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[名校联盟]浙江省台州中学2012届高三上学期第二次统练数学(理)试题


一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? { x x ? 3} , N ? { x x 2 ? x ? 6 ? 0} ,则 M ? N 为( A. R )

x ? 3 | ?x ? B. ? 2 ?
x ?? | ?x 2 D. ? 3 ? ?<

br />)

? x x或 |3 ?? ??x C. ? ?2 3
c a b a

2. 已知 a , b, c 满足 c ? b ? a 且 ac ? 0 ,则下列选项中不一定能成立的是( ... A.

?

B.

b?a c

?0
2

C.

b2 c

?

a2 c

D.

a?c ac

?0

3.若 a ? R ,则 a ? 1 是复数 z ? a ? 1 ? ( a ? 1)i 是纯虚数的 A.充分非必要条件 C.充要条件 4.函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? A . (0 , 1)
2 x





B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 的 零点所在的大致区间是( C. (2 , e) ) D. (3 , 4)

B.(1,2)

5.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

?
6

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?
B.向右平移

?
3

) 的图像(



? 个长度单位 2 ? D.向右平移 个长度单位 4 6.已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、 ? 是三个两两不重合的平 面,给出下列四个命
题:①若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ;④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则? // ? 其中真命题是 A.①和② ( ) B.①和③ C.①和④ D.③和④

? 个长 度单位 2 ? C.向左平移 个长度单位 4

7. 已知向量 m , n 的夹角为
????

?? ?

? ?? ??? ?? ? ???? ?? ? ? ? , | m| ? 3 , | n |? 2 , ? ABC 中,AB ? m ? n, AC ? m ? 3n , 且 在 6

[来源:]

D 为 BC 边的中点,则 | AD |? ( A.1
2

B.2

C.3

D.4

8. 已知函数 f ( x ) ? x ? ( m ? 1) x ? m ? n ? 1 ,若 f (0) ? 且 f (1) ? 0 ,则 u ? 0

m2 ? n2 mn



取值范围是( A. ? ?

) B. ?? ? ,?2 ? C. ? ?

? ?

5

? ,?2 ? 2 ?

? ?

5

? ,?2 ? 2 ?

D. ? ?

? ?

5

? ,0 ? 2 ?
)

9.函数 f ( x ) ? 3 x ? x 在区间 ( a ? 12, a ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是(
3 2

A. ( ?1, 11)
x a
2 2

B. ( ? 1, 2]
? y b
2 2

C. ( ?1, 4)

D . ?? 1,4?

10.设双曲线 C:

? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,左、右顶点分别为 A1、A2.过

F 且与双曲线 C 的一条渐近线平行的直线 l 与另一条渐近线相交于 P,若 P 恰好在以 A1A2 为直径的圆上,则双曲线 C 的离心率为 ( ) A.

2

B. 2

C.

3

D. 3

[来源:Z_xx_k.Com]

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)[来源:] 11. 直 线 l : y ? 2 x ? b 将 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的 面 积平分,则 b=_________.
2 2

1 2. 若 sin(

?

4

??) ?

1 3

,则 cos(

?

2

? 2? ) 的值等于

.

13.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积 为 . 14. 已 知 函 数
? (3 ? a ) x ? 3 f ( x) ? ? x?6 ?a ( x ? 6) (x>6)



an ? f ( n ), n ? N ? ,数列 ? an ? 是递增数列,则实数 a 的取值范围是

.

15.函数 y ? f ( x ? 1) 为奇函数, y ? f ( x ? 1) 为偶函数(定义域均为 R)若 0 ? x ? 1 时:

f ( x ) ? 2 x ,则 f (10 ) ? _________.
16.在平面几何里,有: “若 ?ABC 的三边长分别为 a , b , c , 内切圆半径为 r ,则三角形面积为

S ?ABC ?

1 2

,拓展到空间,类比上述结论, “若四面体 A ? BCD 的四个面的面 (a ? b ? c)r ” ” .

积分别为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 , 内切球的半径为 r ,则四面体的体积为 17. 若数列 ? a n ? 满足

1 a n ?1

?

1 an

? d ( n ? N ? , d 为常数) ,则称数列 ? a n ? 为调和数列.记数

列{

1 xn

}为调和数列 , 且 x1 ? x 2 ? ? ? x 20 ? 200 , 则 x 5 ? x16 =

.

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 18. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?

3 (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

) ? 2 sin 2 x .

(2 )在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 f ( B ) ? 1 , b ? 1, c ?
2

3,

求a的

值. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 3 ,若数列 ?S n ? 1? 是公比为 4 的等比数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (2)设 bn ?

a n ?1 ( a n ?1 ? 3) ? S n ?1

, n ? N ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n .
?

20.(本小题满分 14 分)正△ ABC 的边长为 4, CD 是 AB 边上的高, E , F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B . (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置 关系,并说明理由; (2)求二面角 E ? DF ? C 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ?证明你的结论.

2 1. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? x ln x , g ( x ) ? ? x ? ax ? 3 ,其中 a 为实数.
2

(1)设 t ? 0 为常数,求函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 2] 上的最小值; (2)若对一切 x ? (0, ?? ) ,不等式 2f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 15 分) 已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点为 F(0,1). y (1) 求抛物线 C 的方程; Q

F O

P x

(第 22 题)

(2)在抛物线 C 上是否存在点 P, 使得过点 P 的直线交 C 于另一点 Q,满足 PF⊥QF, 且 PQ 与 C 在点 P 处的切线垂直.若存在,求出 点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.

[来源:Z*xx*k.Com]

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

[来源:ZXXK]

台州中学 2011—2012 学年第一学期第二次统练试题参考答案 高三 数学(理科)

1 9. 本题满分 14 分)解:(Ⅰ) S n ? 1 ? ( S 1 ? 1) ? 4 ( 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 3 ? 4
n ?1

n ?1

? 4n , ? Sn ? 4n ? 1,
n ?1

,且 a1 ? 3 ,? a n ? 3 ? 4
n ?1



所以数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 3 ? 4 (2) bn ?

.??????????7 分

a n ?1 ( a n ?1 ? 3) ? S n ?1

?

4n ( 4 ? 1)( 4
n n ?1

? 1)

?

1

3 4 ?1
n

(

1

?

1 4
n ?1

?1

)

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
? 1 ( 1
1

1
1 9

3 4 ?1
1

(

1

?

1 4 ?1
2

)?

1

3 4 ?1
2

(

1

?

1 4 ?1
3

) ?? ?

1

3 4 ?1
n

(

1

?

1 4
n ?1

?1

)

3 4 ?1

?

1 4
n ?1

?1

)?

?

1 3( 4
n ?1

? 1)

.?????14 分

20. 本题满分 14 分) ( 解:法一: (I)如图:在△ ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF. ∴AB∥平面 DEF. (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD

z A E C F B x P

D

y

平面 CD F 的法向量为 DA ? ( 0,0, 2 ) 设平面 EDF 的法向量为 n ? ( x , y , z )

把 y? AP⊥DE

2 3 3

代入上式得 x ?

4 3

,? BP ?

1

BC 所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 3 …………….14 分 [来源:Zxxk.Com]

P

使

21.(本题满分 15 分)解答: (1) f ?( x ) ? ln x ? 1 , 故所求抛物线 C 的方程为 x2 = 4y . ???????(5 分)

(2) 解:设 P( x1, y1), Q(x2, y2) , 则抛物线 C 在点 P 处的切线方程是: y ? 直线 PQ 的方程是:

x1 x ? y1 , 2

y??

2 x ? 2 ? y1 . x1
2

将上式代入抛物线 C 的方 程, 得: x ? 故 x1+x2= ?

8 x ? 4( 2 ? y1 ) ? 0 , x1

8 8 4 , x1x2=-8-4y1,所以 x2= ? -x1 , y2= +y1+4 . x1 x1 y1 4 4 4 2 2 +y1+4)-( +2y1+4 )+1= y1 -2y1 - -7=( y1 +2y1+1) y1 y1 y1

而 FP =(x1, y1-1), FQ =(x2, y2-1), FP ? FQ =x1 x2+(y1-1) (y2-1)=x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1=-4(2+y1)+ y1( -4(

4 ( y1 ? 1) 2 ( y ? 4 )( y1 ? 1) 2 1 +y1+2)=(y1+1)2- = 1 =0, y1 y1 y1
故 y1=4, 此时, 点 P 的坐标是(±4,4) . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 P(±4,4). ??????(15 分)

附件 1:律师 事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:htt p:///wxt/list.aspx?ClassID=3060


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