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2.1.1合情推理-归纳推理与类比推理


§1 归纳推理与类比推理

合情推理
--归纳推理

【引例1】观察下面的三角阵:

1
1 1 1 2 1

1
1 1 4

3 3 1
6 4 1 45 10 1
??

10 45

/>??

试找出相邻两行之间的关系

引例2、哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥 德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两 个素数(只能被1和它本身整除的数)之和。如6= 3+3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质 数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质 数之和。

歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个质奇 数之和”
3+7=10,3+17=20,13+17=30, 改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, ?, 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程:



【引例3】 已知数列 { an } , a1 = 1 ,

1 1 ) (n ? 2) 且 an ? (an ?1 ? 2 an ?1
猜测数列的通项公式。

【归纳推理】 从特殊到一般;结论只是猜测
具 体 问 题
实 验 观 察 经 验 归 纳

猜 想 结 论

证 明

这种由某类事物的部分对象具有某些特征 ,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概栝出一般结 论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

例1:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1

(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式 .

an = 1 + an

【思考下列问题】
1、设 an 表示 n 条直线交点的最多个数,



n( n ? 1) an =________ 2

4 条直线相交 2 条直线相交 3 条直线相交 最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6个交点

2、设 an 表示第 n 个图形中点的个数
n(n ? 1) ? 1 ? n ? n ? 1 则 an =_______
2

? (1)

? ? ? (2)

? ? ?? ? ? ? (3) ? ? ?? ? ?? ? ???? ?? ? ? ? ? ?? ?
(5)

? ? ? ??? ? ??? ? ? ? (4)

3、下面是一系列有机物的结构简图,图 中的小黑点表示原子,两黑点间的短线 表示化学键,则第n个图有4 _____ n ? 2原子, 5n ? 1 个化学键 有______

? ?

?

? ?

? ?

?

? ?

?

? ?

? ?

?

? ?

?

? ?

?

? ?

?
(1)

?
(2)

?

?

?
(3)

?

例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F)
4 5 5

顶点数
(V) 4
5 6

棱数(E)
6 8 9

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F)
4 5 5 6 6 8

顶点数
(V) 4
5 6 6 8 6

棱数(E)
6 8 9 10 12 12

猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

欧拉公式
顶点数
(V) 4
5 6 6 8 6 10

面数(F)
4 5 5 6 6 8

棱数(E)
6 8 9 10 12 12

7 7
9

15 15
16

10 9

思考?在德国不莱梅举行的第48届时乒赛期 间,某商场橱窗用用相同的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥” 型的展品,其中第一堆只有一 层,就 1 个球 ,第2,3,4…堆最底层(第1层)分别 按下图所示方式固定摆放,从第2层开始,每层 的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第1层就 放1个乒乓球,以f(n)表示第n堆球的总数,则 f(3)=_____,f(n)=____

例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上 . 1. 每次只能移 动1个金属片; 2.较大的金属 片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从 1号针移到 3号针, 最少需要移动多少次 ? . 解 ;设an表示移动 n 块金属片时的移动次数 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3

2

1

3

解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15

2

1

3

【合情推理】
_____类比推理

地球 火星 相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
地球上有生命 火星上可能有生命

上述推理是怎样的一个过程呢?(步骤)

1.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.

科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
2.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇. 4、利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.

若 a , b 是平面内两个不共线的向量,则 平面内的任意一个向量 p 都可以表示为: p =x a +y b (平面向量基本定理)

推广到空间,相应的定理是:
若 a , b ,c是空间三个不共面的向量,则 空间的任意一个向量 p 都可以表示为: p =x a +y b+z c (空间向量基本定理)

在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2) 两点之间的距离 公式为: |AB|= ( x ? x )2 ? ( y ? y ) 2
1 2 1 2

推广到空间,相应结论是:
在空间直角坐标系中,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) 两点之间的距离 公式为: |AB|= ( x ? x ) 2 ? ( y ? y ) 2 ? ( z ? z ) 2
1 2 1 2 1 2

1、类比推理: 在两类不同事物之间进 行对比,找出若干相同或相似点之后,推测 在其他方面也可以存在相同或相似之处的 一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类 比) 2、类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.

【引例1】

若 a , b? R

?

a?b , 则 ? 2

ab

若 a , b , c ? R , 你能得到什么结论?
若 a , b , c? R
?

?

a?b?c , 则 ? 3

3

abc

【例1】已知三角形的面积为

1 S ? ( a ? b ? c )r 2

其中a、b、c 为三角形边长,r为内切

圆的半径。利用类比推理写出四面体 1 的 V ? ( s1 ? s2 ? s3 ? s4 )r 3 体积公式。 【分析】 面 积 体 积
边 长 面 积 内切球

内切圆

例1:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.
A B

直四面体

c2=a2+b2
c

a


s1 o s2 s3
B

b


2 △ABC 2

C
2 2

猜想: S

=S

△AOB+S △AOC+S △BOC

【练习】
1、① tan10 tan20 ? tan20 tan60 ? tan60 tan10 ? 1
0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 tan 5 tan 10 ? tan 10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ?1 ②

推测 tan80 tan _____ _____ 12? ? tan 12? tan700 ? tan700 tan80 ? 1
推测: tan15? tan 10??tan 10? tan65? ? tan65? tan15? ? 1

2、在等差数列{an}中,若 a10 = 0,则

a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19) 相应地,在等比数列{bn}中,若 b9 = 1,
则_________________.

b1b2b3 ?bn ? b1b2b3 ?b17? n

( n ? 17)

练习2
猜一猜:
回顾等差数列的性质 1.an = am+ (n-m)d

相应的,

等比数列有哪些性质?
1. an = am qn-m 2. 等比数列{an}, 若 k+l=p+q 则 ak al = a p aq

2. 等差数列{an}, 若 k + l = p + q 则 ak + al = ap + aq

在三角形ABC中,?C= ? ,

三边分别为 a , b , c .
?C=900, 则 c
2

=a

2

+b

2

类比可得:
?C<900, 则 c ?C>900, 则 c
2 2

2 2

<a >a
2

2 2

+b +b

2 2

?c ? a ? b ? 2ab cos?

例3:(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢16进1的计算制,采用数字09和字母A-F共16个计数符号,这些符 号与十进制的数的对应关系如下表;
十六进位 十进位

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

十六进位
十进位

8 8





10


11


12


13


14


15

例如用16进位制表示E+D=1B,则 A×B=( A ) A.6E B.72 C.5F D.0B

利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3

与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2

常见的类比知识点:
①平面几何与立体几何类比:如边与面, 多边形与多面体,线线角与面面角,线 段长与面积,面积与体积;
②等差数列与等比数列类比: ③等式与不等式类比; ④指数函数与对数函数类比;

⑤有理数与无理数类比。

小结:

【类比推理】

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这 些特征的推理称为类比推理(简称类比)。

类比推理是由特殊到特殊的推理
主要步骤(1)首先,找出两类对象之间 可以确切表述的相似特征;

(2)然后,用一类对象的已知 特征去推测另一类对象的特征,从而得出 一个猜想; (3)最后,检验这个猜想。

1、由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:
B A' P B'
图(1)

S ?PA?B ? PA? ? PB ? ? , S ?PAB PA ? PB

VP ? A?B ?C ? ? VP ? ABC
A'

.
B C C'

A
P B'
图(2)

A

VP ? A / B / C / VP ? ABC

PA/ ? PB / ? PC / ? PA ? PB ? PC

【例】如图,已知O是?ABC内任意一点,

连接AO、BO、CO,并延长交对边
OA? OB? OC ? ? ? ?1 于A?、B?、C?,则 AA? BB? CC ?

其证明方法常用面积法。 通过类比推理,可以猜测怎样的结论?

S ?OBC S ?OAC S ?OAB S ?ABC ? ? ? ?1 S ?ABC S ?ABC S ?ABC S ?ABC
C? B A? O

A B?

C

OA OB OC OD ? ? ? / / / / AA BB CC DD VO ? BCD VO ?CDA VO ? DAB VO ? ABC ? ? ? ? V A? BCD VB ? CDA VC ? DAB VC ? ABC V A? BCD ? ?1 V A? BCD
B
C

/

/

/

/

A
D/
C/ B/ O

D

A/


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