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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)选修4-4第1讲知能训练轻松闯关

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?x′=2x, 1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 后,曲线 C:x +y =36 变为 1 y ′= y ? 3 2 2 1 何种曲线,并求曲线的焦点坐标. 解:设圆 x2+y2=36 上任一点为 P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为 P′(x′,y′), ?x=2x′, ? x′2 y′2 则? 所以 4x′2+9y′2=36,即 + =1. 9 4 ?y=3y′, ? x2 y2 所以曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 + =1, 9 4 其焦点坐标为(± 5,0). 2.(2015· 高考江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+ π 2 2ρ sin(θ- )-4=0,求圆 C 的半径. 4 解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角 坐标系 xOy. 2 2 圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 2ρ? sin θ- cos θ?-4=0, 2 ?2 ? 化简,得 ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圆 C 的半径为 6. π 9π 3.(2016· 扬州质检)求经过极点 O(0,0),A?6, ?,B?6 2, ?三点的圆的极坐标方 2? 4 ? ? ? 程. 解:将点的极坐标化为直角坐标, 点 O,A,B 的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6), 故△OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形, 圆心为(3,3),半径为 3 2, 圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18, 即 x2+y2-6x-6y=0, 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上述方程, 得 ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0, π 即 ρ=6 2cos?θ- ?. 4? ? 4.圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=4cos θ ,ρ =-4sin θ . (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. 解:(1)x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由 ρ=4cos θ得 ρ2=4ρcos θ, 所以 x2+y2=4x, 即 x2+y2-4x=0 为⊙O1 的直角坐标方程. 同理,x2+y2+4y=0 为⊙O2 的直角坐标方程. ?x2+y2-4x=0, ? (2)由? 2 2 ?x +y +4y=0, ? ? ?x1=0, ? ?x2=2, 解得? 或? ? ? ?y1=0 ?y2=-2. 即⊙O1,⊙O2 交于点(0,0)和(2,-2),过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x. 5.(2014· 高考天津卷改编)在以 O 为极点的极坐标系中,圆ρ =4sin θ 和直线 ρsin θ =a 相交于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,求 a 的值. 解:由 ρ=4sin θ,可得 x2+y2=4y, 即 x2+(y-2)2=4. 由 ρsin θ=a,可得 y=a. 设圆的圆心为 O′,y=a 与 x2+(y-2)2=4 的两交点 A,B 与 O 构成等边三角形,如图所 示. 由对称性知∠O′OB=30°,OD=a. 3 在 Rt△DOB 中,易求 DB= a, 3 3 所以 B 点的坐标为? a,a?. ?3 ? 2 3 又因为 B 在 x2+y2-4y=0 上,所以? a? +a2-4a=0, ?3 ? 4 2 即 a -4a=0,解得 a=0(舍去)或 a=3. 3 6.在

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