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【志鸿优化设计】(浙江版)2016高考数学二轮复习 第三部分 题型专项训练8 数列(解答题专项)


题型专项训练 8
n-1

数列(解答题专项)

1.已知数列{an},{bn}满足下列条件:an=6·2 -2,b1=1,an=bn+1-bn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)比较 an 与 2bn 的大小.

2.(2015 浙江宁波模拟,文 20)已知等比数列{an}满足 2a1+a3=3a2,

且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an+log2,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn-2 +47<0 成立的正整数 n 的最小值.
n+1

3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=,设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:≤Tn<1.

1

4.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2,a3,a5 成等比数列,S6=45. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn. (2)令 pn=,是否存在正整数 M,使不等式 p1+p2+…+pn-2n≤M 恒成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存 在,请说明理由.

2

5.已知数列{an}满足+…+,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n∈N ,都有+…+<4.
*

*

6.已知数列{an}中 a1=1,an+1-Sn=n+1,n∈N .{an}的前 n 项和为 Sn. (1)证明:数列{an+1}是等比数列; (2)对一切 n∈N ,若 p(an+1)>3n-1 恒成立,求实数 p 的取值范围.
*

*

答案

题型专项训练 8 1.解:(1)由题意知,bn+1-bn=6·2 -2,
n-1

数列(解答题专项)

bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) =1+(6×1-2)+(6×2-2)+…+(6×2n-2-2)=1+6×(1+2+…+2n-2)-2(n-1) =1+6·-2(n-1)=6·2n-1-2n-3.

3

所以数列{bn}的通项公式为 bn=6·2 -2n-3. (2)2bn-an=6·2 -4(n+1)=3·2 -4(n+1). 设 cn=,则-1=-1=-1=>0,所以 cn+1>cn,即{cn}为递增数列. 当 n>2 时,因为 cn>c2=1, 所以 3·2 >4(n+1). 于是 2bn-an>0,即 an<2bn. 易知当 n=1 时,an>2bn;当 n=2 时,an=2bn. 2.解:(1)∵∴q=1(舍)或 q=2.
n n-1 n

n-1

∴an=2n.
(2)由(1)可知 bn=2 -n,Sn=2 -2-, 则 Sn-2 +47=45-<0, 即 n +n-90>0,解得 n>9. 又 n∈N ,所以 n=10. 3.(1)解:因为 Sn=2an-n,则 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2), 两式相减得 an=2an-2an-1-1, 即 an=2an-1+1. 又 an+1=2(an-1+1),a1+1=2, 所以 an+1=(a1+1)·2 =2 .所以 an=2 -1. 故数列{an}的通项公式为 an=2 -1. (2)证明:因为 bn=,则 Tn=b1+b2+b3+…+bn=+…+=1-.因为数列{Tn}是递增数列,所以≤Tn<1. 4.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知,得=a2a5, 即(a2+d) =a2(a2+3d),得 a2=d. 由 S6=45,得 2a2+3d=15, 从而可得 a2=d=3,an=3n-3,Sn=. (2)∵pn==2+,
2 2

n

n+1

n+1

*

n-1

n

n

n

∴p1+p2+p3+…+pn-2n=2+…+=2-.

4

由 n 是整数,可得 p1+p2+p3+…+pn-2n<2. 故存在最小的正整数 M=2,使不等式 p1+p2+…+pn-2n≤M 恒成立. 5.(1)解:因为+…+, 当 n=1 时,=1,即 a1=1. 当 n≥2 时,+…+,作差,得=n ,an=n,且 a1=1 也满足此式.故数列{an}的通项公式为 an=n. (2)证明:由(1)得,因为 2 -(n+1)=2 -n+(2 -1)>2 -n≥2-1>0,所以>0. 又≤0,即, 所以+…++…+. 设 S=+…+, 由错位相减法,得 S=1++…+,即 S=2<4. 所以+…+<4. 6.(1)证明:由 an+1-Sn=n+1 得 an-Sn-1=n(n≥2),两式相减得 an+1-an-(Sn-Sn-1)=1,即 an+1=2an1,an+1+1=2(an+1)(n≥2). 由 S1=a1=1 及 a2-S1=2,得 a2=3,满足 a2+1=2(a1+1),所以数列{an+1}是以 a1+1=2 为首项,2 为公比 的等比数列. (2)解:由(1)得 an+1=2 ,an=2 -1. 由 p(an+1)>3n-1,得 p>恒成立. 令 f(n)=,n∈N , 则 f(n+1)-f(n)=.
* n n n+1 n n n
3

∴当 n=1 时,有 f(n+1)>f(n);
当 n≥2 时,有 f(n+1)<f(n).

∴当 n=2 时,[f(n)]max=. ∴p>,即 p∈.

5


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