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高一数学必修(1)复习:函数知识点总结

时间:2014-01-22


期末复习函数知识点归纳
一、函数的概念与表示
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 例 1、下列各对函数中,相同的是( ) A、 f ( x) ? lg x , g ( x) ? 2 lg x
2

B、 f ( x) ? lg

x ?1 , g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x

? 1) x ?1
x2

C、 f (u ) ?

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

例 2、M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系 的有( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; 例.(05 江苏卷)函数 y ? 例 3: (1) 已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 (2) 已知f( 2 x- 1 的定义域是 ) [-1,3],求f( )x 的定义域 。 例 4:设 f ( x) ? lg

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为________________________

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为__________ 2? x 2 x
4 ? x 2 ,求 f ( x ) 的定义域为__________

变式练习: f (2 ? x) ?

三、函数的值域
1 求函数值域的方法 ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; ③利用对勾函数 ④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图) ; ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例: 1. (直接法) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

2. f ( x) ? 2 ? 24 ? 2 x ? x

2

1

3. (换元法) y ? ? x ? 5. ① y ?

2x ? 1

4. y ?

x2 ?1 x2 ?1

x 3x ? 1 ②y? (?2 ? x ? 4) x ?1 2x ?1
3 ( x ? [?1,3]) 2x

6.(对勾函数) y ? 2 x ? 8.① y ?

8 ( x ? 4) x

7. (单调性) y ? x ?

1 ,② y ? x ? 1 ? x ? 1 x ?1 ? x ?1

9. (几何意义) y ? x ? 2 ? x ? 1

四.函数的奇偶性
1.定义:设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 y=f(x)为奇函数。 2.性质: ①y=f(x)是偶函数 ? y=f(x)的图象关于 y 轴对称, y=f(x)是奇函数 ? y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f(0)=0 ③奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇[两函数的定义域 D1 ,D2,D1∩D2 要关于原点对称] 3.奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 ②看 f(x)与 f(-x)的关系 ? 例: 1 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时,

f ( x) ?
五、函数的单调性 1、函数单调性的定义:

.

4 若奇函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______

如果对于某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)<f(x2).那么就 说 f(x)在 这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。 函数的单调性通常也可以以下列形式表达(等价形式) :当
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 的时候,函数单调递 x1 ? x2

增当;

的时候,函数单调递减

2 设 y ? f ?g ?x ?? 是定义在 M 上的函数,若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是减函数;若 f(x) 与 g(x)的单调性相同,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是增函数。 ? 例:
3

1 定义证明函数 f ( x) ? ? x ( x ? R) 的单调性

2

2 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a
2 2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

3 函数 f ( x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , ⑴ 证: f ( x) 在 R 上是增函数;
2

⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a ? a ? 5) ? 2
2

4 函数 y ? log 0.1 (6 ? x ? 2 x ) 的单调增区间是________ 5 已知 f ( x) ? ? (A) (0,1)

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( ? log a x, x ? 1
(B) (0, )



1 3

(C) [ , )

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

六.函数的周期性:
1. (定义)若 f ( x ? T ) ? f ( x)(T ? 0) ? f ( x) 是周期函数,T 是它的一个周期。 说明:nT 也是 f ( x) 的周期。 (推广)若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 ? 对照记忆: 若 f ( x ? a) ? f ( x ? a) ,则: 若 f (a ? x) ? f (b ? x) ,则:

2.若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ; f ( x ? a ) ?

1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f ( x) 周期是 2 a f ( x) f ( x)
) (D)2

? 例: 1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为( (A)-1 (B) 0 (C) 1

2 已知 f ( x) 是(- ?, ? ? )上的奇函数, f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时,f(x)=x,则 f(7.5)=________ 3 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 x ? [0,2] 时 f ( x) ? 2 x ? x
2

⑴ 证: f ( x) 是周期函数;⑵当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式;⑶计算: f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2014)

七.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ?

b 4ac ? b 2 ?b , ) ,顶点坐标 (? 2a 4a 2a
3

2.二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) y ? 0 的 x 的取值。
2

一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集(a>0)
2

二次函数 Y=ax2+bx+c (a>0)

△情况 △=b2-4ac

一元二次不等式解集 ax +bx+c>0 ax2+bx+c<0 (a>0) (a>0)
2

△>0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

?x x

1

? x ? x2 ?

图 象 与 解

△=0

?x x ? x ?
0

?

△<0

R

?

3、闭区间上二次函数的最值问题: 是分类讨论,数形结合,函数方程,转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问 题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。 设 f ( x ) ? ax ? bx ? c( a ? 0) ,求 f ( x ) 在 x ?[ m,n] 上的最大值与最小值。将 f ( x ) 配方,得顶点为
2

(?

b 4ac ? b 2 b , ) 、对称轴为 x ? ? 2a 2a 4a

当 a ? 0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x ) 的最值: 最小值:对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论 (1)当 ? 当?

b b 4ac ? b 2 ? m,n 时, f ( x ) 的最小值是 f (? ) ? 2a 2a 4a

?

?

b ? m,n 时, 2a b ? m ,由 f ( x ) 在 m,n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f ( m) ; (2)若 ? 2a b (3)若 ? ? m ,由 f ( x ) 在 m,n 上是减函数则 f ( x ) 的最小值是 f ( n) 。 2a

?

?

? ?

? ?

最大值:对称轴与区间中点比较进行分类讨论
4

b m?n 时, f ( x ) 的最大值是 f ( n) ; ? 2a 2 b m?n (2)当 ? 时, f ( x ) 的最大值是 f ( m) ; ? 2a 2 当 a ? 0 时,可类比得结论。
(1)当 ? 例: (1)设 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, x ? [t , t ? 1](t ? R), 求函数 f ( x) 的最小值 g (t ) 的解析式。
2

(2)已知二次函数 f ( x ) ? ax ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ?
2

? 3 ? ,2 上的最大值为 3,求实数 a 的值。 ? 2 ? ?

(3)已知函数 f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值 2

4、二次方程根分布问题: 从三个方面进行分析: (1) ? ? 0 (有不等实数根) ; (2)对称轴; (3)端点的函数值 例: (1)已知方程 2 x ? ? m ? 1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围.
2

(2) 方程 mx ? 2mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,求实根 m 的取值范围是
2

(3)已知关于 x 的方程 (m ? 2) x ? 2 x ? 2m ? 1 ? 0 至少有一个根在区间(1, 2)内,求实数 m 的取值范围.
2

八.指数式与对数式
1.幂的有关概念 (1)零指数幂 a ? 1 (a ? 0)
0

(2)负整数指数幂 a

?n

?

1 a ? 0, n ? N ? ? n ? a

m

(3)正分数指数幂 a n ? (4)负分数指数幂 a
m ?n

n

a m ? a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1? ;
1 a
m n

?

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

(5) 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.指数幂的运算性质

?1? a r a s ? a r ? s ? a ? 0, r , s ? Q ? ? 2 ? ? a r ?
3.根式
n

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?
n

? 3?? ab ?

r

? a r br ? a ? 0 b , ? 0 r ,? Q ?

n n 根式的性质:当 n 是奇数,则 a ? a ;当 n 是偶数,则 a ? a ? ?

?a ?? a

a?0 a?0
5

4.对数 (1)对数的概念:如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记 b ? log a N (a ? 0, a ? 1)
b

(2)对数的性质:①零与负数没有对数 (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN 对数换底公式: log a N ?

② log a 1 ? 0

③ log a a ? 1

log m N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1, m ? 0且m ? 1) log m a

对数的降幂公式: log a m N n ? ? 例:
1

n log a N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1) m

(1)

1 ? ( ) 2? 4

( 4ab ?1 ) 3 (0.1) ?2 (a 3b )
1 ?3 2

(2)

lg 8 ? lg 125 ? lg 2 ? lg 5 lg 10 ? lg 0.1

九.指数函数与对数函数
1、指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数 名称 一般形式 定义域 值域 过定点 指数函数 Y=a (a>0 且 a≠1) (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x x

对数函数 y=logax (a>0 , a≠1) (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) (1,0)

指数函数 y=a 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)图象关于 y=x 对称

图象

单调性

a>1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数

2、比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相 同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象,研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限 制。 例: (1)已知 a ? 0.3
3

0.2

, b ? 0.2
0.3

0.2

, c ? 0.2

0.3

,d ? ? ?

?1? ?2?

? 1 .5

,则比较 a , b , c , d 的大小

(2)设 a ? 0.3 , b ? 3 (3)在 (0.3) ,
2

, c ? log 3 0.3 ,则 a , b , c 从小到大排列为
2

2 0.3 , log

2 这三个数中最大的是
6

3、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的 单调性是解决问题的重要途径。 4、指对数函数的图像与性质:

十.幂函数
1、幂函数定义:形如 y ? x (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数。
?

例: (1)下列函数是幂函数的是( ) A.y=x
x

B.y=3x
2

2

C.y=x +1
m2 ? 2 m ?1

1 2

D.y=x

?3

(2)已知函数 y ? (m ? m ? 1)

是幂函数,求此函数的解析式.

2、幂函数的性质 归纳:幂函数在第一象限的性质:

? ? 0 ,图像过定点(0,0) (1,1) ,在区间( 0,?? )上单调递增。 ? ? 0 ,图像过定点(1,1) ,在区间( 0,?? )上单调递减。
整数 m,n 的奇偶与幂函数 y ? x n , (m, n ? Z , 且m, n互质) 的定义域以及奇偶性有什么关系?
m n 结果:形如 y ? x (m, n ? Z , 且m, n互质) 的幂函数的奇偶性
m

(1)当 m,n 都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称; (2)当 m 为奇数 n 为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称; (3)当 m 为偶数 n 为奇数时,f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限内. 3、幂函数的图像画法: 关键先画第一象限,然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于 1,在第一象限为抛物线型(凹) ; 指数等于 1,在第一象限为上升的射线; 指数大于 0 小于 1,在第一象限为抛物线型(凸) ; 指数等于 0,在第一象限为水平的射线; 指数小于 0,在第一象限为双曲线型; 例:
1

1、 (1) y ?

lg x ? lg(5 ? 3x) 的定义域为_______; (2) y ? 2 x ?3 的值域为_________;
2

(3) y ? lg(? x ? x) 的递增区间为 __________ _ ,值域为 __________ _

7

2、 (1) log

2 1 2

x?

1 ? 0 ,则 x ? ________ 4
x x

3、要使函数 y ? 1 ? 2 ? 4 a 在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。

4.若 a2x+

1 1 ·ax- ≤0(a>0 且 a≠1) ,求 y=2a2x-3·ax+4 的值域. 2 2

十一.函数的图象变换 (1) 1、平移变换: (左+ 右- ,上+ 下- )即

? 0 ,右移 ; h ? 0 ,左移 y ? f ( x ) ?h ? ??? ?? y ? f ( x ? h) ? 0 ,下移 ; k ? 0 ,上移 y ? f ( x ) ?k ? ??? ?? y ? f ( x ) ? k

① 对称变换: (对称谁,谁不变,对称原点都要变)
轴 y ? f (x ) ??x ? ?? y ? ?f (x ) 轴 y ? f (x ) ??y ? ?? y ? f (?x )

y ? f (x ) ??原点 ?? ?? y ? ?f (?x )
轴右边不变,左边为右 边部分的对称图 y ? f (x ) ??y ? ??????????? ?? y ? f ( x )

x轴上方图,将 x轴下方图上翻 y ? f (x ) ??保留 ?? ????????? ?? y ? f (x )

? 例: 1.作出下列函数的简图: (1) y ? log 1 ( x ? 2) ;
2

(2)y=|2x-1|;

(3) y=2|x|;

8


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