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2010数学一模文1


高三数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 与答题纸一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5

分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中. 1. 设集合 P ? {x x ? 1} , Q ? {x x( x ? 1) ? 0 } ,下列结论正确的是 A. P ? Q B. P ? Q ? R C. P ? ?Q D. Q ? ?P

2. 下面四个点中,在区域 ? A. (0, 0)

? y ? x ? 4, 内的点是 ? y ? ?x
C. (?3, 2) D. (?2,0)

B. (0, 2)

3. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? a4 ? 6 ,则 S 5 等于 A. 10 B. 12 C. 15 D. 30

4. 若 0 ? m ? n ,则下列结论正确的是 A. 2 ? 2
m n

C. log 2 m ? log 2 n

1 m 1 n 2 2 D. log 1 m ? log 1 n
B. ( ) ? ( )
2 2

5. 甲乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所 示, x1 , x2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均





9

数, s1 , s2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准 4 5 5 6 1 差,则有 A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

0 1 2

8 3 5 5 7 2

6. 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为
开始

A.

13 21

B.

21 13

x ? 1, y ? 1

8 C. 13

13 D. 8

z ? x? y z ? 20
是 否 输出

x? y
y?z

y x

结束

y2 ? 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 , P 为双曲线右支上一点,则 7. 已知双曲线 x ? 3
2

???? ???? ? PA1 ? PF2 的最小值为
A. ?2 B. ?

81 16

C. 1

D. 0

8. 如图, 平面 ? ? 平面 ? ,? ? ? ? 直线 l , A, C 是 ? 内 不同的两点, B, D 是 ? 内不同的两点,且 A, B, C, D ?直 线 l , M , N 分别是线段 AB, CD 的中点. 下列判断正确的是:
?

?
A M· B D

C
· N l

A. 当 CD ? 2 AB 时, M , N 两点不可能重合 B. 当 CD ? 2 AB 时, 线段 AB, CD 在平面 ? 上正投影的长度不可能相等 C. M , N 两点可能重合,但此时直线 AC 与直线 l 不可能相交 D. 当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

i 是虚数单位,

1 ? i ? ___________. 1? i

10. 在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离小于 1 的概率为 ___________.
? 11. 已知 a ? 2 , b ? 3 , a , b 的夹角为 60 ,则 2a ? b ? ___________.

12. 已知 f ( x) ? ?

? x 2 ? x,

x ? 0,

?1 ? 2 lg x, x ? 0,

若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ___________.

13. 在 ?ABC 中,C 为钝角,

AB 3 1 则角 C ? ________, ? ,sin A ? , sin B ? _________. BC 2 3

14. 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D,且 f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数.
现给出下列命题: ① 函数 f ( x) ? ( ) 为 R 上的 1 高调函数;
x

1 2

② 函数 f ( x) ? sin 2 x 为 R 上的 ? 高调函数; ③ 如果定义域是 [?1, ??) 的函数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上的 m 高调函数,那么实数
2

m 的取值范围是 [2, ??) .
其中正确的命题是_________.(写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 12 分) 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1、2、3、4,现从 盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字 3 的概率.

16.(本小题满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 tan( (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求

?
4

??) ? 2.

sin 2? cos ? ? sin ? 的值. cos 2?

17.(本小题满分 14 分) 如图 1,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点, 它的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: AD ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (Ⅲ)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ // 平面 ABD ,并求此时 PQ 的长. P
2 2
2

D

4

2 2

2 4 侧(左)视图 图2

A

C

4 正(主)视图

图1

B

18.(本小题满分 14 分) 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 . (2, 0) 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C 交于两点 A, B , O 为坐标原点,若 ?OAB 为直角 三角形,求 m 的值.

19.(本小题满分 14 分)
* 设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an ?1 ? an ,n ? N ,

已知 b1 ? m , b2 ?

3m ,其中 m ? 0 . 2 (Ⅰ) 求数列 {an } 的首项和公比;
(Ⅱ) 当 m ? 1时,求 bn ;

(Ⅲ) 设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, 若对于任意的正整数 n , 都有 Sn ? [1,3] , 求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? mx ? m) ? e ( m ? R ).
2 x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 存在零点,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;并确定此时 f ( x) 是否存在最小值,如果 存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.

北京市西城区 2010 年抽样测试参考答案 高三数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 D 7 A 8 C 2010.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

1 1 ? i 2 2
?

10.

? 4

11.

13

12. ?1 或 10

13. 150 ,

2 2? 3 6

14. ②③.

注:两空的题目,第一个空 2 分,第二个空 3 分. 14 题②③选对一个命题得两分,选出错误的命题即得零分. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 标准给分.) 15、解: (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7” , 任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3) , (1、2、4) , (1、3、 4) , (2、3、4) ,???????2 分 其中数字之和大于 7 的是(1、3、4) , (2、3、4) ,???????4 分 所以 P( A) ?

? . ???????6 分 ?

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 3” , 每次抽 1 张,连续抽取两张全部可能的基本结果有: (1、1) (1、2) (1、3) (1、4) (2、 1) (2、2) (2、3) (2、4) (3、1) (3、2) (3、3) (3、4) (4、1) (4、2) (4、3) (4、4) , 共 16 个基本结果. ???????8 分 事件 B 包含的基本结果有(1、3) (2、3) (3、1) (3、2) (3、3) (3、4) (4、3) ,共 7 个基本结果. ???????10 分 所以所求事件的概率为 P ( B ) ?

? . ???????12 分 ??

16、解: (Ⅰ) tan(

?

4 1 ? tan ? 所以 ? 2 , 1 ? tan ? ? 2 ? 2 tan ? , 1 ? tan ?

??) ?

1 ? tan ? ,???????2 分 1 ? tan ?

所以 tan ? ?

1 .???????5 分 3

(Ⅱ)

sin 2? cos ? ? sin ? 2sin ? cos 2 ? ? sin ? ? cos 2? cos 2? ? sin ? (2 cos 2 ? ? 1) sin ? cos 2? ? ? sin ? .???????8 分 cos 2? cos 2?

1 2 2 ,所以 cos ? ? 3sin ? ,又 sin ? ? cos ? ? 1 , 3 1 所以 sin 2 ? ? ,???????10 分 10
因为 tan ? ? 又 ? 为锐角,所以 sin ? ?

10 , 10

所以

sin 2? cos ? ? sin ? 10 ? .???????12 分 cos 2? 10

17、解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 PAC ,???????2 分 所以 BC ? AD .???????3 分 由三视图可得, 在 ?PAC 中,PA ? AC ? 4 ,D 为 P

PC 中点,所以 AD ? PC ,???????4 分
所以 AD ? 平面 PBC ,???????5 分 (Ⅱ)由三视图可得 BC ? 4 , 由(Ⅰ)知 ?ADC ? 90 , BC ? 平面 PAC ,
?

D

A O Q B

C

又三棱锥 D ? ABC 的体积即为三棱锥 B ? ADC 的体积, ???????7 分 所以,所求三棱锥的体积 V ?

1 1 1 16 ? ? ? 4 ? 4 ? 4 ? .???????9 分 3 2 2 3

(Ⅲ)取 AB 的中点 O ,连接 CO 并延长至 Q ,使得 CQ ? 2CO ,点 Q 即为所求. ???????10 分 因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ // OD , 因为 PQ ? 平面 ABD , OD ? 平面 ABD , 所以 PQ // 平面 ABD ,???????12 分 连接 AQ , BQ ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分,

所以 ACBQ 为平行四边形, 所以 AQ ? 4 ,又 PA ? 平面 ABC , 所以在直角 ?PAQ 中,

PQ ?

AP 2 ? AQ 2 ? 4 2 .???????14 分

18、解: (Ⅰ)由已知

c 3 4 , 2 ? 1 ,???????3 分 ? a 2 a

所以 a ? 2 , c ? 3 , 又 a ? b ? c , 所以 b ? 1,
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 .???????5 分 所以椭圆 C 的方程为 4
? x2 2 ? ? y ?1 (Ⅱ)联立 ? 4 , ?y ? x ? m ?
消去 y 得 5x ? 8mx ? 4m ? 4 ? 0 ,???????6 分
2 2

? ? 64m2 ? 80(m2 ? 1) ? ?16m2 ? 80 ,
2 令 ? ? 0 ,即 ?16m ? 80 ? 0 ,解得 ? 5 ? m ? 5 .

???????7 分

设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , (ⅰ)当 ?AOB 为直角时, 则 x1 ? x2 ? ? m , x1 x2 ?

8 5

4m 2 ? 4 ,???????8 分 5
??? ? ??? ?
2

因为 ?AOB 为直角,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,???????9 分 所以 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? 0 ,

所以

8m2 ? 8 8 2 2 ? m ? m2 ? 0 ,解得 m ? ? 10 .???????11 分 5 5 5

(ⅱ)当 ?OAB 或 ?OBA 为直角时,不妨设 ?OAB 为直角, 由直线 l 的斜率为 1 ,可得直线 OA 的斜率为 ?1 ,

所以

y1 ? ?1 ,即 y1 ? ? x1 ,??????12 分 x1



x12 ? y12 ? 1 ,???????13 分 4

5 2 2 x1 ? 1 , x1 ? ? 5, 4 5 4 m ? y1 ? x1 ? ?2 x1 ? ? 5 ,???????14 分 5 2 4 经检验,所求 m 值均符合题意,综上, m 的值为 ? 10 和 ? 5. 5 5
所以 19、解:(Ⅰ) 由已知 b1 ? a1 ,所以 a1 ? m ,???????2 分

b2 ? 2a1 ? a2 , 所以 2a1 ? a2 ?
解得 a2 ? ?

3 m, 2

m 1 ,所以数列 {an } 的公比 q ? ? .???????4 分 2 2 1 n ?1 (Ⅱ) 当 m ? 1时, an ? (? ) , 2
bn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ?????①,

1 ? bn ? na2 ? (n ? 1)a3 ? ? ? 2an ? an?1 ?????②,???????5 分 2 3 ② ? ①得 ? bn ? ?n ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 ,???????7 分 2 1 1 ? [1 ? (? )n ] 3 2 ? ?n ? 1 [1 ? (? 1 ) n ] , 所以 ? bn ? ?n ? 2 1 2 3 2 1 ? (? ) 2
bn ? 2n 2 2 1 n 6n ? 2 ? (?2)1?n ? ? (? ) ? .???????9 分 3 9 9 2 9

1 m[1 ? (? ) n ] 2 ? 2m ? [1 ? (? 1 ) n ] ,???????10 分 (Ⅲ) Sn ? 1 3 2 1 ? (? ) 2 1 n 1 2m 3 因为 1 ? (? ) ? 0 ,所以,由 Sn ? [1,3] 得 , ? ? 1 2 3 1 ? (? 1 ) n 1 ? (? ) n 2 2 1 n 3 1 n 3 注意到,当 n 为奇数时 1 ? (? ) ? (1, ] ,当 n 为偶数时 1 ? (? ) ? [ ,1) , 2 2 2 4 1 n 3 3 所以 1 ? (? ) 最大值为 ,最小值为 .???????12 分 2 2 4

对于任意的正整数 n 都有

1 1 1 ? (? ) n 2

?

2m 3 , ? 3 1 ? (? 1 ) n 2

4 2m ? ? 2 , 2 ? m ? 3 .???????14 分 3 3 即所求实数 m 的取值范围是 {m 2 ? m ? 3} .
所以 20、解: (Ⅰ)设 f ( x) 有零点,即函数 g ( x) ? x ? mx ? m 有零点,
2

所以 m2 ? 4m ? 0 ,解得 m ? 4 或 m ? 0 .???????3 分 (Ⅱ) f ?( x) ? (2 x ? m) ? e ? ( x ? mx ? m) ? e ? x( x ? m ? 2)e ,
x 2 x x

???????5 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? m ? 2 , 因为 m ? 0 时,所以 m ? 2 ? 0 , 当 x ? (??, m ? 2) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 当 x ? (m ? 2,0) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增. 此时, f ( x) 存在最小值. ???????7 分 ???????8 分 ???????9 分 ????10 分

f ( x) 的极小值为 f (0) ? m ? 0 .

根据 f ( x) 的单调性, f ( x) 在区间 (m ? 2, ??) 上的最小值为 m ,

解 f ( x) ? 0 ,得 f ( x) 的零点为 x1 ? 结合 f ( x) ? ( x ? mx ? m) ? e ,
2 x

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m 和 x2 ? , 2 2

可得在区间 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上, f ( x) ? 0 . 因为 m ? 0 ,所以 x1 ? 0 ? x2 ,

???????11 分

m ? m 2 ? 4m ? m ? 4 ? m 2 ? 4m ?m?2 ? 并且 x1 ? (m ? 2) ? 2 2 ? ?m ? 4 ? m 2 ? 4m ? 4 ?m ? 4 ? m ? 2 ?m ? 4 ? (2 ? m) ? ? ?1? 0 , 2 2 2
???????13 分

即 x1 ? m ? 2 ,

综上,在区间 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上, f ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (m ? 2, ??) 上的最小 值为 m , m ? 0 , 所以,当 m ? 0 时 f ( x) 存在最小值,最小值为 m . ???????14 分


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