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高考专题复习:空间向量与立体几何(王业康)2011.4

时间:2013-07-07


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上海戴氏教育集团宜春校区一对一专项辅导 高考专题——空间向量与立体几何
整理:吴小宾 时间:2013 年 4 月 16 日

专题要点
1.利用向量证明平行问题 根据实数与向量积的定义: a // b ? a ? kb (k ? R, k ? 0) 。 (1)直线与直线的平行:设 a, b 是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为 a, b ,那么 a // b ? a // b 。

? ?

?

?

? ?

?

?

(2)平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行:设两个不重合的平面 ? , ? 的法向量分别为 a, b , 那么 ? // ? ? a // b 。 ? (3)直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直:设直线 l 在平面 ? 外, a 是 l 的一 个方向向量, b 是平面 ? 的一个法向量,那么 l // ? ? a ? b ? a ? b ? 0 。 ? ? 另外, a // 平面 ? ? 表示以 a 为方向向量的直线与向量 ? 平行或在平面 ? 内,因此也可以由共面向量定 理证明线面平行问题。 2.利用向量证明垂直问题

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? (2)线面垂直:设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 b ,那么 l ? ? ? a // b 。

(1)线线垂直:设 a, b 分别为直线 a, b 的一个方向向量,那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 ; 3.利用向量求解角度问题 (1)异面直线所成的角:利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围 是 [0, ? ] ,而两异面直线所成角的范围是 (0,

? ?

?

?

? ? ? ? l ?n l ?n 的夹角 ? 。有: sin ? ? cos ? ? ? ? , ? ? arcsin ? ? 。 | l || n | | l || n |

] ,应注意加以区分。 ? ? (2) 直线 l 与平面 ? 的夹角 ? : 利用直线 l 的方向向量 l 与平面 ? 的法向量 n 的夹角 ? 求直线 l 与平面 ? 2

?

(3)二面角 ? ? l ? ? :设 n1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量, 则

? ?

< n1 , n 2 >就

? ?

是所求二面角的平面角或其补角的大小(利用具体图形判断) 。 4.利用向量求解距离问题 立体几何中涉及到距离的问题比较多,如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、 两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理,则思路较为简单。 点到平面的距离:设平面 α 的一个法向量为 n ,点 P 是平面 α 外一点,且 Po∈α,则点 P 到平面 α 的 O 距离是 d= | Po P ? n | .
|n|

例题选讲
例 1:如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,
M

?ABC ?

?

4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
A z O N
M

(1)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离。 方法一(综合法)略 方法二(向量法)

D C

B

A x B N CP

D y

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作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y , z 轴建立坐标系

2 , 0), D(? 2 ???? ? ??? ? 2 2 (1) MN ? (1 ? , , ?1), OP ? (0, 4 4 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,
? 2

2 2 2 2 , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 4 4 ???? 2 2 2 , ?2), OD ? (? , , ?2) 2 2 2

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? ? 0 OD 即 ? 2 y ? 2z ? 0 ?
? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 ? 2

??? ?

????

取z ?

2 ,解得 n ? (0, 4, 2)

???? ? 2 2 ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 ,? MN‖ 平面OCD (0, 4 4 ??? ? ???? ? 2 2 (2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? , , ?1) 2 2

??? ???? ? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴cos? ? ??? ???? ? ,∴? ? ? ? 3 3 AB ? MD 2 ??? ? (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ??? ? ??? ? 2 OB ? n 2 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 n 3 例 2:如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC,
PC 的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值.
2

(1)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A,所以 AE⊥平面 PAD, 又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD. (2) (理)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH. 由(1)知 AE⊥平面 PAD,则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3 ,所以 当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时 tan∠EHA=

AE 3 6 ? ? , AH= 2 .又 AD=2,所以∠ADH=45°,PA=2. AH AH 2

由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直 角坐标系,又 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点, 所以 A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C(C,1,0) , D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 , ,1 ) , 2 2

3 1 , ,1). 2 2 设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ), ??? ? ? 3 x1 ? 0, ?m?AE ? 0, ? ? 则 ? ??? 因此 ? 3 ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ?m?AF ? 0, ? ? ? 2 2
所以 AE ? ( 3,0,0), AF ? (

??? ?

??? ?

z1 ? ?1,则m ? ( 0 , ? , 1 ) , 2

??? ? 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,故 BD 为平面 AFC 的一法向量. ??? ? ??? ? ??? ? m?BD 2?3 15 ??? ? ? BD =(- 3,3,0 ) 又 ,所以 cos<m, BD >= ? . 5 | m |? BD | | 5 ? 12
因为 二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

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15 . 5
6 . 3

例 3:正四棱锥 S-ABCD 中,O 为底面中心,E 为 SA 的中点,AB=1,直线 AD 到平面 SBC 的距离等于 (1)求斜高 SM 的长; (2)求平面 EBC 与侧面 SAD 所成锐二面角的大小; 解法一: (略) (1) 3
2

解法二: (1)建立空间坐标系(如图)∵底面边长为 1,∴ 1 1 1 1 1 1 A( ,? , , B( , , , C (? , , , 0) 0) 0) 2 2 2 2 2 2 1 0 y 1) M (0, , . 设 S (0,,h) ,平面 SBC 的一个法向 n ? ( x,, , 0) 2 ??? ? ???? 1 则 SM ? (0, ,? h) , CB ? (1,, . 0 0) 2 ??? ? ???? 1 ∴ 0 ? n ? CB ? x , 0 ? n ? SM ? y ? h . 2 ∴y=2h,n=(0,2h,1) . ??? ? 而 AB =(0,1,0) ,由题意,得 ??? ? 2 6 | AB ? n | 2h ? ? .解得 h ? .∴斜高 2 3 |n| 4h 2 ? 1 ???? ??? 2 ???? 2 ? ? 3 | SM |? SO ? OM ? 2

z
S

E D O A M B C

y

x

(2)n=(0,2h,1)= (0, 2, ,由对称性,面 SAD 的一个法向量为 n1= (0, 2, 1) ? 1) ??? ? 1 3 1 1 2 2 1 ? ) ? (1,,? 2) ,得 3 设平面 EBC 的一个法向量 n2=(x,y,1) ,由 E ( , , ) , EB ? ( , ,? 4 4 4 4 4 4 4 ??? ? ?0 ? n2 ? CB ? x, ? x ? 0, ? 1 ??? 1 ? ? ? 解得 ? 3) 2 ∴ n2 ? (0, 2, . ?0 ? n2 ? EB ? ( x ? 3 y ? 2). 3 . ?y ? ? 4 3 ? 设所求的锐二面角为 α ,则 cos ? ?| cos ? n1,n2 ?|?
| n1 ? n2 | 1 1 ? ,∴ ? ? arccos . | n1 || n2 | 33 33

例 4:已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的 中点. (1) 求证: AF // 平面 BCE ;(2) 求 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,则

A ? 0,0 ? ,C ? 2a,0 ? , B ? 0, 0, a ? , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a . 0, 0,
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ? 3 a, 3 a, 0 ? . ? ? ?2 ? 2
? ?

?

? ?

?

(1) 证明

∵ AF ?

??? ?

??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 AF ? ? a, a, 0 ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? , ?2 ? 2 ? ?

?

?

? ? 1 ??? ??? BE ? BC , AF ? 平面 BCE ,∴ AF // 平面 BCE . 2

?

?

? ? ??? ? ? ??? ? (2) 设平面 BCE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得: ? ??? ? x ? 3 y ? z ?0 , 2x ? z ?,取 n ? 1, ? 3, 2 . 又 BF ? ? 3 a, 3 a, ?a ? ,设 BF 和平面 BCE 所成 0 ? ?

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?

?

?2 ?

2

? ?

的角为 ? ,则

??? ? ? BF ?n 2a 2 .∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 sin ? ? ??? ? ? ? ? 4 BF ? n 2a ? 2 2

2 . 4

巩固练习: 1.正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱上到异面直线 AB, CC1 的距离相等的点的个数为 4 1

2. a、b、c 为三条不重合的直线, ? 、 ? 、 ? 为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题:

? // ? ? ? // c ? a // ? ? (1)a // c ? ? a // b ; (2) (3)? // c ? ? ? // ? ; ; (4) ? ? ? // ? (6) ? ? a // ? (5) ? ? a // b ; ? ? ? // ? ? a // c ? b // ? ? b // c ? ? // c ?

? // ? ? ; ? ? a // ? .其中正确的命题是 (1)(5) a // ? ?

3.在北纬 45°线上,有甲、乙两地,它们分别在东经 50°和 140°线上,设地球的半径 为 R,则甲、乙两地的球面距离为 (将地球视为圆球体) ? R
3

4.如图在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AB ? BC ? 2 , BB1 ? 2 , ?ABC ? 90? ,E、 1 F 分别为 AA1、C1B1 的中点,沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度 为

3 2 2

2

2

2 3 3 (理)在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧 1 面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 60 6. (文)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球 面 得 到 圆 M , 若 圆 M 的 面 积 为 3? , 则 球 O 的 表 面 积 等 于 __________________. 16? ( 理 ) 直 三 棱 柱 ABC ? A B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 1 20? AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于 1 7.四面体的一条棱长为 x, 其他各棱长为 1, 则四面体体积的最大值为 8
5. (文)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

2? ?

2 2
正(主)视



2 侧(左)视 图

俯 视 图 8.关于棱锥有下列命题: (1)底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥; (2)所有侧棱都相等的棱锥一定是正 棱锥; (3)一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直; (4)一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命 题个数为( B ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.等边圆柱(轴截面是正方形) 、球、正方体的体积相等,它们表面积的大小关系是( A ) A. S球 ? S圆柱 ? S正方体 B. S正方体 <S球 ? S圆柱 C. S圆柱 ? S球 ? S正方体 D. S球 ? S正方体 ? S圆柱 10.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 、4 3 ,M、 N 分别为 AB、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题: ①弦 AB、CD 可能相交于点 M ②弦 AB、CD 可能相交于点 N ③MN 的最大值为 5 ④MN 的最小值为 l, 其中真命题的个数为 ( ) C A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 11.下列三个命题中错误的个数是 ( )C ①经过球上任意两点,可以作且只可以作球的一个大圆; ②球的面积是它的大圆面积的四倍; ③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长. A.0 B. 1 C. 2 D.3

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12.O 是半径为 l 的球心,点 A、B、C 在球面上,OA、OB、OC 两两垂直,E、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点,则点 E、F 在该球面上的球面距离是__

? 3

13.SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆的圆心,底面圆的半径为 10, C 是 SB 的中点,∠AOB=60°,AC 与底面所成角为 45°,求此圆锥的侧面积 和体积.

? 解: OB 的中点 D, 取 连接 CD、 则 AD= 5 3 , CAD ? 45? , AD, ∴CD= 5 3 ,
∴SO= 10 3 ,SA=20 ∴ 圆 锥 的 侧 面 积 为

1 ? 2? ?10 ? ? 20=200? , 2

体 积 为 z P

1 ?? ?102 ? ?10 3 ? 1000 3 ? 3 3 14.四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD, E,F 分别 CD、PB 的中点。 (1)求证:EF ? 平面 PAB; x (2)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。 C
(Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系,设 AD= PD=1,AB= 2a ( a ? 0 ) ,则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), ??? ? ??? ? ??? ? B 1 1 1 1 F ( a, , ) . 得 EF ? (0, , ) , PB ? (2a,1, ?1) , AB ? (2a,0,0) 。

F

E

D A

2 2 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 1 由 EF ? AB ? (0, , ) ? (2a, 0, 0) ? 0 ,得 EF ? AB ,即 EF ? AB , 2 2 同理 EF ? PB ,又 AB ? PB ? B , 所以,EF ? 平面 PAB。

y

(Ⅱ)解:由 AB ?

2 2 2 1 1 。得 E ( ,0,0) ,F ( , , ) ,C( 2,0,0) 。 有 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 , ?1, 0) , EF ? (0, , ) 。 AC ? ( 2, ?1,0) , AE ? ( 2 2 2 设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y,1) , 1 1 1 ? ?1 ??? ? ?( x, y,1) ? (0, 2 , 2 ) ? 0 ?2 y ? 2 ? 0 ?n ? EF ? 0 ? y ? ?1 ? ? ? ? 由 ? ??? ,解得 ? 。 ?? ?? ? 2 2 ?x ? ? 2 ?n ? AE ? 0 ? ?( x, y,1) ? ( ? , ?1, 0) ? 0 ? x? y ?0 ? ? 2 ? 2 ? ???? ??? ? 于是 n ? (? 2, ?1,1) 。 设 AC 与面 AEF 所成的角为 ? , AC 与 n 的夹角为 ? AC, n ? 。 ??? ? ( 2, ?1,0) ? (? 2, ?1,1) AC ? n ??? ? 3 则 sin ? ? cos ? AC, n ? ? ??? 。 ? ? ? 6 2 ?1? 0 2 ?1?1 AC ? n

2BC ,得 2a ? 2 ,即 a ?

3 3 。所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin 。 6 6 15.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD, 1 AF=AB=BC=FE= AD=a 2
得 ? ? arcsin
==

(1)求该五面体的体积; (2)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (理) (3)求二面角 A-CD-E 的余弦值. 2 解: (1) V ? a 3 3 方法一: (2)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线 // // // BF 与 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC。因为 FE ? AP,所以 FA ? EP,同理 AB ? PC。又

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FA⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC,AD 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥PC,EP⊥AD。由 AB⊥ AD,可得 PC⊥AD。设 FA=a,则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2 a ,故∠CED=60°。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60° 理(3) 解:设Q为CD的中点,连结 ,EQ.因为CE ? DE,所以EQ ? CD.因为 PQ PC ? PD,所以PQ ? CD,故?EQP为二面角A ? CD ? E的平面角 . 由(2)可得, EP ? PQ,EQ ? 6 a,PQ ? 2 a. 于是在Rt?EPQ中, ?EQP ? PQ ? 3 , cos 2 2 EQ 3 , 方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点。设 AB ? 1 依题意得 B?1 0,?, ?1 1 ?, ,0 C ,0 ,

D?0,0?, E ?0, ?, F?0,1?, ? 1 , 1 ?. 2, 1, 1 0, M? 1, ?
?2 2?

(2) 解: ? ?? 1 0, DE ? ?0, 11? 于是 cos BF, ? BF ,1?, ?, , DE 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 .
0

BF ? DE BF DE

?

0 ? 0 ?1

1 ? . 2? 2 2

?u ? CE ? 0, 理(3) 解:设平面CDE的法向量为u ? ( x,y,z ),则? ? ?u ? DE ? 0. ?

?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, ) 1,. 1 ?? y ? z ? 0.

0, 又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0,1). 所以, u,v ? cos

u ? v 0 ? 0 ?1 3 ? ? . uv 3 3 ?1

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上海戴氏教育集团宜春校区一对一专项辅导 高考专题——空间向量与立体几何
整理:吴小宾 时间:2013 年 4 月 16 日

专题要点
1.利用向量证明平行问题 根据实数与向量积的定义: a // b ? a ? kb (k ? R, k ? 0) 。 (1)直线与直线的平行:设 a, b 是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为 a, b ,那么 a // b ? a // b 。

? ?

?

?

? ?

?

?

(2)平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行:设两个不重合的平面 ? , ? 的法向量分别为 a, b , 那么 ? // ? ? a // b 。 ? (3)直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直:设直线 l 在平面 ? 外, a 是 l 的一 个方向向量, b 是平面 ? 的一个法向量,那么 l // ? ? a ? b ? a ? b ? 0 。 ? ? 另外, a // 平面 ? ? 表示以 a 为方向向量的直线与向量 ? 平行或在平面 ? 内,因此也可以由共面向量定 理证明线面平行问题。 2.利用向量证明垂直问题

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? (2)线面垂直:设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 b ,那么 l ? ? ? a // b 。

(1)线线垂直:设 a, b 分别为直线 a, b 的一个方向向量,那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 ; 3.利用向量求解角度问题 (1)异面直线所成的角:利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围 是 [0, ? ] ,而两异面直线所成角的范围是 (0,

? ?

?

?

] ,应注意加以区分。 ? ? (2) 直线 l 与平面 ? 的夹角 ? : 利用直线 l 的方向向量 l 与平面 ? 的法向量 n 的夹角 ? 求直线 l 与平面 ? 2
? ? ? ? l ?n l ?n , ? ? arcsin ? ? 。 ? | l || n | | l || n |

?

的夹角 ? 。有: sin ? ? cos ? ? ?

(3)二面角 ? ? l ? ? :设 n1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量, 则

? ?

< n1 , n 2 >就

? ?

是所求二面角的平面角或其补角的大小(利用具体图形判断) 。 4.利用向量求解距离问题 立体几何中涉及到距离的问题比较多,如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、 两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理,则思路较为简单。 点到平面的距离:设平面 α 的一个法向量为 n ,点 P 是平面 α 外一点,且 Po∈α,则点 P 到平面 α 的 O 距离是 d= | Po P ? n | .
|n|

例题选讲
例 1:如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,
M

A B N C

D

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?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点

(1)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离。

例 2:如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2) (理)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正 切值为 6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值.
2

例 3:正四棱锥 S-ABCD 中,O 为底面中心,E 为 SA 的中点,AB=1, 6 直线 AD 到平面 SBC 的距离等于 . 3 (1)求斜高 SM 的长; (2)求平面 EBC 与侧面 SAD 所成锐二面角的大 小;

z
S

E D O A M B C

y

x

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例 4:已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的 中点. (1) 求证: AF // 平面 BCE ;(2) 求 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.

巩固练习: 1.正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱上到异面直线 AB, CC1 的距离相等的点的个数为 1

2. a、b、c 为三条不重合的直线, ? 、 ? 、 ? 为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题:

? // ? ? ? // c ? a // ? ? (1)a // c ? ? a // b ; (2) (3)? // c ? ? ? // ? ; ; (4) ? ? ? // ? (6) ? ? a // ? (5) ? ? a // b ; ? ? ? // ? ? a // c ? b // ? ? b // c ? ? // c ?

? // ? ? ? ? a // ? .其中正确的命题是 a // ? ?

3.在北纬 45°线上,有甲、乙两地,它们分别在东经 50°和 140°线上,设地球的半径 为 R,则甲、乙两地的球面距离为 (将地球视为圆球体) 4.如图在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AB ? BC ? 2 , BB1 ? 2 , ?ABC ? 90? ,E、 1 F 分别为 AA1、C1B1 的中点,沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度 为 5. (文)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (理)在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧 1 面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 6. (文)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球 面 得 到 圆 M , 若 圆 M 的 面 积 为 3? , 则 球 O 的 表 面 积 等 于 __________________. ( 理 ) 直 三 棱 柱 ABC ? A B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 1 2 2
正(主)视

2

2

图 7.四面体的一条棱长为 x,其他各棱长为 1,则四面体体积的最大值为 8.关于棱锥有下列命题: (1)底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥; (2)所有 侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥; (3)一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直; (4)一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命题个数为( ) 俯 视 A.0 B.1 C.2 D.3 图 9.等边圆柱(轴截面是正方形) 、球、正方体的体积相等,它们表面积的大小关系是( ) A. S球 ? S圆柱 ? S正方体 B. S正方体 <S球 ? S圆柱 C. S圆柱 ? S球 ? S正方体 D. S球 ? S正方体 ? S圆柱

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于

2 侧(左)视 图

10.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 、4 3 ,M、 N 分别为 AB、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题: ①弦 AB、CD 可能相交于点 M ②弦 AB、CD 可能相交于点 N ③MN 的最大值为 5 ④MN 的最小值为 l, 其中真命题的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

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11.下列三个命题中错误的个数是 ( ) ①经过球上任意两点,可以作且只可以作球的一个大圆; ②球的面积是它的大圆面积的四倍; ③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长. A.0 B. 1 C. 2 D.3 12.O 是半径为 l 的球心,点 A、B、C 在球面上,OA、OB、OC 两两垂直,E、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点,则点 E、F 在该球面上的球面距离是__ 13.SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆的圆心,底面圆的半径为 10,C 是 SB 的中点,∠AOB=60°,AC 与底面所成角为 45°,求此圆锥的侧面积和体积.

14.四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD, E,F 分别 CD、PB 的中点。 (1)求证:EF ? 平面 PAB; (2)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。

z P

x

C

F

E

D A

B

y

15.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD, AF=AB=BC=FE=

1 AD=a 2

==

(1)求该五面体的体积; (2)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (理) (3)求二面角 A-CD-E 的余弦值.

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