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全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题


20xx 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
第一试(80 分钟) 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分)
1. 已 知 数 列

?an ?

的 前

n 项 和 Sn ? n2 ? 3n ? 4

?n ? N ?
*

, 则

/>
a1 ? a3 ? a5 ? ?? a21 ? ________.
2.若集合 A ? x

?

x ? 3 ? ax ? 1, x ? R 为空集,则实数 a 的取值范围是________.

?

3. 设 x 、 y 为实数,2 x ? y ? 1 ,则二元函数 u ? x2 ? 4x ? y 2 ? 2 y 的最小值是________ 4.设 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线左支 a 2 b2

于 A 、 B 两点,且 ?AF1B ? 120? . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k ? 1 之间,则

k ? ________.
5.已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 216 ,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的 重叠部分的体积等于________. 6. 设

[ x]











x















[log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? ?? [log3 258] ? ________.
7.设方程 x2n?1 ? a2n x2n ? a2n?1x2n?1 ? ?? ?a1x ? a0 ? 0 的根都是正数, a1 ? ? ? 2n ?1? , 且 则 a0 的最大值是________. 8. 2009 ? 1911 的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格.

二、 解答题(本题满分 14 分)
求函数

f ? x? ? sin4 x ? tan x ? cos4 x ? cot x 的值域.

三、解答题(本题满分 15 分)
如图,抛物线 y 2 ? 2 x 及点 P ?1,1? ,过点 P 的不重合的直线 l1 、 l2 与此抛物线分别 交于点 A ,

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
y C A P O D B x

四、解答题(本题满分 15 分)
a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? ? a ? 1?? b ? 1? . 设 a , b 是正数,且 a ? 1 , b ? 1 ,求证: 4 a ? 1 b 4 ? 1 64

第二试(150 分钟) 一、 (本题满分 50 分)
如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M 、 N 、 P 三点共 线.
A

D B

M P N

E

C

二、 (本题满分 50 分)
设 k , n 为给定的整数, n ? k ? 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的 元素和,记这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值.

三、 (本题满分 50 分)
设M

? 2n1 ? 2n2 ? ? ? 2ns , n1 , n2 ,?, ns 是互不相同的正整数,求证:
.
n1 2

M ?2

?2

n2 2

??? 2

ns 2

? 1?

?

2

?

M

四、 (本题满分 50 分)
求满足下列条件的所有正整数 x , y : (1) x 与 y ? 1 互素; (2) x2 ? x ? 1 ? y3 .

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 第一试
一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分) 1. 268 2. ( ??, ? ) ? ( , ?? ) 3. ?

1 3

1 6

9 4. 2 5. 36 6. 932 7. 1 8. 3871 5

二、 解答题(本题满分 14 分)

sin x cos x sin 6 x ? cos6 x 解 因为 f ? x ? ? sin x ? ? cos4 x ? ? ? cos x sin x sin x cos x
4

3 2 ? sin 2 2 x 2 . sin 2 x
………………8 分

3 2 ? t2 2 ? 2 ? 3 t . 易知函数 g ? t ? ? 2 ? 3 t 令 t ? sin 2 x ,则 t ???1,0 ? ? ?0,1? , f ? x ? ? t 2 t t 2 1 1 在区间 ? ?1,0? 与 ? 0,1? 上都是减函数, 所以 g ? t ? 的值域为 ( ??, ? ] ? [ , ??) , f ? x ? 的 故 2 2
值域 为 ( ??, ? ] ? [ , ??) .

1 2

1 2

………………14 分

三、解答题(本题满分 15 分) 解 设 l1 、 l2 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,由题设知

? 、 ? ? ? 0, ? ? . 易知直线 l1 的参数方程为
? x ? 1 ? t cos ? , ? ? y ? 1 ? t sin ?
代入抛物线方程可化得

t 2 sin2 ? ? 2 ?sin ? ? cos? ? t ?1 ? 0 .
t1t2 ? ?1 . 由参数 t 的几何意义,得 sin 2 ?
…………………5 分

设 上 述 方 程 的 两 根 为 t1 、 t 2 , 则

AP ? BP ?
同理

1 . sin 2 ?

CP ? DP ?

1 . sin 2 ?

…………………7 分

若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP ? CP ? DP ,即 sin 2 ? ? sin 2 ? . 因为 ? 、 ? ? ? 0, ? ? ,所以 sin ? ? sin ? . 又由 l1 、 l2 不重合,则 ? ? ? . 所以 ? ? ? ? ? . …………………11 分

反过来,若 ? ? ? ? ? ,则因 ? 、 ? ? ? 0, ? ? ,故 sin ? ? sin ? ,且 ? ? 0 , ? ? 0 . 所以
1 1 ? ,即 AP ? BP ? CP ? DP . 2 sin ? sin 2 ?

故 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆.

…………………15 分

四、解答题(本题满分 15 分) 解

a5 ? 1 a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 ? 因为 4 , 且 a ?1 a3 ? a 2 ? a ? 1
8 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? 5 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? a ? 1?

? 3a4 ? 2a3 ? 2a 2 ? 2a ? 3 ? ? a 4 ? 2a 2 ? 1? ? 2 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? 1?
? ? a 2 ? 1? ? 2 ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0
2 2

( a ? 1) ,

所以

a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 5 a5 ? 1 5 ? ? a ? 1? . ? ? a ? 1? ,即 4 a ?1 8 a3 ? a 2 ? a ? 1 8
b5 ? 1 5 ? (b ? 1) . b4 ? 1 8

…………………10 分

同理可证 于是,

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? (a ? 1) ? b ? 1? . a4 ? 1 b4 ? 1 64

…………………15 分

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加
一、 (本题满分 50 分) 证 设 BE 与 MN 交于点 P ' . 因为 DE ∥ BC ,所以 故只需证明



BP BC BP ' BN ? ? , . PE DE P ' E EM
………………10 分
B D M P N

A

BC BN BN EM ? ? ,或 . DE EM BC DE

E

如图, 设 O1 、 O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,

C

F 、 G 、 H 、 I 为切点,则 1 EM ? ? AE ? DE ? AD ? , AH ? AB ? BH ? AB ? BN , 2 1 AH ? AI ? ? AB ? BC ? AC ? , 2 1 BN ? AH ? AB ? ? AC ? BC ? AB ? . 2
………………30 分 又 ?ADE ∽ ?ABC , 故可设
A

AB BC AC ? ? ?k, AD DE AE


F O 1 M D B H O2 P N

G E

1 ( AC ? BC ? AB) BN 2 ? BC BC
(k ? AE ? k ? DE ? k ? AD ) 2k ? DE ( AE ? DE ? AD) EM ? ? 2 DE DE ?
故结论成立. 二、 (本题满分 50 分) 解 CQ 的最大值为 Cn .
k k

C I

………………50 分

…………………10 分
k

因 P 共有 Cn 个 k 元子集,故显然有 CQ ? Cn .
2 n

…………………20 分
k

下面我们指出,对集合 P ? {2, 2 , ?, 2 },相应的 CQ 等于 Cn ,即 P 的任意两个不 同的 k 元子集的元素之和不相等. 从而 CQ 的最大值为 Cn .
k

事实上,若上述的集合 P 有两个不同的 k 元子集

A ? {2r1 , 2r2 ,?, 2rk } ,
使得 A 与 B 的元素之和相等,则

B ? {2s1 , 2s2 ,?, 2sk } ,

2r1 ? 2r2 ? ? ? 2rk ? 2s1 ? 2s2 ? ? ? 2sk ? M (设).



因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 ri 互不相同, si 互不相同,故由正整数的二进制 表示的唯一性,我们由①推出,集合 {r , r2 ,?, rk } 必须与 {s1 , s2 ,?, sk } 相同,从而子集 1

A ? B ,矛盾.
这就证明了我们的断言. 三、 (本题满分 50 分) 证 对 s 归纳. (1) 当 s ? 1 时,结论显然成立. …………………50 分

…………………10 分

(2) 假设 s ? k 时结论成立,当 s ? k ? 1 时,不妨设 n1 ? n2 ? ? ? nk ? nk ?1 . 由归纳假设可知, 2 2 ? ? ? 2
n1 n2 nk ?1 2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ,则
n2 nk nk ?1 2

2 2 ? 2 2 ??? 2 2 ? 2
n1

? (1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 .

n1

所以只要证明: (1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 ? (1 ? 2) M ,
(1 ? 2)2 2
n1

此即

M ? M ? 2n1

? 1.

…………………30 分

因为正整数 n1 ? n2 ? ? ? nk ? nk ?1 ,所以
2n1 ? 2n2 ?1 ? 2n2 ? 2n2 ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? 2n2 ? 2n3 ? ? ? 2nk ?1 .

.


M ? 2n1 ? 2n2 ? ? ? 2nk ? 2nk ?1 ? 2 ? 2n1 , M ? 2n1 ? 2n2 ? ? ? 2nk ?1 ? 2n1 .

所以
(1 ? 2)2 2
n1

M ? M ? 2n1

?

(1 ? 2)2 2

n1

2 ? 2n1 ? 2n1

?1,

即 s ? k ? 1 时,命题成立. 因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立.…………………50 分 四、 (本题满分 50 分) 解 显然 x ? 1 , y ? 1 满足要求.…………………10 分

对于 x ? 1 , y ? 1 , 方程可化为

? y ? 1? ? y 2 ? y ? 1? ? x ? x ? 1? .

显然 x ? y . 因为 ? x, y ?1? ? 1, x 一定是 y 2 ? y ? 1 的一个因子. 设 y 2 ? y ? 1 ? kx 故 ( k 为正整数) ,从而 x ?1 ? k ? y ?1? . 由 x ? y 可知 k ? 2 .…………………20 分 消去 x ,得 y2 ? y ? 1 ? k 2 ? y ?1? ? k , 即 由此推得 y ?1 ? k ? 3? . …………………40 分 若 k ? 3 ,则 y ? 1 ? k ? 3 ,即 k ? y ? 2 ,从而

?y

2

? 1? ? ? y ? 1? ? k 2 ? y ? 1? ? k ? 3 .

k 2 ? y ?1? ? k ? y2 ? y ?1 ? k 2 ? ? k ? 2? ?1 ,
故必有 y ? 1 ? 0 ,矛盾.所以 k ? 3 ,从而 k ? 2 , 3 . 验证知 y ? 7 , x ? 19 . 综上, ? x, y ? ? ?1,1? , ?19,7 ? . …………………50 分


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