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2015直击高考立体几何快练1


2015 直击高考立体几何快练
1、正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中点,则 三棱锥 A ? A1 B1C1 的体积为 (A)3 (B)
3 2

(C)1

(D)

3 2

2、如图,四棱锥 p—ABCD 中,底面 ABC

D 为矩形,PA 垂直面 ABCD,E 为 PD 的点。

2 (I)证明:PB//平面 AEC; (II)设 AP=1,AD= 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积 V=
3 ,求 A 到平面 PBC 的距离。 4

3 13 13

3、如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平 面 BB1C1C .

(1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高. (
?

21 ) 7

1

(难,提示:中点作高(转化) ;延面作垂线;在新面上再作垂线:伴 随平面三角计算。)

4、 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, BA=BD= E,F 分别是棱 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明 EF∥平面 PAB; (Ⅱ)若二面角 P﹣AD﹣B 为 60°, (i)证明平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii) 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值. (难)

, AD=2, PA=PD=



2

5、将边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得集合体的侧 面积是( ) A.4 ? B.8 ? C.2 ? D. ?

四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD, BC 的平面分别交四面体的棱

AB, BD, DC, CA 于点 E , F , G, H .

(1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形.

3

6 、如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧棱垂直于底面, AB ? BC , AA 1 ? AC ? 2 ,
BC ? 1 , E 、 F 分别为 AC 1 1 、 BC 的中点.

A1

E B1

C1

(1)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (2)求证: C1F // 平面 ABE ; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

A B F

C

7、已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( A.



1 6

B.

3 6

C.

1 3

D.

3 3

大纲版

8、正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高位 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( A. 9、 如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,点 A 1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 90 ,
0



81? 4

B. 16?

C. 9?

D.

27? 4

BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 .
4

(1)证明: AC1 ? A1B ;

(2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ,求二面角 A1 ? AB ? C 的大 小.(难)

5

解:方法一:(1) 证明:因为 A1D⊥平面 ABC,A1D?平面 AA1C1C,故平面 AA1C1C⊥平面 ABC.又 BC⊥AC,平面 AA1C1C∩平面 ABC=AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C. 连接 A1C,因为侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1⊥A1C. 由三垂线定理得 AC1⊥A1B.

(2) BC⊥平面 AA1C1C,BC?平面 BCC1B1,故平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1. 作 A1E⊥CC1,E 为垂足,则 A1E⊥平面 BCC1B1. 又直线 AA1∥平面 BCC1B1,因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离,即 A1E= 3. 因为 A1C 为∠ACC1 的平分线,故 A1D=A1E= 3. 作 DF⊥AB,F 为垂足,连接 A1F.由三垂线定理得 A1F⊥AB, 故∠A1FD 为二面角 A1? AB ? C 的平面角.
2 由 AD= AA1 -A1D2=1,得 D 为 AC 中点,

所以 DF=

5 A 1D 1 ,tan∠A1FD= = 15,所以 cos∠A1FD= . 5 DF 4

1 所以二面角 A1? AB? C 的大小为 arccos . 4

10、 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?

) 。辽宁 D. 8 ?

? 2

? 4

俯视图

11、 如图,?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直, 且 AB ? BC ? BD ? 2 ,?ABC ? ?DBC

6

? 1200 ,E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点.
(1)求证: EF ? 平面 BCG; (2)求三棱锥 D-BCG 的体积.

1 附:椎体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高. 3

【解析】 (1)? BA ? BC ? BD, 且∠ABC ? ∠DBC ? 120?

7

∴ ΔABC与ΔDBC全等,AC ? DC 在ΔACD中 ? E,F , G分别是三边的中点,且 AC ? DC ∴ EF//AD⊥ CG , 即EF ⊥ CG 设H在BC上,且FH ⊥ BC, 根据对称性可知, EH ⊥ BC,且FH ∩EH ? H ∴ BC ⊥ 面EFH,即BC ⊥ EF ? BC ⊥ EF,EF ⊥ CG,且BC ∩CG ? C ∴ EF ⊥ 面BCG
(2)? 面ABC ⊥ 面BCD ∴ ΔABC底边BC上的高⊥ 面BCD,

即三棱锥G - BCD的高是它的一半 ,.ΔABC底边BC上的高 ? 3 1 3 ? S ΔBCD ? 3 2 1 1 ? S ΔBCD ? ? 2 ? 2 ? sin 120? ? 3 ∴VD - BCG ? 2 2 1 所以,三棱锥 D - BCG的体积为 2 三棱锥D - BCG的体积VD - BCG ? VG - BCD ?

提示:三棱锥的高需要两次转换。

12 、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 . 点

G, E , F , H 分别是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD , BC //
平面 GEFH . (1)证明: GH // EF; (2)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积
8

图 15 . 解: (1)证明: 因为 BC∥平面 GEFH, BC?平面 PBC, 且平面 PBC∩平面 GEFH=GH, 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD.又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO⊥平面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,所以 GK⊥平面 ABCD. 又 EF?平面 ABCD,所以 GK⊥EF, 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 是 OB 的中点. 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK= PO, 2 1 所以 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 由已知可得 OB=4 2,PO= PB2-OB2= 68-32=6, GH+EF 4+8 所以 GK=3,故四边形 GEFH 的面积 S= ·GK= ×3=18. 2 2 13、 如题 (20) 图, 四棱锥 P ?

ABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形,PO ? 底面 ABCD ,
BM ? 1 2.

AB ? 2, ?BAD ?
(1)证明: BC

?
3 , M 为 BC 上一点,且

? 平面 POM ; ABMO 的体积.

(2)若 MP ? AP ,求四棱锥 P ?

提示:利用三个直角关系求得 PO 等于二分之根 3 是关键
9

14、在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都为矩形。 (Ⅰ )若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ ) 设 D ,E 分别是线段 BC ,CC1 的中点, 在线段 AB 上是否存在一点 M , 使直线 DE / / 平面 A1MC ?请证明你的结论。

A1 B1

C1 E

A D B

C

15、 如图,三棱锥中 A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD , CD ? BD 。 (I)求证: CD ? 平面 ABD ; (II)若 AB ? BD ? CD ? 1 , M 为 AD 中点,求三棱锥 A ? MBC 的体积。 十二分之一

10

16、如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? BC , A1 B ? BB1 . (1)求证: A1C ? CC1 ; (2)若 AB ? 2, AC ? 3 , BC ? 大,并求此最大值。

7 ,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积最

(1)证明:三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

AA1 ? BC ? BB1 ? BC ,
11

又 BB1 ? A1 B 且

BC

A1 B ? C

? BB1 ? 面BCA1,
又 BB1∥CC1

? CC1 ? 面BCA1,
又? AC1 ? 面BCA1, 错的

,所以A1C ? CC1. (4 分)
(2)设 AA1 ? x, 在 Rt△ A1 BB1 中, AB = A1 B1 -BB1 = 4 ? x
2 2

错的

同理, A1C= A1C1 ? CC1 ? 3 ? x ,在△ A1 BC 中
2 2 2

cos ? BA1C =

A1 B 2 ? A1C 2 ? BC 2 x2 ?? , 2 A1 B A1C (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )

sin ? BA1C =

12 ? 7 x 2 , (6 分) (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )

所以 S△A1BC ?

1 12 ? 7 x 2 A1 B A1C sin ? BA1C ? , (7 分) 2 2 x 12 ? 7 x 2 (8 分) 2

从而三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V ? S ? l ? S△A1BC ? AA1 ?

(x - )+ 因 x 12 ? 7 x = 12 x ? 7 x = -7
2 2 4
2 2

6 7

36 (10 分) 7

故当 x =

42 42 3 7 即 AA1 = 体积 V 取到最大值 (12 分) 时, 时, 7 7 7

试题分析:本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系,属于容易题,大部分考生可以轻松 解决, 第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题, 有一 定的综合性,属于中档题,解决该类问题关键在于合适的引入变量,建立函数模型,另外在 计算过程中应谨慎小心,避免粗心。

12

17、如图 3,已知二面角 ?

? MN ? ? 的大小为 60 ,菱形 ABCD 在面 ? 内, A, B 两点

在棱 MN 上, ?BAD ? 60 , E 是 AB 的中点, DO ? 面 ? ,垂足为 O . (1)证明: AB ? 平面 ODE (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.

18、
13

一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该

六棱锥的侧面积为 19 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,AP ? 平面PCD, AD // BC, AB ? BC ? 分别为线段 AD, PC 的中点。 (Ⅰ)求证: AP // 平面BEF (Ⅱ)求证: BE ? 平面PAC

1 AD , E , F 2

P

D
A

C B

【解析】 : (Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 O,连接 OF,不妨设 AB=BC=1,则 AD=2

? AB ? BC, AD // BC, ? 四边形 ABCE 为菱形

?O, F分别为AC, PC中点, ?OF // AP
? AP // 平面BEF 又? OF ? 平面BEF,
(Ⅱ)? AP ? 平面PCD,CD ? 平面PCD,? AP ? CD
14

? BC // ED, BC ? ED,? BCDE为平行四边形, ? BE // CD ,? BE ? PA
又? ABCE为菱形, ? BE ? AC

又? PA ? AC ? A, PA、AC ? 平面PAC ,? BE ? 平面PAC
20、 (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则( )浙江 A.若 m⊥ n,n∥ α,则 m⊥ α B. 若 m∥ β,β⊥ α,则 m⊥ α C. 若 m⊥ β,n⊥ β,n⊥ α,则 m⊥ α D.若 m⊥ n,n⊥ β,β⊥ α,则 m⊥ α C 21、如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练,已知点 A 到墙面 的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算 由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成的角) .若 AB=15m, AC=25m,∠ BCM=30°,则 tanθ 的最大值是( )

A.

B.

C.

D.

22、如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∠ CDE=∠ BED=90°,AB=CD=2, DE=BE=1,AC= . (Ⅰ )证明:AC⊥ 平面 BCDE; (Ⅱ )求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.

15

分析: (Ⅰ )如图所示,取 DC 的中点 F,连接 BF,可得 DF= DC=1=BE,于是四边形 BEDF 是矩形,在 Rt△ BCF 中,利用勾股定理可得 BC= = .在△ ACB 中,再利

用勾股定理的逆定理可得 AC⊥ BC,再利用面面垂直的性质定理即可得出结论. (Ⅱ ) 过点 E 作 EM⊥ CB 交 CB 的延长线于点 M, 连接 AM. 由平面 ABC⊥ 平面 BCDE, 利用面面垂直的性质定理可得:EM⊥ 平面 ACB.因此∠ EAM 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角.再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )如图所示,取 DC 的中点 F,连接 BF,则 DF= DC=1=BE, ∵ ∠ CDE=∠ BED=90°,∴ BE∥ DF, ∴ 四边形 BEDF 是矩形, ∴ BF⊥ DC,BF=ED=1, 在 Rt△ BCF 中,BC= 在△ ACB 中,∵ AB=2,BC=AC=
16

= ,



∴ BC +AC =AB , ∴ AC⊥ BC, 又平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∴ AC⊥ 平面 BCDE. (Ⅱ )过点 E 作 EM⊥ CB 交 CB 的延长线于点 M,连接 AM. 又平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∴ EM⊥ 平面 ACB. ∴ ∠ EAM 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角. 在 Rt△ BEM 中,EB=1,∠ EBM=45°. ∴ EM= =MB. = = .

2

2

2

在 Rt△ ACM 中,

在 Rt△ AEM 中,

=

=



点评: 本题综合考查了矩形的判定定理及其性质定理、勾股定理及其逆定理、面面垂直的性 质定理、线面角的求法、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法,考查了 推理能力、辅助线的作法,属于难题. 23、若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为 数值表示) 底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC 其表面展开图是三角形 p1 p2 p3 ,如图,求△ p1 p2 p3 的 各边长及此三棱锥的体积 V . (结果用反三角函

【解析】 :设六棱锥的高为 h ,斜高为 h ? , 则由体积 V ?

1 ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin 60 ? 6 ? ? h ? 2 3 得: h ? 1 , h? ? 3 ?2 ?

? 3?

2

? h2 ? 2

17

1 ? 侧面积为 ? 2 ? h? ? 6 ? 12 . 2
答案:12

18


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