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椭圆


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椭圆 考向一 椭圆的定义和标准方程 例1

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x2 y2

9.已知椭圆

+ =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2

)

(1)[2014 大纲全国]已知椭圆 C: 2+

2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 )
2

x a

2

y b

2

3 ,过 F2 的直线 l 3

A. 4 B. 8 C. 4 或 8 D. 以上均不对 1 10. [2013·广东高考]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( 2 A.

交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( A.

x

2

3

+ =1 B. +y =1 2 3

y

2

x

2 2

C.

+ =1 D. + =1 12 8 12 4

x

2

y

2

x

2

y

)

x2 y2

(2)[2014 辽宁]已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 9 4

x

2

y

2

+ =1 B. + =1 3 4 4 3

x2

y2

C.

x2 y2

+ =1 D. + =1 4 2 4 3
2

x2 y2

MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________.
[学以致用] 1. [2013·大纲全国卷]已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( A. ) C.
2

11. 已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上, 3 则△ABC 的周长是(
2 2

x2

)

A. 2 3

B. 6

C. 4 3

D. 12

x y 3 12. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、 F2, b=4, 离心率为 .过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 则△ABF2 a b 5
的周长为( ) A. 10
2

x2
2

+y =1 B.

2

x2 y2
2

+ =1 3 2

x2 y2

+ =1 D. + =1 4 3 5 4 )

x2 y2

B. 12
2

C. 16

D. 20 )

x y 2.(15 年广东)已知椭圆 ? 2 ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? ( 25 m
A. 9 B. 4 C. 3 D. 2

x y 1 13. 已知椭圆的焦点在 y 轴上,若椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值是( 2 m 2
A. 2 3 B. 4 3 C. 5 3 D. 8 3

3.(15 年新课标 1 理科)一个圆经过椭圆

的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为



4 14. 已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为( 5 A. 9 B. 1 C. 1 或 9 D. 以上都不对

)

y2 2 4. [2014·安徽高考]设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B b
两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. 5. 中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴 3 等分,则此椭圆的方程是( A. + =1 81 72 ) 考向二 椭圆的几何性质及应用 例1 (1)[2013·课标全国卷Ⅱ]设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥ ) D. 3 3

x2 y2 a b

x2

y2

B. + =1 81 9

x2

y2

C. + =1 D. + =1 81 45 81 36 )

x2

y2

x2

y2

F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为(
A. 3 6 B. 1 3 C. 1 2

6(2012 大纲)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 16 12
x2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 8

C.

x2 y 2 ? ?1 8 4

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

7.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左 25 16 焦点的距离为( A. 4 B. 3 ) C. 2 D. 5

y2

(2)[2014·江西高考]设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________. [学以致用]

x2 y2 a b

8. 已知方程 + =1 表示椭圆,则 m 的取值范围为( 5-m m+3 A. (-3,5) B. (-3,1)

x2

y2

)

1. [2015·杭州模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左, 右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形.求椭圆的离心率 e. 1

x2 y2 a b

C. (1,5) D. (-3,1)∪(1,5)

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11. 已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若△ABF2 是等腰直角三 角形,则这个椭圆的离心率是( A. 3 2 B. 2 2 C. 2-1 D. ) 2

x2 y2 2. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以 B 为直角顶点的直角三角形, a b
则椭圆的离心率 e 为( A. 3- 1 2 B. ) 5-1 1+ 5 C. 2 4 D. 3+1 4 )

3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 )

x2 y 2 12.(15 年福建)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F .短轴的一个端点为 M ,直线 l : 3x ? 4 y ? 0 a b
交椭圆 E 于 A, B 两点. 若 AF ? BF ? 4 , 点 M 到直线 l 的距离不小于

x2 y2 1 4. 设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈( ,1),则实数 k 的取值范围是( 4 k 2
16 16 A.(0,3) B.(3, )C.(0,3)∪( ,+∞) 3 3 D.(0,2)

4 , 则椭圆 E 的离心率的取值范围是 ( ) 5

A.

(0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

1 x2 y2 5.[2014· 江西卷] 过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 2 a b AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. x2 y2 6.[2014· 辽宁卷] 已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 9 4 线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=______.
7. (2012 课标)设 F1 , F2 是椭圆 E :
0

13. 已知 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2 的面积为 100 36 _____. x2 14.[2014· 福建] 设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( 10 A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 )

x2

y2

x2 y 2 3a ? 2 =1( a > b >0)的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点,△ F2 PF 1 是底 2 2 a b
( D. )

15.(15 年新课标 1 理科)一个圆经过椭圆

的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方

角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 5

程为 .



x2 y 2 8 错误! 未指定书签。 . (2012 江西) 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右顶点分别是 A,B,左、 右焦点分别是 F1,F2. a b
若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( D. 5-2 )

考向三: “点差法”解决弦中点问题 1 x y 1.[2014 江西高考]过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 2 a b 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________.
2 2

1 A. 4

5 B. 5

1 C. 2

2.[2013 课标全国卷Ⅰ]已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点.若
9. (2012 年高考(上海春) )已知椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1, C2 : ? ? 1, 则 12 4 16 8

x2 y2 a b





AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(
A.

)

A. C1 与 C 2 顶点相同.B. C1 与 C 2 长轴长相同.C. C1 与 C 2 短轴长相同.D. C1 与 C 2 焦距相等. 10.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比 数列,则此椭圆的离心率为( A. 1 4 B. 5 5 C. 1 2 D. ) 5-2

x2
45



y2
36

=1

B.

x2
36



y2
27

=1 C.

+ =1 27 18

x2

y2

D.

+ =1 18 9

x2

y2

x2 y2 a b

考向四 直线与椭圆的综合问题 1. [2014·课标全国卷Ⅱ]设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴 垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.

x2 y2 a b

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2

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3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4

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标为 ? 0, b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 OM 的斜率为 (I)求 E 的离心率 e;

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

5 . 10

x2 y2 1 2 [2014·陕西高考]已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左,右焦点分别为 F1(-c,0), a b 2 F2(c,0).

(II)设点 C 的坐标为 ? 0, ? b? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为

7 ,求 E 的方程. 2

x2 y 2 2 6\(15 年福建)已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my - 1 ,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系, 并说明理由.

9 4

(1)求椭圆的方程; 1 |AB| 5 3 (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C,D 两点,且满足 = ,求 2 |CD| 4 直线 l 的方程.

7.(15 年陕西)已知椭圆 ? : 的距离为

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线 a 2 b2

1 c. 2
2 2

(I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 点,求椭圆 ? 的方程. 8.(15 年陕西)如图,椭圆 E : (I)求椭圆 E 的方程;

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? ,? 两 2

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 2 a b

x2 y2 3.如图,已知直线 l:x=my+1 过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A、B 两点. a b
(1)若抛物线 x =4 3y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; → → → → (2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λ 1AF,MB=λ 2BF,当 m 变化时,求λ 1+λ 2 的值. 4.(15 北京)已知椭圆 C : x ? 3 y ? 3 ,过点 D ?1, 0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,直线
2 2
2

(II)经过点 (1,1) , 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) , 证明: 直线 AP 与 AQ 的 斜率之和为 2.

?? 与直线 x ? 3 交于点 ? .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D? 的位置关系,并说明理由.

x2 y 2 3 9.(15 年天津)已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) ,离心率为 ,点 M 在椭圆上且位于第一 a b 3
象限,直线 FM 被圆 x +y = (I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.
2 2

b4 4 3 截得的线段的长为 c, |FM|= . 4 3

x2 y 2 5.(15 年安徽)设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? ,点 B 的坐 a b

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x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦 2 a b 2

10.(15 年江苏)如图,在平面直角坐标 系 xOy 中,已知椭圆 点 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程;

(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求 直线 AB 的方程.

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