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【导与练】2016届高考数学一轮复习 第2篇 高考大题冲关课件 文 新人教版

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高考大题冲关(一) 导数综合应用的热点问题 考情概述:导数的综合应用是历年高考的热点内容,多 以压轴题形式出现,难度较大,近几年高考命题的热点 主要是利用导数研究函数的单调性、极值、最值,充分 体现了导数的工具性,同时考查了分类讨论思想的应 用,高考命题点还可能是利用导数研究方程的根(或函 数的零点);利用导数研究恒成立问题等.体现了数形结 合、函数与方程、转化与化归的数学思想方法的应用. 题型一 利用导数研究函数性质问题 【例 1】 (2012 年高考广东卷)设 0<a<1,集合 2 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x -3(1+a)x+6a>0},D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示); 3 2 (2)求函数 f(x)=2x -3(1+a)x +6ax 在 D 内的极值点. 思维导引:(1)根据方程 2x2-3(1+a)x+6a=0 的判别式Δ 与 0 的关系分别讨论求解. (2)利用导数求出函数的极值点,再结合(1)分类讨论 判断极值点是否在 D 中. 解:(1)对于方程 2x -3(1+a)x+6a=0, 2 判别式Δ=9(1+a) -48a=3(a-3)(3a-1). 1 因为 0<a<1,所以 a-3<0.当 <a<1 时,Δ<0, 3 1 此时 B=R,所以 D=A=(0,+≦);当 a= 时,Δ=0, 3 2 此时 B={x|x≠1},所以 D=(0,1)∪(1,+≦); 1 2 当 0<a< 时,Δ>0,设方程 2x -3(1+a)x+6a=0 的两根 3 为 x1,x2 且 x1<x2, 则 x1 = x2= 3?1 ? a ? ? 3? a ? 3?? 3a ? 1? 4 4 , 3?1 ? a ? ? 3? a ? 3?? 3a ? 1? ,B={x|x<x1 或 x>x2}, 3 x1+x2= (1+a)>0,x1x2=3a>0,所以 x1>0,x2>0,此时, 2 D=(0,x1)∪(x2,+≦)= ? 3?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? ? ? 0, ?∪ ? ? 4 ? ? ? 3?1 ? a ? ? 3? a ? 3?? 3a ? 1? ? ? , ?? ? . ? ? 4 ? ? 1 综上可知,当 0<a< 时, 3 ? 3?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? ? ?∪ D= ? 0, ? ? 4 ? ? ? 3?1 ? a ? ? 3? a ? 3?? 3a ? 1? ? ? , ?? ? ; ? ? 4 ? ? 1 当 a= 时,D=(0,1)∪(1,+≦); 3 1 当 <a<1 时,D=(0,+≦). 3 (2)f′(x)=6x -6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)(0<a<1), 由 f′(x)<0? a<x<1, 由 f′(x)>0? x<a 或 x>1, 所以函数 f(x)在区间(-≦,a)和(1,+≦)上单调递增,在区 间(a,1)上单调递减. 1 当 <a<1 时,因为 D=(0,+≦), 3 2 所以 f(x)在 D 内有极大值点 a 和极小值点 1; 1 当 a= 时,D=(0,1)∪(1,+≦), 3 1 所以 f(x)在 D 内有极大值点 a= ; 3 1 当 0<a< 时, 3 ? 3?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? ? ?∪ D= ? 0, ? ? 4 ? ? ? 3?1 ? a ? ? 3? a ? 3?? 3a ? 1

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