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高中数学 2.1.2指数函数及其性质(1)精讲精析 新人教A版必修1


课题:指数函数及其性质(1) 精讲部分
学习目标展示 (1)理解指数函数的概念(2)掌握指数函数的图象(3)掌握指数函数当底数变化时,函 数图象的变化规律(4)会求指数形式的函数的定义域 衔接性知识 1. 分数指数幂如何定义的? 答:a ?
m

m n

n

,a a ( a ? 0 , m ,

n? N , n ? 1)
m

?

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0 , m , n ? N ? , n ? 1) ,

( 1 ) 0 n ? 0(a ? 0 , m , n ? N , n ? 1) ( 2) 0
? m n

?

(a ? 0 , m , n ? N ? , n ? 1) 无意义

2. 比较函数 y ? x2 与 y ? 2x 在形式上的不同? 答:函数 y ? x2 的指数为定值 2 ,而底数是自变量 是自变量 x . 基础知识工具箱 要 点 指 数 函 数 指 数 函 数 的 图 象 指 数 函 数 向 x 轴正负方向无限延伸,函数图象都在 x 轴上方,函数图象都过定点(0,1) 自左向右,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 自左向右,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1
1

x ;函数 y ? 2x 的底数是 2,而指数

定义 一般地,函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指
x

符号

数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R

f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1)
0 ? a ?1

a ?1

的 图 象 特 征 底 不 同 的 两 个 图 象 的 关 系
x (1) y ? a x 与 y ? ( )

1 a

(a ? 0 且 a ? 1) 的图象关于 y 轴对称

y ? ax y ? bx y ? cx x y?d
几个不同的指数函数的图象规律: 在第一象限内,按逆时针方向,底数从少到 大排列,即 a ? b ? 1 ? c ? d ? 0

典例精讲剖析 例 1. 下列函数中,哪些是指数函数? (1) y ? 4 x ;(2) y ? x4 ;(3) y ? ? 4 x ;(4) y ? (? 4)x ;(5) y ? ? x ;(6) y ? 4x2 ;
x (7) y ? x x ; ( 8 ) y ? (2a ? 1) ( a ?

1 , a ? 1) 2

[解析] (1)、(5)、(8)为指数函数;(2)中底数 x 不是常数,而 4 不是变数;(3)是-1 与 指数函数 4x 的乘积;(4)中底数-4<0,∴不是指数函数;(6)中指数不是自变量 x,而是 x 的函数;(7)中底数 x 不是常数.它们都不符合指数函数的定义 例 2.求列函数的定义域: ( 1 ) f ( x) ? 3
3 x ?2

(2) f ( x ) ? ( )x

1 2

1

( 3 ) f ( x) ?

1 1 ? 2x

解: ( 1 )使函数有意义,得 3x ? 2 ? 0 , ? x ?

2 2 ,所以 f ( x ) 的定义域为 [ , ? ? ) ; 3 3

( 2 )使函数有意义,得 x ? 0 ,所以 f ( x ) 的定义域为 (?? , 0)? (0 ,? ? ) ;
x x ( 3) 使函数有意义, 得 1? 2 ? 0 , 由 y ? 2 的图象, 可知,x ? 0 , 所以 f ( x ) ? 2x ? 1 ,

的定义域为 (?? , 0). 例 3. ( 1 )指数函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (2 ,
2 x

1 ) ,求 f (? 1) , f (3) 的值; 2

(2)若 y ? (k ? 3) ? (2k ?1) 是指数函数,求实数 k 的值 .
2

解: ( 1 )设 f ( x) ? ax ( a ? 0 , 且 a ? 1) ,则

1 1 2 2 x ,所以 f ( x) ? ( ) ? 指数函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (2 , ),? a 2 ? ,即 a ? 2 2 2 2

? f (?1) ? (

2 ?1 1 2 2 ) ? ? 2 , f (3) ? ( )3 ? 2 4 2 2 2

?k ? ?2 ?k 2 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ( 2 )由指数函数的定义,得 ?2k ? 1 ? 0 ? ?k ? ?k ?2 2 ? 2k ? 1 ? 1 ? ? ? ?k ? 1
例 4. ( 1 )下图分别是函数①y=a ;②y=b ;③y=c ;④y=d 的图象,a、b、c、d 4 3 1 分别是下列四数: 2、 、 、 中的一个, 则相应的 a、 b、 c、 d 应是下列哪一组 3 10 5 4 1 3 A. , 2, , 3 5 10 4 3 1 B. 2, , , 3 10 5 3 1 4 C. , , 2, 10 5 3
x ?3
x x x x

(

)

1 3 4 D. , , , 2 5 10 3 .

( 2 )无论 a 取何值 ( a >0 且 a ≠ 1) ,函数 y ? 2 ? a
x

的图象恒过定点

解: ( 1 )法一、指数函数 y=a 的图象从第一象限看,逆时针方向底数 a 依次从小变 大,故选 C. 解法二:直线 x=1 与函数的图象相交, 4 3 1 从上到下依次为 c>d>a>b,而 2> > > ,故选 C. 3 10 5 ( 2 )由指函数 y = a ( a >0 且 a ≠ 1) 过定点 (0,1) 知,
x

x + 3 = 0 时, a x ?3 ? 1 .
∴此函数图象过定点 ( - 3,3) .

精练部分 A 类试题(普通班用) x 1. 在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=ax 与指数函数 g(x)=a 的图象可能是( )

[答案] B

3

[解析] 由指数函数的定义知 a>0,故 f(x)=ax 的图象经过一、三象限,∴A、D 不正确.若

g(x)=ax 为增函数,则 a>1,与 y=ax 的斜率小于 1 矛盾,故 C 不正确.B 中 0<a<1,故 B
正确. 2. 指数函数 y ? f ( x) 的图象过点 (?1 , ) ,则 f [ f (2)] ? ________. [答案] 16 [解析]设 f ( x) ? a x (a ? 0 , 且 a ? 1) , ∵ f ( x ) 图象过点 (?1 , ) , ∴a ? 2, ∴ f (x ) ? 2 ∴ f [ f (2)] ? f (22 ) ? f (4) ? 24 ? 16 3. 函数 f ( x) ? (3a ? 2) 则 x0 ? ,b ?
3 x ?4

1 2

1 2

x



? b (a ?

2 , a ? 1) 的图象过定点 ( x0 , 3) , 3

[解析] 令 3x ? 4 ? 0 ,得 x ?

4 4 ,所以当 x ? 时, (3a ? 2) 3 3

3 x ?4

? 1,所以 x0 ?

4 , 3

1 ? b ? 3 ,所以 b ? 2
4. 如果函数 y ? (a ? 1)
x ? 1 2

的定义域为(0,+∞)那么 a 的取值范围是( C. a ? 1 D. a ? 1

)

A. a ? 0 [答案] C [解析]

B. 0 ? a ? 1

y ? (a x ? 1)

?

1 2

?

1 a ?1
x

x x ,因此 a ? 1 ? 0 ,∴ a ? 1 ,又∵ x ? 0 及指数函数的

图象,∴ a ? 1 ,故选 C. 5. 当 x ? 0 时,指数函数 y ? (8a ? 2) 的图象在指数函数 y ? (2a) 的图象的上方,求实数
x x

a 的取值范围
[解析] 由指数函数的图象的变化规律,得

1 ? ?a ? 4 ? ?8a ? 2 ? 0 ?a ? 3 ?8a ? 2 ? 1 ? 8 ? 3 1 1 ? ? ? ?a ? 0 ? a ? 且 a ? 且 a ? ? 2a ? 0 8 2 3 ? 2a ? 1 ? 1 ? ?a ? 2 ?8a ? 2 ? 2a ? ? ? 1 ?a ? 3 ?
4

故实数 a 的取值范围为 {a | a ?

3 1 1 且a ? 且a ? } 8 2 3

B 类试题(3+3+4) (尖子班用) x 1. 在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=ax 与指数函数 g(x)=a 的图象可能是(

)

[答案] B [解析] 由指数函数的定义知 a>0,故 f(x)=ax 的图象经过一、三象限,∴A、D 不正确.若

g(x)=ax 为增函数,则 a>1,与 y=ax 的斜率小于 1 矛盾,故 C 不正确.B 中 0<a<1,故 B
正确. 2.函数 y=a (0<a<1)的图象是(
|x|

)

[答案] C

ax (x≥0) ? ? [解析] y=??1?x ? ? (x<0) ? ??a?
∵0<a<1,∴在[0,+∞)上单减,在(-∞,0)上单增,且 y≤1,故选 C. 1 [点评] 可取 a= 画图判断. 2 3. 如果函数 y ? (a ? 1)
x ? 1 2

的定义域为(0,+∞)那么 a 的取值范围是( C. a ? 1 D. a ? 1

)

A. a ? 0 [答案] C [解析]

B. 0 ? a ? 1

y ? (a x ? 1)

?

1 2

?

1 a ?1
x

x x ,因此 a ? 1 ? 0 ,∴ a ? 1 ,又∵ x ? 0 及指数函数的

图象,∴ a ? 1 ,故选 C. 4.指数函数 y ? f ( x) 的图象过点 (?1 , ) ,则 f [ f (2)] ? ________.
5

1 2

[答案] 16 [解析]设 f ( x) ? a x (a ? 0 , 且 a ? 1) , ∵ f ( x ) 图象过点 (?1 , ) , ∴a ? 2, ∴ f (x ) ? 2 ∴ f [ f (2)] ? f (22 ) ? f (4) ? 24 ? 16 5.函数 f ( x) ? (3a ? 2) 则 x0 ? ,b ?
3 x ?4

1 2

x



? b (a ?

2 , a ? 1) 的图象过定点 ( x0 , 3) , 3

[解析] 令 3x ? 4 ? 0 ,得 x ?

4 4 ,所以当 x ? 时, (3a ? 2) 3 3

3 x ?4

? 1,所以 x0 ?

4 , 3

1 ? b ? 3 ,所以 b ? 2
6.函数 f ( x) ? ( x ? 5) ? ( x ? 2)
0 ? 1 2

的定义域是

(用区间表示)

[解析] 由题意得: ?

?x ? 5 ? 0 ? x ? 2 且 x ? 5 所以 f ( x) 的定义域为 (2 , 5) ? (5 , ? ?) . ?x ? 2 ? 0

1 x -x 1 x -x 7.已知 f(x)= (a -a ),g(x)= (a +a ), 2 2 求证:[f(x)] +[g(x)] =g(2x). 1 x 1 x -x 2 1 1 2x -2x 2 2 -x 2 2x -2x [解析] f (x)+g (x)= (a -a ) + (a +a ) = (2a +2a )= (a +a )=g(2x) 4 4 4 2 所以 [f(x)] +[g(x)] =g(2x) 8.当 x ? 0 时,指数函数 y ? (8a ? 2) x 的图象在指数函数 y ? (2a) x 的图象的上方,求实数
2 2 2 2

a 的取值范围
[解析] 由指数函数的图象的变化规律,得

1 ? ?a ? 4 ? ?8a ? 2 ? 0 ?a ? 3 ?8a ? 2 ? 1 ? 8 ? 3 1 1 ? ? ? ?a ? 0 ? a ? 且 a ? 且 a ? ? 2a ? 0 8 2 3 ? 2a ? 1 ? 1 ? ?a ? 2 8 a ? 2 ? 2 a ? ? ? ? 1 ?a ? 3 ?
故实数 a 的取值范围为 {a | a ?

3 1 1 且a ? 且a ? } 8 2 3

6

9.已知 f ( x) ? 2x , g( x) ?

7 x ? 1 ,在同一坐标系中画出这两个函数的图象.试问在哪个 3

区间上, f ( x ) 的值小于 g ( x) ?哪个区间上, f ( x ) 的值大于 g ( x) ? [解析] 在同一坐标系中,画出函数 f ( x) ? 2x 与 g( x) ? 数图象的交点为 (0 , 1) 和 (3 , 8) ,

7 x ? 1 的图象如图所示,两函 3

由图象可知, 当 x ? (?? , 0) 或 x ? (3 , ? ?) 时, f ( x) ? g( x) , 当 x ? (0 , 3) 时, f ( x) ? g( x) .
| x ? 2| 10.已知函数 f ( x ) ? ( ) ①作出其图象;②试由图象指出 f ( x ) 的其单调区间与有最大

1 2

值. [解析] ①

②由图象可知, f ( x ) 的增区间(-∞,-2];减区间[-2,+∞)

f ( x) 的最大值 [ f ( x)]max ? f (?2) ? 1

7


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