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2015年高考第一轮复习数学:2.8 对数与对数函数


2.8 对数与对数函数 ●知识梳理 1.对数 (1)对数的定义: 如果 ab=N(a>0,a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记 作 logaN=b. (2)指数式与对数式的关系: ab=N ? logaN=b(a>0,a≠1,N>0). 两个式子表示的 a、b、N 三个数之间的关系是一样的,并且可 以互化. (3)对数运算性质: ①loga(MN)=loga

M+logaN. ②loga ③logaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1) ④对数换底公式:logbN= M =log M-log N. a a N log a N (a>0,a≠1,b>0,b≠1, log a b N>0). 2.对数函数 (1)对数函数的定义 函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象 y l o g y = x a > 1 ( ) a 1 O 1 x O x l o g y = x < a < a ( 1 ) 0 y 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域: (0,+∞). ②值域:R. ③过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0. ④当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0, +∞)上是减函数. ●点击双基 1.(2005 年春季北京,2)函数 f(x)=|log2x|的图象是 y 1 O 1 x y 1 -1 O 1 x A y 1 O 1 x B y 1 O 1 x C D ?log2 x, x ? 1, 解析:f(x)= ? ?? log2 x, 0 ? x ? 1. 答案:A - 2.(2004 年春季北京)若 f 1(x)为函数 f(x)=lg(x+1)的 - 反函数,则 f 1(x)的值域为___________________. - 解析:f 1(x)的值域为 f(x)=lg(x+1)的定义域. 由 f(x)=lg(x+1)的定义域为(-1,+∞) , -1 ∴f (x)的值域为(-1,+∞). 答案: (-1,+∞) 3.已知 f(x)的定义域为[0,1] ,则函数 y=f[log 1 (3-x) ] 2 的定义域是__________. 解析:由 0≤log 1 (3-x)≤1 2 ? log 1 1≤log 1 (3-x)≤log 1 2 2 2 1 2 1 5 ≤3-x≤1 ? 2≤x≤ . 2 2 5 答案: [2, ] 2 ? 4.若 logx 7 y =z,则 x、y、z 之间满足 A.y7=xz C.y=7xz B.y=x7z D.y=zx 解析:由 logx 7 y =z ? xz= 7 y ? x7z=y,即 y=x7z. 答案:B 5.已知 1<m<n,令 a=(lognm)2,b=lognm2,c=logn(lognm) , 则 A.a<b<c C.b<a<c 解析:∵1<m<n,∴0<lognm<1. ∴logn(lognm)<0. 答案:D ●典例剖析 B.a<c<b D.c<a<b ? 1 x ?( ) , x ? 4, 【例 1】 已知函数 f(x)= ? 2 则 f(2+log23)的值 ? ? f ( x ? 1), x ? 4, 为 A. 1 3 D. B. 1 6 C. 1 12 1 24 1 3+log 3 1 ) . 2 = 2 24 剖析:∵3<2+log