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广东省广雅中学2013届高三适应性考试数学文试题


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2013 届广雅中学高三适应性考试文科数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为 U,若命题 p:2011∈A∩B,则命题非 p 为 ( A. 2011∈A∪B B. 201

1?A∪B C. 2011∈ (CU A) ? (CU B) D. )

2011∈ (CU A) ? (CU B)

1 ? 1 1 2.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ,若 a ? f (log 3 0.8) , b ? f [( ) 3 ] , c ? f (2 2 ) ,则( ) 2 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

3.下列命题不正确的是 ... A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直; B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行; C.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直; D.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行

4.若对任意实数 a , 函数 y ? 5sin(

2k ? 1 ? ? x ? ) ? k ? N ? 在区间 ? a, a ? 3? 上的值 5 出现不 3 6 4
) D. 2 或 3

少于4次且不多于8次,则 k 的值为( A. 2 B. 4

C. 3 或 4

5. 吴同学晨练所花时间(单位:分钟)分别为 x,y,30,29,31,已知这组数据的平均数 为 30,方差为 2,则|x-y|的值为 A.1 B.2 C.3 D.4

x2 y2 6. 设 A1、A2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 的 a b
点 P ,使得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( A、 (0, )

1 ) 2

B、 (0,

2 ) 2

C、 ( , 1)

1 2

D、 (

2 , 1) 2

7. 已知两不共线向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,则下列说法不正确的是 ... A. (a ? b) ? (a ? b) C. a ? b ? a ? b ? 2
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B. a 与 b 的夹角等于 ? ? ? D. a 与 b 在 a ? b 方向上的投影相等

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? 3 , ?? 5 ?

3? ? 5 ?

? 3 , ?? 3 ?

3? ? 3 ?

? 5 , ?? 3 ?

5? ? 3 ?

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8. 若对一切 ? ? R,复数 z ? (a ? cos ? ) ? (2a ? sin ? ) i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围 为 A. ? ?

? ?

5 , 3

5? ? 3 ?

B.

C.

D.

9. 在数列{an}中, 对任意 n ? N* , 都有

an+ 2 - an+ 1 = k (k 为常数) 则称{an}为 , “等差比数列” . an+ 1 - an

下面对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0;②等差数列一定是等差比数列;③等比数 列一定是等差比数列;④通项公式为 an = a ? b n + c(a 构0, b 列,其中正确的个数为( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

0, 1) 的数列一定是等差比数

ab ? 0, ?a ? b , ? x 10..任意 a 、 b ? R ,定义运算 a ? b ? ? a ,则 f ( x) ? x ? e 的 ab ? 0. ?? b , ? 1 1 A.最小值为 ? e B.最小值为 ? C.最大值为 ? D.最大值为 e e e

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分。本大题分为必做题和 选做题两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都 必须作 答。 开始 2009 11. 若框图(图 1)所给程序运行的结果 s ? ,那么 s ? 0, k ?1 2010
判断框中可以填入的关于 k 的判断条件是_
2

____.

s?s?

12. 直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取 值范围是 .

1 k (k ? 1)
是 否

k ? k ?1

13. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正三角形,
俯视图是直径为 2 的圆,则此几何体的外接球的表面积为

输出 s

结束

图1

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 前一题的得分 14. (几何证明选讲选做题) 如图, 半径为 2 的⊙O 中,?AOB ? 90? ,D 为 OB 的中点,AD
的延长线交⊙O 于点 E ,则线段 DE 的长为_______.

O
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B

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15. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 M ( 4, 的距离的最小值为 .

?
3

) 到曲线 ? cos(? ?

?
3

) ? 2 上的点

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? 3sin ? x cos ? x ? 3 cos 2 ? x ? 2sin 2 ? ? x ? 正周期为 ? . (1) 求 f ? x ? 的单调递增区间; (2) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a ? 1, b ?

? ?

3 (其中 ? ? 0 )的最小 ?? 12 ? 2

? ?

2 , f ? A? ? 1, 求角 C .

17. (本小题满分 12 分) (1)在一个红绿灯路口,红灯、黄灯和绿灯的时间分别为 30 秒、5 秒和 40 秒。当你到达 路口时,求不是红灯的概率。 (2)已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1. 设集合 P={1, 2,3}和 Q={-1,1, 2,
2

3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ,求函数 y ? f (x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率。

18. (本小题满分 14 分)
2 设 M , N 为抛物线 C : y ? x 上的两个动点,过 M , N 分别作抛物线 C 的切线 l1 , l2 ,与 x轴 分

别交于 A, B 两点,且 l1 ? l2 ? P ,若 | (1)若 |

AB |? 1

AB |? 1,求点 P 的轨迹方程

(2)当 A, B 所在直线满足什么条件时,P 的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论) (3)在满足(1)的条件下,求证: ?MNP 的面积为一个定值,并求出这个定值

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19. (本小题满分 14 分)

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ln x . x 1 (1)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 ( , e )内的解的个数; e ln 2 ln 3 ln n 1 (2)求证: 5 ? 5 ? ? ? 5 ? . 2e 2 3 n
已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ?

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 4, S n ? nan ? 2 ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式 (II) 已知 bn ? an , (n ? 2, n ? N ? ) ,求证:
(1 ? 1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? )?? (1 ? )? ? e . b2 b3 b3b4 b4b5 bn bn ? 1

n(n ? 1) , (n ? 2, n ? N ? ) . 2

21.(本小题满分 14 分) 已 知 曲 线 C : xy ? 1 , 过 C 上 一点 A1 ( x1 , y1 ) 作 斜 率 k1 的 直 线 , 交 曲线 C 于 另 一 点

A2 ( x 2 , y 2 ) ,再过 A2 ( x 2 , y 2 ) 作斜率为 k 2 的直线,交曲线 C 于另一点 A3 ( x3 , y 3 ) ,?,过
An ( x n , y n ) 作斜率为 k n 的直线,交曲线 C 于另一点 An ?1 ( x n ?1 , y n ?1 ) ?,其中 x1 ? 1 ,

kn ? ?

xn ? 1 (x ? N * ) x ? 4 xn
2 n

(1)求 x n ?1 与 x n 的关系式; (2)判断 x n 与 2 的大小关系,并证明你的结论; (3)求证: | x1 ? 2 | ? | x 2 ? 2 | ?...? | x n ? 2 |? 2 .

2013 届广雅中学高三适应性考试

数学试题(文科)参考答案和评分标准
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一、选择题: (每题 5 分,共 50 分)
题号 选项 1 C 2 B 3 C 4 D 5 D 6 D 7 B 8 A 9 B 10 B

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

11. k ? 2010

12. (1, )

5 4

13.

16? 3

14.

3 5 5

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,
16.解:(1) f ? x ? ?

3 3 ? 3 sin ? x ? ?1 ? cos 2? x ? ? 1 ? cos 2 ? ? x ? ? ? ? ? 2 2 12 ? 2 ?

?

3 3 ?? ? sin 2?x ? cos 2?x ? cos? 2?x ? ? ? 1 2 2 6? ?
????2 分

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 1 3? ?
? T ? ? , ? ? 0,? T ? 2? ? ? ,? ? 1 2?

?? ? ? f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 3? ?
故递增区间为 ?k? ?

????4 分

? ?

?
12

, k? ?

5? ? k?Z 12 ? ?

????6 分

(2) f ? A? ? 2 sin ? 2 A ?

? ?

??

? ?1 ? 1 3?

?? ? ? sin ? 2 A ? ? ? 0 3? ?
Q?

?
3

? 2A ?

?
3

?

5? 3

? 2A ?
即A ?

?

?

3

? 0或2A ?
或A ?

?
3

??

6

2? 3

又 a ? b,? A ? B, 故 A ?

2? ? 舍去,? A ? . 3 6

????9 分

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2 a b ? 3? 得 sin B ? , ,?B ? 或B ? ? 2 sin A sin B 4 4

若B ?

?

4 3? ? 若B ? ,则 C ? . 4 12 ?
注意:没有说明 " Q ?

,则 C ?

7? . 12

????12 分

3

? 2A ?

?
3

?

5? "扣两分 3

17. 解: (1)基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯,它们的时间分别为 30 秒、5 秒和 40 秒,设它 们的概率的分别为 P1,P2,P3,

30 30 3 ? 1? ? ??????? 6 分 30 ? 5 ? 40 75 5 2b 2 (2)∵ 函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ? , a
所以不是红灯的概率 P=1- P1= 1 ? 要使 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,
2

当且仅当 a >0 且

2b ? 1, 即2b ? a a

????????????????8 分

若 a =1 则 b =-1, 若 a =2 则 b =-1,1; 若 a =3 则 b =-1,1; ∴ 事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴ 所求事件的概率为
5 1 ? 15 3

????????????????10 分

????????????????12 分

18.解: (1)设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , x1 ) , N ( x2 , x2 )
2 ? l1 : y ? x ?2 x ( x? 1 ) 即 y ? 2 x1 x ? x12 x 1 1

2

2

k ? y? ? 2 x

......① ......②
????????2 分

同理, l2 : y ? 2 x2 x ? x2 令 y?0

2

可求出

A(

x1 x ,0) B( 2 ,0) 2 , 2
????????4 分 ????????5 分

| AB |? 1
| x1 ? x2 |2 ? 4

所以 | x1 ? x2 |? 2
( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 4

由①,②,得 x ?x x0 ? 1 2 2 ,
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y0 ? x1 x2
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2 ∴ y ? x ?1

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????????6 分 ????????8 分

2 (2)当 A, B 所在直线过 C : y ? x 的焦点时

(3)设 MN : y ? kx ? b

又由 y ? x

2

2 得 x ? kx ? b ? 0

所以 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?b

????????10 分

d?
∴P 到 MN 的距离为

|k

x1 ? x2 ? x1 x2 ? b | 2 1? k2
????????12 分

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |
S? 1 1 | MN | d ? | ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 || x1 ? x2 |? 2 2 4



∴为定值 19.解:(Ⅰ 由 f ? x ? ? g ? x ? ,得 k ? ) 令 h( x ) ?

????????14 分

ln x 。 x2

ln x x2

所 以 , 方 程 f ?x ? ? g ?x ? 在 区 间 ? , e? 内 解 的 个 数 即 为 函 数 ?e ?

?1

?

h( x ) ?
h ?( x) ?

ln x ?1 ? , x ? ? , e? 的图像与直线 y ? k 交点的个数。 2 x ?e ?
1 ? 2 ln x 当 h ?( x) ? 0 时, x ? x3

e.

----2 分

当 x 在区间 ? , e? 内变化时, h ?(x) , h(x) 变化如下: e

?1 ?

? ?

x
h ?(x)

1 [ , e) e
+ 增

e
0

( е,е]
- 减

h(x)

1 2e

当x ?

1 1 1 2 时, y ? ?e ;当 x ? e 时, y ? ;当 x ? e 时, y ? 2 。-------------4 分 e 2e e 1 或 k ? ?e 2 时,该方程无解 2e

所以, (1)当 k ?

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(2)当 k ? (3)当

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1 1 或 ? e 2 ? k ? 2 时,该方程有一个解; 2e e
-----------6 分

1 1 时,该方程有两个解。 ?k? 2 2e e ln x 1 ln x 1 1 ,∴ 4 ? ? ? . 2 2e 2e x 2 x x

(Ⅱ 由(Ⅰ ) )知



ln 2 ln 3 ln n 1 ? 1 1 1 ? ? 4 ??? 4 ? ? 2 ? 2 ??? 2 ?. 4 2e ? 2 2 3 n 3 n ?

-------9 分



1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 2 3 n
1? 1 ? 1? ?1 1? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1. n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?



ln 2 ln 3 ln n 1 . ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n
ln 2 ln 3 ln n ln 2 ln 3 ln n ? 5 ??? 5 ? 4 ? 4 ??? 4 . 5 2 3 n 2 3 n
-----14 分





ln 2 ln 3 ln n 1 . ? 5 ??? 5 ? 5 2e 2 3 n

20.

解: (I)当 n ? 3 时, Sn ? nan ? 2 ?
Sn ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) , 2

(n ? 1)(n ? 2) n ?1 ,可得: an ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? ?2, 2 2

? an ? an ?1 ? 1(n ? 3, n ? N? ) .
?4, (n ? 1) an ? ? ? ?n ? 1.(n ? 2, n ? N )
1 ?x ?1 ? ? 0, 1? x 1? x ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,? f ( x) ? f (0),?1n(1 ? x) ? x. 1 1 1 ∵ n ? 2, n ? N? 时, ? 当 ? , bn an n ? 1

???????4 分

(II)设 f ( x) ? 1n(1 ? x) ? x, f ?( x) ?

????????6 分 ????????8 分 ???????9 分 ????????11 分

? ln(1 ? ? ln(1 ?

1 1 1 1 1 , )? ? ? ? bn bn ?1 bn bn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? 1n(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? ) ? ? ??? 3 4 n ?1 n ? 2 3 n ? 2 3 b2 b3 b3b4 bn bn ?1

????????13 分
1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ? 3 e. b2 b3 b3b4 bn bn ?1
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????????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知过 An ( x n , y n ) 斜率为 ?

xn ? 1 的直线为 x ? 4 xn
2 n

y ? yn ? ?

xn ? 1 ( x ? xn ) , x ? 4 xn
2 n

直线交曲线 C 于另一点 An ?1 ( x n ?1 , y n ?1 ) 所以 y n ?1 ? y n = ?

xn ? 1 ( x n ?1 ? x n ) x ? 4 xn
2 n

2分



1 x n ?1

?

x ?1 1 ( x n ?1 ? x n ) , x n ?1 ? x n ≠0, ?? 2n xn xn ? 4 xn xn ? 4 (n ? N * ) xn ? 1
4分

所以 x n ?1 ?

(2)解:当 n 为奇数时, x n ? 2 ;当 n 为偶数时, x n ? 2 因为 x n ? 2 ?

x n ?1 ? 4 x ?2 ? 2 ? n ?1 , x n ?1 ? 1 x n ?1 ? 1

6分

注意到 x n ? 0 ,所以 x n ? 2 与 x n ?1 ? 2 异号 由于 x1 ? 1 ? 2 ,所以 x 2 ? 2 ,以此类推, 当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时, x n ? 2 ;
*

当 n ? 2k (k ? N ) 时, x n ? 2
*

8分

(3)由于 x n ? 0 , x n ?1 ?

xn ? 4 3 ? 1? , xn ? 1 xn ? 1
9分

所以 x n ≥1( n ? 1,2,3 ,?)

所以 | x n ?1 ? 2 |?|

xn ? 2 | xn ? 2 | 1 |? ≤ | xn ? 2 | xn ? 1 xn ? 1 2

10 分

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所以 | x n ? 2 | ≤

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12 分

1 1 1 1 | x n ?1 ? 2 | ≤ 2 | x n ? 2 ? 2 | ≤?≤ n ?1 | x1 ? 2 |? n ?1 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 所以 | x1 ? 2 | ? | x 2 ? 2 | ?...? | x n ? 2 | ≤ 1 ? ? ( ) ? ... ? ( ) 2 2 2 1 ? 2 ? ( ) n ?1 ? 2 2

14 分

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