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2010全国高中数学联赛模拟试题7

时间:2010-07-14


2010 全国高中数学联赛模拟试题(七)
(选题人:李潜)

第一试
一,选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1,a,b 是异面直线,直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角,则这样的 直线 c 有 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条 2,已知 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若 f(x)g(x)=x2+2x+3, 则 f(x)+g(x)= (A)x2+2x3 (B)x2+2x3 (C)x22x+3 (D)x22x+3 2π 3,已知△ABC,O 为△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA= ,则使 3 AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO) 成立的 m 的最大值是 (A)2 (B)
5 3

(C ) 3

(D)

3 2

4,设 x=0.820.5,y=sin1,z=log3 7 则 x,y,z 的大小关系是

(A)x<y<z

(B)y<z<x

(C)z<x<y

(D)z<y<x

101995 5,整数 95 的末尾两位数字是 10 + 3
(A)10 (B)01 (C)00 (D)20 6,设(a,b)表示两自然数 a,b 的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为 (A)1 (B)2 (C )1 或 2 (D)可能大于 2

二,填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1,若 f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1,则 f( 2 1)=

.

2,设 F1,F2 是双曲线 x2y2=4 的两个焦点,P 是双曲线上任意一点,从 F1 引∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹方程是 . 3,给定数列{xn},x1=1,且 x n +1 =

3xn + 1 3 xn

,则 x1999x601=

.

4, 正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 CD 中点,F 是 BB1 中点,则 四面体 AD1EF 的体积是 .

y ≥ x 1 5,在坐标平面上, 由条件 所限定的平面区域的面积是 y ≤ 2 x + 3

.

6,12 个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组 4 人,不同组坐不同 的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至 少需要 周.

三, (20 分)
已知椭圆 x2 y2 + = 1 过定点 A(1,0), 且焦点在 x 轴上, 椭圆与曲线|y|=x a2 b2

的交点为 B,C.现有以 A 为焦点,过 B,C 且开口向左的抛物线,抛物 2 线的顶点坐标 M(m,0).当椭圆的离心率 e 满足 < e 2 < 1 ,求实数 m 的 3 取值范围.

四, (20 分)
a,b,c 均为实数,a≠b,b≠c,c≠a.

证明:

a + b 2c + b + c 2a + c + a 2b 3 ≤ <2 . 2 ab + bc + ca

五, (20 分)
已知 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i)a,b,c,d 均大于 0; (ii)对于任一个 x∈{2, 1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数 x,f(x)是否为整数.

第二试
一, (50 分)
设 K 为△ABC 的内心,点 C1,B1 分别为边 AB,AC 的中点,直线 AC 与 C1K 交于点 B2,直线 AB 于 B1K 交于点 C2.若△AB2C2 于△ABC 的面积相等,试求∠CAB.

二, (50 分)
5 5 求证:f(x)为一整系数多项式,且 f(x)不能分解为两个至少为一次的 整系数多项式之积.

设 w = cos

π

+ i sin

π

,f(x)=(xw)(xw3)(xw7)(xw9).

三, (50 分)
在圆上有 21 个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过 120°的弧的条数的最小值.

参考答案
第一试
一,选择题: 题号 答案 二,填空题: 1,4; 3,0;
5,16;

1 D

2 A

3 C

4 B

5 C

6 C

2,x2+y2=4; 5 4, ; 24 6 ,5 .

3+ 2 . 三, 1, 4

四,证略. 五,是.

第二试
一,60°; 二,证略. 三,100.

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