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2011年上海崇明数学一模试卷


崇明 2011 年第一学期期末质量抽测 初三数学试卷
(测试时间:100 分钟,满分:150 分)
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、 本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步 骤. 3.本次测试可使用科学计算

器. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.如图,下列角中为俯角的是 (A)∠1; (C)∠3; (B)∠2; (D)∠4.

铅 1 2 垂 3 线 4

视线 水平线 视线

(第 1 题图)

2.在 Rt△ ABC 中, ?C ? 90 °,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,下列等式中不一定成立的是 (A) b ? a tan B ; (B) a ? c cos B ; (C) c ?

a ; sin A

(D) a ? b cos A . y

3. 如果二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像如图所示, 那么下列判断中, 不正确的是 (A)a>0; (C)c>0; (B)b<0; (D)abc>0.

O
(第 3 题图)

x

4.将二次函数 y ? x 2 的图像向右平移 1 个单位,所得图像所表示的函数解析式为 (A) y ? x 2 ? 1 ; (B) y ? x 2 ? 1; (C) y ? ( x ? 1) 2 ; (D) y ? ( x ? 1) 2 .

5.如果 AB 是非零向量,那么下列等式正确的是 (A) AB = BA ; (B) AB = BA ; (C) AB + BA =0; (D) AB + BA =0.

6.已知在△ABC 中,点 D、E、F 分别在边 AB、AC 和 BC 上,且 DE∥BC,DF∥AC,那么下列比例式中, 正确的是 (A)

AE DE AE CF ; (B) ; ? ? EC BC EC FB

(C)

DF DE ; ? AC BC

(D)

EC FC . ? AC BC

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.已知点 P 在线段 AB 上,AP=4PB,那么 PB︰AB = ▲ .

8.如果在比例尺为 1︰1 000 000 的地图上,A、B 两地的图上距离是 3.4 厘米,那么 A、B 两地的实际距 离是 ▲ 千米. ▲ ▲ . . ▲ ▲ . . .

9.已知在△ABC 中,∠C=90° ,AC=3,BC=2,那么 cosB= 10.已知抛物线 y ? (a ? 3) x 2 有最高点,那么 a 的取值范围是

11.如果二次函数 y ? (m ? 2) x 2 ? 3x ? m 2 ? 4 的图像经过原点,那么 m= 12.请写出一个对称轴是直线 x=2 的抛物线的表达式,这个表达式可以是 13.已知在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,点 G 为重心,那么 GA = ▲

14.如果两个相似三角形的面积之比是 9∶ 25,其中小三角形一边上的中线长是 12cm,那么大三角形对应 边上的中线长是 ▲ cm.

15.已知在平行四边形 ABCD 中,点 M、N 分别是边 DC、BC 的中点, AB ? a , AD ? b ,那么 MN 关于

a 、 b 的分解式是





16.已知抛物线 y ? x 2 ? 6 x ,点 A(2,m)与点 B(n,4)关于该抛物线的对称轴对称,那么 m+n 的值 等于 ▲ .
6米 A B (第 17 题图)

17.如果在坡度为 1︰3 的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距 离) 是 6 米, 那么斜坡上相邻两树间的坡面距离 AB 等于 (结果保留根号) ▲ 米.

18.在 Rt△ ABC 中,∠ C=90° ,BD 是△ ABC 的角平分线,将△ BCD 沿着直线 BD 折叠,点 C 落在点 C1 处, 如果 AB=5,AC=4,那么 sin∠ ADC1 的值是 ▲ .

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 如图,已知两个不平行的向量 a 、 b .

? 7? ? 3? 先化简,再求作: ( a ? b ) ? ( a ? 2b ) . 2 2
(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)

a
b
(第 19 题图)

20. (本题满分 10 分) 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像经过点(-1,3) 、 (1,3)和(2,6) ,求这个二次函数的解析
2

式,并写出它的图像的顶点坐标和对称轴.

21. (本题满分 10 分) 已知:如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,M 是边 BC 的 中点,DE⊥ AM,垂足为 E. 求:线段 DE 的长. B E M
(第 21 题图)

A

D

C

22. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 如图,在航线 l 的两侧分别有观测点 A 和 B,点 A 到航线 l 的距离为 2 千米,点 B 位于点 A 北偏东 60° 方向且与点 A 相距 10 千米处.现有一艘轮船从位于点 B 南偏西 76° 方向的 C 处,正沿该航线自西向东航 行,5 分钟后该轮船行至点 A 正北方向的点 D 处. (1)求观测点 B 到航线 l 的距离; (2)求该轮船航行的速度(结果精确到 0.1 千米 /小时) . (参考数据: 3 ≈1.73 ,sin 76°≈ 0.97 , B l 北 东

cos 76°≈ 0.24 , tan 76°≈ 4.01 )

C

D A

E

(第 22 题图)

23. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 已知:如图,在△ ABC 中,AB=AC,DE∥ BC,点 F 在边 AC 上,DF 与 BE 相交于点 G,且∠ EDF=∠ ABE. 求证: (1)△ DEF∽ △ BDE; (2) DG ? DF ? DB ? EF .

A

D G

E F

B
(第 23 题图)

C

24. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 3 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 5 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y ? x 2 ? bx ? c (b ? 0) 的图像经过点 A(-1,b) ,与 y 轴相交 于点 B,且∠ ABO 的余切值为 3.

(1)求点 B 的坐标; (2)求这个函数的解析式; (3)如果这个函数图像的顶点为 C,求证:∠ ACB=∠ ABO.

25. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 3 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分) 如图,已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB⊥ BC,AD=11,BC=13,AB=12.动点 P、Q 分别在边 AD 和 BC 上,且 BQ=2DP.线段 PQ 与 BD 相交于点 E,过点 E 作 EF∥ BC,交 CD 于点 F,射线 PF 交 BC 的延长线于点 G,设 DP=x. (1)求

DF 的值. CF
A E P D F

(2)当点 P 运动时,试探究四边形 EFGQ 的面积 是否会发生变化?如果发生变化, 请用 x 的代数式 表示四边形 EFGQ 的面积 S;如果不发生变化,请 求出这个四边形的面积 S. (3)当△ PQG 是以线段 PQ 为腰的等腰三角形时, 求 x 的值.

B

Q
(第 25 题图)

C

G

崇明 2011 年度第一学期期末质量抽测试卷

初三数学参考答案及评分说明
一、选择题: 1.C; 2.D; 3.C; 4.D; 5.A; 6.B. 二、填空题: 7.1∶5; 15. 8.34; 9.

2 13 ; 10.a<-3; 11.-2;12. y ? ( x ? 2) 2 等; 13 . 2 ; 14 . 20 ; 13
17. 2 10 ; 18.

1 1 a ? b ; 16.-4; 2 2

4 . 5

三、解答题: ? 7? ? 3? 19.解: ( a ? b ) ? ( a ? 2b ) ? 2a ? b .…………………………………………………(4 分) 2 2 图略.……………………………………………………………………………………(5 分) 结论.……………………………………………………………………………………(1 分)
?3 ? a ? b ? c , ? 20.解:根据题意,得 ?3 ? a ? b ? c , …………………………………………………(2 分) ? ?6 ? 4a ? 2b ? c . ?a ? 1 , ? 解得 ?b ? 0 , ………………………………………………………………………(3 分) ? ?c ? 2 .

∴所求二次函数的解析式为 y ? x 2 ? 2 ,………………………………………(1 分) 顶点坐标为(0,2) ,……………………………………………………………(2 分) 对称轴为直线 x=0.………………………………………………………………(2 分) 21.解:在矩形 ABCD 中, ∵M 是边 BC 的中点,BC=6,AB=4,∴AM=5.………………………………(2 分) ∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AMB.…………………………………………………(2 分) ∵∠DEA=∠B,∴△DAE∽△AMB.……………………………………………(2 分) ∴

DE 4 DE AB ,即 ? .……………………………………………………(2 分) ? 6 5 AD AM

24 .………………………………………………………………………(2 分) 5 22.解: (1)作 BH⊥l,垂足为点 H,则线段 BH 的长度就是点 B 到航线 l 的距离. 根据题意,得∠ADE=90°,∠A=60°,∴∠AED=30°.…………………(1 分)
∴ DE ? 又∵AD=2,∴AE=4, DE ? 2 3 .……………………………………………(1 分) ∵AB=10,∴BE=6.………………………………………………………………(1 分) ∵∠BEH=∠AED=30°,∴BH=3, EH ? 3 3 .………………………………(1 分) (2)在 Rt△BCH 中,

CH . BH ∴ CH ? 3 tan 76? ? 3 ? 4.01 ? 12.03 .……………………………………………(2 分)
∵∠CBH=76°,∴ tan 76? ? 又∵ DH ? 5 3 ,∴CD=CH-DH=3.38.………………………………………(2 分)

∴v ?

CD 3.38 ? ? 40.56 ? 40.6 .………………………………………………(2 分) 1 t 12

答:该轮船航行的速度约为每小时 40.6 千米. 注:如果由于使用计算器而产生的误差,也可被认可. 23.证明: (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.…………………………………………(1 分) ∵DE∥BC,∴∠ABC+∠BDE=180°,∠ACB+∠CED=180°.……………(1 分) ∴∠BDE=∠CED.………………………………………………………………(1 分) ∵∠ EDF=∠ ABE,∴△ DEF∽ △ BDE.………………………………………(2 分) (2)由△ DEF∽ △ BDE,得

DB DE .………………………………………(1 分) ? DE EF

∴ DE 2 ? DB ? EF .………………………………………………………………(1 分) 由△ DEF∽ △ BDE,得∠BED=∠DFE.………………………………………(1 分) ∵∠GDE=∠EDF,∴△ GDE∽ △ EDF.………………………………………(1 分) ∴

DG DE .……………………………………………………………………(1 分) ? DE DF

∴ DE 2 ? DG ? DF .………………………………………………………………(1 分) ∴ DG ? DF ? DB ? EF .…………………………………………………………(1 分) 24.解: (1)根据题意,得 b=1+b+c.……………………………………………………(1 分) ∴c= -1.…………………………………………………………………………(1 分) ∴B(0,-1) .……………………………………………………………………(1 分) (2)过点 A 作 AH⊥y 轴,垂足为点 H. ∵∠ ABO 的余切值为 3,∴ cot ?ABO ?

BH ? 3 .……………………………(1 分) AH

而 AH=1,∴BH=3. ∵BO=1,∴HO=2.………………………………………………………………(1 分) ∴b=2.……………………………………………………………………………(1 分) ∴所求函数的解析式为 y ? x 2 ? 2x ? 1 .………………………………………(1 分) (3)由 y ? x 2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ,得顶点 C 的坐标为(1,-2) .…………(1 分) ∴ AC ? 2 5 , AB ? 10 , BC ? 2 , AO ? 5 ,BO=1.…………………(1 分)

AC AB BC ? ? ? 2 .………………………………………………………(1 分) AB AO BO ∴△ ABC∽ △ AOB.………………………………………………………………(1 分) ∴∠ ACB=∠ ABO. ………………………………………………………………(1 分) 25.解: (1)在梯形 ABCD 中, DE DP ? ∵AD∥ BC,∴ .……………………………………………………(1 分) BE BQ
∴ ∵EF∥ BC,∴

DE DF .……………………………………………………(1 分) ? BE CF DF 1 ? .……………………………………………………(1 分) CF 2

又∵BQ=2DP,∴

(2)不发生变化.…………………………………………………………………(1 分) 在△BCD 中, ∵EF∥ BC,∴

EF DE 1 ? ? . BC DB 3 13 .…………………………………………………………(1 分) 3

而 BC=13,∴ EF ? 又∵PD∥ CG,∴

PD DF 1 ? ? . CG CF 2

∴CG=2PD. ∴CG=BQ,即 QG=BC=13.……………………………………………………(1 分) 作 EM⊥BC,垂足为点 M. 可求得 EM=8.……………………………………………………………………(1 分) ∴S ?

1 13 208 .…………………………………………………(1 分) ? ( ? 13) ? 8 ? 2 3 3

(3)作 PH⊥BC,垂足为点 H. (i)当 PQ=PG 时,

QH ? GH ?
∴ 2x ?

13 .…………………………………………………………………(1 分) 2

13 ? 11 ? x .………………………………………………………………(1 分) 2

3 .………………………………………………………………………(1 分) 2 (ii)当 PQ=GQ 时,
解得 x ?

PQ ? (11 ? 3x) 2 ? 122 ? 13 .……………………………………………………(1 分)
解得 x ? 2 或 x ?

16 .……………………………………………………………(2 分) 3

综上所述,当△ PQG 是以 PQ 为腰的等腰三角形时,x 的值为

3 16 、2 或 . 3 2


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