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【广东省2013-2014学年高一寒假作业数学(二) Word版解析]

时间:2015-04-08


广东省2013-2014学年高一寒假作业(二)数学
一、选择题(本题包括 3 小题,共 15 分) 1.函数 A. B. 在 上恒为正数,则实数 的取值范围是( ) C. D.

2 . 幂 指 函 数 y ? [ f ( x)]g ( x) 在 求 导 时 , 可 运 用 对 数 法 : 在 函 数 解 析 式 两 边 求 对 数 得
ln y ? g ( x) ? ln f ( x) ,两边同时求导得
y' f ' ( x) ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ,于是 y f ( x)

? f ' ( x) ? y ' ? [ f ( x)] g ( x ) ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) 。 运用此方法可以探求得知 f ( x) ? ? ?

y ? x x 的一个单调递增
D.(3,8)

1

区间为( ) A.(0,2)

B.(2,3)

C.(e,4)

3.已知 A.

,且 B.

为幂函数,则 C.

的最大值为 D. )

4.已知 f(x)= log( a2 ?1) (2x+1)在(- A.a>1 C.a<-1 或 a>1

1 ,0)内恒有 f(x)>0,则 a 的取值范围是( 2
B.0<a<1 D.- 2 <a<-1 或 1<a< 2 ) D.

5.函数 y ? loga ( x ?1) ? 1 ? a ? 1? 的图象必过定点( A. ?1,1? B. ?1, 2 ? C.

? 2,1?

? 2, 2 ?

6.函数 y=

的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

7.计算(log318-log32)÷
A.4 B.5

=( )
C. D.

8.已知点 P 在曲线 y=ex(e 自然对数的底数)上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则丨 PQ 丨的最小值 是( ) A. B.2e C. D.e

二、填空题(本题包括 6 小题,共 30 分) 9.(5 分)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,3]上的最大值比最小值大,则 a 的值是________; 10.(5 分)计算: ________.

11.(5 分)为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如下 过程: 现在加密密钥为 ( 且

),如下所示:明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得 明文“6”,问接受方接到密文“4”,则解密后得到明文为 12.(5 分) .

的值为 .Ks5u

13.(5 分)已知对于任意的实数 a ? [3, ??) ,恒有“当 x ? [a,3a] 时,都存在 y ?[a, a 2 ] 满足方 程 loga x ? loga y ? c ”,则实数 c 的取值构成的集合为 14.(5 分)幂函数 f(x)=xα(α 为常数)的图象经过 四、解答题(本题包括 6 小题,共 80 分) 15.(12 分)(1)计算 log 2 25 ? log 3 4 ? log 5 9 ? lg 0.001 ? ( ) (2) 3 a 5 ? 3 a 7 ? a 6 . ,则 f(x)的解析式是 .

1 3

?2

16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin(

x ? ? ) ? 3 , ( x ? R) 2 6

(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)求单调增减区间。 y

?

? O 2

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

3? 7?
2

4?

x

17.(12 分)(本小题两小题,每题 6 分,满分 12 分) ⑴对任意 x ? R ,试比较 x ? x ? 2 与 1 ? x 的大小;
2

⑵已知函数 f ( x) ? log3 ( x2 ? kx ? 2) 的定义域为 R,求实数 k 的取值范围。

Ks5u

18.(18 分)已知 f ( x) ? x ? ln x , g ? x ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调性和极小值; (Ⅱ)求证: g ? x ? 在 ? 0, e 上单调递增; (Ⅲ)求证: f ( x ) ? g ( x ) ?

ln x ,其中 x ? ? 0, e?(e 是自然常数). x

?

1 . 2

Ks5u

19.(12 分)设函数 f ( x) ? log (1 ? a ) ,其中 a 0 ? a ? 1,

x

(1)证明: f ( x ) 是 (a, ??) 上的减函数; (2)解不等式 f ( x) ? 1

Ks5u

20.(14 分)设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 2 . (1)画出函数 y=f(x)的图像; (2)若不等式
a ? b ? a ? b ? a f ( x)

, (a?0,a、b?R)恒成立,求实数 x 的范围.

Ks5u

广东省2013-2014学年高一寒假作业(二)数学
一、选择题(本题包括 3 小题,共 15 分) 1.C 【解析】设 ,由题意可知 且 时 ,结合二次函数

的单调性可得 2.A 【解析】由题意可知 y? ? x x (?
1

综上

1 1 1 1 1 ? ln x x ? ln x ? ? ) ? x ? ,令 y? ? 0 ,可以解得 2 x x x x2

0 ? x ? e ,所以 A 是一个单调区间.
3.A 【解析】由于已知中给定 因此那么由均值不等式 当且仅当 是幂函数,则说明 a+2b=1,同时 ,那么可知

时取得等号,故选 A.

4.D 【解析】∵ - 要使 x∈ (- 即 1<a2<2, ∴ - 2 <a<-1 或 1<a< 2 .,故选 D. 【解析】 因为对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1 过定点 (1,0) , 且 y ? loga ( x ?1) ? 1 ? a ? 1? ) 的图像可以看作由 y ? loga x(a ? 0且a ? 1 的图像向右平移一个单位,向上平移一个单 ) 位得到,所以函数 y ? loga ( x ?1) ? 1 ? a ? 1? 的图象必过定点 ? 2,1? 。 5.C

1 <x<0,∴ 0<2x+1<1. Ks5u 2

1 ,0)时,f(x)>0,则 0<a2-1<1, 2

6.分析:通过二次函数的图象否定 C、D,通过指数函数图象否定 A,即可.
解答:解:由题意可知 x<0 时,函数是二次函数开口向上,所以 C、D 错误,
x≥0 时,函数是指数函数,向下平移 1 单位,排除 A; 可得 B 正确, 故选 B.

7.利用对数的运算性质将(log318-log32)转化为 2,利用指数幂的运算性质将
化为 ,即可得到答案.



解:∵ log318-log32=

=log39=2,

=

=

= ,

∴ (log318-log32)÷

=2÷ =5. 故选 B.

8. 分析: 考虑到两曲线关于直线 y=x 对称, 求丨 PQ 丨的最小值可转化为求 P 到直线 y=x
的最小距离,再利用导数的几何意义,求曲线上斜率为 1 的切线方程,从而得此距离

解答:解:∵ 曲线 y=ex(e 自然对数的底数)与曲线 y=lnx 互为反函数,其图象关于 y=x 对称,
故可先求点 P 到直线 y=x 的最近距离 d 设曲线 y=ex 上斜率为 1 的切线为 y=x+b, ∵ y′=ex,由 ex=1,得 x=0,故切点坐标为(0,1),即 b=1 ∴ d= =

∴ 丨 PQ 丨的最小值为 2d= 故选 A 二、填空题(本题包括 6 小题,共 30 分) 9. (0,1)
x x 【解析】① 当 0<a<1 时,函数 y= a 在[1,3]上为单调减函数,∴ 函数 y= a 在[1,3]上的最大

值与最小值分别为 a, 0<a<1;② ,∴ 当 a>1 时

,∵ 函数 y=a 在[1,3]上的最大值比最小值大,∴

x

x x 函数 y=a 在[0,1]上为单调增函数,∴ 函数 y=a 在[1,3]上的最大值与最小值分别为

,a,

x ∵ 3]上的最大值比最小值大, ∴ 函数 y=a 在[1,

∴ a>1, ∴ a 的取值范围是 , (0,1)

10.8

【解析】 11.14;



【解析】依题意 12. 【解析】 .

中,y=4,所以 x+2=

,故 x=14.

= -2. 13. ?3?

ac 【解析】 loga x ? loga y ? loga ? xy ? ? c ? xy ? a ? y ? , 函数为减函数, ?x ? a 时 x
c

y ? a 2 ; x ? 3a 时 y ? a ? c ? 3
14.

【解析】因为幂函数 f(x)=xα(α 为常数)的图象经过 f(x)的解析式是 。 四、解答题(本题包括 6 小题,共 80 分) 15. (1)-4; (2) 【解析】 (1)

,所以

,所以

1 。Ks5u a2

1 log 2 25 ? log 3 4 ? log 5 9 ? lg 0.001 ? ( ) ? 2 = log2 52 ? log3 22 ? log5 32 ? lg10-3 - 32 3
= 8 log2 5 ? log3 2 ? log5 3 -12 ? -4 ; (2)
3
5 3 7 3 5 7 ? -6 3 3

a ? a ?a = a ?a ?a =a
5 3 7 6
6

=a

-2

?

1 。 a2

16. (1)见解析 (2)增区间 ?4k? ?

? ?

4 2 ? 2 8 ? ? ? ,4k? ? ? ?, k ? z ;减区间 ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?, k ? z 3 3 ? 3 3 ? ?

【解析】 利用五点法、整体法求解 (1)①列表

x

?

? 3

2? 3

5? 3

8? 3 3? 2
0

11? 3
2?
3

x ? ? 2 6
y ??????2 分

0 3

? 2
6 3

?

②描点;③用光滑的由线把各点连接 y

?

? O 2

? 2

?
?
2

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

??6 分

(2)令 ?

? 2k? ?

x ? ? ? x ? 3? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z 得 2 6 2 2 2 6 2

增区间 ?4k? ?
2

? ?

4 2 ? 2 8 ? ? ? ,4k? ? ? ?, k ? z ;减区间 ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?, k ? z ?12 分 3 3 ? 3 3 ? ?
⑵ k ? (??, ?2 2)

17.⑴ x ? x ? 2 ? 1 ? x 。

(2 2, ??)

【解析】 (1)根据作差法比较大小是一种重要的方法。同时要注意差式的变形技巧的运用。 (2)利用对数函数定义域为 R,说明了无论 x 取什么样的数,表达式真数恒大于零, 那么说明二次函数开口向上,判别式小于零得到。
2 2 2 ⑴∵ ( x ? x ? 2) ? (1 ? x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 0 ,∴ x ? x ? 2 ? 1 ? x 。
2

⑵∵ f ( x ) 的定义域为 R ,即 x ? kx ? 2 ? 0 恒成立,∴ k ? 8 ? 0 ,
2 2

即 k ? (??, ?2 2)

(2 2, ??)

/ / 18. (Ⅰ)当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ,此

时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1

(Ⅱ) g ? ? x ? ? (Ⅲ)略

1 ? ln x 当 0 ? x ? e 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 (0, e] 上单调递增 x

【解析】 ( 1 ) 对 函 数 f ( x) ? x ? ln x 求 导 , 注 意 定 义 域 , 利 用 导 数 与 函 数 单 调 性 的 关 系 可 求 出 f ( x ) 的单调性和极小值; (2)函数 g ? x ? 在 ? 0, e 上单调递增;只 需证 g ? ? x ? ?

?

1 ? ln x 在 ? 0, e? 上大于等于 0 恒成立; (3) 由 (1) 和 (2) 可得函数 f ( x)min ? 1, x 1 1 1 1 g ( x) max ? ,因为 1 ? ? ,所以 f ( x) ? g ( x) ? e e 2 2 a ) 19. ( a , 1? a
(1)因为现求解定义域,那么结合内外函数单调性,可知给定区间内函数是减函数, 结合定义加以证明。 (2)对于底数小于 1 的对数函数而言,去掉对数符号,然后结合性质得到结论。
? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? (1 ? x ? 2) 20.(1) f ( x ) ? ?1 ? 3 ? 2 x ( x ? 1) ?

【解析】本试题主要是考查了对数函数以及复合函数的单调性和不等式的求解的综合运用。

(2)? 2 ? x ?

5 1 1 5 或1<x <2或 ? x ? 1...综合得: ? x ? 。 2 2 2 2

? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? (1 ? x ? 2) 【 解 析 】 (1) 根 据 零 点 分 段 法 可 得 f ( x ) ? ?1 ? 3 ? 2 x ( x ? 1) ?

(2) 由 |a+b|+|a-b|≥|a|f(x)恒成立,可转化为 f (x) ?

a+b + a-b a

恒成立只需

a+b + a-b a+b+a-b a + b + a- b ,再根据 ? =2 ,可知 f ( x) ? 2 ,然后分 f (x )? [ m]a x a a a
段解此不等式,最后求并集即可.
? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? (1 ? x ? 2) (1) f ( x ) ? ?1 ? 3 ? 2 x ( x ? 1) ?

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)

f (x) ?

a+b + a-b a

恒成立

只需

a + b + a- b f (x )? [ m]a x a

a+b + a-b a

?

a+b+a-b a

=2

? f (x) ?2

?2x-3 ? 2 ?3-2x ? 2 ?解不等式。。。 x-1 + x-2 ? 2..即。。 ..或1<x<2..或 ? ? ?x ? 2 ?x ? 1
5 1 1 5 ? 2 ? x ? 或1<x <2或 ? x ? 1...综合得: ? x ? 。 2 2 2 2


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