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改2.1.1曲线与方程课件


2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程

? 主要内容:
? 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题

? 重点和难点:
? 曲线和方程的概念



曲线和方程之间有 什么对应关系呢?

分析特例归纳定义
(1)、求第

一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
第一、三象限角平分线

l ? 点的横坐标与纵坐标相等 ?x=y(或x-y=0)
条件 方程

曲线 y

l
0

x-y=0 x

得出关系:
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上

分析特例归纳定义
(2)、方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 有什么关系?
2 2 2

y

0
满足关系:
(1)、如果M ( x0 , y0 )是圆上的点,那么

· ·
M

x

M ( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解

(2)、如果M ( x0 , y0 )是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解,那么以它为坐标 的点一定在圆上。

分析特例归纳定义
(3)、说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系

①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2
②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上

结论:过A(2,0)平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y

0

2

A

x

分析特例归纳定义
定义

曲线的方程,方程的曲线

? 给定曲线C与二元方程f(x,y)=0, 若满足 ? (1)曲线上的点坐标都是这个方程 的解 ? (2)以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点 ? 那么这个方程f(x,y)=0叫做这条 曲线C的方程 ? 这条曲线C叫做这个方程的曲线

y
f(x,y)=0

0

x

.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解”
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.

“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”
阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.

由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0)在 f(x0, y0)=0 曲线C 上的 充要条件 是

例1 :判断下列命题是否正确

(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D 为BC中点,则中线AD的方程x=0
解:(1)不正确,应为x=3, (2)不正确,应为y=±1.

(3)正确.
(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.

证明: (1)如图,设M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点, 因为点M 与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 , 所以 x0 ? y0 ? k , 即( x0 , y0 ) 是方程xy ? ? k的解。

(2)设点M 1的坐标( x1 , y1 )是方程xy ? ? k的解, 即x1 y1 ? ? k , 即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离, 因此点M 1到两条直线的距离的积是常数k , 点M 1是曲线上的点。

由(1),(2)可知,xy ? ?k是与两条坐标轴的距离。 的积为常数k (k ? 0)的点的轨迹方程。

例、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy

? ?k.

归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点,证明(x0,y0) 是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明点M (x0,y0)在曲线C上. 例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点 M属于集合:
.

P ? ?M |MA |?| MB |?
2 2 2

由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7)
将上式两边平方,整理得:

2

x+2y-7=0

问题1 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线 段 AB 的垂直平分线的方程。
下面证明所求方程是线段AB的垂直平分线的方程: 1 由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方 程的解;
( ) ( )

2 设点M1(x1,y1)是方程的解,即x1+2y1-7=0,
2 2 M1 A ? (8 ? 2 y1) ? (y1 ? 1) ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13) 2

2 2 M1B ? (4 ? 2 y1) ? (y1 ? 7) ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13)

2

所以|M1A|=|M1B|,

M1到线段两端A, B点的距离相等,故 M1在AB的垂直平分线上

由(1)(2)知,所求线段 AB 的垂直平分线的方程是x+2y-7=0。

求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标; 2.写出适合条件P的几何点集 3.用坐标表示条件,列出方程 √ 4.化简方程为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂)。

例3. 已知一条直线l和它上 方的一个点F,点F到l的距 离是2。一条曲线也在l的
y

F M o

上方,它上面的每一点到
F的距离减去到l的距离的

?

?
B x

差都是2,建立适当的坐标
系,求这条曲线的方程。

小结:
? 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程,当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备上述两个条 件,只有具备上述两个方面的要求,才能 将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化 为代数问题,以数助形正是解析几何的思 想,本节课正是这一思想的基础。

例、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C 在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹 方程.

练习1、已知?ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(?5,0),(5,0), 且AC , BC所在直线的斜率之积等于m(m ? 0), 试探求 顶点C的轨迹方程。
解:设 C(x,y) .由已知,得 直线 AC 的斜率 kAC=
y (x≠-5) ; x?5

直线 BC 的斜率 kBC=
y (x≠5) ; x?5

由题意,得 k ACkBC=m, y y 所以, × =m(x ≠±5) . x?5 x?5 x2 y2 写成 - =1(x≠±5) .
25 25m


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