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江苏省南京市2014-2015学年高一第二学期期末数学试卷(含答案)


南京市 2014~2015 学年度第二学期期末学情调研测试卷 高 一 数 学
参考公式: 1 锥体的体积公式为:V 锥体= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... x 1.不等式 <0 的解集为 x+1 ▲ . ▲ . ▲ .

r />2015.07

2.数列{an}是等比数列,若 a3=1,a5=4,则 a7 的值为

3.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a2+b2- 2ab=c2,则角 C 的大小为 4.点 P(3,-2)到直线 l:3x+4y-26=0 的距离为 16 5.函数 y=x+ (x>-1)的最小值为 x+1 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ .

6.过点 P(- 3,1),倾斜角为 120° 的直线方程为

S15 7.公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a8=2a3,则 的值为 S5

8.若三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y-10=0 和 2x-y=0 相交于一点,则实数 a 的值 为 ▲ .

9.下列命题: ①如果一条直线平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行; ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直; ④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直,那么这两个平面互相垂直. 其中正确 的命题的序号为 .. ▲ . ▲ . ▲ .

10.已知经过 A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线 2x-y+1=0 平行,则实数 a 的值为 11. 在△ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 若 bcosC+ccosB=csinA, 则

a+b 的最大值为 c ▲ cm3.

12.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 2cm 的半圆,则这个圆锥的体积为 13.已知 x>0,y>0,且 xy=x+2y,则 x+y 的最小值为 ▲ .

14.已知 an=3n,bn=3n,n?N*,对于每一个 k∈N*,在 ak 与 ak+1 之间插入 bk 个 3 得到一个数列{cn}.设 Tn 是数列{cn}的前 n 项和,则所有满足 Tm=3cm+1 的正整数 m 的值为 ▲ .

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答 题卡 指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明过 . .. ..... 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知直线 l:x-2y+2m-2=0. (1)求过点(2,3)且与直线 l 垂直的直线的方程; (2)若直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于 4,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 一副直角三角板(如图 1)拼接,将△BCD 折起,得到三棱锥 A-BCD(如图 2) . (1)若 E,F 分别为 AB,BC 的中点,求证:EF∥平面 ACD; (2)若平面 ABC⊥平面 BCD,求证:平面 ABD⊥平面 ACD. A E C B C A

B

F

D D

(第 16 题图 1)

(第 16 题图 2)

2

17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面四边形 ABCD 中,AD= 6,CD= 2,∠ABD=60° ,∠ADB=75° , ∠ADC=120° . (1)求 BD 的长; (2)求△ABC 的面积.
A

B

D

C

(第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分) 如图,用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.已知木板的长 BC 紧贴地面且为 4 米,宽 BE 为 2 米,墙角的两堵墙面所成二面角为 120° ,且均与地面垂直,如何放置木板才能使这个 空间的体积最大,最大体积是多少?

D

F

E A
120°

C

B

(第 18 题图)

3

19. (本小题满分 16 分) 已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S3=a4+4,且 a2,a6,a18 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; 2 (3)设 cn= Sn+t,若{cn}为等差数列,求实数 t 的值.

20. (本小题满分 16 分) 设等比数列{an}的首项为 a1=2,公比为 q(q 为正整数),且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项.数列{bn} 的前 n 项和 Sn=n2,n?N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若不等式 λbn≤Sn+6 对任意 n?N*恒成立,求实数 λ 的取值范围; 1 ? ? (bn+1),n为奇数,n?N*, (3)若 cn=?2 从数列{cn}中取出若干项(奇数项与偶数项均不少于两项), 将取 ? an, ? n为偶数,n?N*. 出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时,求所有满足条件的等差数列.

4

南京市 2014-2015 学年第二学期高一教学调研测试
数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.(-1,0) 6. 3x+y+2=0 11. 2 2.16 7.6 12. π 3. 4 8.-12 4.5 9.②④ 5.7 10.2

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3 π 13.3+2 2 14.3 3 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解:(1)与直线 l 垂直的直线的斜率为-2, …………………… 2 分

因为点(2,3)在该直线上,所以所求直线方程为 y-3=-2(x-2), 故所求的直线方程为 2x+y-7=0. 1 则所围成的三角形的面积为 ×|-2m+2|×|m-1|. 2 ……………………6 分 ……………8 分

(2) 直线 l 与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1),

……………………10 分

1 由题意可知 ×|-2m+2|×|m-1|>4,化简得(m-1)2>4, …………………12 分 2 解得 m>3 或 m<-1,所以实数 m 的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞). ………14 分 16.证明:(1)因为 E,F 分别为 AB,BC 的中点,所以 EF∥AC. 又 EF?平面 ACD,AC?平面 ACD,所以 EF∥平面 ACD. (2) 因为平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC, CD?平面 BCD,CD⊥BC,所以 CD⊥平面 ABC. 因为 AB?平面 ABC,所以 CD⊥AB. ……………………8 分 ……………………10 分 ………………2 分 …………………6 分

又因为 AB⊥AC,AC∩CD=C,AC?平面 ACD,CD?平面 ACD, 所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB?平面 ABD,所以平面 ABD⊥平面 ACD. ……………………12 分 ……………………14 分
5

17.解: (1)在△ABD 中,AD= 6,∠ABD=60° ,∠BAD=180° -60° -75° =45° , 由正弦定理得 BD 6 = ,所以 BD=2. sin45° sin60° ……………………4 分

(2)解法一:在△BCD 中,BD=2, 因为∠BDC=∠ADC-∠ADB=120° -75° =45° , CD= 2, 由余弦定理得 BC2=22+( 2)2 -4 2cos45° =2,所以 BC= 2, ……………8 分 所以△BCD 为等腰直角三角形, 所以∠DBC=45° ,∠ABC=60° +45° =105° . 在△ABD 中,AD= 6,∠ABD=60° ,∠ADB=75° , 由正弦定理得 AB 6 = ,所以 AB= 3+1. sin75° sin60° ……………………12 分 ……………………10 分

2+ 3 1 1 △ABC 的面积 S= AB·BC·sin∠ABC= ×( 3+1)× 2×sin105° = . 2 2 2 ……………………14 分 解法二:在△ABD 中,AD= 6,BD=2,∠ADB=75° , 3+ 3 1 所以△ABD 的面积 S1= AD·BD·sin∠ADB= . 2 2 1 3 又△ACD 的面积 S2= AD·DC·sin∠ADC= , 2 2 △BCD 的面积 S3=1. 2+ 3 所以△ABC 的面积 S=S1+S3-S2= . 2 ……………………8 分 ……………………10 分 ……………………12 分 ……………………14 分

18.解法一:设 AB=x 米,AC=y 米,所围成的直三棱柱空间的体积为 V 立方米, 1 2π 3 所以 V= xysin ·2= xy. 2 3 2 2π 由题意得 42=x2+y2-2xycos ,即 x2+y2+xy=16, 3 16 因为 x2+y2≥2xy,所以 16≥2xy+xy,即 xy≤ , 3 4 当且仅当 x=y= 3时,不等式取等号. 3 所以 V≤ 3 16 8 · = 3. 2 3 3 ……………………15 分 ……………………4 分 ……………………8 分 ……………………12 分

4 8 答:当 AB=AC= 3米时,所围成的直三棱柱空间最大,最大体积为 3立方米. 3 3 ……………………16 分 解法二:设∠ABC=θ,所围成的直三棱柱空间的体积为 V 立方米. 4 AC AB 由正弦定理得 = = , 2π sinθ π sin sin( -θ) 3 3
6

则 AC=

8 8 π sinθ,AB= sin( -θ), 3 3 3

……………………6 分

1 2π 1 64 π 3 所以 V= AB·AC·sin ·BE= × sinθ·sin( -θ)× ×2 2 3 2 3 3 2 = 32 π 3sinθ·sin( -θ) , 3 3 32 3 1 8 3sinθ×( cosθ- sinθ)= 3×[ 3sin2θ-(1-cos2θ)] 3 2 2 3 16 π 8 3sin(2θ+ )- 3. 3 6 3 ……………………12 分 ……………………9 分

= =

π π π 5π 因为 0<θ< ,即 <2θ+ < , 3 6 6 6 π π π 8 所以当且仅当 2θ+ = ,即 θ= 时,V 取得最大值 3. ……………………15 分 6 2 6 3 π 8 答:当∠ABC= 时,所围成的直三棱柱空间最大,最大体积为 3立方米. 6 3 ……………………16 分 19.解:(1)设等差数列{an}的公差 d (d≠0). 因为 S3=a4+4,所以 3a1+3d=a1+3d+4,解得 a1=2. 因为 a2,a6,a18 成等比数列, 所以(a1+5d)2=(a1+d)( a1+17d),化简得 a1d=d 2. 因为 d≠0,所以 a1=d,故 d=2, 所以 an=2+(n-1)×2=2n,即数列{an}的通项公式为 an=2n.…………………4 分 an n (2)因为 bn= n= n-1, 2 2 2 3 n 则 Tn=1+ + 2+…+ n-1,① 2 2 2 n-1 n 1 1 2 3 所以 Tn= + 2+ 3+… n-1 + n,② 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 由①-②得 Tn=1+ + 2+…+ n-1- n= 2 2 2 2 2 2+n 所以 Tn=4- n-1 . 2 (3)解法一:设数列{cn}的公差为 d1, 则 cn=c1+(n-1)d1,即 Sn+t=c1+(n-1)d1,n∈N*. 因为 Sn=n(n+1),所以 n(n+1)+t=(d1n+c1-d1)2, 化简得(1-d12)n2+[1-2d1(c1-d1)]n+t-(c1-d1)2=0.(*) 因为(*)对所有 n∈N*恒成立,所以 ……………………12 分 ……………………6 分 1 1-( )n 2 2+n n - n=2- n , 1 2 2 1- 2 ……………………10 分 …………………… 2 分

? ?1-d1 =0, ?1-2d1(c1-d1)=0, ? ?t-(c1-d1)2=0.

2

……………………14 分
7

因为 cn= Sn+t,所以 cn>0. 3 若 d1=-1 时,c1=- ,则 cn<0,所以 d1=-1 不满足条件. 2 3 1 从而 d1=1,c1= ,t= . 2 4 1 所以实数 t 的值为 . 4 解法二:因为 Sn=n(n+1),则 cn= n(n+1)+t, 所以 c1= 2+t,c2= 6+t,c3= 12+t. 因为{cn}为等差数列,所以 2 c2=c1+c3, 即 2 6+t= 2+t+ 12+t, 1 解得 t= . 4 1 当 t= 时,则 cn= 4 1 1 n(n+1)+ =n+ . 4 2 ……………………16 分

……………………12 分

……………………14 分

1 1 因为 cn-cn-1=(n+ )-(n-1+ )=1,所以{cn}为等差数列. 2 2 1 所以实数 t 的值为 . 4 20.解:(1)由题意得,2×3a3=8a1+a5, 则 6q2=8+q4, 解得 q2=4 或 q2=2. 因为 q 为正整数,则 q=2. 又 a1=2,则 an=2n,即数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)当 n=1 时,b1=S1=1; 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, n=1 时也符合,故 bn=2n-1.
2

……………………16 分

……………………2 分 ……………………3 分 ……………………4 分

……………………6 分

n +6 不等式 λbn≤Sn+6 对一切 n?N*恒成立,转化为 λ≤ 对一切 n?N*恒成立. 2n-1 n2+6 t+1 记 T= ,令 2n-1=t(t>0),则 n= , 2 2n-1 t+1 2 ( ) +6 2 1 25 1 T= = (t+ +2)≥ (2 t 4 t 4 25 1 t· +2)= (2×5+2)=3, ………………8 分 t 4

25 当且仅当 t= ,即 t=5,n=3 时等号成立, t 故 λ≤3,即实数 λ 的取值范围是(-∞, 3]. ………………10 分

?n,n为奇数, (3)由(1),(2)可知 cn=? n ?22,n为偶数.
设奇数项取了 s 项,偶数项取了 k 项,其中 s,k?N*,s≥2,k≥2. 因为数列{cn}的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数,因此,若抽出的项按照某种顺序构成等差数列, 则该数列中相邻的项必定一个是奇数,一个是偶数.…………………12 分 假设抽出的数列中有三个偶数,则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为 2i,2j,2p(1≤i<j<p),
8



2i+2j i-1 j-1 - - =2 +2 为奇数,而 i≥1,j≥2,则 2j 1 为偶数,2i 1 为奇数,所以 i=1. 2

2j+2p j-1 p-1 - - 又 =2 +2 为奇数,而 j≥2,p≥3,则 2j 1 与 2p 1 均为偶数,矛盾. 2 又因为 k≥2,所以 k=2,即偶数只有两项, 则奇数最多有 3 项,即 s+k 的最大值为 5. ……………………14 分 设此等差数列为 d1,d2,d3,d4,d5,则 d1,d3,d5 为奇数,d2,d4 为偶数,且 d2=2. 由 d1+d3=2d2=4,得 d1=1,d3=3,此数列为 1,2,3,4,5. 同理,若从大到小排列,此数列为 5,4,3,2,1. 综上,当等差数列的项数最大时,满足条件的数列为 1,2,3,4,5 和 5,4,3,2,1. ……………………16 分

9


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