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高中数学《柱体、椎体、台体的表面积和体积》


1.3.1 柱体、锥体、台体的 表面积和体积

提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

引入新课
正方体、长方

体是由多个平面围成的几何体,它 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面 图形求面积的方法,求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开
h'

h'

正棱台的侧面展开图

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC ,
A B D C

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

交BC于点D.

S ?ABC 所以:

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积.

圆柱的表面积
r O?
l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r O
圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r (r ? l )
2

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2?r

r O
圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O?
l
O

r 'O’
r’ =r 上底扩大

l

r O

r’= 0 上底缩小

l

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

2 2 ? S台 ? ? (r ? r ? r ?l ? rl ) S 锥 ? ?r (r ? l )

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15cm

? 999 (cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是999 .

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: (S为底面面积,h为高). V ? Sh

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

圆锥体积

圆锥的体积公式:

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 . 3

1 V ? Sh 3

(其中S为底面面积,h为高)

棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系.

三棱锥与同底等高的三棱柱的关系

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积

1 的 .即棱锥的体积: 3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 1 底面面积乘高的 . 3

台体体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A?

P
D?

S?

C?

h
A

B? D
S

V ? VP ? ABCD ? VP ? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

C
B

台体体积

棱台(圆台)的体积公式 1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台 (棱台)的高.

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

S ? ? 0 V ? 1 (S ? ? S ?S ? S )h S ? ? S V ? 1 Sh V ? Sh 3 3
S为底面面积, h为锥体高 S分别为上、下底面 面积,h 为台体高

S为底面面积, h为柱体高

典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) ?10 4 2 ? 2956 (mm 3 )

? 2.956 (cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000 ? (7.8 ? 2.956 ) ? 252 (个)
答:这堆螺帽大约有252个.

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? (S ? ? S ?S ? S )h 3

S' ? 0
1 锥体V ? Sh 3


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