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数学:1.3.1《函数单调性A》课件(新人教A版必修1)


第一课时:单调性

教学目标:
? ? ?

?
? ? ?

知识教学目标: 1.理解函数的单调性概念. 2.会判定函数的单调性. 能力训练目标: 1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力. 2.加强化归转化能力的训练. 情感渗透目标: 1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规 律、归

纳概括的能力. 2.培养学生辨证思维、求异思维等能力.

观察下列函数图象,体会它们的特点:

在上面的六幅函数图象中,有的图象由左至右是上升的;有的图象 是下降的;还有的图象有的部分是下降的,有的部分是上升的. 函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调 如何描述函数图象的“上升”“下降”呢? 以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表:

x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
对比左图和上表,可以发现当自变量变化时 对应的函数值有什么规律? 图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(∞,0] 上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小; 图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间

练习:
利用刚才 的方法描 述一下左 侧四个函 数图象的 “上升” “下降” 的 情况.

思考
如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”? 有同学认为可以这样描述:在区间(0,+∞)上, x1<x2时, 有f(x1)<f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的 说法对吗?

对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区间(0,+∞) 上 随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:

试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?

定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那 么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function).
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那 么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function). 注意比较这两句话的不同之处和共同之处.想一想为了说明一个 函数在某个区间上是增函数还是减函数,我们应该重点说明哪些 要素?

(1)如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。

在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 (2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质;

判断1:函数 f (x)= x2 在 ? ??, ?? ? 是单调增函数;
y

y ? x2
o x

(1)如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。

在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 (2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质; (3) x 1, x 2 取值的任意性

判断2:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1), y 则函数 f (x)在R上是增函数;
f(2) f(1) O 1 2x

练习:
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是 增函数.

说明
?
?

?

1.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,这个区间可 以是整个定义域,也可是定义域的真子集,求函数的单调区间 必须先确定函数的定义域。 2.函数的单调区间可以是开的,也可以是闭的,也可以是半 开半闭的。对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上 单调,它在该闭区间上也单调。故只要单调区间端点使f(x) 有意义,都可以使单调区间包括端点。 3.虽然f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上都是减函数,但不能说f(x) 在[-5,-2)∪ [1,3)上是减函数。函数的增减性即单调性是函 数的一个局部性质。

例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定 量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 证明: 1 2

1.设(自变量);
2.比(函数值); 3.判(函数值大小关系); 4.结(论) 3

4

1 例3.判断函数 y ? x ? 在定义域 x

?0,??? 上的单调性.
描点作图

主要步骤 1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2; 2. 作差f(x1)-f(x2);

3. 变形(通常是因式分解和配方);
4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5. 下结论

证明:在区间

?1, ??? 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 ? x2
1 1 ) ? ( x2 ? ) x1 x2

取值

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

作差

1 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2
( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 1 ? ( x1 ? x2 )( ) x1 ? x2
,且 x1

变 形

? x1, x2 ??1, ???

? x2 ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ?1 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 所以函数 y ? x ? 在区间上 ?1, ?? ? 是增函数. x

定号

结论

f ( x) 是定义在R上的单调函数,且 f ( x) 的图
象过点A(0,2)和B(3,0) (1)解方程 f ( x) ? f (1 ? x) (2)解不等式 f (2 x) ? f (1 ? x) (3)求适合 f ( x) ? 2或f ( x) ? 0 的 x 的 取值范围

小结:
? 1.函数的单调性概念; ? 2.增(减)函数的定义; ? 3.增(减)函数的图象特征;

? 4.增(减)函数的判定;
? 5.增(减)函数的证明.

作业:课本39页第2,3题


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