  一2  

 

l o g z X与  一- -X 。 . 教师请 三位 学 生 到 黑板 上 板 书 ,  
学生 3 : ( 研 究 函数 : 一z   )  

, 由于 2 。 ?   ≠2   . 故 

分 别研 究三 个 函数.  

兰  ±  兰  一一 -X 2 -X 2 :一   兰   ±   三  
2   2   4   ’  

教师 : 以 上 解 法 不 仅 说 明 函 数 Y一 2  不 满 足 

厂 ( 孛 ) 一 一 ( 孛 ) 。 = 一  
于 是 厂 (  
: 一

, (   专   ) ≥   羔   , 同 时 进 一 步 得 到 函 数   .   一 2   满 足 , (   {   ) ≤   . 能 否 考 虑 问  
题 1的一般 化情 形 呢? 即  请 判断 下列 函数 的 凹凸性 :  
( 1 )厂 ( z) 一n z。 +b x+ f  

) 一  
4   ‘   4  

箜± 兰 兰   ±垄   童±   垄  

教  
w  ww z
, 一 …





h  

a . n l  2   一 …  






 

妻  照 点 
中 学瓠 学教 学参 考 

学完基 本 初等 函数 , H 老师将 高 考试题 “ 改造 ” 成 学生  “ 跳一 跳够 得 到” 的程度 , 既 能激 起 学 生 的思 考又 有 一  定 的难 度 , 符合 创 新实 验班 的要 求 )  
2 . 3 课 后 研 究 

定 义 域 为 R, 且对 任 意实 数  , z  都 满足 不 等 式 

( 2 ) 由 于 盟毒 ≥  

一 口 华 , 故, (   )   厂 f   旦1 ≤   上  
f  , z ≥O ,  

的 所 有函 数  (   ) 组成  

的集合 记 为 M . 例如 . 厂 (  ) 一k x+b ∈M. 已 知 函 数 
厂( z) 一  1   ,   证明: f( x) ∈  

【  

z < 、 U ’  

3 值 得 思 考 的 几 个 问题 

满 足 不 等 式 厂 ( 旦 专   ) ≤  

的 所 有 函 数  

3 . 1 教什 么 的 问题 

人 民教 育 出版社 中学 数学 室 章 建跃 博 士 曾在 《 中 

学 数学 教学 参考 》 ( 上旬 刊 ) 2 0 1 0年 第 3期 至第 5期连  载 文章 《 中学 数学 课 改 的十 个 论 题 》 , 其中指出“ 用 教 
材 教而 不是 教教 材 ” , 即教 什 么 比怎 么 教更 重要 . 现在  的教 材 编写 者虽 然想 做 到尽善 尽 美 , 但 教师 在 具 体使  用 时如 果过 分“ 教条 ” , 就 不一 定 能满 足 学生 的 个别 需  ( 3 ) 已知 函数  ) = = =   0 断y -  )   要. 笔者 所在 学 校 是 上 海 市 实 验 示 范 性 高 中, 所 使 用  的教 材 是上 海市 二期 课改 统一 教 材 . 如 果完 全 按 教材  内容 讲 解 , 会 有 一部分 学 生 “ 吃不 饱 ” , 特别 是 H 老 师  教学 的对象 是创 新 实 验 班 , 学生整体数学基础较好 ,  
更“ 吃不 饱 ” , 教 师需要 根 据学 生 的实 际 情况 做 一定 的 

三 图   象 上 ( 2 容 ) 厂 易 (   看 ) = 出 = z ; 。   满 足 条 件 , 麒 从 其   — / —   l   方 — —  
1   1

提 升. 比如 , 本 堂 课 H 老 师选 择 的“ 基本 函数 的 图象  与性 质 ” , 即函数 的 凹凸性 的研 究 , 既 复 习 了 旧知 又不  会让 学 生 感 觉 到 复 习 课 的 乏 味 , 应 该 说 H 老 师给 复  习课 教 法提 供 了一个 很好 的模 板 .  

3 . 2 高考试 题 的应 用与 研 究 

印 象 中高三 教 师 要 多 去 研 究 高 考 试 题 , 《 中学 数  学教 学参 考 》 开辟 的“ 高考试题 的教学应 用” 栏 目很 

好, 引导 教 师从 高考试 题 出发 , 并 通 过个 人 的智 慧 , 设 


: 1 … 

: 一 丢 ,  

计一 些课 堂 上应 用高 考试 题 的案 例 , 对 广 大高 三 教师  更好 地 利用 高考 试题 , 学 生更 好 地适 应 高 考试 题 有很 

大 的帮 助. 但 仅仅 高 三教 师研 究 与应 用 高考 试 题 就够 

, 『 二 圭  ] >   2   , 故   M .  

了吗? 显然 是否 定 的. 很多高考试题让高一 、 高二 的 

学生 去 做也 是可 以的. 将 有 些高 考试 题 的能力 精 髓早 
点 向学 生传 授 , 对 提高学 生 的数 学 素 养与 能力 是 大 有 

m   一  竺1 ’  

好 处 的. 因此 , 高 中数 学 教 师 在 平 时 的教 学 点 滴 中应 
该多去研究高考试题 , 这一 点 H 老 师 是 一个 很好 的  榜样.  

甥 … l … 上  
中学 文 学教 学 参 考 

黧  

系 的扩充 ’ ’ 一 课 的  教 学 过 程 设 计 
引导 学 生 主 动参 与概 念 的 建 立 过 程 , 体 会 概 念 产 生 的 必 要 性和 可 能  性 , 从 而 真正 能够 把 握概 念 的 本 质 属 性 , 形成 对 数 学 较 完 整 的认 识 .  

丁   菁( 南京 师范 大学 附属 中学 )   数 系扩 充 的过程 体 现 了数 学 的发 展 和创 造 的 过  程, 也 体 现 了数 学 发生 、 发展 的客观 需 求. 虽然 学 生 知  道 自然数 集 、 整 数集 、 有 理数 集 和实 数 集 , 了解 它 们 之  是说 在 整数 范 围内 不 存 在这 样 的 数 z使 2   T 一1 —0 ,   在 有理 数范 围 内有 解 说 明有 理 数 的 范 围 比整 数 范 围  扩大了, 原先 的加 减 乘 运算 不 仅 满 足 , 且 除法 运 算 也  能 实施 . 体会从 整 数 集扩 充 到有 理 数集 只需要 增 加 新  的元 素和规定适 当的运算 法则 即可.同理 , 方程 z   一2   = = = O在有理 数 集 中无 解 , 而在 实数集 中有 解 , 说 明 实数  集是 在有理数集 的基础上通 过增加新 的元素得 到的.  

间 的包 含关 系 , 但 是并 没有 体 会 到 数 系扩 充 的 过程 .  
本节 课应 突 出数 系 的扩 充 过程 , 让 学 生通 过 回忆 以往  的学 习历 程 , 了解 数 集 每 一 次 扩 充 的 必 要 性 和 可 能  性.同时 , 复 数 的运 算 是 一 种 新 的 规 定 , 它 是 数 学 体  系建 构过 程 中的重 要 组成 部 分 .学 生通 过 类 比归 纳 、  

其实 , 早 在人 类 社会 初 期 , 人 们 在狩 猎 、 采集 果 实 
等 劳动 中 , 由 于计 数 的需 要 , 就产生了 1 , 2 , 3 , 4 , …,  

运算 求解 , 进 一 步 体会 在 新 的数 集 中 , 原 有 的 运 算 及 
其性 质仍 然适 用 , 同时解决 了在 实 数集 中负数 不 能 开 
方 的矛 盾 , 引 导 学 生从 发 展 的 观 点 去看 问题 , 有 利 于 

以及表 示“ 没有” 的0 . 自然数 的全 体构 成 自然数 集 N .   为 了解 决测 量 、 分配 中遇 到 的将 某些 量 进行 等 分 

形成 对数 学较 完 整 的认 识 . 现将 本 节课 的教 学设 计 与 
反思 呈 现如下 .  

的问题 , 人们 引 进 了 分数 ; 为 了表 示 各 种 具 有 相 反 意  义的量 以及 满 足记 数 的需 要 , 人们 又 引进 了 负数 , 这 
样 就把 数集 扩充 到有 理数 集 Q. 显然 N  Q . 如果 把 自   然 数集 ( 含 正整数 和 O ) 与 负整 数 集 合并 在 一 起 , 构 成  整数集 z, 则有 z   Q、 N  z . 如 果 把整 数 看作 分 母 为 

1 过 程 的 设 计 
1 . 1 注重概 念 的 引入 

概念 教学 首 先 要 让 学 生 感 到 有 必 要 学 习 这 个 新  概念 , 这 就要 重视 概念 的引 入.但 这 种 概 念 的 引入 不 

1的分数 , 那 么有理 数集 实 际上 就是分 数 集.  
有 些量 与量 之 间的 比值 , 例如 用 正方 形 的边 长 去 
度 量它 的对 角线 所得 的结 果就 无 法用 有 理数 表 示 , 为 

是轻 而 易举 的 , 要 结合 具体 的数 学 内容 和学 生 的实 际  情况 , 本 节课 以 问题 为 中心 , 从 数 系 扩 充 的 必 要 性 及 
数 系扩充 的一 般规 律 等方 面 引人概 念.  
问题 1   讨 论关 于 z的方 程 (  一1 ) ( 2 x一 1 ) (  


了解决 这个 矛盾 , 人们 又 引进 了无 理 数. 所谓 无 理 数 ,   就是无 限 不循环 小数 . 有 理数 集 与无 理 数集 合并 在一  起, 构 成实 数集 R. 因为 有理 数 都 可看 作循 环 小 数 ( 包  括整数 、 有 限小 数 ) , 无理数都是无限不循环小数 , 所 

2 ) ( z 。 +1 ) 一0的解 的个 数 .  

学 生通 过讨 论 得 出 结 论 :整 数 范 围 内有 一 个 解 
1  

以实数 集 实际上 就 是小数 集 .   同时 , 在数 系 的扩 充过 程 中 , 原 有 的运 算规 则 、 运  算律 不变 .  
通 过对 数学 内部 和外 部 两方 面 的介 绍 和分 析 , 学 

1 ;在有 理数 范 围 内有 两个 解 1 , 寺 ;在 实 数 范 围 内有 
厶 

四个解 1 , 妻,  , 一  , 其中方程 z   +1 = = = 0 在实数范  
厶 

围 内无 解 .  

生 自然体 会到方 程 z   +1 —0在 实 数 范 围 内无 解 , 能  否通过 增加 新 的元 素 和规 定 适 当 的运 算 法 则 使 得 该 
方 程在 新 的数集 中有 解.   学 生 的认 识 不 可 能一 次 地 、 孤立地就能完成 , 必 

通 过上 述 问题 , 学生 认识 到解 的个 数 与  的取 值  范 围有 关 .方 程 2 z 一1 = = = 0在 整 数 范 围 内无 解 , 也 就 

教  

www  z h on gs h   L I C G   r 1 . C O  r a l  

2 0
… …

1 1  舅   期 … 【 _ _  
中学 盘 学教 学 参考 

须用联系的方法 , 经 历 一 个 由感 性 到 理 性 的 发 展 过 

式. 若将 两 者合 二为 一 , 则 可 以表示 成 +b i ( a, 6 ∈R)   的形式 , 其中当 b 一0时 , 表 示 实 数. 从 而 得 出复 数 的  定义 : 形如 口 +b i ( a , b ER) 的数 叫做 复数 , n叫 做 复数  的实部 , b叫做 复数 的 虚部 . 复 数 的 实部 、 虚部 都 是 实 

程, 把 对 概念 的 认 识 放 到 一 定 的 体 系 中去 考 察 认 识 .  
问题 1的设 置体 现 了两方 面 的意 义 , 一 是体 现 了客 观  的知 识体 系 结构 , 蕴 涵 了 数 系 的扩 充 过 程 ; 二 是体 现  了学 生 的认 知过 程 , 对 数 系 的扩 充过 程 有 了初 步 的认  识, 为本 节课 的深 入教 学 奠 定 了思 想 上 的 基 础 , 把 概  念 与完整 的知识 结构 联 系在 了一 起.  
1 . 2 感 悟概 念 的产 生 

数. 全 体复数 所 组成 的集 合 叫做 复 数集 , 用 字 母 C表  示, c一 { a +b i I 口 , b ∈R} . 并对 复 数 进 行适 当 的分 类 ,  
如下 :  

问题 2   能否 通 过适 当地 扩充 数 系 , 使 得 方程 z 。  
+1 —0有解 ?  

复数 :  



『  

是 实数 ( 6 —0  
bi ( 口一 0 )  

学生 通过 讨论 得 出结 论 : 在 实数 范 围 内不 存 在这  样 的数 z , 使 得 方程 X   4 - 1 =0有 解 , 要 使 方 程 有解 需 
要 增 加新 的元 素 .   这尽 管不 是完 全 重复前 人 的 社会 实 践 , 重 走前 人 

是 虚数 ( 6 ≠0   ( 口 , b ∈ R )   l I   z  

数 的虚 数 

若 两个 复数 的实 部与 虚部 分 别 相等 , 那 么 我们 就 
说 这两 个复 数相 等 , 即两 个 复数相 等 的充要 条 件是 它  们 的实 部和 虚部 分别 相等 .   回顾 问题 1 , 方程(  一 1 ) ( 2 x一 1 ) ( z 。 一2 ) (  

形 成这 个 概念 时走 过 的漫 长道 路 , 但 这 种方 式 学 习概  念 与 前人 形 成 概 念 有 相 似 之 处 .这 种 相 似 之 处 主要  反 映 在学 生学 习概 念 时 的心理 过 程 之 中 , 即从 具 体 问 

+1 ) 一0在 复 数 范 围 内解 的个 数 为 6 , 即1 , 寺, √ 2 ,  


题 出发 , 用 辨别 ( 比较 、 分 析、 综合 ) 、 分化 、 抽象、 提 出  假 设 以及 概括 等一 系 列 的思维 动 作 , 来 达到 对 概 念意 
义 的理解 , 并 用适 当 的语 言符 号来 表示 .   这个 数 的平方 等 于 一l , 用符号 i 来表示. 这个 新  数i 叫做虚 数单 位 , 并 满足 两点 规定 :  
( 1 ) i   一 一1 ;  

√  , i , 一i .   这 一过 程深 化 了对复 数概 念 的 理解 . 首 先 它是 在 

已有概 念 的基础 上 , 经过抽象形成 , 其 间所 涉 及 对 象 
的相互 关 系都是 纯粹 数 学 意义 上 的. 其次 , 数 学 的概  念 总是 用 自身 的语 言描述 , 用 符 号化 的语 言精 确 简练  地表 述 了 复 数 的概 念 , 力 求 使 学 生 对 概 念 的本 质 特 
征, 即概念 的 内涵概 括准 确.  
1 . 4 深 化 概 念 的 理 解 

( 2 ) 实数可 以与 i 进 行 四 则 运 算 进 行 四 则 运 算 
)   )  

时, 原 有加 法 、 乘 法运 算律 仍然 成 立.   纯 非  通过 上 述过 程 , 学 生 体会 到 概念 形 成过 程 是 自然 
虚 纯 ≠   的, 对 数学 概 念理 解 达 到 概 念 学 习 的 水 数 平, 也就 是 理  虚 ∞  

复 数概 念 的抽 象 性 特 征 决 定 了 只有 通 过 适 当 的  解题 练 习 , 才能 深 刻 理 解 复 数 的 概 念 和 运算 , 把 实 数 

解 虚 数单 位 的本 质 特 征.把 观 察 与 实 验 、 比 较 与 类  比、 分 析 与综 合 、 抽象与具体 、 概括与特殊化 、 猜 想 与  反 驳 这些 思 维活 动 的方法 贯穿 于 教学 之 中.  
1 . 3 参 与概 念 的构建 

的运 算 扩充 到复 数 的运算 中去 , 把 握 数 学 的思 想 和方  法, 真 正掌 握复 数 的概 念 与 运 算 . 对 概 念 从 不 同 的方  面去考 查 , 即特 殊 化 、 一 般化 、 几何意义等 , 通 过 解 决 
问题 对 复数 概念 有更 加深 入 的理 解.   问题 4   实 数  取 何 值 时 , 复 数  —  + 1   +(   一1 ) i 是( 1 ) 实数 , ( 2 ) 虚数, ( 3 ) 纯 虚数 ?   分析 : 因为 m∈R, 所 以  4 - 1 , m一1都是 实 数 , 由  复数 口 +b i ( a, b E   R) 是实数 、 虚 数 和 纯 虚数 的 条件 可  以确定  的值.   解: ( 1 ) 当 m一1 —0 , 即  一1时 , 复数  是实 数 ;   ( 2 ) 当  一1 ≠0 , 即 m≠1时 , 复数 z是 虚数 ;   ( 3 ) 当 m4 - 1 —0且  一1 ≠0 , 即 仇一 一1时 , 复数  z是 纯虚数 .   问题 5   已知 ( 2 x一 1 ) 4 - i —y一 ( 3 一 ) i ( z, y   ∈R ) , 求 z与 Y .   解 :根 据 复 数 相 等 的 定 义 ,得 方 程 组 

问题 3 将 虚 数 单 位 i 与 实 数 进 行 四则 运 算 , 得 
到 怎样 的结果 ?  

通过 对这 个 问题 的解 决 , 让 学生 自觉体 会 复 数 的  运 算 与实数 的运算 融合 成一 个 整 体. 学 生得 到 如 下一 
1   E   o 一 0:  

些结果 : 2 i , 1 +i ,   i , 3 —4 i , ÷, i 。 , 1 +√ 3   i ,  
■  


厶 

,  

√ 2 i , …. 请学生对上述结果进行适 当的分类 , 可分 
,   一   0 、  

为两类: 一类 是 { 1 +i , 3 ~4 i , 1 +√ 3 i , 1 一詈i } , 其中   I   厶  J  
2 - 3 i




1 一 号 i ; 另 一 类是{ 、   2 i ,i , 一 5 i , 一 i , 一 届, }   ,  
C  

因为 i 。 一 一1 , 所 以 ; 一 一5 i , i 。 一 一i . 让 学 生 考 察 这  两 类各 有 怎样 的 特征 , 其 中第 一 类 可 以表 示 为 口 4 - b i   ( a , b∈R) 的形 式 , 第二 类可 以表示 为 mi ( m∈R ) 的形 

所 以   一 号 旷4 .  
( 下转 第 2 6页 )  

≯  



 

嚣 嚣  …  …  



 



 



 



 



 





 

j  

.  

题 

的 

陆建根 ( 江苏 省镇 江 中学 )  

课堂 教学 是学 校教 学 的主要 形 式 之一 , 课 堂 是学  生发 展 的平 台. 但 目前 高 中数 学 教 育 中普 遍 存 在 着  “ 教师 上得 辛苦 , 学 生 听 得 痛苦 ” 的 畸形 现 象. 从教 2 O   年, 笔 者清 楚地 认识 到 , 在课 堂教 学 中 , 教 师 只有 恰 当  运用 教学 方法 , 培养 学 生 良好 的思 维 习惯 , 才 能 提 高  课堂 教学 的有 效性 , 才 能让 教师 、 学 生都 脱 离 “ 苦海” .   本文 就“ 计数原理” 的教 学介 绍 笔 者在 提高 课 堂教 学  的有 效性 上 的一些 做法 , 仅 供参 考.  

容, 而且 使课 程 内容 持 续 地 生 成 和转 换 . 有效 的 提 问 
是教 师 引领 学生 发 现 问题 、 分 析 问题 、 解 决 问 题 并 实 

现学 生 自我建 构不 可缺 少 的重要 环 节.   例1   若集 合 A   、 A  满 足 A  U   A   一 A, 则 称  ( A   , Az ) 为集 合 A 的一种 分 拆 , 并规 定 : 当且 仅 当 A  
一Az 时, ( A  , A   ) 与( A   , A   ) 为集 合 的 同一 种 分拆 .  

则集 合 A一{ n   , n 。 , 1 2 。 ) 的不 同分拆 有 多少种 ?   解: 常规 的解 法是 分类 讨论 .  
当 A  一   时, 有 1种分 拆 ;   当 A 为一元 集 时 , 共有 3 ×2种分 拆 ;  

1 提 供给学生将其置于 问题情境之 中的机会 
情境认 知 理论认 为 , 思维 和 学 习 只有在 特 定 的情  境 中才有 意义 . 有效 的课 堂提 问 能够 给 学生 创 设 特定  的 问题情境 , 让 学 生学会 发 现 问题 、 探 索 问题 , 培养 良  

当 A 为二元 集 时 , 共有 3 ×2 。 种分 拆 ;   当 A。 为三 元集 时 , 即 A  ={ n   , a   , 口  } 时, A  为  集合 A 的子 集 即可 , 共有 2 。 种 分拆 ;  
所 以共有 1 +3 ×2 +3 ×2   +2 。 一2 7种分拆 .  

好 的 问题 意识 . 教 师通过 提 问不仅 传 递 特定 的课 程 内 

( 上接 第 2 5页 )  

2 设 计 的 反 思 
英 国著 名 数学 教 育 家 斯 根 普 ( R. S k e mp ) 提 出 了  工 具性 理解 和 关 系性 理 解 两 种 模 式.所 谓 工 具 性 理  解 是 一种语 义 性理 解—— 符 号 A 所 指 代 的 事 物是 什  么, 或 者是 一种 程序 性理 解… 个规 则 R所 指定 的  每 一个 步骤 是什 么 , 如何 操 作 ; 关 系 性 理 解 还 需 要 加  上 对符 号 意义 和指代 事 物本 身结 构 上 的认识 , 获得 符  号 指代 意 义 的途 径 , 以及 规 则 本 身 有 效 性 的 逻 辑 依  据, 等等 .   大 多 数情 况 下 , 工 具性 理 解 有 着 许 多 弊 端 , 它 不  利 于学 生将 学 到的知 识迁 移 到新 的情 境 中 , 从 而也 就  不利 于 学生创 造 性思 维 的培养 ; 不 利 于学 生 学 习能 力  的提高 和长 期 发展 , 学 习停 留 在 表层 知识 ; 工 具 性 理  解 的学 习将数 学概 念之 间隔离 开来 , 或者 说 不 注重 它 

们之 间 的 内在 联 系 , 势必增加学生记忆单个概念 、 公  式等 的数 量 , 加 重 了学 生 的负担 .   对于一个数 学概念 的学习, 并 不 是 仅 仅 能 记 住  它、 说 出 它 的定 义 、 认识 代表 它 的符 号 , 而 是要 真 正 能  够把握 它 的本 质属 性.尽 管 在 数 学 对 象 的定 义 里 已  经反 映 了概念 的本 质属 性 , 但要 真 正把 握 它 的本 质 属  性并 不是 那么 容 易 的. 通 过 注 重 概 念 的 引入 、 感 悟 概  念 的生成 、 明确 概 念 的本 质 、 深 化概 念 的理 解 这 四个 

过程 , 把新 知识 整 合到 一个 相应 的数 学 结构 中.学 生  并不是 消极地 接受 它们 , 而 是利 用 已有 的数学 认 知 结 
构对新 知 识 内容进 行改 造 , 使 新 内容 纳 入 到原 有 的数  学认 知结 构 中.  
参 考 文 献 

1 涂荣豹. 新 编教学论[ M] . 南京: 南 京 师 范 大 学 出 版社 , 2 0 0 3   2 单鳟. 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 ?数 学 2 - 2 [ M] . 南 
京: 江 苏教 育 出 版 社 , 2 0 0 9  

教 

爹一  
论  该 题 的研究 结 束 了 , 但 并未 有效 地 挖 掘 出 问题 的 
本 质. 该 题 可 以做适 当的拓展 :  
教师 : 分类 讨 论 时 得 到 的 3×2 , 3 ×2 。中 的 两 个  “ 3 ” 各有 什 么意 义 ?1 +3 ×2 +3 ×2 。 +2 。 一2 7能 做 哪  些 变形 ?   通过讨 论 学生 不难 得到 C   +C {?2 +C j?2  
+C i?2 。 一( 1 +2 ) 。 一3 。 .  

2 o l 1 年 第9 期( 上旬 )  
中学 盘 学教 学 参 考 

, .   、  
。  

2 、 2种 栽 种 方 法 , 而 考 虑 区域 6的 
栽 种 方法 时 遇到 了困难 , 因为 区域 

6的花 色 可 能 与 区域 2不 同 , 也 可  能 与 区域 2相 同 , 这 是解 决 问题 的  障碍 . 下 面我 们就 从 区域 6寻找 问  图3   题 的突破 口, 不 妨取 区域 6的栽 种方 法仍 为 2 , 那么 4   ×3 ×2 ×2 ×2 ×2表 示什 么 ? 当区域 6与 区域 2花色  相 同时可 以把 两块 区域 看成 一块 , 我 们把  块 这样 的  区域 满 足 条 件 的 不 同 的栽 种 方 法 用 . 厂 ( n ) 表示 , 则 4  
×3 ×2 ×2 ×2 ×2 一- 厂 ( 6 ) +,( 5 ) , 即 
厂 ( 6 ) +厂 ( 5 ) 一4 ×3 ×2  ,   ① 

教 师 可 以作 出 图 1 , 进 一 步 提 

3   根 据 图 象 , 大 部 分 学 生 能 用 分∞ \ 、 —   【 — /    
步计 数 原 理 来 解 释 : 其 中 处 在 指 数  “ 3 ” 为 A  、 A  形成 的三 个 区域 ( 图 1 ) .   教 师趁 热打 铁 , 继续 提 问 : 该题 可 以做 哪些 推 广?   通 过讨 论不 难得 到 以下 推广 :  
推广 1 : 当 A一 ( a   , a   , a 。 , …, a   } 时 有 多 少 种  分拆 ?   推广 2 : 当A   UA2   UA。 一{ a   , 口   , a 。 ) 时有 多少 种  分拆 ?   推广 3 : 当 A1   U   A2   U   A3   U… U   A   一{ a l , a 2 , n 3 ,  


图1  

位 置 的“ 3 ” 为集合 A 的元 素个数 , 处 在 底 数 位 置 的 

同理 厂 ( 5 ) +. 厂 ( 4 ) 一4 ×3 ×2 。 ,   厂 ( 4 ) +/ ( 3 ) 一4 x   3 ×2   ,   , ( 3 ) 一4 ×3 ×2 .  
2) 一 1 2 0.  

②  ③  ④ 

① 一② +③ 一④ , 得 - ,   ( 6 ) 一4 ×3 ×( 2   一2 。 +2  


所 以满 足 条件 的栽 种方 法有 1 2 0种 .   我 们 可 以把 问题 一 般化 :   推 广  设 有 一 个 圆被 分 成 S   , S   , …, s   共  个 
扇形 , 现在 用 k种 不 同 的 颜 色 对 这  个 扇 形 染 色 ( 佗  

, a   ) 时有 多少 种分拆 ?   通 过研讨 可 以得 到推 广 1 、 推广 2 、 推广 3的 答案 

≥3 , 足 ≥3 ) , 每一 个扇 形染 一种 颜 色 , 相 邻 的扇 形染 不  同的颜 色 , 试求 共有 多少 种不 同的染 色方 法 ?   用 同样 的 方 法 可 得 满 足 条 件 的染 色 方 法 有 ( k  


分别 为 3   、 7 。 、 ( 2   一1 )   .   要 唤起 学 生 的 问题 意 识 , 培 养 学 生 的 问题 能 力 ,  
教师 自己也要 有 强 烈 的 问题 意 识 和 较 高 的提 出 问题 

1 ) ” +( 一1 ) ” ( 志 一1 ) (   ≥3 ) 种.  

有 时解 决 问题 的 障碍 往 往 就 是 解 决 问题 的 突破 

的能力 . 这就需 要 教 师熟 悉 教 学 内 容 , 熟 悉 教 学 内容 
所 隐 含 的数学 思 想 方 法 以及 这 些 思 想 方 法 的来 龙 去 

口, 深入 思 考 , 突破 常规 , 也 许 就 会 柳 暗 花 明. 将 问题 


般化 的过 程是 揭示 数 学本质 的过 程. 解 题结 束 后教 

脉, 只有 了解 学生 思维 的特 点 , 了解 学 生 思 维 的 障碍 
点 在 哪里 , 才 能真 正地 在现 实世 界 或 虚 拟世 界 的 背景 
中创设 问题情 境 , 引发 学生 深入 思考 .  

师 自己要 有 将 问题 一般 化 的习惯 和 意识 . 常见 的方法  可 以纵 向或 横 向将 问题 做一般 化 的推广 , 更 高层 次地  抽 象 出问题 的本 质 , 提取数学模型 , 一 般 化 地 概 括 问 
题 的过 程.  

2 引导学 生 深人 思 考 , 突破常规 , 系 统化 、 一  3   帮 助 学 生 在 新 旧知 识 之 间架 设 “ 认 知桥梁”   般 化 地 解 决 问题 
例 2 ( 1 )   如 图 2是一个 地 区的 5个 行政 区域 , 现 

探究 问题需 要知 识 “ 固着 点 ” , 当新 旧知识 的潜 在 

给 地 图着 色 , 要 求 相 邻 区域 不 得 使 用 同一 种 颜 色. 现  有 4种 颜 色 可 供 选 择 , 则 不 同 的 着 色 方 法 共 有 多 
少种 ?  

差距 较 大 时 , 部 分 学 生 可 以 借 助 其 认 知 结 构 运 用 功 
能, 使之 与新 知 识 建 立 联 系 , 而 大 部 分 学 生 则 需 要 教  师 帮助他 们 在新 旧知 识 之 间架 设 “ 认知 桥梁 ” .  
例 3 从数 1 , 2 , …, 1 4中 , 按 由小 到 大 的顺 序 取 

例 2 ( 2 )   某 城 市 在 中心 广 场  建 造一 个 花 圃 , 花 圃分 为 6个 部 分 ,   如图 3 , 现 要 栽 种 4种 不 同颜 色 的  花, 每 部分 栽 种 一 种 且 相 邻 部 分 不  能 栽种 同种 颜 色 的 花 , 不 同 的 栽 种 
方 法共 有 多少 种 ?  
图2  

出a l , a 2 , a 3 , 且 满足 a 2 一口 1 ≥3 , a 3 一a 2 ≥3 , 试 求所 有  符 合要求 的不 同的取 法种 数.   通 过分 析知 道 a 2 >a 1 +2 , a 3 >a 2 +2 , 也即 a 】 ,   a   , a 。每两 个 之 间 至 少 间隔 2个 数. 大 部 分学 生 的思  考 到此 就没 有 了方 向. 教师不必急于解决问题 , 可 以 
给 学生铺 设 一个 台阶 , 给 出以下 问题 :  

例 2 ( 1 ) 可 以通过 分 类讨 论 求解 , 结果为 7 2 . 而例  2 ( 2 ) , 很 多学 生先 考虑 区域 1 、 2 、 3 、 4 、 5 分 别有 4 、 3 、 2 、  

引例 : 从 1 , 2 , 3 , …, 1 O中每 次取 出 3个 互不 相邻 

中学文学袅 学参考   旦 飙 上  )  

oc   a n c : o  r n   w , … w … w … . z ~ h  星 s … h


目 ≈ 惭  M {  

‰ 

_   ¨









的数 , 问有 多少 种不 同的取 法.   排列 组合 问题 的求 解 中 , “ 有 序 即无序 , 无 序 即有  序” , 即规 定 了顺序 的排 列相 当于不 讲 究顺 序 的 排列 ,   而没 有规 定顺 序 的排列 就是 要考 虑 顺 序 的排 列. 引例  是学 生 熟悉 的 , 答 案为 C ; 一5 6 .   例 3也是 不 相邻 问题 , 不 同 的是 引例 取 出 的元 素  之 间间 隔一 个元 素 , 而 例 3取 出 的元 素之 间 至少 间隔 

座 的不 同坐法 有多 少种 ?  

例4 ( 1 ) 、 ( 2 ) 是学生都熟悉 的, 学 生 很 快 就 能 给  出答 案 . 例4 ( 3 ) 提 示 学生 用 分类 讨 论或 间接法 , 在 教  师 的帮 助下也 不 难解决 . 给 出本 题组 的 目的不 仅仅 是  解决 这 几个 问题 , 而是 要揭 示两 类看 似 不 同 的问 题 间  的联 系 , 整合 学生 原 有 的认 知 结 构 , 让 学生 对 这 两类 
问题 的认知有 质 的飞 跃.  

两个 元 素. 鸿 沟 难 以逾 越 . 这 时 我 们 可 以 对 引 例 的 解 
法做 一些 改进 : 由 于是 规 定 了顺 序 的排 列 , 故 可 以看  成 是从 排成 一列 的 1 O个 位置 中取 出 3个 不 相邻 的位  置 的取 法. 可 以先去 掉 2个 位 置 , 从余 下 的 8个 位 置 
中任 取 3个 , 有 C i 一5 6 种 不 同取 法 , 再 把 去 掉 的 2个 

教师 : 例4 ( 2 ) 可 以列 式为 Ai 一2 A: +A ; , 例4 ( 3 )  
可 以列 式为 Ai 一3 A: +3 Ai —A; .  

上 述两 式 中各 排 列 数 之 前 的 系 数 有何 意义 ?能 
否改写 上述 两式 ?  

学 生: 原两式可 以分别改 写为 C   A i—   A:   +C ; Ai , C : Ai —C j Aj +C ; Ai —C i A i .  

位 置在 取 出的 3个位 置之 间各 插入 1 个 即可.  

这 样学 生可 以很 自然 地想 到例 3的解法 : 可 以看  成 是从 排 成一 列 的 1 4个位 置 中取 出 3个 至少 间 隔 2   个 位置 的不 同取 法. 先去 掉 4个位 置 , 从余下的 1 O个 
位 置 中任 取 3个位 置 有 C i 。 种取法 , 再 把去 掉 的 4个  位 置在 取 出 的 3个位 置 的每 2个 之 间各 放 2个 , 再在 

教师 : 能否 用 同样 的方法 求解 例 4 ( 1 ) ?   学生 : 可 以改 写 为 A  一 C   A j+ C ; A ;一 C : A 
+C : A   .  

教师 : 能否 将 上式做 进一 步 的优化 ?  
学生 : A : 一C   A; +C ; Ai —C   A  +C : A  一 A  




1 ~1 4的位 置上 分 别赋 值 1 , 2 , …, 1 4 , 一 种 方 式 对 应  种取 法 , 所 以共有 C  一1 2 0种 不 同的取 法.  
至此 , 例 3被 学 生 纳入 到 原 有 的认 知结 构 “ 不 相 

C : Ai +C : Ai —C j A   +C : A   一 A: 一 A; +A   一A :  

+A: .  

教师 : 能 否 用 同样 的 方 法解 决 例 4 ( 4 ) ?能 否 对 
问题 做适 当的推广 ?  

邻 问题 ” 之 中, 而学生对“ 不 相 邻 问题 ” 的认 知 也 有 了 

质 的 提升 , 原有 的认 知 结 构 得 到 了改 善 , 数 学 思 维 能 
力也得 到 了提 升.  

学生 : 例 4( 4 ) 可 以 表 示 为 A  —A   + A  一 A;  
+A{ 一A2 , 可 以推广 为 A: 一A :   +…+ ( 一1 )   A   .  

4 改 善原有 的认知 结构 , 发 展 学 生 的 思 维  { 口 1 , n 2 , 口 3 , …, n   ) 中, 如果 口   ≠i ( i = = = 1 , 2 , …,  ) , 则 称  能 力  这 种排列 为 一个错 位 排列 ( 也称 更 列 ) , 则 错 位排 列 的 
数 学学 习 的过 程是 不断 地建 构 数 学认 知 结 构 , 又  不断地 打 破原 有 的认 知 结 构建 立新 的认 知结 构 的 过  程. 数 学教 学 的重要 目的在 于培 养 和发 展 学生 的数 学  思维 能力 . 教学 中要 培 养 学 生 灵 活 运 用 定 理 、 公 式 与  法则 的能 力 , 培养 学生 善于 洞察 每 一个 研 究对 象 的实  个 数为 
D  一 A: 一 A:   +…+ ( 一1 )   A: .  

( 教 师板 书 ) 推 广  集 合 { 1 , 2 , …,  } 的 一个 排 列 

数 学 课 堂是 不 断 提 出 问题 、 解 决 问题 的 过程 , 好 

的问题 是 开启 主体智 慧之 源。 教 师要 找准 学 生 原有 的  认 知结 构 、 思维 基 础 , 让 新 的 问题 与 学 生 原 有 的 认 知  结 构产 生 同化 与顺应 , 这 样 的问题 才 能 激活 学 生原 有  的知识 结 构 , 唤 醒 学 生 的 运 用 意识 . 同时 由于 富 有 挑 
战性 问题 的 出现 , 激 发 了学 生 的 研 究 热 情 , 充 分 调 动 

质并揭 示 这些 对象 之 间的相 互关 系 的能力 , 让 学 生 思 
维 的灵 活性 和深 刻性 得到 极大 地发 展.   例4 ( 1 )   编号为 1 、 2 、 3 、 4的 四位 学 生分 别 坐 编  号为 1 、 2 、 3 、 4的 四个座 位 , 所有 学 生 均不 对 号入 座 的 
不 同坐 法有 多少 种 ?  

例 4( 2 )   甲、 乙、 丙 等 五 人 排 周 一 至 周 五 的 值 
班, 每人值 一 天 , 其 中 甲不 排 周 一 , 乙 不排 周 二 , 共 有  多少 种不 同的安 排方 法 ?   例 4( 3 )   甲、 乙、 丙 等 五 人 排 周 一 至 周 五 的 值  班, 每人 值一 天 , 其 中 甲不 排 周 一 , 乙 不 排周 二 , 丙 不  排周 三 , 共有 多少 种不 同的安排 方法 ?  

了学生 的积极 性. 这 些 都 对 教 师 提 出 了很 高 的 要 求 ,   所 以教师 平 时要 博 览 群 书 , 潜心研究教材 , 对 教 材 的  把握做 到 得 心应 手 , 对 各 知 识 点 之 间 的 联 系烂 熟 于  心, 这 样才 能设 计 出富有 挑 战性 、 启 发性 的问题 , 才 能 
在课 堂上 挥洒 自如 、 运筹 帷 幄.  
参 考 文 献  1 喻平. 基 于情 境认 知 理论 的数 学 教学 观 [ J ] . 中学 数 学 月  
刊, 2 0 0 9, 9  

2 燕学敏. 问题意识 : 数学课 堂有 效 教学 的关 键 E J ] . 数 学 通 
报, 2 0 1 0 , 3  

例4 ( 4 )   编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5的 五位 学生 分 别 坐  编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5的五个 座位 , 所 有 学 生均 不对 号人 

3 夏炎. 谈谈 有 效 课 堂 的 构 建 E J - ] . 中学 数 学 月 刊 , 2 0 0 9 , 1  

教  
w w w   z h o n g s h   L I C C l n   C O n  r 2 0 1 1年 第9  
中学 盘 学  

赦 学 嚣  参 考   -  

线 段 的定 比分 点 教 
新 教 材 的 编 写 ,对 知 识 的 重 新 整 合 , 不是 简 单 地  是 观 念 的 更 新 , 理念 的 升 华 , 突 出 了 主要 内容 ,减 轻  习 负担 , 给 “ 启 发 式 ” 教 学 创 造 了条 件 , 给 不 同 层 次 的  同 的思 维平 台, 对 教 师 改 进教 法 具有 推 动作 用.  

宋来 茹  崔金 霞 ( 山东 省 聊城 市第 一 中学 )  
新 教材 在 山东 省 已经 试 用 近 两 年 了 , 它 有 很 多 

探究 : 若  一  商 , P点的坐标是什么?  

新意 , 笔 者抽 出其 中一 点 细细 品味 , 引发 思考 , 很 有 感  触, 望 与 同行共 勉 .  

2 新 教 材 特 点 的 发 现 
看 到 例 题 的推 导 , 感 到 不理 解 , 教材 编 写 专 家 为 

1 问 题 的 展 示 
人教 A 版 教材 在学 习完 平 面 向量 基 本 定 理 及 平  面 向量 的坐标 表示 后 , 给 出 了如 下一 道例 题 :  
例  设 点 P是 线 段 P   P  上 的一 点 , P   、 P 。的 坐  标 分别 是 (  1 , Y 1 ) 、 (  2 , Y 2 ) .   ( 1 ) 当点 P 是 线 段 P   P  的 中 点 时 , 求 点 P 的 
坐标 ;  

什 么这 么求 点 的坐标 ? 自然诱 发 了笔 者 的联 想 , 回忆 
并 翻 阅查 找“ 旧教材 ” 中有 关该 部 分 的 内容 , 旧教 材 中   先 给 出  的定 义 , 然后 直接 用 如下 方 法导 出线段 的定 
比分点 坐标 公式 :  

设P   、 P。 是直 线 z 上 的两 点 , 点 P是 z 上 不 同于  P   、 P。 的任 一点 , 若 
表 示 呢?  

一  

, 点 P 的坐 标应 如 何 

,● ●  ●● ● ● ,、 , ●● ●

( 2 ) 当点 P 是 线 段 P   P。的一 个 三 等 分 点 时 , 求 
点 P 的坐 标.  

推 导: 设 P   、 P、 P 。的 坐 标 分 别 为 ( z   , Y   ) 、   ( z, Y ) 、 ( z   , Y 。 ) . 由向量 的坐标 等 于终 点 的坐 标 减 去  起点 的坐标, 我 们 有 
一 ( x 2 - X, Y z — Y) .  

解: ( 1 ) 由向量 的线 性运 算可 知 

一( x -x   ,  —  ) ,  

专 (  +  ) 一 (   {  ,   ) ,   所 以 点 P 的 坐 标 是 (   专   ,   专 丝 ) .  


因为 
一 z, Y2 一 ),  

一  

, 所 以( x- -z 。 ,  —Y , ) - - X ( z 。  
+  z2  

( 2 ) 当点 P 是 线 段 P   P  的一 个 三 等 分 点 时 , 有 
两种 情 况 , 即  = : =   或  一2   .  



则 有  —z 1 一 
I Y — Y l一  

2 一z  ’ 解得 
Yz— Y )’  

一] 
一  

’  
,  

女 Ⅱ 果   一  
+  1  


, 那么   一两 +   5 K ,+   1 (  

一 两  

一 o P ; ’ )  
'  



(  

,  

) ,  

有 


即 点 P 的 坐 标 是 (  
同理, 如果  

,   学 ) .  

一2   P P ; ’ , 那 么点 P 的坐标 

是 ( 学 , 学 ) .  



 

善  

…  …   .  一   一  …  

. …  

h o n g s h u c a n   c ; o n  ̄  

3 细 细 品味 , 回味 无 穷 
3 . 1   突 出 了主 要 内容 , 减 轻 了学 生 的学 习负担 

“ 先选基 底 ” 这 一 解 题 思 路 的认 识 ,同时 也加 强 了点  的坐标 与 向量 的坐 标 之 间 的联 系.由于 公 式 是 学 生  自己推 导 出来 的 , 有 亲切 感 , 提 高 了学 生 学好 数 学 的  信心, 这 比旧教材 采取 的灌 输 的方法 效果要 好 得多 .   3 . 3 给 不 同层次 的 学生提 供不 同 的思维 平 台  中学数学 教 育改革 趋势 是体 现 普 及性 、 基础 性 和  发 展性 , 使数 学教 育 面 向全 体学 生 , 实 现“ 人人 学 有 价  值 的数 学 , 人 人都 能 获得 必 须 的数 学 , 不 同 的 人 在数 

定 比分 点 的定 义及 定 比分 点 坐 标 公 式 作 为 平 面  向量在 解析 几何 中 的一 个 应 用 , 是 一 个很 好 的 典 例.   但 是作 为一 个公 式而 言 , 不是 数 学 的“ 主干” 内容, 属  于“ 丁 丁角 角” 知识 , 改变它们的推导方法, 删 除 定 比  分 点 的概念 , 突 出 了“ 主干 ” 内容— — 平 面 向量 基本 定  理 的位 置 ,即平 面 内 的任 一 向量 都 可 以用 不 共 线 的  两 个 向量 ( 即一 组 基 底 ) 线性 表示 出来 .新 教 材 中该  例 题 的解法 思路 清 晰 : 因为 点 P 的坐 标 与 向量0  的  坐标相 等 , 只 要 把 向 量0户用 不 共线 的两 个 已知 向量 

学 上得 到不 同 的发 展 ” . 定 比分 点 坐标 公 式 以例 题 探  究 的形 式给 出 , 求 解 的过程 可 以从 多个 角度 进 行 思考  和探索 , 问题 可 以 进行 引 申和 推 广 , 能 激 发 大 多数 学 
生 的好 奇心 , 给学 有余 力 的学生 提供 了深 入思 考 的空  间, 给不 同层 次 的学 生 提 供 了不 同 的思 维 平 台 , 能 更  好 地培 养学生 的探 索 能 力 、 收集和处理信息的能力 、   分 析和解 决 问题 的能力 ; 同时能 调动 每 位学 生 的 积极  性, 使每 位 学 生 的数 学 才 能 都 能得 到 最 大 限 度 的发  展, 显示 了教 材 的灵 活性 .通 过例 题 的启 发 , 学 生 很  快得 出了 上 述 解 法.笔 者 进 … 步 启 发 , 在 向 量 等 式  Pt p— PP   中, 几 个 点 的坐 标 是 未 知 的? 等 式 两 边  的向量 能用 坐 标 表 示 吗? 坐 标 相 等 能 得 到 什 么 ?在  教 师 的引导下 , 一 部 分 学 生 得 到 了方 程 组 , 既 而很 快  得 到 了答 案 , 脸 上 露 出了胜 利 的笑 容 .于是 笔者 与学  生 角色互 换 , 让一 名 学 生 上 讲 台讲 给 其 他 学 生 听 , 这 

o e 7 、   i 表示出来, P点的坐标即可求出.新教材的 
这 种处 理方 法 , 进一 步复 习 了平 面 向量基 本定 理 和 向   量 的坐 标与 点 的坐标 之 间的关 系 , 突 出 了本 章 的核 心 

内容.从 教 学 的 实 际 出 发 , 考 虑 到 学 生 对 向量 的 概  念、 向量运算 的 了解 刚 刚 起 步 , 短 期 内难 以达 到 熟 练  的程度 , 因此 , 该 例题 立足 课本 , 加 强 了对 基本 概 念 和  基本 运 算 的学 习并且 删去 了定 比分 点 的概念 , 减 轻 了  学 生 的记忆 负 担 .回想 起 在 旧教 材 本 节 内容 的教 学  实 施过 程 中 , 曾遇 到 过 这样 的 尴 尬 场 面 : 许 多 学 生 在  学 习 了定 比分点 的定 义 及公式 后 , 由于定 义 的抽 象 性  及公 式 记 忆 的 机 械 性 , 在解 这类 题 时, 找 不 对  及 

P   、 P 。与公式 中坐标 的对 应 关 系 , 出错 率很 高 .而新  教 材则 采用 了从 特殊 到一 般 的处理 方法 , 先求 当 P分  别 为 中点 和三等 分点 时 P点 的坐标 , 然后 再求 一般情 
况 时 P点 的坐 标 , 是 以探 究 的形 式 给 出的 , 并 且 不要  求记 忆公 式 .这 样处 理 教材 , 有 利 于学 生用 较 多 的 时  间和精 力掌握 最 基 本 、 最 重 要 的数 学 知 识 、 数 学思 想 

样 既满 足 了学 生 的好奇 心 , 又使他 们 获得 了成就 感.  
3 . 4 对 教 师 改 进 教 法 具 有 推 动 作 用 

新 课 程 改 革 提 倡 课 堂 教 学 中学 生 的 主 体 参 与.   以新 教材 为载 体 , 以数学 探究 为平 台 , 诱 发 思维 , 培养  学生 的探 究意识 和创新 意识 , 让学 生 从 教材 中发 现数  学 的发展 过程 , 引导学生去发现 、 去研究 、 去体验, 使  学生 在不 知不觉 中学 会 自己探 索 问 题 , 为他 们 学 会探  究 打下 良好 的基 础. 经 过 这 样 的 日积 月 累 , 一   定 能 激  发学 生在 数学方 面的探究 意识 , 使 他 们 的学 习 方式 逐  步从 被动 、 依赖 转化 为主 动 、 独 立. 这 也 是数 学 教学 中 

和 数学 方法 , 使 学 生 在 素质 上 得 到提 高 , 能 力 上 得 到  培养, 同时也 提 高 了教 学质 量 和教学 效益 .  
3 . 2 给“ 启 发式 ” 教 学创 造 了条 件 

新 教材 以探究 的形 式 给 出 , 提 供 了充 分地 从 事数  学 活动 和交 流 的机 会 , 教 师启 发学 生 去 探 索 , 帮助 他  们 在 自主探 索 的过 程 中真 正 理 解 和 掌握 基 本 的数 学  知识 与 技能 、 数 学 思想 与方 法 , 同 时 获得 广 泛 的数 学  活 动经 验.  

摒弃 传统 的注入 式教 学 , 更好 地体 现 以学 生 为 主体 的 


个 基本 环 节 , 也是 教 师转 变观念 、 改进 教 法 、 走进 新 

课程 的具 体体 现.  

4 深人思考 , 以 小 见 大 
新 教 材 对 知 识 的重 新 整 合 , 不 是 简 单 的排 列 组  合, 是 观念 的更 新 、 理念 的升华 , 使 数 学成 为 广 大学 生  乐学 、 会学 的科 学 , 使 数学 成 为 陶冶情 操 、 探 索 真理 和  训练 心智 的工 具. 只要 教 师在 “ 课改新观念” 与“ 中 国 

事 实上 , 学生 通过 该 例题 的学 习 , 已经 对 求 P点 
的思 想方 法有 所 体 验 、 有所领悟. 绝 大 多数 学 生根 据 

例 题的启发, 得 ̄o - - P - = 击 两 +  

, 很 快求  

得 f z 一  ‘“ ,   P 点坐 标为    从而进 一 步加 深对平 面  I   一   ,  


数 学教 育 ( 学) 传统” 的必 要补 充与 相 互渗 透 这一 方 向   上做 出切实 的努 力 , 就可 以促 进我 国的数 学课 程改 革  更为健 康 的发展 , 并 且这 也将 是 中 国数学 教 育 工作 者  对 数学 教育 这一 人类 共 同事业 的重 要 贡献.  

向量 基本 定 理 的 理 解 , 加 深 了对 用 向 量 计 算 时 突 出  

解 
…   —   一  …   一  

中 耄 学  翌 般 学 擞   学 参 考   n   n … 3  



类 根 式 和 

⑧ 取位藏画  
的解 集非 空. 这个解 集 即为 - 厂 ( z ) 的定义 域.   因为一 次不 等式 n  +6 ≥O ( 口 ≠O ) 的解集 为 
,   厶 

陈云烽 ( 中 山大学 数计 学 院)   问题 1 设 口   , b   是实数 , n   ≠0 , i 一1 , 2 , …,  (  

≥2 ) . 求函数 厂 (  ) 一∑ ̄ / 口  +b   的定义域和值域.  
当  一2时 , 文[ 1 ] 借 助 三角 变 换 , 圆满 解 答 了这  个 问题 , 不过 , 该法 难 以应用 到 ≥3的情 形. 文E 2 ] 利  用柯 西 不 等式 , 运 用待 定常 数 法 , 讨论 了 ,( z ) 最 大 值  的求解 , 但 没有 提及 . 厂 ( z ) 的最 小值 问题. 在 这两 篇 文  章 的基 础 上 , 本 文将 全 面解 答 问题 1 .   在文E 2 3 中, 假设 了 n 。? n  ? 口 。… ? ? n   <O , 提  供 了求 ,( z ) 最 大值 的解 法如 下 :  

N —j  
  I

I z ≥ 一  , 当n > O时 ,  

口  
厶 

 ≤ 一  , l 当口 < o时 ,  
L 

所以, 若 记  —

u i (   一1 , 2 , …,  ) , 则 关 于, (  )  
“ 

Y   ( ∑  
f 一 1  

)  
1  

的定 义域 和值 域 可分类 讨论 如 下 :   ( 1 ) 当a   , n   , …, n  全 为 正 数 时 , 不 等 式 组 ① 的  解集 为 { zI   z ≥c } , 其 中, c = = = ma x{  l , z 2 , …, z   } . 因 

≤ ∑  ( 口   +b   )?∑  .  

为  (   ) 一  而

( 口 >o ) 是定义于I 一旦, +。 。 1 上的  
L  “  /  

要 想得 到定 值 , 则 ∑m  一0 .  
i 一1  

单 调 递增 函数 , 所 以, 厂 (  ) 是 定 义 于[ c , +o 。 ) 上 的单  调 递 增 函数 , 且 l i a _ r 厂 ( z ) 一 +∞ , 故 f( z ) 的 值 域 
为I f( c ) , +。 。 ) .   ( 2 ) 当a   , 口   , …, n  全 为 负 数 时 , 不 等 式 组 ① 的  解集为{ z   l  ≤ d) , 其 中, d —r ai n{ z   , z I   , …, z   ) . 因 

由柯 西不 等式 取 等号 条件 得  ( n 1  +6 1 ) 一  ; ( 口 2 z +6 2 ) 一…一  : ( 口   z+b   )   m: 6   一 : ~ 1 b   一 l   m: 一 1   n   一 1 — — m: 口  



m: 6  一  } b l  
—  r — — —— —   一 .  



为g (   ) =  

( 盘 < 0 ) 是 定义于( 一 。 。 , 一  I 上的  

mi 口l —  : n  

令  一是   一  ( i 一1 , 2 , …,  一1 ) , 代人 上式 求 出  
忌 f (   一1 , 2 , …, n 一1 ) , 得 出 m1 : m2:… : m 即 可 .  

单 调 递减 函数 , 所以, , (  ) 是定 义 于 ( 一。 。 ,  ] 上 的单  调 递 减 函数 , 且 l i m 厂( z) 一 +c x 3 , 故 厂( z) 的值 域 为 
[ , (  ) , +。 。 ) .   ( 3 ) 当a   , a   , …, n  不 全 为 正 数 , 也 不 全 为 负 数  时( 注意 , 这 个条件 与 n  ?口  … ??口   < 0并 不 等  价) , 不 等式 组 ① 的解 集 可能 是 空集 , 也 可 能是 非 空集  合. 因为表 达式 厂 (  ) 中各 个根 式 的顺 序 可 以调 换 , 所 

以上 为文 [ 2 ] 求 ,( z ) 最 大 值 的全 过 程 , 但 这 个 解 
案, 未免 过 于粗 糙 , 有些 漏洞 应 当排 除 , 有 些 理据 必 须  补充 , 解 答 过程 也 有细 化 的必要 , 否则 , 在 解答 具 体 问 

题时, 难 免 出错 . 事 实上, 文[ 2 ] 自身 在 所 列 举 的 两 个  数值 实 例 中 , 就 有 一 个 出现 了 差 错 ( 参 看 下 面 例 3的  讨论 ) . 对 于文 [ 2 ] 中 的 漏 洞 和其 他 问题 , 这 里无 须 赘  述, 读者 只须 比对下 述关 于 问题 1 的解答 , 就会 明 白.   问题 1的解 答 :   首 先 讨 论 函 数 f( z) 的定 义 域 , 为 了 使 f( X)  


以为 了 陈 述 上 的 方 便 , 不 妨设 口 t , 口   , …, n  均 为 正  数, n   十   一, 口  均 为 负数 , 这 里有 1 ≤愚 <  . 若记 
f —ma x { x1 , z 2 , …, z   ) ,  = mi n( x   + 1 , …, z   ) ,  

则 有且 仅 有三 种 可能 的情况 :   ( i ) 当c )d时 , 不 等式 组 ①无 解 , 其 解 集 为空 集 ,   表达式 厂 (  ) 对 任何 实数 z都 无意 义 , 因此 ,  (  ) 不表  示 函数 , 既 无定 义域 也无 值域 ;   ( i i ) 当c —d时 , 不 等 式 组 ① 的解 集 为 单 元 素 集  { c ) , 故 函数 厂 ( z ) 的定 义 域 为 {  I  —c ) , 值域为{  I   3 ,  

∑   五 

表 示的是一个 函数 , 式 中 的常数 。   、 b  

( i 一1 , 2 , …,  ;   ≥2 ) 必须 确 保 各 个 根 式 的定 义 域 之  交集 非 空 , 即满 足条 件 :  
f n l  + b 1 ≥ 0,  

不 等 式 组 J 。 z   + 6 z ≥ o ’  
I L   。   。   a   +b   ≥O  

①  

:厂 ( c ) 一0 ) 都 是单 元 素集 ;   ( i i i ) 当c < d时 , 不 等 式 组 ① 的解 集 为 区 间 [ c ,  

1   l

( ^   上   包   J  
中学 矗 学叔 学 参考 



1   思 想方 法≮解 题  


4 篓  

糍殍  

] , 即厂 ( z ) 的定 义域 为 闭 区间 [ c ,  ] , 厂( z) 有 最 大值  与最小值 Y   。   , 所 以 函数 厂( z ) 的值 域 为 闭 区 间  [  i   , Y …] .   下 面讨论 Y  和Y   的求 解.  

f   ( z) 一O 甘n ̄ / c +d x+d  ̄ / n z+ b 一 0,  

④ 

移项 得 n  

一 -d  

,  

两边 平方 得 口 。 ( c +  ) 一d   ( “  +6 ) .   因为 口   —d   n —a d ( a — ) ≠O ,  

由, (   ) 一∑ ~   干瓦可知 厂 ( z ) 是闭区间[ c ,  ]  
上 的连续 函数 , 且 在开 区 间( c , d ) 上 可导 , 其导 数为 
f   (  ) 一  ∑ 口   ( n   +6   ) 一 专 .  

所 以 得 z 一  
设 。 一 

∈ ( 一 鲁 , 一 言 ) ,  
, 则 当 ~  < < 。时 , ,   (  )  

经检 验 , 是 方 程④ 的根 .  

故 f   ( z ) 在( c ,  ) 上连续 可 导 , 且 有 
l i m f   ( z ) 一+。 。, l i mf   (  ) 一 一。 。 .  

> o , 厂 (   ) 单 调 递 增 ; 而 当   。 <   < 一 言 时 , / (   ) < o ,  
厂 (   ) 单调递减. 又/(  ) 一0 , 且/ ( z ) 在区间端点f  
一 一

对 厂( z ) 求导数, 得厂 (  ) 的二阶导数 
. 

( - z ) 一一÷∑n   ( n   z +b   ) 一 号 ( c <z <  ) .  

所以在区间( c ,  ) 上, 厂( z ) <0 恒成立, f   ( z ) 是 
区间 ( c ,  ) 上 的单 调递 减 函数 , 而且 当 z —c 时, f   (  )  


旦和 口    一一 了 口 C ) ,   都 连续 . 所以, 函 数厂 。   (   ) 有 最大值  

一 +。 。 , 当z — 时 , ,   (  ) 一 一。 。 . 因此 , f   (  ) 一0在  区间 ( c ,  ) 内有唯 一 的解 z —  。 ∈( c ,  ) , 使得当 c <x   <z 。时 , f   ( z ) >0 , 而当 X 。 < <  时 , f   ( z ) <O . 从  而, , ( z ) 在 c , X 。 ] 上 是单 调 递增 函数 , 在[ z 。 ,  ] 上 是 
单 调递 减 函 数 , 即当 C ≤ X≤ z 。时 , f( c ) ≤ f( z)   ≤f( x 。 ) , 而当  。 ≤z ≤ d时 , f ( x 。 ) ≥ 厂(  ) ≥ 厂(  ) .  

, (   ) 和 最 小 值 Y m i n  ̄ - - m i n { , ( 一 鲁 ) , 厂 ( 一   C ) } .  
因为 f ( x o ) 一、 / /  
d( a —  ) ’  
一  

+   千  
口 ( 以一 d)  

/ a ( b d —a c )l  / d ( b d -a c )  




/ a   ( b d   - a c ) [   +   ]  
口 

所以 , ( z ) ( c ≤z ≤ ) 的最 小 值 Y   i   和最大值 Y   分  别 为 
Y   一 mi n { 厂 ( c ) , 厂 (  ) } ,   = = = f ( x 。 ) .   ②  ③ 

( 1 一 d 口  ̄ ,   / a   ( ( b d   一 -   a c ) ) 一  
^ √  ̄   — ( a - — d — ) b ( — d — - a   c )  



得 函数 厂 (  ) 的值 域 为[  i   ,  

] .  



当  一2时 , 应 用这 两个公 式求  i   和Y   都容 易  实现( 参看例 1 ) ; 当 ≥ 3时 , 应用 ② 式 求  也 容 易 

√ c 口 一   (   一 号 ) ,  

实现 , 但 应 用③ 式 求  时 , 则 会 遇 到 高 次代 数 方 程  求 根 的困难 : 对 于 四次 以上 的 高 次 方 程 , 根 本 就 不 存 
在 求根 的代 数公 式 , 而 对 于 三 次 方 程 和 四 次方 程 , 虽  然 有求 根代 数公 式 , 但 应 用起 来 很 不 方便 , 必 须 经 过  多次变 换 和转折 , 不 仅 过 程冗 长 , 而 且 所 得 的 算 式 往 

厂 ( 一   ) 一 √ c 一   , 厂 ( 一   j z o c , 所 以 得  
) 的 值 域 为 闭 区 间 [  {  


,  

} '  

往也难 以简化 , 缺乏实用价值. 所 以, 当求 厂(  ) 一0  
在( c ,  ) 中的根 z 。时 , 除 了能 用 因式 分解 法 或 观察 法 

√ c n —   ( 鲁 一 号 ) ] , 也 可 写 成 [ m i n { √ c 一   ,   警 } ,  ̄ / b + c   b d   a c 1 .  
解 法 2 : 设   一 , ( z ) , 则 由 一 詈 ≤   ≤ 一 言 知  

求 解 的特殊 情况 之外 , 实 用上 , 往 往得 求 助 于插 值 法 ,  

求 出 /( z ) 一0的近似解 , 进而求出  

的近似值.  

文[ 2 ] 所提 出 的求 ,(  ) 最 大值 的 方 法 , 当  ≥ 3   时, 同样 无 法 回避 高次方 程求 根 的困难 .  
例 1 设 n >0 ,  < 0 , 且 a C >b d, 求 函数 f( z)  
一  

一 ( a +   ) z + ( 6 + c ) + 2 √ n   (   +   ) (   + 寺 ) .  
( i ) 当口 + 一0时 , 口一一d >O , 故由a c >b d知 b  

+  

f 、  口 一 旦   ≤   ≤一 了 口 C   / 1   的 值 域.  

+ c > o ,   一 6 + c + 2 , / a d ( z +   ) (   +   c ) ≥ 6 + c  
> o , 且 当 z 一 一 詈 或 5 C = - 号 时 , 取 等 号 , 得  一 6  
+c :  

解 法1 : 当z ∈ ( 一 詈 , 一   c ) 时 , f   (   ) 一   1  
?

(  a 十 丽d ) .  

( i i ) 当 口 + 6 > 0 时 ,   ≥ ( n +   ) ( 一 导 ) + 6 + c — f  

解  
一  

孽  

曰  
…   …  

2 0 1 1年 第 9期 (上 旬 )  

,  

。   … …   碚数磅箍 l I 孽 | I  
a   c — b d0  
一 —

。   3 3  



[ - 厂 ( 一 鲁 ) ]   , 且 当 z 一 一   时 , 取 等 号 , 得   [ - 厂 ( 一 鲁 ) ]   ;  


厂  

b  

C]  

a d ( d — - a ) ∈I 一  , 一  I ‘  

综合( i ) ( i i ) 可知, 对任 意  ∈J L  n 一 旦,  一 号l . J   , 都有  
。 ≤ M一6 +c 一  b d

( i i i )  n + 6 < o 时 ,   ≥ ( a +   ) ( 一 号 ) + 6 + c  


口  警 , 且 当  —   。 一   口   L   a   — n   J   时 ,  


一 6 一 a c   I ( 一 号 ) ]   , 且 当 z 一 一 号 时 , 取 等 号 , 得  上 式 取 等 号 , 故 得  一 /   b d   a c .  
( 厂 ( 一 砉 ) )   .  
f  
mi n一

因此 , 函数 厂( z ) 的值 域 E y …, Y …] 即为闭 区 间 

, 当  +  一0时,  

[ m i n {  ̄ 一 ,  ̄ /   c - 7 , \ ,  ̄ b + c   b a% dc J .  
评注 : 以上 两种 不 同 的解 法 都 与文 [ 1 ] 的 解 法 不  同, 但 它 们所 得 的结 果完 全一 致 , 互相F - t ] 证, 这也 是 一  种 数 学美 . 其 所使 用 的数 学思 想 方法 和解 题技 术 都 有  各 自的特 色 .  

缤 合 综 会 得 很  Y  一 j 厂 f 一  1 , 当& +   > 0 时 , {  I —  J , 当“ 十   >o 时,  

【 厂 ( 一 号 ) , 当 口 +   < o 时 .  
因 为当n +  一 0 时 , - 厂 ( 一   b ) 一  

例 2   求 函 数 f(   )一  + ̄ /   的定 义域 和 值域 .  

『 二 F  +  ̄ /  而

 

一 厂 ( 一 号 ) ; 而 当 。 + 6 ≠ 0 时 , 厂 ( 一   C ) 一 , ( 一   )  
6 +一 b d


9 x   f   +9 ≥ 0,  



ac f一  

口 

一 

aa  

( 6  一 口c ) .  

解 : 求 解 不 等 组  1 8 x +9 ≥0 得 解 集 


【 1 —9 x ≥ 0,  

由  口 口  > 0 知 , 当n + 6 > o 时 , 厂 ( 、   一   C   / 1  

{   l 一   ≤ z ≤ 告 } . 所 以 , - 厂 (   ) 的 定 义 域  

[ 一 号 , 告 ] .   >   ( 一   b ) ; 当 “ +   < o 时 , 厂 ( 一 号 ) < 厂 ( 一   ) , 所  为 X f   f (   ) 求 导 得 厂   ( z ) 一 号 (   亓+   以  i   的 分 段 表 达 式 可 合 成 为  i   一 m i n { 厂 ( 一  ) ,  

号 ) ) , 也 可 写 成 Y m i n = m i n {  
下 面求 厂 (  ) 的最 大值 Y ….  

,  
) 。  

} .   志 ) ( 一   1 < z < 告 ) .  


方 程 厂   (   ) 一 0 的 一 个 根z 一 0   E ( 一   1 ,   1 ) . 而  
且, 当 一  1< < 。时


对 任 意 正 数   、   和 z ∈ 卜   b , 一   c ] , 都 有  


(  

+  瓣

由   + 击 > 1 + 2  

≤ [ m ( n   + 6 ) +   ( c +   z ) ] ? (   +  ) .  
( i ) 若 正数  、  满 足 a m+  一0 ,   ⑤  则上 式 的 右 端 化 为 常 数 M 一 ( b m + C r 1 )  


— 3 , 志 <3   知   ,   ‘   >o , 得   ,   在   ( 一  , o ) 上 是 单 调 递 增 函 数 ; 同 理 , 当 o <   < 百 1 时 ,   厂 (   ) < o , 厂 (   ) 在 ( 0 , 告 ) 上 是 单 调 递 减 函 数 . 又   ( z )  
在  一 一  1,   一0 ,   一百 1等 处 都 连 续


f  +  1 — 6 + f + b m +c n 一 6 + c 一 b 一 d 一   a c ;   \m   ,   m   口  



且   ( 一   1 )  

( i i ) 若 正 数 m 、   和   。 ∈ 『 一   b , 一 号 ] 满 足  
c n 2 - b m2
。一  

号 ( 3  +  ) , 厂 ( 告 ) 一   +  > 丢 ( 3  
) , ,( 0 ) 一7 .  

+ 
a m 

。 一  

∈『 _ 一   b , 一   c
L  

口   ]   l ,  
‘ 

⑥ 

所以, 综合得 - 厂 ( z ) 的最小 值 Y   i   和 最 大值 Y   分 

则 由柯 西 不等 式 的性 质得 , 当  —z 。时 ,  

, I   1. 十   1 、 J   Y 。 一- m( a x o +6 ) + ( c +  0 ) ]?  
联 立⑤ ⑥ 两个 方程 , 可 解得 

别 为  一 ÷ ( 3  +  ) , Y m a x 一 7 .   即 得 , ( z ) 的 值 域 为 [ 专 ( 3  +  ̄ /   ) , 7 1 .  

心 

圆 锥 曲 线 ⑩ 两 个 性 质 
姜 书念 ( 陕 西省 西安 市铁 一 中)   笔 者探 索 发 现, 圆 锥 曲 线 有 如 下 两 个 重 要 的  性质 :   性质 1   过椭 圆  x 2   y2 T   —1 ( 口 >6 >。 ) 焦 半 径 FP   的端 点 P 作 椭 圆 的 切 线 , 交 相 应 准 线 于 点 Q, 则 
FP 上 FQ.  
△一 4 a   b   C O S   + 4 n 。 ( 以   s i n   0 + b   C O S 。  )( a 。 s i n   0  


6 。 ) 一4 a   s i n 。 O ( a   s i n 。 O -b   +b 。 C O S  ) = = = 4 a   f   s i n   0 .  

从 而 

一 

,  

a ( 6   C O S  + a c s i n  )   a   s i n  + b 。 c o s   0  ’  

证明: 如图 1 , 焦 点 F( c , 0 ) ,   设 P( x 。 , Y 。 ) , 则 切 线 PQ 的方 程  为 
一  

y 
-_ 

于是 目  

a b s i n   O ( a +C C O S  )  
’  

Yp  一  

’  
  ‘

Q  
.  

+ 

1 , 与 准线 方程 z  
. 

一  D

a b s i n   O ( a— C C O S  )   a   s i n  + b 。 C O S   0‘  

C 

联立 , 得 交 点 Q 的 纵 坐标 为 

图1  

所 以   一 (  
1   1 一I   a  

, 一  

) ,  



 

(   一 x o ) ,  ̄ 1   - F - P - = ( X o - c  ̄ Y o ) , 葡一 ( 譬 ,   b 2  
因为  ? - F -  ̄- =b 2   - (


/ b -   z C O S   O ( a +r C O S   0) a b s i n   O ( a +C C O S ) 、  

’ — a z s i n 2 0 + — f c o s z 0   J ’  

, b   C O S   O ( a -c c o s   0) a b s i n   O ( a -c c o s  ) 、  


f   1 一  1 ) .  

一I — a z s i n z O + — b  ̄ c o s z 0’ — a z s i n z 0 + — b z c o s z 0   J ’  

T O - C ) +  ?   6 2 ( 1 一 詈 ) 一 o ,  

显然 , — F — — — 1 -   — — — + ?P — — — — 1 —   — — — +一0 , — F — - — 2 —   — — — - , ? ? ? Pl — — — - — P — — + 2   —0 .  

故商

_ l _ 蕊

,  

上  

.  

所以 . F P 上F Q .  

对 于 双 曲线 , 有 类 似 的性 质 :  

对于 双 曲线 、 抛 物线 , 有类 似 的性 质 :  
推 论 1 过 双 曲线  一y - 6 。 一l ( a >0 , 6 >o ) 焦 半 

推论 过双曲线  一告 一1 ( 口 >o , b >0 ) 上任一 
点 P( 异于 实轴 的端 点 ) 作双 曲线 的切 线 , 与 以实 轴 为  直径 的 圆 z   +  。 一a 。 交于 P   、 P  两 点 , 若 F。 、 F  为  双 曲线相 应 的两焦 点 , 则F   P   _ 上 - P   P   , F   P z 上P   P   .   说 明: 由性 质 2及 其推论 不 难得 到  以椭 圆 ( 双 曲线 ) 任 一 焦半 径 为 直径 的 圆 与 椭 圆  ( 双 曲线 ) 过该 焦 半 径 端 点 的 切 线 的交 点 的 轨 迹 是 以  椭 圆( 双 曲线 ) 的长 ( 实) 轴 为直径 的圆.   根据 上述 结论 , 可 以得 出椭 圆 ( 双 曲线 ) 切线 的几  何 作 法.  
2  


径F P 的端 点 P 作 双 曲线 的切 线 , 交 相 应 准 线 于 点  Q, 则 F P_ l _ F Q.   推论 2 过抛 物线 Y 。 :2 p x ( p >O ) 焦半 径 F P 的  端点 P 作抛 物线 的切 线 , 交 准线 于点 Q, 则F P上F Q.   性质 2   过 椭 圆  +  一 1 ( 口 >6 >o ) 上 任 一 点  P( 异 于长轴 的端 点 ) 作 椭 圆 的切 线 , 与 以长 轴 为 直 径  的圆 X 。 +  一a 。交 于 P 1 、 P2 两点. 若F   、 F 2 为 椭 圆  相 应 的两个 焦 点 , 则 F1 P   一 l   P】 P2 , F   P 2 上P, P   .   证明: 如图 2 , 焦点 F   ( -C , 0 ) 、   F 2 ( c , 0 ) , 设 P( a c o s  , b s i n  ) , 则 椭  圆在 点 P 处 的 切 线 方 程 为型 
  . . 

. 2  

已知椭圆山 _ +告 =1 ( 口 >6 >o ) 的右焦点为 F , P  
为椭 圆上 任一 点 , 求作 椭 圆在 P处 的切 线 .   作法 : 如图 3 , 连 结 FP, 以 FP   为直 径作 图 , 该 圆与圆 z   +Y   一a   相 切 于点 M , 则 直 线 PM 即 为 椭 圆  在 点 P 处 的切线 .   以上 作法 的证 明容 易 , 略.   图3   类似 地可 以作 出过 双 曲线 上 一  点 的切线 .  

x 

+ 

D 

= = = 1 , 与 圆方 程 X 2 + z :口 z  
一  

图2  

联立 , 消 去 y得 
( n   s i n   +b 。 C O S 。  ) X。 一2 a b   C O S   0 x一 口  ( 口   s i n 。 0  


b   )一 0 .  

解   ‘   璺  ; \   竺  


WWW,   型  啷   站  。。m  …  
… 一

塑  
中 学文 学叔 毋 参 考 

用 均 值 不 蒜 式 还 能 证 明 吗 
在数 学解 题 中, 教 师只有研 究学生 的解 题思路 , 跟 着学生 的感觉 迮, 才能  让学生 真正达到 “ 学会解题而 不是教会 解题”的 目的 .  

李  歆 ( 陕西 省武 功 县教 育局 教研 室 )  
维. 因此 , 教 师要 善 于捕 捉 学 生 思 维 过 程 中 出 现 的 火 

1   l 司题 的 提 出 
在 2 0 0 8年南 京 大 学 自主招 生 考试 的 试 卷 中 , 有  如 下 一道 试题 :   问题 1 若 正 数 口 , b , f满足 口+6 +c 一1 , 求证 :  

( 口 + 丢 ) ( 6 + 丢 ) ( c 十   1 J \   _   1 0   0 0 .  
面 的结 果 :  

①  

花 ,给予学 生 较 多的鼓 励 , 做 到 因势 利 导 , 对症下药,   顺着 学 生 的思 路 ,学 会 跟 着 学 生 走 . 只有这样 , 才 能  清 除学 生 的思维 障 碍 , 打通 走 向成功 的希 望之 路 .   按 照上 面这 位学 生 的思 路 , 问题 的解 决 到 了对 不  等式 ③ 的 证 明 这 一 步 , 之 所 以他 的 证 明无 法 进 行 下  去, 是因为④式根本 就不成 立, 原 因很 简 单 : 在 ④ 式 

有 位学 生 试 图利 用均 值不 等 式 进 行证 明 , 得 到 下 

中 , 等 号 成 立 的 条 件 是口  
6厂 

, 即口 b c = √ 号 , 当 且  

= 6 一c 一   / ÷时, 但③式取等号的条件是 a :b   ① 式 铮 口 6 f + 警 c  n +  +  丝 a + 0   c  c + 老   a + a   0 +   a   0   c   仅当口

≥  铮 n   + 口   (   +   +  ) +  
≥  .  

+  
② 

:c 一÷ , 这里 , ③式 和④式取等号的条件不一致 , 出  
现 了矛盾 . 找 到 了 问题 的症 结 所 在 , 我 们就 从 此 人 手 ,   先解 决 ③式 和④ 式 等号 同时 成立 的 问题 , 办 法就 是 对  ④式 进 行下 列“ 医治 ” :   引 入一个 待 定参 数 t >O , 则 ④式 可“ 改造 ” 为 
口 b c +  t   2 ≥  £ .   ⑤ 

由 口 6 f (   +   +   ) ≥ n 6 c (   +   +   ) 一 口 + 6  
+  一1 , a 2 +6 z +c 2 ≥  ± 
边≥口 b c + 
明: 口   + 4  



一   可知 ②式 的左 


+1 , 所 以, 要证 明② 式成立 , 只要 证 


⑤ 式等 号成 立 的条件 是 : = :   a b c , 易得 

 ̄ 1 0 0 0




2 7



即口 6 c + 

≥3 6 + 

③ 

成立 即可.  

≤  (  
将 £ 一 

) 。 一   .  
代 入 ⑤式 , 并 整理得 

但接 下 来 , 对 ③式 的证 明 , 这位 学 生 陷入 了困境 ,   因为 他看 到 : 由均值 不 等式 得 到 的结果 是 

+  ≥ 2 / a b c ?   4一  .  
2 问题的解决 

④  

口 b c +   ≥ 寺?  

⑥  

而不 是 ③ 式 , 由此 他 就 提 出 了一 个 问题 : 按 照这  个思 路 , 用 均 值不 等 式还 能 证 明吗 ?  

易知 , ⑥ 式和 ③式 取 等号 的条 件 相 同.   如果 说 ⑤式 是 为 “ 医治” ④ 式 开 出 的处 方 , 那 么,   ④式 经过 “ 医治 ” 后 的结 果 就 是 ⑥ 式 , 它 的产 生 , 为顺  利 证 明③ 式 打开 了通 道. 比较 ③式 和 ⑥ 式 的左 边 的差 

在解 题 过程 中 , 学 生 遇 到 问题 是 很 正 常 的 , 在 这  种 情 况下 , 教 师 切 不 可 轻 易 地 否定 学 生 的 解 题 思 路 ,   强 制学 生 按 照教 师提 供 的方 法 来完 成 解 题 , 那 样 做往  往 会 阻碍 学 生 的思维 发 展 , 甚 至扼 杀 学生 的创 造 性 思 

异 , 有口 b c +   一( 口 b c +   ) 一 (   一   )   a b c   ≥ ( 号 一 X 2 7 = 3 6 一   , 即  一  ≥ 3 6 一   .⑦  
⑥ 式 和⑦ 式 相加 , 即得 ③ 式 , 由此 可 知② 式 成 立 ,  

思 想 方 法  解 题中 心  
2 0 1 1年 第9 期 (上  )  
…   、



— 
从 向  式 得 让 .  

i  …  

囊t 8  

+   ≥   , 由 此 可 得   +   +   ≥   +   + ÷ ≥ 9 , 于  
是 ⑩式 的左 边 ≥n b c +  +1 0 , 下 同问题 2 ?  

3 问题 的深 化  
仔 细 分 析 上述 解 题 过 程 , 我们 发现 , 如 果 将 不 等  式 ③ 的条件 “ 口 +6 +f

投《中学数学教学参考》2011年高考数学试题

投《中学数学教学参考2011年高考数学试题解法荟萃 一道高考题的巧解 吴享平(福建省厦门第一中学)邮编:361016 2011年高考数学天津理科试卷第18题 x2 y 2 题目...

投《中学数学教学参考》2011年高考数学试题

投《中学数学教学参考2011年高考数学试题解法荟萃 一道高考题的巧解 吴享平(福建省厦门第一中学)邮编:361016 2011年高考数学天津理科试卷第18题 x2 y 2 题目...

中学数学教学参考2015年第4期目录

中学数学教学参考2015年第4期目录_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。中学数学教学参考 2015 年第 4 期目录 卷首 破除数学孤立主义,加强数学课程和人文学科的结合 ...

中学数学教学核心期刊名录

中学数学教学核心期刊名录《中学数学教学参考》 (月刊) 主办:陕西师范大学 地址:陕西师范大学《中学数学教学参考》编辑部 邮编:710062 电话:029-5308154 主编:石生民...

中学数学教学参考高中2007年第5期目录

中学数学教学参考高中2007年第5期目录_数学_高中教育...9 页 ...王增良 □课例点评[栏目编辑:潘红玉] ·...中学数学教学参考2011年... 暂无评价 71页 免费 中...

2011年03月09日2334453445数形结合思想在中学数学

2011年03月09日2334453445数形结合思想在中学数学 隐藏>> 数形结合思想在中学数学...参考文献 [1] 王君芬. 例谈数学教学中的数形结合[J]. 黑龙江科技信息, ...

2011学年第一学期前进小学五年级数学教学计

2011年第一学期前进小学五年级数学教学计划天河区...本期重点是进一步培养和提高学生的合作能力;提高学生...9 3 8—10 11 11 12 12 13 14 14 15—16 ...

南开中学初2011级08-09学年(上)半期试题——数学

南开中学2011级08-09学年(上)半期试题——数学_数学_初中教育_教育专区。重庆南开中学 2008—2009年度第一学期半期试题 七年级数学(满分 100 分,时间 ...

22-“最小二乘法公式推导”教学的“惑”与“获” 中学数学教学参考(上旬刊)2012年第8期

中学数学教学参考(上旬刊)2012年第8期_高二数学_...x y? ? 4 9 2 2 (这是在问题 3 的基础上...1 y (根据 2011 年安徽高考理 19 题改编) 22 ...