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线性规划常见题型及解法+均值不等式专题

时间:2017-10-02


线性规划常见题型及解法

一.基础知识: (一)二元一次不等式表示的区域 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧的所有点组成的区域, 把 直线画成虚线表示不包括边界, Ax ? By ? C ? 0 所表示的区域应包括边界, 故边界要画成 实线. 由于在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有

点 (x,y) ,把它的坐标 (x,y) 代入 Ax ? By ? C , 所得的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点( x0, y0 ) ,从 Ax0 ? By0 ? C 的 正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点(0,0) 。 (二)线性规划 (1)不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件,由于这组约束条件都是关于 x、y 的 一次不等式, 所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的 变量 x、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于 z=Ax+By 又是关于 x、y 的一次解析 式,所以又可叫做线性目标函数. 另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示. (2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为 线性规划问题. (3)那么,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫 做可行域.在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解( x1 , y1 ) 和( x 2 , y 2 )分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们 是否在可行 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域).
1

2.设 z=0,画出直线 l0. 3.观察、分析,平移直线 l0,从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路: 首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数. 然后,用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取 得最值的解. 最后,还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求 得最优解.
线 性 规 划 是 新 教 材 中新 增 的 内 容 之 一,由已 知 条 件 写 出 约 束 条件 ,并 作 出 可 行域 ,进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 ,除 此 之 外 ,还 有 以 下 常 见 题 型。 一、求线性目标函数的取值范围

?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6]

, 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是





D、 ( 3,5]

二、求可行域的面积

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?





A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大 三、求可行域中整点个数 例 3、 满 足 |x|+ |y|≤ 2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 四、求线性目标函数中参数的取值范围



?x ? y ? 5 ? 例 4 、已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?
个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3
2

,使 z = x + a y ( a > 0 ) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数

( C、 - 1

) D、 1

五、求非线性目标函数的最值

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
( ) B、 13, 2 C、 13,

, 则 z=x +y 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是

2

2

A、 13, 1

4 5

D、

13 ,

2 5 5

六、求约束条件中参数的取值范围 例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1,1) , 则 m 的取值范围是 A、 ( -3,6) B、 ( 0,6) C、 ( 0,3) D、 ( -3,3)





七、线性规划的实际应用 在科学研究、工程设计、经济管理等方面,我们都会碰到最优化决策的实际问题,而解决这类问题的理论基础 是线性规划。利用线性规划研究的问题,大致可归纳为两种类型: 第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,的效益最 大, 第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。

例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72m ,第二种有 56m ,假设生产每种产品都 需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可 获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 木料(单位 m ) 产 品 圆 桌 衣 柜 第 种 0.18 0.09 一 第 二 种 0.08 0.28
3

3

3

3

?a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1m x m ? b1 ?a x ? a x ? ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2m m 2 2.线性规划问题的一般数学模型是:已知 ? (这 n 个式子中的“?”也可以是“?” ??? ? ?a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nm x m ? bn
或“=”号) 其中 aij (i=1,2,?,n, j=1,2,?,m),bi (i=1,2,?,n)都是常量,xj (j=1,2,?,m) 是非负变量,求 z=c1x1+c2x2+? +cmxm 的最大值或最小值,这里 cj (j=1,2,?,m)是常量. (3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用: 一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务; 二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

线性规划中整点最优解的求解策略 在工程设计、经营管理等活动中,经常会碰到最优化决策的实际问题,而解决此类问题一般以线性规划为其重 要的理论基础。然而在实际问题中,最优解 (x,y) 通常要满足 x,y∈N ,这种最优解称为整点最优解,下面通过具 体例子谈谈如何求整点最优解 . 1.平移找解法 作出可行域后,先打网格,描出整点,然后平移直线 l,直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解. 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72m ,第二种有 56m ,假设生产每种产品都 需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可 获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 产 品 圆 桌 衣 柜 木料(单位 m ) 第 一 种 0.18 0.09 第 二 种 0.08 0.28
3 3 3

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例 2 有一批钢管,长度都是 4000mm,要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯,且这两种毛坯按数量比不小于 怎样截最合理? 解: 设截 500mm 的钢管 x 根, 600mm 的 y 根,

1 配套, 3

总数为 z 根。根据题意,得 目标函数为 ,



作出如图所示的可行域内的整点, 作一组平行直线 x+y=t,经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过 B(8,0)的直线,这时 x+y=8.由于 x,y 为正整数,知(8,0)不是最优解。显然要往下平移该直线,在可行域内找整点,使 x+y=7,可知点(2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1)均为最优解.答:略. 点评:本题与上题的不同之处在于,直线 x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点 B(8,0)并不符合题意, 此时必须往下平移该直线,在可行域内找整点,比如使 x+y=7,从而求得最优解。 从这两例也可看到,平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少,但作图要求较高。

二、整点调整法 先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 3.已知 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求使 x ? y 取最大值的整数 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?
x, y .
解:不等式组的解集为三直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , l3 :

y A
O

l1 l3
C

x
l2

B

3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围成的三角形内部(不含边界) ,设 l1 与 l2 , l1 与 l3 , l2 与 l3 交
点分别为 A, B, C ,则 A, B, C 坐标分别为 A(

15 3 75 12 , ) , B(0, ?3) , C ( , ? ) , 8 4 19 19

作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 : x ? y ? 0 ,当 l 往 l0 右上方移动时, t 随之增大, ∴当 l 过 C 点时 x ? y 最大为

63 75 ,但不是整数解,又由 0 ? x ? 知 x 可取 1, 2,3 , 19 19

当 x ? 1 时,代入原不等式组得 y ? ?2 , ∴ x ? y ? ?1 ;当 x ? 2 时,得 y ? 0 或 ?1 , ∴ x ? y ? 2 或 1 ; 当 x ? 3 时, y ? ?1 , ∴ x ? y ? 2 ,故 x ? y 的最大整数解为 ?

?x ? 2 ?x ? 3 或? . ? y ? 0 ? y ? ?1

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练习: 线性规划问题是解析几何的重点,每年高考必有一道小题。

?2 x ? y ? 2 ? 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?



? x ? 1, ? 2、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

?x ? 0 3、在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ?y ? 0 ? y ? x ? s ? ? ? y ? 2x ? 4

? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是()

A. [6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

4、已知变量 x , y 满足约束条件 ? 则 a 的取值范围为

?1 ? x ? y ? 4 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值, ??2 ? x ? y ? 2


?x ? y ? 2 ? 0 5、在平面直角坐标系中,不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是() ?y ? 0 ?
(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2

?5 x ? 11y ? ?22, ? 6、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 z ? 10 x ? 10 y 的最大值是 ?2 x ? 11. ?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

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用均值不等式求最值的方法和技巧
均值不等式是求函数最值的一个重要工具,同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用 均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。 一、几个重要的均值不等式
a2 ? b2 (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; 2 ②当且仅当 a = b 时, “=”号成立;

① a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ?

a 3 ? b3 ? c 3 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立; (a、b、c ? R ? ), 3 2 3 ?a?b? ? a?b?c? ? ? ④ a ? b ? 2 ab ? ab ? ? ? (a、b ? R ),a ? b ? c ? 33 abc ? abc ? ? ? (a、b、c ? R ) , 3 2 ? ? ? ? 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正” 、二“定” 、三“等” ; 2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? ② 熟悉一个重要的不等式链: 。 1 1 2 2 ? a b
③ a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? abc ? 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?
1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

2、求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值: 3 ① y ? x 2 (3 ? 2 x)(0 ? x ? ) 2 ② y ? sin 2 x cos x(0 ? x ?

?
2

)

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3、用均值不等式求最值等号不成立。 例 3、若 x、y ? R ? ,求 f ( x) ? x ?
4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x

4、条件最值问题。
8 1 例 4、已知正数 x、y 满足 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。

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三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项(配常数项) 例 1 求函数
y ? 3x 2 ? 16 2 ? x 2 的最小值.

2、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值.

3、 裂项 例 3 已知 x ? ?1 ,求函数
y?

? x ? 5?? x ? 2 ?
x ?1

的最小值.

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4、 取倒数
( x ? 1)2 1 y ? 0? x? x(1 ? 2 x) 的最小值. 2 ,求函数 例 4 已知

5、 平方 例 5 已知 x ? 0, y ? 0 且
2x2 ? y2 ? 8 x 6 ? 2 y2 3 求 的最大值.

6、 换元(整体思想) 例 6 求函数
y? x?2 2 x ? 5 的最大值.

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7、 逆用条件
1 9 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 例 7 已知 x y ,则 x ? y 的最小值是(

) .

8、 巧组合 例 8 若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,求 2a ? b ? c 的最小值 .

9、 消元
y2 例 9、设 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是.



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