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福州格致中学2014届高三模拟理科数学参考答案


福州格致中学 2014 届高三
理科数学模拟考参考答案
CBBDA 13.3 DBACB 11. ? x∈ R,ex≥0 12.1/2 15. ② ③ ④ 14.± 2

3 4 4 3 16.解:(1)解法一:因为 x1= ,y1>0,所以 y1== .所以 sinα= ,cosα= .………………2 分 5 5 5 5 π π π 2

所以 x2=cos(α+ )=cosαcos -sinαsin =- .…………6 分 4 4 4 10 3 4 34 → 34 解法二:因为 x1= ,y1>0,所以 y1== .A( , ),则OA=( , ),…………2 分 5 5 55 55 3 4 2 → → → → → OB=(x2,y2), 因为OA· OB=|OA||OB|cos∠ AOB,所以 x2+ y2= 5 5 2 又 x22+y22=1,联立消去 y2 得 50 x22-30 2x2-7=0 解得 x2=- 2 7 2 2 或 ,又 x2<0,所以 x2=- .………………6 分 10 10 10 ……4 分

3 4 34 4 解法三:因为 x1= ,y1>0,所以 y1== .因此 A( , ),所以 t anα= ,………2 分 5 5 55 3 π 1+tanα 所以 tan(α+ )= =-7,所以直线 OB 的方程为 y=-7x 4 1-tanα ………4 分

?y=-7x, 2 2 由? 2 2 得 x=± ,又 x2<0,所以 x2=- .…………6 分 10 10 ?x +y =1.

ππ π π 3π 1 1 (2)S1= sinαcosα=- sin2α.……8 分因为 α∈( , ),所以 α+ ∈( , ). 2 4 42 4 2 4 π π π 1 1 1 S2=- sin(α+ )cos(α+ )=- sin(2α+ )=- cos2α.……………10 分 2 4 4 4 2 4 4 4 4 因为 S1= S2,所以 sin2α=- cos2α,即 tan2α=- ……………………12 分 3 3 3 所以 2tanα ππ 4 1 2 =- ,解得 tanα=2 或 tanα=- .因为 α∈( , ),所以 tanα=2.…14 分 3 2 42 1-tan α

17(Ⅰ)证明:连结 AB1 交 A1B 于 M,连结 B1C,DM, 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱, 所以四边形 AA1B1B 是矩形, 所以 M 为 A1B 的 中点.因为 D 是 AC 的中点,所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线,……………2 分 所以 MD//B1C…………3 分 因为 MD ? 平面 A 1C ∥平面 A 1BD , B 1C ? 平面 A 1BD ,所以 B 1BD .………4 分 AB 于 O,所以 CO⊥ (Ⅱ)解:作 CO⊥ 平面 ABB1A1,
1
A D B M

C

C1 B1

A1

所以在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中如图建立空间直角坐标系 O-xyz. ,D 是 AC 的中点. 所以 A(1,0,0),B(-1,0,0), C (0 ,, 因为 AB=2, AA 0 3) , 1 ? 3

A1 (1, 3 , 0) , ……………5 分
1 3 3 3 所以 D( , 0) . 0 , ) , BD ? ( , 0 , ) , BA 1 ? (2 , 3 , 2 2 2 2
设 n ? (x , y, z) 是平面 A1BD 的法向量,
D

z
C
B

C1

B1
y

O
A

?3 3 ? z ? 0, ? n ? BD ? 0 , ? x ? 2 所以 ? 即 ?2 ? ? n ? BA1 ? 0 , ?2 x ? 3 y ? 0 , ?

A1

x

令 x ? ? 3 ,则 y ? 2 , z ? 3 , 所以 n ? (? 3 ,, 2 3) 是平面 A1BD 的一个法向量.……6 分 由题意可知 AA 0) 是平面 ABD 的一个法向量,………7 分 1 ? (0 , 3 , 所以 cos ? n , AA1 ??

? 2 3 1 ? .……8 分; 所以二面角 A1-BD-A 的大小为 .………9 分 3 4 3 2

(Ⅲ)设 E(1,x,0),则 C1 E ? (1, x ? 3 ,? 3 ) , C1B1 ? (?1,, 0 ? 3) , 设平面 B1C1E 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,所以 ? 令 z1 ? ? 3 ,则 x1 ? 3 , y1 ? 又 n1 ? n ? 0 ,即 ?3 3+

? ?n1 ? C1E ? 0 , ? ?? x1 ? ( 3 ? x) y1 ? 3z1 ? 0 ,
?? x1 ? 3z1 ? 0 , ? ?n ? C1B1 ? 0 , ?

即?

6 6 , ? 3) ,……………12 分 , n1 ? (3 , 3?x 3?x

12 ? 3 3 ? 0 ,解得 x ? 3 , 3?x 3

所以存在点 E,使得平面 B1C1E⊥平面 A1BD 且 AE ?

3 . 3

……………14 分

18 解:(Ⅰ )该密文的明文字符中含有字母 A 的概率 P=1/4;--------3 分 (Ⅱ)①密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列 分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码..

23 1 ∴P(ξ=2)= 3 = --------------------------------------------7 分 8 4
②由题意可知 ξ 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 ξ=3,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2,则密码中只可能取数字 1,2,3 或 1,2,4.

2

∴P(ξ=3)=

2× (33-23) 19 A31A22+A32A22 9 1 19 9 = .又 P(ξ=4)= = 或 P(ξ=4)=1- - = , 3 4 32 43 32 8 32 32

∴ξ 的分布列为: ξ P 2 1 8 3 19 32 4 9 32

1 19 9 101 ∴E(ξ)=2× +3× +4× = .------------------------------------------13 分 8 32 32 32 19.(1)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 ,? c ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ; ? a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .………3 分 4

(2)点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1),N(x1,-y1), 不妨设 y1>0. 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ?
2

x1 .(*) 4

2

由已知 T(-2,0),则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

?TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
2

2

? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?

x1 5 8 1 5 2 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? ( x1 ? ) 2 ? .………6 分 4 5 5 4 4

8 1 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 13 8 3 2 由(*)式, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 25 5 5
由于-2<x1<2,故当 x1 ? ? 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ?

13 25

………………8 分

(3)设 P(x0,y0),则直线 MP 的方程为: y ? y 0 ?

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1

令 y=0 ,得 x R ?

x1 y 0 ? x0 y1 ……11 分 y 0 ? y1
2 2 2 2

同理: x S ?

x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 ,故 x R ? x S ? 1 0 (*)………10 分 2 2 y 0 ? y1 y0 ? y1
2 2
2 2

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 ? 4(1 ? y0 ) , x1 ? 4(1 ? y1 ) ,

3

代入(**)式,得:

xR ? xS ?

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1 y 0 ? y1
2 2

2

2

2

2

?

4( y 0 ? y1 ) y 0 ? y1
2 2

2

2

?4.

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.……………13 分 20.(Ⅰ ) f ' ( x) ?

1 ----------------------------1 分 x

设切点为(x0,y0),则 k ?

1 ? 1,? x0 ? 1, y 0 =lnx0=ln1=0,-------------------2 分 x0

代入 y=x+m,得 m=-1.------------------------------3 分 (Ⅱ )令 h(x)=f(x)- ( x ?

1 1 ) ? ln x ? x ? ---------------------------4 分 x x 1 3 ? ( x ? )2 ? 1 1 2 4 ? 0 --------------------------5 分 h' ( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x2

∴ h(x)在(0,+∞)上单调递减--------------------------------------------6 分 又 h(1)=ln1-1+1,∴ x=1 是函数 h(x)唯一的零点---------------7 分 故点(1,0)是两曲线唯一的公共点.-------------------------------------8 分

b ln f (b) ? f (a) lnb ? ln a a ----------------------------9 分 (Ⅲ )解法一: ? ? b?a b?a b?a b 2( ? 1) b 2(b ? a ) b ∵ b-a>0, ln ? -----------------10 分 ? ln ? a b a a?b a ?1 a
令 ? ( x) ? ln x ?

2( x ? 1) 1 4 ( x ? 1) 2 ( x ? 1),?' ( x) ? ? ? ? 0 当 x∈(1,+∞)恒成立, x ?1 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

故函数 ? ( x ) 在(1,+∞)内单调递增-------------------------12 分

2( x ? 1) b 2(b ? a ) ln b ? ln a 2 ? 0, 则ln ? ,即 ? 成立 x ?1 a b?a b?a a?b f (b ) ? f ( a ) 2 ? 即 ----------------------------------------14 分 b?a a?b 1 解法二:由(Ⅱ)知:h(x)=lnx-x+ 在(0,+∞)内单调递减,∵0<a<b, x
即 ln x ?

? lnb ? b ?

1 1 1 1 lnb ? ln a 1 ? ln a ? a ? , lnb ? ln a ? b ? a ? ? , ? 1? , b a a b b?a ab -----10 分 1 2 a ? b ? a 2 b ? ab2 ? 2ab 1? ? ? ab a ? b ab( a ? b)

4

又 a+ab2≥2ab,b=1 时取等号; b+a2b≥2ab,a=1 时取等号. a+b+a2b+ab2≥4ab>0, a+b+a2b+ab2-2ab≥2ab>0.-------------------------12 分

?1 ?

1 2 1 2 f ( a ) ? f (b ) 2 ? ? 0,1 ? ? ,? ? --------14 分 ab a ? b ab a ? b b?a a?b ?1? ?8? ?a ? b ? 8, ?a b ? ?a b ? ?1? 21.(1)解(Ⅰ )设 M ? ? ,则 ? ? 8? ? ? ? ? ,故 ? ? ? ? ? ?1? ?8? ?c ? d ? 8 ?c d ? ?c d ? ?1?
? a ? 2b ? ?2 , 又矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4) ? ?a b ? ?? 1? ? ?? 2? ,故 ? ? ?c d ? ? 2 ? ? 4 ? ? ?? ? ? ? ?? c ? 2d ? 4

联立以上两方程组,解得: a ? 6, b ? 2, c ? 4, d ? 4 ,故 M ? ?6 2? .……………… 4 分 ? 4 4? ? ? (Ⅱ )设 P(x,y)是直线 l 上任意一点,它在矩阵 M 对应的变换下变为点 P?( x?, y ?) M 则?

?6 2? ? x ? ? x ? ? ?6 x ? 2 y ? x? , 又因为点 P?( x?, y ?) 在直线 l ? : x ? 2 y ? 4 上,所以 ? ? ? ? ? ? ,即 ? ?4 4? ? y ? ? y ?? ?4 x ? 4 y ? y ?

有: x? ? 2 y ? ? 4 , 把 x ?, y ? 代人得:x+3y+2=0,故所求直线 l 的方程为: x+3y+2=0,.…… 7 分 (2)解:(Ⅰ )将直线 l 极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?

2 化为直角坐标方程:x+y-1=0. 2

将圆的参数方程化为普通方程:x2+(y+2)2=4,圆心为 C(0,-2),r=2,∴ 圆心 C 到直线的距离为
d? 0 ? 2 ?1 2 ? 3 3 2 >r=2,∴ 直线 l 与圆 C 相离.………… 3 分 ? 2 2

(Ⅱ )将椭圆的参数方程化为普通方程为

x2 y 2 直线 l:x+y=1 的斜率 k1=-1,∴ 直线 l ? ? ? 1 ,又∵ 4 3

? ? 2 ? x ? t cos , ? x? t, ? ? ? 的斜率为 k2=1,即倾斜角为 ,则直线 l 的参数方程为: ? ,即 ? (t 为 4 2 ? ? 4 ? 2 ? y ? ?2 ? t sin ?
? ? 4

y ? ?2 ? t ? 2 ?

? 2 t, x2 y 2 2 ?x ? 参 数 ), 把 直 线 l ? 的 参 数 方 程 ? 代入 ? ? 1 得 : 7t 2 ? 4 3 ? y ? ?2 ? 2 t ? 2 ?
2

? 16 2t ? 8 ? 0 , 由 于

? 16 2 t1 ? t 2 ? , ? ? 7 又 ? ? (?16 2 ) ? 4 ? 7 ? 8 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两个实根,则有 ? 8 ?t t ? 1 2 ? 7 ?

直线 l ? 过点 C(0,-2),故由上式及 t 的几何意义得: | CA | ? | CB |?| t1t 2 |? (3)(Ⅰ )当 a=3 时,依题意得:|x-1|+|x+1|≥3 .

8 .…………… 7 分 7

5

3 3 (法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? } . 2 2

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 (法二)不等式可化为 ? 或? 或? , ?2 x ? 3 ??2 x ? 3 ? 2 ? 3
∴ 不等式的解集为 {x | x ? ?

3 3 或x ? } …… 4 分 2 2

(Ⅱ )依题意得:关于 x 的不等式|x-1|+|x+1|-a≥0 在 R 上恒成立,…………5 分 即 a ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | 在 R 上恒成立,

? | x ? 1 | ? | x ? 1 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 1) |? 2
?a ? 2

………………6 分 ………………7 分

6


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