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第16练解三角形问题

时间:2016-05-02


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第 16 练

解三角形问题

题型一 例1

活用正、余弦定理求解三角形问题

1 (1)(2013· 辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin B

cos A= b,且 a> 2 ) π B. 3 D. 5π 6

b,则 B 等于( A. C. π 6

2π 3

(2)在△ABC 中,acos A=bcos B,则△ABC 的形状为________. 破题切入点 (1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化,然后利用三角恒等变换公式进行化简,可求得 sin B

的值,再结合 a>b 的条件即可判断得出结果. (2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式,再进行判断;或者先利用正弦定理将条件化为角的形式,再转化 判断即可. 答案 解析 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形 a c 1 (1)由条件得 sin Bcos C+ sin Bcos A= , b b 2

1 依正弦定理,得 sin Acos C+sin Ccos A= , 2 1 1 ∴sin(A+C)= ,从而 sin B= , 2 2 π 又 a>b,且 B∈(0,π),因此 B= . 6 (2)方法一 因为 acos A=bcos B,

b2+c2-a2 a2+c2-b2 所以由余弦定理,得 a× =b× , 2bc 2ac 即 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以(a2+b2-c2)(a2-b2)=0. 所以 a2+b2=c2 或 a=b. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 方法二 因为 acos A=bcos B,

由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 所以 sin 2A=sin 2B. 又 A,B 为△ABC 的内角, 所以 2A=2B 或 2A+2B=π,

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π 即 A=B 或 A+B= . 2 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 题型二 例2 正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧

(2013· 江苏) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C, 两位游 客从 A 乘缆车 到 B , 为 130 m/min,

另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度 山路 AC 长为 1 260 m,经测量 cos A= (1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少 min 后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在什么范围内? 破题切入点 12 3 ,cos C= . 13 5

(1)在△ABC 中,已知两角及一边长,利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个

角,再由正弦定理即可求得 AB 的长; (2)设出在乙出发 t min 后甲、乙距离最短时所行走的距离,再利用余弦定理即可求得结果; (3)在△ABC 中,利用正弦定理求得 BC 的长,再分别计算出甲、乙到达 C 点的时间,然后由甲、乙在 C 处相互 等待不超过 3 min 为条件列出不等式计算即可求得. 解 (1)在△ABC 中,因为 cos A= 12 3 ,cos C= , 13 5

5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C = 5 3 12 4 63 × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC = ,得 sin C sin B

由正弦定理

AC 1 260 4 AB= ×sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50), 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 12 13

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故当 t= 35 (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 BC AC = , sin A sin B

(3)由正弦定理 得 BC=

AC 1 260 5 ×sin A= × =500(m). sin B 63 13 65

乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - ≤3,解得 ≤v≤ , 50 43 14 1 250 625? 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在? ? 43 , 14 ?(单位:m/min)范围 内. 题型三 例3 解三角形中相关交汇性问题

已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,向量 m=(sin B,1-cos B)与向量 n=(2,0)的夹

1 角 θ 的余弦值为 . 2 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 3,求 a+c 的范围. 破题切入点 (1)根据向量的数量积求两向量的夹角,然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形

即可解决问题; π π (2)消元后,利用两角和的正弦公式把 sin A+sin C 化为 sin(A+ ),并求出 sin(A+ )的取值范围,再根据正弦定 3 3 理,求出 a+c 的范围,也可以利用余弦定理结合基本不等式求出 a+c 的范围. 解 (1)因为 m=(sin B,1-cos B),n=(2,0),

所以 m· n=2sin B. 又|m|= sin2B+?1-cos B?2 = sin2B+cos2B-2cos B+1 = 2?1-cos B? = B B 4sin2 =2|sin |, 2 2

B π 因为 0<B<π,0< < , 2 2 所以 sin B B >0,因为|m|=2sin . 2 2

而|n|=2, m· n 2sin B 所以 cos θ= = B |m|· |n| 4sin 2

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4sin = B B cos 2 2 B =cos , B 2 4sin 2 B 1 = . 2 2

即 cos

B π 由 0<B<π,得 = , 2 3 2π 所以 B= . 3 (2)方法一 由 B= 2π π ,得 A+C= . 3 3

π 所以 sin A+sin C=sin A+sin( -A) 3 =sin A+(sin π π cos A-cos sin A) 3 3

1 3 = sin A+ cos A 2 2 π =sin(A+ ). 3 π π π 2π 又 0<A< ,所以 <A+ < . 3 3 3 3 所以 3 π <sin(A+ )≤1. 2 3 3 ,1]. 2

所以 sin A+sin C∈( 由正弦定理,得

a c b 3 = = = =2, sin A sin C sin B 2π sin 3

所以 a+c=2sin A+2sin C=2(sin A+sin C). 所以 a+c∈( 3,2]. 方法二 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos 2π 3

a+ c 2 =(a+c)2-2ac+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-( ) 2 = 3?a+c?2 , 4

当且仅当 a=c 时,取等号. 所以(a+c)2≤4,故 a+c≤2. 又 a+c>b= 3,所以 3<a+c≤2, 即 a+c∈( 3,2]. 总结提高 (1)在根据正、余弦定理解三角形问题中,要结合大边对大角进行判断.一般地,斜三角形中,用正

弦定理求角时,若已知小角求大角,有两解,已知大角求小角有一解;在解三角形问题中,三角形内角和定理

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起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现 象. (2) 在求解三角形的实际问题时,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中的有关专业名词、术 语,如方位角、仰角、俯角等,其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键的作用,再次将要求解的问题归 结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识,建立数学模型,从而正确求解,演算过程 要简练,计算要准确,最后作答.

1.(2013· 陕西)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状 为( ) B.直角三角形 D.不确定

A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 解析 B

由 bcos C+ccos B=asin A,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即 sin(B+C)=sin2A,所以 sin A=1,由

π 0<A<π,得 A= ,所以△ABC 为直角三角形. 2 1 2.(2014· 课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC 等于( 2 A. 5 答案 解析 B 1 1 1 ∵S= AB· BCsin B= ×1× 2sin B= , 2 2 2 2 π 3π ,∴B= 或 . 2 4 4 B. 5 C.2 D.1 )

∴sin B= 当 B=

3π 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2+2=5,∴AC= 5,此时△ABC 为钝角三角 4

形,符合题意; π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1,此时 AB2+AC2=BC2, 4 △ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= 5. π 3.(2014· 江西)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面积 3 是( A. 3 C. 3 3 2 C ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① ) 9 3 B. 2 D.3 3

答案 解析

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π π ∵C= ,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 3 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 π 4.在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC 等于( 4 A. 10 10 C 设 CD 为 AB 边上的高,则由题设知 BD=CD= 3 2 2 - 2= , 2 2 9 1 + = 5, 2 2 3 2 , 2 B. 10 5 C. 3 10 10 D. 5 5 )

答案 解析

∴AD= AC=

3 2 2 3 10 ∴sin∠BAC=sin(π-∠BAC)= = . 10 5 5.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( A. 4 3 A ∵a2+b2+2ab-c2=4,cos C= a2+b2-c2 1 = , 2ab 2 B.8-4 3 C.1 2 D. 3 )

答案 解析 ∴

4-2ab 1 4 = ,∴ab= . 2ab 2 3 )

3 6.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C=2A,cos A= ,b=5,则△ABC 的面积为( 4 A. 15 7 4 A 3 1 cos A= ,cos C=2cos2A-1= , 4 8 3 7 ,tan C=3 7, 8 15 7 B. 2 C. 5 7 4 5 7 D. 2

答案 解析

sin C=

如图,设 AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD= 7x. 在 Rt△DBC 中,tan C= BD 7x = = 3 7, CD 5-3x

3 7 1 15 7 解之得:BD= 7x= ,S△ABC= BD· AC= . 2 2 4

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a+2 3cos A π 7.在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,C= ,c= 3,则 的值为________. 3 sin B 答案 解析 所以 4 由正弦定理,得 a c = ?a=2sin A. sin A sin C

a+2 3cos A 2sin A+2 3cos A = sin B sin B

π 4sin?A+ ? 3 = =4. sin B π 8.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2,B= 且 sin 2A+sin(A-C)=sin B,则 3 △ABC 的面积为________. 答案 解析 3 ∵sin 2A=sin B-sin(A-C),

∴2sin Acos A=sin(A+C)-sin(A-C), ∴2sin Acos A=2cos Asin C. ∵△ABC 是锐角三角形,∴cos A≠0, π ∴sin A=sin C,即 A=C=B= , 3 1 3 ∴S△ABC= ×2×2× = 3. 2 2 π 9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A= ,a= 3,则 b2+c2 的取值范围为________. 3 答案 解析 (3,6] 由正弦定理,得 a b c = = =2, sin A sin B sin C

b=2sin B,c=2sin C, 所以 b2+c2=4(sin2B+sin2C) =2(1-cos 2B+1-cos 2C) 2π =4-2cos 2B-2cos 2( -B) 3 =4+ 3sin 2B-cos 2B π =4+2sin(2B- ). 6 2π 又 0<B< , 3 π π 7π 所以- <2B- < . 6 6 6 π 所以-1<2sin(2B- )≤2. 6 所以 3<b2+c2≤6.

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10.(2014· 课标全国Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c -b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 答案 解析 3 a b c ∵ = = =2R,a=2, sin A sin B sin C

又(2+b)(sin A-sin B) =(c-b)sin C 可化为(a+b)(a-b)=(c-b)· c, ∴a2-b2=c2-bc,∴b2+c2-a2=bc. ∴ b2+c2-a2 bc 1 = = =cos A,∴A=60° . 2bc 2bc 2

∵△ABC 中,4=a2=b2+c2-2bc· cos 60° =b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(当且仅当 b=c 时取“=”), 1 1 3 ∴S△ABC= · bc· sin A≤ ×4× = 3. 2 2 2 11.如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在 A 地侦察发 偏东 60° 方向的 B 地,有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 驶,企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民.此时,C 地位于中国海监船的南偏东 的 10 海里处,中国海监船以每小时 30 海里的距离赶往 C 地救援我国渔民,能 赶到?( 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45) 现,在南 C 地 行

45° 方 向 不能及时



如图,过点 A 作 AD⊥BC,交 BC 的延长线于点 D.

因为∠CAD=45° ,AC=10 海里, 所以△ACD 是等腰直角三角形. 所以 AD=CD= 2 2 AC= ×10=5 2(海里). 2 2

在 Rt△ABD 中,因为∠DAB=60° , 所以 BD=AD×tan 60° =5 2× 3=5 6(海里). 所以 BC=BD-CD=(5 6-5 2)海里. 因为中国海监船以每小时 30 海里的速度航行, 某国军舰正以每小时 13 海里的速度航行, 所以中国海监船到达 C 点所用的时间 t1= AC 10 1 = = (小时), 30 30 3

BC 5×? 6- 2? 5×?2.45-1.41? 某国军舰到达 C 点所用的时间 t2= = ≈ =0.4(小时). 13 13 13 1 因为 <0.4, 3

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所以中国海监船能及时赶到. 12.在△ABC 中,角 A 为锐角,记角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 m=(cos A,sin A),n=(cos A, π -sin A),且 m 与 n 的夹角为 . 3 (1)求 m· n 的值及角 A 的大小; (2)若 a= 7,c= 3,求△ABC 的面积 S. 解 (1)因为|m|= cos2A+sin2A=1,

|n|= cos2A+?-sin A?2=1, 所以 m· n=|m|· |n|· cos π 1 = . 3 2

因为 m· n=cos2A-sin2A=cos 2A, 1 所以 cos 2A= . 2 π 因为 0<A< ,0<2A<π, 2 π π 所以 2A= ,A= . 3 6 π (2)因为 a= 7,c= 3,A= , 6 及 a2=b2+c2-2bccos A, 所以 7=b2+3-3b, 即 b2-3b-4=0, 解得 b=-1(舍去)或 b=4. 1 1 π 所以 S= bcsin A= ×4× 3×sin = 3. 2 2 6

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