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2014《步步高》高考数学第一轮复习13 合情推理与演绎推理


§ 13.2
2014 高考会这样考

合情推理与演绎推理

1.从近几年的高考来看, 高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式

出现,主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论,试题的难度以低、 中档为主;2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合 题. 复习备考

要这样做 1.联系具体实例,体会几种推理的概念和特点,并结合这些方法解决一

些应用问题;2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式,培养分析、解决问题的能力.

1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理. 合情推理的过程

(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简 言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 归纳推理的基本模式:a、b、c∈M 且 a、b、c 具有某属性, 结论:?d∈M,d 也具有某属性. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到 特殊的推理. 类比推理的基本模式:A:具有属性 a,b,c,d; B:具有属性 a′,b′,c′; 结论:B 具有属性 d′. (a,b,c,d 与 a′,b′,c′,d′相似或相同) 2. 演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

(2)“三段论”可以表示为 ①大前提:M 是 P; ②小前提:S 是 M; ③结论:S 是 P. 用集合说明:即若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有 元素也都具有性质 P. [难点正本 疑点清源] 1. 在解决问题过程中,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用.合情推理 的结论可能为真,也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明. 2. 应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理 形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结 论也是错误的. 3. 演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密 性,书写格式的规范性.

1. (2012· 陕西)观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个不等式为________. ... 1 1 1 1 1 11 答案 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 解析 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的 分母相等,且每行右端分数的分子构成等差数列. 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 2. (2011· 山东)设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= x , x+2 x , 3x+4 x (x>0),观察: x+2

f2(x)=f(f1(x))=

f3(x)=f(f2(x))= f4(x)=f(f3(x))= ??

x , 7x+8 x , 15x+16

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 答案 x ?2n-1?x+2n

解析 依题意, 先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式, 1,3,7,15, 由 ?, 可推知该数列的通项公式为 an=2n-1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16,?, 故其通项公式为 bn=2n. 所以当 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))= 3. 给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· 2. b+b 其中结论正确的个数是 A.0 答案 B 1 4. “因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=?3?x 是指数函数(小前提),所以函数 y= ? ? B.1 C.2 D.3 ( ) x . ?2n-1?x+2n

?1?x 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于 ?3?
A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 答案 A

(

)

5. (2012· 江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?, 则 a10+b10 等于 A.28 答案 C 解析 观察规律,归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等 B.76 C.123 D.199 ( )

于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则 a10+b10=123.

题型一 归纳推理 例1 x2 已知函数 f(x)= , 1+x2 1 1 1 (1)分别求 f(2)+f?2?,f(3)+f?3?,f(4)+f?4?的值; ? ? ? ? ? ? (2)归纳猜想一般性结论,并给出证明; (3)求值: 1 1 1 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 011)+f?2?+f?3?+?+f?2 011?. ? ? ? ? ? ? 1 思维启迪:所求函数值的和应该具有规律性,经观察可发现 f(x)+f?x?=1. ? ? 解 x2 (1)∵f(x)= , 1+x2
2

?1?2 2 ?1?= 2 2+ ?2? = 2 2+ 2 1 =1, ∴f(2)+f?2? 1 1+2 1+2 2 +1 1+?2?2 ? ?
1 1 同理可得 f(3)+f?3?=1,f(4)+f?4?=1. ? ? ? ? 1 (2)由(1)猜想 f(x)+f? x?=1, ? ?

?1?2 ? x? 1? x2 证明:f(x)+f? x?= 2+ ? 1 1+x 1+?x?2 ? ?
= x2 1 + =1. 1+x2 x2+1

(3)由(2)可得, 1 1 1 原式=f(1)+?f?2?+f?2??+?f?3?+f?3??+?+?f?2 011?+f?2 011?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 1 4 021 =f(1)+2 010= +2 010= . 2 2 探究提高 本题实质是根据前几项,归纳猜想一般规律,归纳推理是由部分到整体、由 特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越 具有代表性, 那么推广的一般性命题也会越可靠, 它是一种发现一般性规律的重要方法. 已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 3+ 17<2 10, 7.5+ 12.5

<2 10, 8+ 2+ 12- 2<2 10,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数 m, n 都成立的条件不等式________. 答案 若 m>0,n>0,则当 m+n=20 时,有 m+ n<2 10 解析 观察所给不等式可以发现:不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20,不等式 的右边都是 2 10,因此对正实数 m,n 都成立的条件不等式是若 m>0,n>0,则当 m+n =20 时,有 m+ n<2 10. 题型二 类比推理 例2 在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 1 1 1 = + ,那么在四面体 A AD2 AB2 AC2

-BCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由. 思维启迪:①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;②三角形各边的边长与三 棱锥的各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三 角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱 锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象. 解

图① 如图①所示,由射影定理知 AD2=BD· DC,AB2=BD· BC, AC2=BC· DC, ∴ = 1 1 = AD2 BD· DC BC2 BC2 = 2 . BD· DC· BC· BC AB · 2 AC

又 BC2=AB2+AC2, ∴ ∴ AB2+AC2 1 1 1 = = + . AD2 AB2· 2 AB2 AC2 AC 1 1 1 = + . AD2 AB2 AC2

类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想: 四面体 A—BCD 中,AB、AC、AD 两两垂直, 1 1 1 1 AE⊥平面 BCD,则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD

图② 如图②,连接 BE 并延长交 CD 于 F, 连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF?平面 ACD,∴AB⊥AF, 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

1 1 1 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,∴ 2= 2+ 2. AF AC AD ∴ 1 1 1 1 = + + ,故猜想正确. AE2 AB2 AC2 AD2 (1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为

探究提高

①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等,可 以类比到立体几何中,得到类似的结论. 已知命题:若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b (m≠n,m、n∈N*), bn-am 则 am+n= ; 现已知等比数列{bn} (b≠0, n∈N*), m=a, n=b (m≠n, n∈N*), b b m、 n-m 若类比上述结论,则可得到 bm+n=__________. 答案 n-m bn am

解析 等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 bn 和 am, 等差数列中的 bn-am 可 n-m bn bn-am bn 以类比等比数列中的 m,等差数列中的 可以类比等比数列中的 , a am n-m 故 bm+n= n-m bn . am

题型三 演绎推理 例3 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n+2 ·n (n∈N*),证明: S n

?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an. 思维启迪:在推理论证过程中,一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成.大 前提通常省略不写,或者写在结论后面的括号内,小前提有时也可以省略,而采取某种 简明的推理模式. 证明 n+2 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. ∴ Sn+1 Sn S1 =2· ,又 =1≠0,(小前提) n 1 n+1
? ?

?Sn? 故? n ?是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · - =4an (n≥2)(小前提) S n-1 n-1 n 1 又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 探究提高 演绎推理的一般模式为三段论,应用三段论解决问题时,首先应该明确什么 是大前提,小前提,然后再找结论. a 已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1). a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称; ? ? (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 1 1 (1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点?2,-2?对称的点的 ? ? 坐标为(1-x,-1-y). a 由已知得 y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a a a·x a f(1-x)=- 1-x =- =- a a + a a+ a·x a + a ax

ax =- x , a+ a ∴-1-y=f(1-x), 1 1 即函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称. ? ? (2)解 由(1)有-1-f(x)=f(1-x),

即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

归纳不准确致误

典例:(5 分)如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前 12 项,如下表所示.

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

a8 y4

a9 x5

a10 y5

a11 x6

a12 y6 ( )

按如此规律下去,则 a2 009+a2 010+a2 011 等于 A.1 003 B.1 005 C.1 006 D.2 010

易错分析 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的 6 个点的坐标和数列的 对应关系,归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两种:一是归纳时找不准“前 几项”的规律,胡乱猜测;二是弄错奇偶项的关系.本题中各个点的纵坐标对应数列的 偶数项,并且逐一递增,即 a2n=n(n∈N*),各个点的横坐标对应数列的奇数项,正负交 替后逐一递增,并且满足 a4n-3+a4n-1=0(n∈N*),如果弄错这些关系就会得到错误的结 果,如认为当 n 为偶数时 an=n,就会得到 a2 009+a2 010+a2 011=2 010 的错误结论,而选 D. 解析 a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,?,这个数列

的规律是奇数项为 1,-1,2,-2,3,?,偶数项为 1,2,3,?,故 a2 009+a2 011=0,a2 010 =1 005,故 a2 009+a2 010+a2 011=1 005.

答案 B 温馨提醒 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明 和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.

方法与技巧 1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理 能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与 方向. 2. 演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法,是由一般到特 殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. 3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论 一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). 失误与防范 1. 合情推理是从已知的结论推测未知的结论, 发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2. 演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密 性,书写格式的规范性. 3. 合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推 理 A.结论正确 C.小前提不正确 答案 C 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数而是复合函数,所以小前提不正确. ) B.大前提不正确 D.全不正确 ( )

b+m b 7 5 9 8 13 9 2. 由 > , > , > ,?,若 a>b>0,m>0,则 与 之间的大小关系为( 10 8 11 10 25 21 a+m a

A.相等 C.后者大 答案 B

B.前者大 D.不确定

3. 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· c=a· c)”; b)· (b· ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· a c ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· b c 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是 A.1 答案 B 解析 ①②正确;③④⑤⑥错误. 4. 观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函 数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)等于 A.f(x) 答案 D 解析 由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数.因此当 f(x)是偶函数时,其 B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) ( ) B.2 C.3 D.4 ( )

导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) a2+b2 5. 在 Rt△ABC 中,若∠C=90° ,AC=b,BC=a,则△ABC 外接圆半径 r= .运用类 2 比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a,b,c,则其外接球的半径 R =________. 答案 a2+b2+c2 2 a2+b2+c2 .证明: 2

解析 通过类比可得 R=

作一个在同一个顶点处棱长分别为 a,b,c 的长方体,则这个长方体的体对角线的长度 是 a2+b2+c2, 故这个长方体的外接球的半径是 接球的半径. 6. 在平面内有 n(n∈N*,n≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这 n 条直线把平面分成 f(n)个平面区域,则 f(5)的值是______,f(n)的表达式是________. a2+b2+c2 , 这也是所求的三棱锥的外 2

答案 16

n2+n+2 f(n)= 2

n?n+1? n2+n+2 解析 由题意, 条直线将平面分成 n +1 个平面区域, f(5)=16, 故 f(n)= . 2 2 7. 仔细观察下面○和●的排列规律: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●?? 若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前 120 个○和●中,●的个数是 ________. 答案 14 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|??, n?n+3? 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)=2+3+4+?+(n+1)= ,易知 f(14)=119,f(15) 2 =135,故 n=14. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知函数 y=f(x),满足:对任意 a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a), 试证明:f(x)为 R 上的单调增函数. 证明 设 x1,x2∈R,取 x1<x2, 则由题意得 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1). 所以 y=f(x)为 R 上的单调增函数. 1 9. (12 分)f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般 3+ 3 性结论,并给出证明. 解 = f(0)+f(1)= 1 1 + 1 3+ 3 3+ 3
0

1 1 3 1 3 + = + = , 3 1+ 3 3?1+ 3? 3?1+ 3? 3?1+ 3? 3 3 ,f(-2)+f(3)= . 3 3

同理可得:f(-1)+f(2)= 由此猜想 f(x)+f(1-x)=

3 . 3

1 1 证明:f(x)+f(1-x)= x + - 3 + 3 31 x + 3 = 1 3x 1 3x + = x + 3x+ 3 3+ 3·x 3 + 3 3 3? 3+3x?



3+3x 3 = . 3? 3+3x? 3 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质: (1) 1*1=1,(2)(n+1) *1=n*1+1,则 n*1 等于 A.n B.n+1 C.n-1 D.n2 答案 A 解析 由(n+1)*1=n*1+1, 得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2 =?=1*1=1,∴n*1=n. 2. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信息.设定原信息为 a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0D○ +a1,h1=h0D○+a2,D○+运算规则为 0D○+0=0,0D○+1=1,1D○+0=1,1D○+ 1=0.例如原信息为 111,则传输信息为 01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接 收信息出错,则下列接收信息一定有误的是 A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 答案 C 解析 对于选项 C,传输信息是 10111,对应的原信息是 011,由题目中运算规则知 h0 =0D○+1=1,而 h1=h0D○+a2=1D○+1=0,故传输信息应是 10110. 1 3.(2012· 课标全国)设点 P 在曲线 y= ex 上, Q 在曲线 y=ln(2x)上, 点 则|PQ|的最小值为( 2 A.1-ln 2 C.1+ln 2 答案 B 1 解析 由题意知函数 y= ex 与 y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,两曲 2 1 1 线上点之间的最小距离就是 y=x 与 y= ex 上点的最小距离的 2 倍,设 y= ex 上点(x0, 2 2 1 1 y0)处的切线与 y=x 平行,有 ex0=1,x0=ln 2,y0=1,∴y=x 与 y= ex 上点的最小距 2 2 离是 2 (1-ln 2), 2 2 (1-ln 2)×2= 2(1-ln 2). 2 B. 2(1-ln 2) D. 2(1+ln 2) ) ( ) ( )

∴所求距离为

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 给出下列命题: 1 命题 1:点(1,1)是直线 y=x 与双曲线 y= 的一个交点; x 8 命题 2:点(2,4)是直线 y=2x 与双曲线 y= 的一个交点; x 27 命题 3:点(3,9)是直线 y=3x 与双曲线 y= 的一个交点; x ? 请观察上面命题,猜想出命题 n(n 是正整数)为_____________. n3 答案 点(n,n2)是直线 y=nx 与双曲线 y= 的一个交点 x 解析 观察题中给出的命题易知,命题 n 中交点坐标为(n,n2),直线方程为 y=nx,双 n3 n3 曲线方程为 y= .故猜想命题 n:点(n,n2)是直线 y=nx 与双曲线 y= 的一个交点. x x 5. (2012· 湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 22,121,3 443,94 249 如 等.显然 2 位回文数有 9 个,11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,?, 191,202,?,999.则 (1)4 位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N+)位回文数有________个. 答案 90 9×10n 解析 (1)4 位回文数有:

1001,1111,1221,?,1991,10 个 2001,2112,2222,?,2992,10 个 ?? 9009,9119,9229,?,9999,10 个 共 90 个. (2)5 位回文数有:

? ? 12021,12121,12321,?,12921,10个 100 个. ? ?? ? 19091,19191,19291,?,19991,10个?
10001,10101,10201,?,10901,10个 11011,11111,11211,?,11911,10个 ??

? ? 92029,92129,92229,?,92929 100 个 ? ?? ? 99099,99199,99299,?,99999.?
90009,90109,90209,?,90909 91019,91119,91219,?,91919 5 位回文数共 9×102 个,又 3 位回文数有 9×101 个 2n+1 位回文数共 9×10n 个. 6. (2012· 福建)数列{an}的通项公式 an=ncos 答案 3 018 解析 当 n=4k+1(k∈N)时,an=(4k+1)· cos 当 n=4k+2(k∈N)时,an=(4k+2)· cos =-(4k+2)+1=-4k-1, 当 n=4k+3(k∈N)时,an=(4k+3)· cos 当 n=4k+4(k∈N)时,an=(4k+4)· cos =(4k+4)+1=4k+5, ∴a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=1-4k-1+1+4k+5=6. ∴S2 012=a1+a2+a3+a4+a5+?+a2 012 =(a1 +a2 +a3 +a4)+(a5 +a6 +a7 +a8)+?+(a2 018. 三、解答题 7. (13 分)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 a2=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足 bn= n (1)求 a1、d 和 Tn; (2)若对任意的 n∈N*,不等式 λTn<n+8· (-1)n 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 解 (1)在 a2=S2n-1 中,分别令 n=1,n=2, n 1 ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和. anan+1
009 +a2 010 +a2 011 +a2 012)=6×503=3

nπ +1,前 n 项和为 Sn,则 S2 012=________. 2

4k+1 π+1=1, 2

4k+2 π+1 2

4k+3 π+1=1, 2 4k+4 π+1 2

?a2=S1, ?a2=a1, ? 1 ? 1 ? 2 得 即? 2 ? ? ?a2=S3, ??a1+d? =3a1+3d,

解得 a1=1,d=2,∴an=2n-1. 1 1 1 1 1 ∵bn= = = ?2n-1-2n+1?, 2? ? anan+1 ?2n-1??2n+1?

1 1 1 1 1 1 ∴Tn= ?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1? 2? ? = n . 2n+1

?n+8??2n+1? (2)①当 n 为偶数时,要使不等式 λTn<n+8· (-1)n 恒成立,即需不等式 λ< = n 8 2n+ +17 恒成立. n 8 ∵2n+ ≥8,等号在 n=2 时取得, n ∴此时 λ 需满足 λ<25. ②当 n 为奇数时,要使不等式 λTn<n+8· (-1)n 恒成立, ?n-8??2n+1? 8 即需不等式 λ< =2n- -15 恒成立. n n 8 ∵2n- 是随 n 的增大而增大, n 8 ∴n=1 时 2n- 取得最小值-6, n ∴此时 λ 需满足 λ<-21. 综合①②可得 λ<-21, ∴λ 的取值范围是{λ|λ<-21}.


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