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2015-2016学年人教A版选修2-1 求角 学案


高二 数学学科学案

【学习目标】求异面直线所成的角,求线面角,求面面角。 【学习重难点】利用向量求异面直线所成的角,求线面角,求面面角 【问题导学】 1.两条异面直线所成角的求法 (1) 向量求法:设直线 a, b 的方向向量为 a, b ,其夹角为,直线 a, b 的夹角为 ? ,则 有 . (2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得

,但二者不完全 相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a ,平面的法向量为 v ,直线与平面所成的角为 ? , a 与 v 的夹角 为,则有 3.二面角的求法: (1) AB 与 CD 的夹角(如图①所示). .

(2)设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补 角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示). 【实践演练】 典型例题 例 1、 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E , F 分别是 A1 D1 , A1C1 的中点. 求异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.

例 2、正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为,侧棱长为 2a ,求 AC1 与侧面 ABB1 A1 所成

的角.

例 3、四棱锥 P ? ABCD 中, PB ⊥底面 ABCD , CD ? PD ,底面 ABCD 为直角梯形,

AD // BC , AB ? BC , AB ? AD ? PB ? 3 , 点 在 棱 PA 上 , 且 PE ? 2 EA , 求 二 面 角
A ? BE ? D 的余弦值.

基础练习 1.若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150°,则 l1 与 l2 这两条异面直线所 成的角等于( A.30° ) B.150° C.30°或 150° D.以上均错

2.若直线 l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于 150°,则直线 l 与平面所成的角等 于( ) A.30° B.60° C.150° D.以上均错

3.直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面内,直角顶点 C 在内的射影是 C ? ,则△ ABC ? 是( ) A.直角三角形 C.锐角三角形 B.钝角三角形 D.各种情况都有可能

4.如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N , P 分别是棱 CC1 , BC , A1 B1 上的

点,若 ?B1MN ? 90? ,则 ?PMN 的大小是(

)

A.等于 90°

B.小于 90°

C.大于 90

D.不确定

5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点为 BB1 的中点,则平面 A1 ED 与平面 ABCD 所 成的锐二面角的余弦值为( A. 1 2 2 B. 3 ) C. 3 3 D. 2 2

6.若两个平面 ? , ? 的法向量分别是 n ? (1,0,1), v ? (?1,1,0) .则这两个平面所成的锐二 面角的度数是________. 7.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M , N 分别是 DD1 , B1C1 的中点,是棱 AB 上的动点, 则 A1M 与 PN 所成的角是________. 8.已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长为 2,底面的边长为 3,是 SA 的中点,求异面 直线 BE 和 SC 所成的角.

9. 如 图 所 示 , 已 知 直 角 梯 形 ABCD , 其 中 AB ? BC ? 2 AD , AS ⊥ 平 面

ABCD , AD // BC , AB ? BC ,且 AS ? AB ,求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 ? 的余弦.

10.若 PA ⊥平面 ABC , AC ? BC , PA ? AC ? 1, BC ? 值. ??

求二面角 A—PB—C 的余弦 2,

拓展提升 11.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2,E、F 分别是 线段 AB、BC 上的点,且 EB=FB=1, (1)求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值.

12.正三棱锥 O—ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,且长度均为 2.E、F 分别是 AB、 AC 的中点,H 是 EF 的中点,过 EF 的一个平面与侧棱 OA、OB、OC 或其延长线分别相交于 A1、 3 B1、C1,已知 OA1= . 2 (1)求证:B1C1⊥平面 OAH; (2)求二面角 O—A1B1—C1 的余弦值.

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