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2015届高三第一次月考数学试卷2


2015 届高三第一次月考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
2 x 1.设集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x 2 ? 2 ? 8 ,则

?

?

?

?





A. A ? B

B. A ? B

C. A ? B ( )

D. A ? B ? ?

2.下列有关命题的叙述错误的是

A.对于命题 P : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则?P为:?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 B.若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题 C. “ x ? 2 ”是 " x2 ? 3x ? 2 ? 0" 的充分不必要条件 D.命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” 3. i 是虚数单位,复数 z ?

2 ? 3i 的虚部是( i



A.- 2i

B.i

C.1

D.-2


4.执行右图所示的程序框图,则输出的结果是( A. 5 B. 7
x

C. 9

D. 11

5.已知函数 f(x)=2 ,f(a)·f(b)=8,若 a>0 且 b>0, 1 4 则 + 的最小值为(

a b

) C. 4 D. 5

A. 2

B. 3

6. 设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x. 当

0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则 f (
A.

23? ) ?( 6



1 2

B.

3 2

C. 0

D. ?

1 2


7. 从 1, 2, 3, 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ( A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

1

8.在极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ? A. 1 B. 2 C. 3

?
3

(? ? R) 的距离是(
D. 4 )



9.已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (2, y ) ,且 a // b ,则 a ? 2b = ( A. (5, ?6) B. (3, 6) C. (5, 4)

D. (5,10)

10.在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l :?

? x ? 1 ? s, ( s 为参数) ? y ? 1? s


和C :?

? x ? t ? 2, ?y ? t
2

( t 为参数) ,若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ? (

A. 1

B. 2

C. 2

D. 3 )

11. (文)直线 a 2 ? 1 x ? 2ay ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 ( A. ? 0, ? 4

?

?

? π? ? ?

B. ? , ? 4 2

?π π? ? ?

C. ? ,

? π 3π ? ?4 4 ? ?

D. ? 0, ? 4

? π? ? ?

? 3π ? ,π? ? ?4 ?

(理)利用独立性检验来考察两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定 “X 与 Y 有关系”的可信程度.

P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 如果 K ≥5.024,那么就有把握认为“X 与 Y 有关系”的百分比为( ) A.25% B.75% C.97.5% D. 2.5% 12.已知 x, y ? R , S ? ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
?

x ? 2 ? x ? 1 , T ? y ? 5 ? y ? 1 ,则 S 2 ? T 2 的最小值为

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c , 3a ? 2b sin A . 13.在△ ABC 中,角 A ,
则角 B 的大小为 __.

18 2 2 2 14.已知 x +2y +3z = ,则 3x+2y+z 的最小值为____________. 17 15. (文)若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? m ? 3 |的解集为 R ,则实数 m 的取值范围

是________.
(理)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率 分布如下图,则 ? 的数学期望为

?
p

0

1

2

3

0.1

0.3

2a

a

16. 已知 f ? x ? 满足

? x?1? f ? x? ? f ? ? ? 1 ? x ? x ? 0,x ? 1? ,则 g ? x ? ? x ? 2 f ? x ? 的值域是________. ? x ?
三、解答题:本大题共 7 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 已知函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) cos x . (1)求 f (

5? ) 的值; 4

(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

3

18. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 已知数列 {an } 与 {bn } ,若 a1 ? 3 且对任意正整数 n 满足 an ?1 ? an ? 2, 数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? an . (1)求数列 {an }{ , bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

19. (本题满分 10 分,分值为 3 分,3 分,4 分) 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到 这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方 图如 下: 分组 频数 10 24 频率 0.25 频率/组 距距

a

[10,15)
[15, 20)

n
p
0.05 1 0 10 15 20 25 30 次数

[20, 25) [25,30)
合计

m
2

M

(1)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (2)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10, 15) 内的人数; (3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人
4

参加社区服务次数在区间 [25, 30) 内的概率.

20. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值. (2)求平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角的正弦值.

21. (本题满分 10 分,每小题 5 分) (1)解不等式 x ? 2 ? 2x ? 3 ? 2 ; m3 n3 (2)已知 m、n 是正数,证明: + ≥m2+n2. n m

5

22. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 已知曲线 f ? x ? ? ln ? x ? 2 ? ? ax 在 x ? 3 处的切线斜率为 2 . (1)求 f ? x ? 的极值; (2) 设 g(x)=f(x)+kx,若 g(x)在 ? 3,??? 上是减函数,求实数 k 的取值范围.

23. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 已知曲线 C1 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极 4

轴建立极坐标系. P 是曲线 C1 上一点, ?xOP ? ? (0 ? ? ? ? ) ,将点 P 绕点 O 逆时针旋转 角 ? 后得到点 Q ,且 OM ? 2OQ , (1)求曲线 C 2 的极坐标方程. (2)求 OM 的取值范围. 点 M 的轨迹是曲线 C 2 .

6


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