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复数知识点与历年高考经典题型


数系的扩充与复数的引入知识点(一)
1 .复数的概念: ( 1)虚数单位 i; ( 2)复数的代数形式 z=a+bi, (a, b ∈ R) ; ( 3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2 .复数集
? ? ?整 数 ? ? 有 理 数? ? 实 数 (b ? 0) ? ?分 数 ? ? 复 数 a ? bi (a, b ? R ) ?

小数 ) ? 无理数 (无限不循环 ? ? 虚 数 (b ? 0) ? 纯 虚 数 ( a ? 0) ? ? ?非 纯 虚 数 (a ? 0) ?

3 .复数 a+bi(a, b∈ R)由两部分组成,实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实 部与虚部, 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位,当 b=0 时, a+bi 就是实数, 当 b≠ 0 时, a+bi 是虚数,其中 a=0 且 b ≠ 0 时称为纯虚数。 应特别注意,a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件,若 a=b=0 ,则 a+bi=0 是实数。

4 .复数的四则运算 若两个复数 z1=a1+b1i , z2=a2+b2i , ( 1)加法: z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ; ( 2)减法: z1- z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ;

( 3)乘法: z1·z2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i ;
z1 (a1a 2 ? b 1 b 2) ? (a 2 b 1? a b 1 ) 2i ? 2 2 a2 ? b2 ( 4)除法: z2 ;

( 5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。 ( 6)特殊复数的运算:
n ① i (n 为整数 )的周期性运算;

②(1±i) 2 =±2i;

1 3 ③ 若 ω =- 2 + 2 i,则 ω 3=1, 1+ω +ω 2=0.

5 .共轭复数与复数的模 ( 1)若 z=a+bi,则 z ? a ? bi , z ? z 为实数, z ? z 为纯虚数 (b≠ 0).
2 2 2 ( 2)复数 z=a+bi 的模 |Z|= a ? b , 且 z ? z ?| z | =a2+b2.

6. 根据两个复数相等的定义,设 a, b, c, d ∈ R,两个复数 a+bi 和 c+di 相
?a ? c ?a ? 0 ?? ? 等规定为 a+bi=c+di ?b ? d . 由这个定义得到 a+bi=0 ? ?b ? 0 .

两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。

7 .复数 a+bi 的共轭复数是 a- bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的 点关于实轴对称。若 b=0,则实数 a 与实数 a 共轭,表示点落在实轴上。

8 .复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的 是在运算中将 i2= - 1 结合到实际运算过程中去。 如 (a+bi)(a - bi)= a 2+b2

9 .复数的除法是复数乘法的逆运算将满足 (c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠ 0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商。 由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,
a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd ? (bc ? ad )i ? ? c ? di ( c ? di )( c ? di ) c2 ? d 2 即 .

10 .复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原点的距离。

(二)典型例题

例 1 . 使 不 等 式 m2 - (m2 - 3m)i < (m2 - 4m + 3)i + 10 成 立 的 实 数 m = .

i?z 例 2.证明: i ? z = 1 .

数系的扩充与复数的引入 ( 历年高考经典题型 )(二)
一、选择题 1. 设复数 z 满足 (1-i)z=2 i, 则 z= A.-1+i 2.
1 ? 2i ? (1 ? i) 2
1 2

(

) D.1-i

B.-1-i ( )

C.1+i

1 1 1 C. 1 ? i D. 1 ? i 2 2 2 3 .如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭

A. ? 1 ? i

B. ? 1 ? i

x

A B O

C
y

D

复数的点是( A. A C. C

) B. B D. D ( ) D.-1+i

4. 已知 i 是虚数单位 ,则 (-1+i)(2-i)= A.-3+i 5.
2 ?( 1? i

B.-1+3i ) B. 2
3

C.-3+3i

A. 2 2 6. ?1+ 3i ? ? ( A. ?8

C. 2

D. 1

) B. 8 C. ? 8i ) D. 8i

7. 已知 i 是虚数单位 , 则 (2+i)(3+i)= ( A.5-5i C.5+5i B.7-5i D.7+5i

8.复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为( A.2+i B.2-i C. 5+i D.5-i )

)

9. 若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为( A. ?4 10. 复数 z ? A.25 B. ?
4 5

C. 4

D.

4 5

(2 ? i ) 2 (i为虚数单位 ) ,则 | z |? ( i



B.

41

C.5

D. 5 )

11. 设 z1, z2 是复数 , 则下列命题中的假命题是 ( A. C. 若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2 若 z1 ? z2 , 则 z1· z1 ? z2 · z2 B. D.

若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2 若 z1 ? z2 , 则 z12 ? z22 ( )

12. 设 z 是复数 , 则下列命题中的假命题是

A. 若

z2 ? 0 ,

则 z 是实数
z2 ? 0

B. 若

z2 ? 0 ,

则 z 是虚数
z2 ? 0

C. 若 z 是虚数 , 则

D. 若 z 是纯虚数 , 则

13. 复数 z=i· (1+i)(i 为虚数单位 )在复平面上对应的点位于( A .第一象限 B .第二象限 C.第三象限



D.第四象限

14. 已知集合 M={1, 2 , zi},i 为虚数单位, N={ 3, 4}, M∩ N={ 4},则复 数 z= A. -2i ( ) B. 2i C. -4i D.4i

15.复数 z=i(-2-i) (i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限
_

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

16. 设 i 是虚数单位,z 是复数 z 的共轭复数,若 z ? zi ? 2 ? 2z ,则 z = ( A. 1+i B. 1 - i C. ?1+i D. - 1-i
10 ( a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为 3-i

17. 设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B.-1

( )

C.1

D.3 ( ) D. 第四象限 ) D.第四象限

18. 在复平面内 ,复数 (2-i)2 对应的点位于 A. 第一象限 B.第二象限

C. 第三象限

19. 在复平面内,复数 i( 2-i)对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限

20. 已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位 ),则 z 在复平面内对应的 点位于 ( ) B.第二象限 D.第四象限 ) D.第四象限

A. 第一象限 C. 第三象限

21. 复数的 Z ? ?1? 2i ?i为虚数单位? 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

22.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4) B.(2,-4) C. (4,-2) D(4,2) )

23. 若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是( A. 2 24. 复数 z ?
A. 1 2

B. 3
1 的模为( i ?1

C. 4 )
2 D. 2

D. 5

B.

2 2

C.

25. 在复平面内, 复数 z= A. 第一象限 二、填空题

2i ( i 为虚数单位) 的共轭复数对应的点位于 ( 1? i



B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

26.已知 a,b ∈ R ,i 是虚数单位 .若 (a+i)(1+i)=bi, 则 a+bi= 27.已知复数 z ?
5i ( i 是虚数单位),则 z ? 1 ? 2i

.

28.设 m∈ R,m2+m-2+( m2-1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m= 29.
i 为虚数单位,设复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点关于原点对称,若

.

z1 ? 2 ? 3i,则 z 2 ?

.

30. 设 z ? (2 ? i) 2 ( i 为虚数单位),则复数 z 的模为


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