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7-3第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:2012-09-21


第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

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【2013年高考会这样考】 1.本节以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推 理能力与空间想象能力. 2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的 问题. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位 置关系的简单命题.

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【复习指导】 1.平面的基本性质、公理及直线与平面的位置关系,都是每 一年必考的知识点,在复习中要深刻理解、熟记并会灵活运 用. 2.异面直线的判定与证明是本部分的难点,定义的理解与运 用的关键.

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基础梳理 1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直 线上所有的点都在这个平面内. (2)公理2:经过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平 面.

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(3)公理3:如果两个平面(不重合的两个平面)有 一个 公共点, 那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过 这个公共点的直线. 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平 面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

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2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行 ? ? ?共面直线? ?相交 ? ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线 a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角 叫做异面直线 a,b所成的角(或夹角).
? π? ②范围:?0,2?. ? ?
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3.直线与平面的位置关系有 平行 、相交 、 在平面内 三种情 况. 4.平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况. 5.平行公理:平行于同一条直线 的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么 这两个角 相等或互补 .

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两种方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不 经过该点的直线是异面直线; (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共 面,从而可得两线异面.

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三个作用 (1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直 线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断 “直线共面”的方法. (3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交 线;③证明多点共线.

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双基自测 1.(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是( A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 ).

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解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A错;空间中两两 相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;经过直线和 直线外一点确定一个平面,C错;故D正确. 答案 D

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2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与 b( ). B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 解析

由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但

不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线 相矛盾. 答案 C

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3.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( A.0 C.0或1 答案 D B.1 D.1或3

).

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4.(2011· 武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”,那么在 正方体的十二条棱中共有异面直线( A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 解析 如图所示,与AB异面的直线有B1C1; ).

CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的 位置且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计 12×4 算,共有异面直线 2 =24(对). 答案 B
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5.两个不重合的平面可以把空间分成________部分. 答案 3或4

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考向一 平面的基本性质 【例1】?正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、 B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是 ( A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 [审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的 ).

每个面有交线.

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解析

如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB

交于M,连接MR交BB1于E,连接PE、RE为截面的部分外形. 同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG. ∴截面为六边形PQFGRE. 答案 D

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画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线 只需两个公共点即可确定.作图时充分利用几何体本身提供的 面面平行等条件,可以更快的确定交线的位置.

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【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是________.

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解析

在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P、

Q、R、S四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯形;③中可 证四边形PQRS为平行四边形;②中如图所示取A1A与BC的中 点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边 形. 答案 ①②③

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考向二 异面直线 【例2】?如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中, M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由; (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由. [审题视点] 第(1)问,连结MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN 共面;第(2)问可采用反证法.

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解 (1)不是异面直线.理由如下: 连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点, ∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C,

∴A1ACC1为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.

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(2)是异面直线.证明如下: ∵ABCDA1B1C1D1是正方体, ∴B、C、C1、D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α, ∴D1,B、C、C1∈α,与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾. ∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.

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证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法(不易操作). (2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相 交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否 定假设,肯定两条直线异面.

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【训练2】 在下图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 ________(填上所有正确答案的序号).

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解析 如题干图(1)中,直线GH∥MN; 图(2)中,G、H、N三点共面,但M?面GHN,因此直线GH与 MN异面; 图(3)中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面; 图(4)中,G、M、N共面,但H?面GMN, ∴GH与MN异面.所以图(2)、(4)中GH与MN异面. 答案 (2)、(4)

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考向三 异面直线所成的角 【例3】?(2011· 宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中. (1)求AC与A1D所成角的大小; (2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大 小. [审题视点] (1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计

算.(2)可证A1C1与EF垂直.

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解 (1)如图所示,连接AB1,B1C,由ABCDA1B1C1D1是正方 体, 易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的 角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即A1D与AC所成的角为60° .

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(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCDA1B1C1D1中, AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E、F分别为AB、AD的中点, ∴EF∥BD,∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90° .

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求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一 般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所 成的角通常放在三角形中进行.

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【训练3】 中点.

A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的

(1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角. (1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而

DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面 内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是 异面直线.

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(2)解 如图,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,所 以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的 角. 1 在Rt△EGF中,由EG=FG= 2 AC,求得∠FEG=45° ,即异面 直线EF与BD所成的角为45° .

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考向四 点共线、点共面、线共点的证明 【例4】?如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB和 AA1的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. [审题视点] (1)由EF∥CD1可得; (2)先证CE与D1F相交于P,再证P∈AD.

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证明

(1)如图,连接EF,CD1,A1B.

∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE?平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE、D1F、DA三线共点.
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要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线 上,也就是利用平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线 上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在此直 线上.

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【训练4】 如图所示,已知空间四边形ABCD中,E、H分别是 CF 边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且 CB = CG 2 CD=3,求证:三条直线EF、GH、AC交于一点.

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证明 ∵E、H分别为边AB、AD的中点, 1 CF CG 2 ∴EH綉2BD,而CB=CD=3, FG 2 ∴BD=3,且FG∥BD. ∴四边形EFGH为梯形,从而两腰EF、GH必相交于一点P. ∵P∈直线EF,EF?平面ABC,∴P∈平面ABC. 同理,P∈平面ADC. ∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上,故EF、GH、AC三直 线交于一点.
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阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误 【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间 考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多, 特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、 相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断. 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.

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【示例】?(2011· 四川)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下 列命题正确的是( ).

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面 错因 实录 受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况. 甲同学:A 乙同学:C 丙同学:D.

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正解

在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故

A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直 于第三条直线,B正确;相互平行的三条直 线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直 线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错. 答案 B

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【试一试】(2010· 江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线 l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作 ( A.1条 C.3条 B.2条 D.4条 ).

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[尝试解答] 如图,连结体对角线AC1,显然AC1与棱AB、 AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为 2 .联想正方

体的其他体对角线,如连结BD1,则BD1与棱BC、BA、BB1所 成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成 的角都相等,同理,体对角线A1C、DB1也 与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1、A1C、 DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条,故选D 项. 答案 D
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