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2013届高考数学一轮复习讲义:6.4 等差数列与等比数列

时间:2012-12-26


一轮复习讲义

等差数列与等比数列

要点梳理

忆一忆知识要点

1.等差、等比数列的常用性质 (1)若{an}是等差数列,则 ①m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有am+an=ap+ar . ②Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?构成 等差 数列. (2)若{an}是等比数列,则

/>a a ①m,n,p,r∈N*,则m+n=p+r,则有 am·n=ap·r . ?1? ? ? 2 ②{an}是等比数列,则{an}、?a ?是 等比 数列. ? ? ? n?

③若Sn≠0,且q≠-1,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,??构 成 等比 数列.

要点梳理

忆一忆知识要点

2.等差数列与等比数列的联系 (1)若数列{an}是等差数列,则数列{aan}是等比数列,公 比为ad,其中a是常数,d是{an}的公差.(a>0且a≠1). (2)若数列{an}是等比数列,且an>0,则数列{logaan}是等 差数列,公差为logaq,其中a是常数且a>0,a≠1,q是 {an}的公比. (3)若{an}既是等差数列又是等比数列,则{an}是非零常 数列.

[难点正本

疑点清源]

1.用函数的观点理解等差数列、等比数列的单调性 (1)对于等差数列{an},∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d), 当d≠0时,an是n的一次函数,对应的点(n,an)是位于直线 y=dx+(a1-d)上的若干个点.当d>0时,函数是增函数, 对应的数列是递增数列;同理,d=0时,函数是常数函 数,对应的数列是常数列;d<0时,函数是减函数,对应的 数列是递减数列.

(2)对于等比数列:an=a1qn 1,可用指数(型)函数的性质来 理解. 当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列是递增数列; 当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列是递减数列. 当q=1时,是一个不为0的常数列. 当q<0时,数列的项正负相间出现,不具备单调性,它是一 个摆动数列. 2.等比数列{an}的前n项和Sn Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,??不一定构成等比数列,如数 列:2,-2,2,-2,??.因为在等比数列中不能有0 项,所以要使Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,??为等比数列,必 须有Sn≠0且q≠-1.



等差、等比数列的基本运算
例1 是否存在互不相等的三个实数a、b、c,使它们同时满足 以下三个条件: ①a+b+c=6. ②a、b、c成等差数列. ③将a、b、c适当排列后成等比数列.
解 由②知2b=a+c,∴a+b+c=3b=6,

∴b=2,a+c=4.

若a、b、c成等比数列,则b2=ac=4, ∴a=c=2,不符合条件.

若b、a、c(或b、c、a)成等比数列,则a2=bc=2c, ∴a2+2a-8=0,解之得:a=-4或a=2.
?a=-4 ? ∴? ?c=8 ? ?a=2 ? 或? ?c=2 ?

(舍去).

∴2,-4,8或8,-4,2成等比. ∴存在互不相等的实数,-4,2,8或8,2,-4使它们同时满足三个 条件.

探究提高
(1)对于等差数列的通项公式及前n项和公式,要注意从公式的正 向、逆向以及变式等角度掌握它们.等差数列的通项公式及前n 项和公式联系着五个基本量,“知三求二”是一类最基本的运 算题目. (2)在已知三个数成等差数列时,要注意“对称设元”、“整体 消参”和“设而不求”的方法.

变式训练 1
有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差 数列,其和为12,求这四个数.
解 ∵后三个数成等差数列,可设四个数为x,y-d,y,y+d.
?x=9, ? 解得?y=4, ?d=-2 ?

?xy=?y-d?2, ? 由已知,得?x+y-d+y=19, ?y-d+y+y+d=12, ? ?x=25, ? 或?y=4, ?d=14, ?

∴四个数为9,6,4,2或25,-10,4,18.

等差、等比数列的判定 或探索
an 例2 设数列{an}的前n项和Sn=n ,数列{bn}满足bn= an+m
2

(m∈N*). (1)若b1,b2,b8成等比数列,试求m的值; (2)是否存在m,使得数列{bn}中存在某项bt满足b1,b4,bt (t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在,请指出符合题意的m的 个数;若不存在,请说明理由.
解 当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, ∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.

an (1)由bn= (m∈N*)知 an+m 1 3 15 b1= ,b = ,b = , 1+m 2 3+m 8 15+m ∴b1,b2,b8成等比数列, ? 3 ? ? ? 15 ? ?2 ? 1 ? ∴?3+m? =?1+m?× , ? ? ? ? 15+m
解之得:m=9或m=0(舍去).

故m=9. (2)若存在m,使b1,b4,bt成等差数列,
则2b4=b1+bt, 2t-1 7 1 ∴ ×2= + , 7+m 1+m 2t-1+m 7m+1 7?m-5?+36 36 ∴t= = =7+ , m-5 m-5 m-5

由于m、t∈N*且t≥5. 令m-5=36,18,9,6,4,3,2,1, 即m=41,23,14,11,9,8,7,6时,t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值,且共有8个数.

探究提高
要判断一个数列是等差数列或等比数列可用定义法或中项法, 而要说明一个数列不是等差数列或等比数列,只要说明某连续 三项不成等差数列或等比数列即可.

变式训练 2
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a (a>0).数列{bn}满足 bn=anan+1 (n∈N*). (1)若{an}是等差数列,且 b3=12,求 a 的值及{an}的通项公式; (2)若{an}是等比数列,求{bn}的前 n 项和 Sn; (3)当{bn}是公比为 a-1 的等比数列时, n}能否为等比数列?若能, {a 求出 a 的值;若不能,请说明理由.



(1)∵{an}是等差数列,a1=1,a2=a,

∴an=1+(n-1)(a-1).又∵b3=12, ∴a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12, 5 解得a=2或a=- . 6 ∵a>0,∴a=2.∴an=n.

(2)∵数列{an}是等比数列,a1=1,a2=a (a>0), ∴an=an 1,∴bn=anan+1=a2n 1. bn+1 2 ∵ b =a ,∴数列{bn}是首项为a,公比为a2的等比数列. n 当a=1时,Sn=n; a?a2n-1? a2n+1-a 当a≠1时,Sn= 2 = 2 . a -1 a -1
(3)数列{an}不能为等比数列. bn+1 an+1an+2 an+2 ∵bn=anan+1,∴ b = = a , anan+1 n n
- -

an+2 则 a =a-1.∴a3=a-1. n 假设数列{an}能为等比数列.

由a1=1,a2=a,得a3=a2. ∵a2=a-1,∴此方程无解. ∴数列{an}一定不能为等比数列.

等差、等比数列中的最值 与范围
例3 (2010· 上海)已知数列 an 的前n项和为Sn,且Sn=n-5an- 85,n∈N*. (1)证明: an-1 是等比数列; (2)求数列 Sn 的通项公式,并求出n为何值时,Sn取得最小 值?并说明理由.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)证明 ∵Sn=n-5an-85,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∴当n=1时,S1=1-5a1-85,
即a1=1-5a1-85,解得a1=-14;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-[(n-1)-5an-1-85]= -5an+5an-1+1, 整理得6an=5an-1+1,∴6(an-1)=5(an-1-1), an-1 5 ∴ = . an-1-1 6
又a1-1=-15, 5 ∴数列 an-1 是以-15为首项, 为公比的等比数列. 6 5 n-1 (2)解 由(1)知,an-1=-15×( ) , 6 5 n-1 ∴an=-15×( ) +1,代入Sn=n-5an-85得, 6
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 5 n-1 5 ??-15?×? ? ?-85=n+75×( )n-1-90. +1 Sn=n-5 6 6 ? ? ?S - ≥S , ? k 1 k ? 设 Sk 为最小值,则 ?Sk+1≥Sk, ?

5 k-1 ? ?a ≤0, ?-15×?6? +1≤0, ? k ∴? 即? ?ak+1≥0, ? ?-15×?5?k+1≥0, 6 ? ? 5 k-1 1 ??6? ≥15, 即? ??5?k≤ 1 , 15 ?6
1 ? ? k ? 1 ? log 5 15 , ? 6 ∴ ? ? k ? log 1 , 5 ? 15 6 ?
1
5 6



log

1
5 6

? k ? log

? 1.

15

15

又 log

1
5 6

15

1 lg 15 -?lg 3-lg 2+1? = = , 5 1-2lg 2-lg 3 lg 6
1
5 6

lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,∴ log ∴14.9≤k≤15.9.

15

≈14.9.

又∵k∈N*,∴k=15.即当n=15时,Sn取得最小值.

探究提高
解决数列中的最值范围问题有两种方法: (1)用函数思想处理,先求出相应函数的解析式,研究函数的单 调性,也可借助函数图象. (2)利用不等式知识处理,如求最大(小)值,可先设出最大(小) 项,再利用它大(小)于它的前一项、后一项构造不等式组进而 求解.数列中的范围问题常利用基本不等式或解不等式的方法 来解决.

变式训练 3
1 1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= 且Sn=Sn-1+an-1+ ,数列 4 2 119 {bn}满足b1=- 且3bn-bn-1=n (n≥2且n∈N*). 4 (1)求{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn-an}为等比数列; (3)求{bn}前n项和的最小值.
由2Sn=2Sn-1+2an-1+1 1 得2an=2an-1+1,an-an-1= , 2 1 1 ∴an=a1+(n-1)d= n- . 2 4 (1)解

1 1 (2)证明 由3bn-bn-1=n,得bn= bn-1+ n, 3 3 1 1 1 1 所以bn-an= bn-1+ n- n+ 3 3 2 4 1 3? 1 1 1 1? = bn-1- n+ = ?bn-1-2n+4?; 3 6 4 3? ? 1 1 bn-1-an-1=bn-1- (n-1)+ 2 4 1 3 =bn-1- n+ . 2 4 bn-an 1 由上面两式得 = , bn-1-an-1 3 119 1 又b1-a1=- - =-30, 4 4 1 故数列{bn-an}是以-30为首项, 为公比的等比数列. 3

?1? - (3)解 由(2)得bn-an=-30×?3?n 1, ? ? ?1? - ∴bn=an-30×?3?n 1 ? ? ?1? - 1 1 = n- -30×?3?n 1 (n≥2). 2 4 ? ?
?1? - ?1? - 1 1 1 1 n 1 bn-bn-1= n- -30×?3? - (n-1)+ +30×?3?n 2 2 4 2 4 ? ? ? ? ?1? - ? 1? 1 n 2? = +30×?3? 1-3? 2 ? ? ? ? ?1? - 1 = +20×?3?n 2>0, 2 ? ?

∴{bn}是递增数列.

119 当n=1时,b1=- <0; 4
3 当n=2时,b2= -10<0; 4 5 10 当n=3时,b3= - <0; 4 3
7 10 当n=4时,b4= - >0, 4 9 所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.
1 10 493 且S3= (1+3+5)-30-10- =- . 4 3 12

答题规范
公式应用、答题格式要规范
已知{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为{an}的前n 项和. (1)求通项公式an及Sn; (2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的 通项公式及其前n项和Tn.

审题视角
(1)直接套用等差数列的通项公式和前 n 项和公式计算;(2)直 接套用等比数列的通项公式求出{bn-an}的通项公式,再求数 列{bn}的通项公式及前 n 项和.

规范解答 解 (1)因为{an}是首项为19,公差为-2的等差数列, [3分] 所以an=19-2(n-1)=-2n+21, 即an=-2n+21;
n?n-1? Sn=19n+ ×(-2)=-n2+20n, 2 即Sn=-n2+20n.
(2)因为{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列, 所以bn-an=3n-1, 即bn=3n-1+an=3n-1-2n+21, [9分]

[6分]

Tn=b1+b2+?+bn =(30+a1)+(3+a2)+?+(3n 1+an) =(30+3+?+3n 1)+(a1+a2+?+an) 1×?1-3n? = -n2+20n 1-3 3n-1 = -n2+20n. 2
- -

[14分]

批阅笔记

(1)解答本题时,要注意公式应用、答题格式的规范性,否则易 出现错误. (2)在解答本题时有两点容易造成失分: 一是公式不熟悉导致错误; 二是计算错误. 除此以外,解答可转化为等差、等比数列问题时,以下易造成 失分: ①裂项求和时不能正确裂项进而转化为等差、等比数列致错. ②错位相减时不清楚对应项及剩余项致错. ③部分成等差、等比数列时忽略首项或前几项致错.

方法与技巧
1.证明一个数列为等差(等比)数列的常用方法有定义法和等差 (比)中项法. 2.在解有关等差(等比)数列的问题时,常用方程思想及基本量 思想.等差(等比)数列共五个基本量,常知三求二. 3.解决数列有关范围和最值问题时,常使用函数思想和不等式 放缩技巧.

失误与防范
1.求等差数列的通项公式时,切记首项(或前几项)要特别 验证. 2.解决有关等比数列时,注意公比q=1和q≠1的区别.


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